Torgunn Karoline Moe: Cuspidale kurver på Hirzebruchflater

Hvor mange og hva slags cusper kan en cuspidal kurve ha? Vi stiller dette spørsmålet for kurver på det projektive planet og for kurver på Hirzebruchflater.

En kurve med tre cusper.

Gitt i det projektive planet som x2y2+x2z2+y2z2-2xyz(x+y+z)=0.

Å bestemme antall og type singulariteter på en algebraisk kurve i et gitt rom er et klassisk problem i algebraisk geometri. Allikevel er det fremdeles åpne spørsmål innen dette temaet. Selv ikke for de enkleste kurvene - de rasjonale kurvene, som bare har de enkleste singularitetene - cusper, og som ligger på de enkleste flatene - det projektive planet eller Hirzebruchflatene, er svaret kjent.

Gitt en fin flate, for eksempel det projektive planet eller en Hirzebruchflate, finnes et sett koordinater for punktene på den og relasjoner mellom koordinatene. En algebraisk kurve på den gitte flaten er et 1-dimensjonalt objekt som er gitt ved punktene der et polynom, som overholder relasjonene til flatens koordinater, er lik null. Slike kurver kan klassifiseres i ulike typer, der de enkleste kalles rasjonale.  En algebraisk kurve består av punkter; de fleste er det som kalles glatte punkter, men endelig mange av punktene har spesielle egenskaper og kalles singulariteter. De enkleste singularitetene kalles cusper, og en kurve som bare har cusper som singularieteter kalles cuspidal.

I dette forskningsprosjektet går vi gjennom kjente resultater for cuspidale kurver på det projektive planet. Svært overraskende er det vist at en rasjonal cuspidal kurve på det projektive planet maksimalt kan ha 8 cusper. Det er også konstruert en lang rekke rasjonale cuspidale kurver på det projektive planet, og besynderlig nok har man ikke klart å finne noen slik kurve med mer enn 4 cusper. Det er faktisk bare én kjent rasjonal cuspidal kurve med 4 cusper på det projektive planet.

Hovedpoenget med dette forskningsprosjektet er å overføre de kjente resultatene for cuspidale kurver på det projektive planet til cuspidale kurver på Hirzebruchflatene. Hirzebruchflatene har en struktur som på enkelte måter reflekterer strukturen til det projektive planet, og det er et spesielt slektskap mellom kurver på de ulike flatene som gjør at vi finner resultater som ligner på dem som finnes for cuspidale kurver på det projektive planet. Blant annet finner vi at en rasjonal cuspidal kurve på en Hirzebruchflate maksimalt kan ha 14 cusper. Vi konstruerer dessuten en rekke rasjonale cuspidale kurver med 4 cusper på Hirzebruchflatene, faktisk uendelig mange, men vi finner heller ikke her cuspidale kurver med mer enn 4 cusper.

 

Kurve med fire cusper på en Hirzebruchflate.

 

 

Emneord: Matematikk, Algebraisk geometri, Kurver, Cusper Av Torgunn Karoline Moe
Publisert 22. okt. 2012 13:59 - Sist endret 4. juli 2016 08:14