Disputas: Jonas Irgens Kylling

M.Sc. Jonas Irgens Kylling ved Matematisk institutt vil forsvare sin avhandling for graden ph.d.

Calculations of Motivic Invariants  

 

Bildet kan inneholde: hår, ansikt, panne, hake, frisyre.

Jonas Irgens Kylling

Tid og sted for prøveforelesning

21. august 2019 kl. 10.15, "Abels utsikt", 12. etasje, Niels Henrik Abels hus.

Bedømmelseskomité

  • Professor Joseph Ayoub, University of Zurich

  • Assistant Professor Ben Williams, University of British Columbia 

  • Associate Professor Kim Anders Frøyshov, Universitetet i Oslo

Leder av disputas

Instituttleder Geir Dahl, Matematisk institutt, Universitet i Oslo

Veiledere

  • Professor Paul Arne Østvær, Matematisk institutt, Universitet i Oslo

  • Professor John Rognes, Matematisk institutt, Universitet i Oslo

  • Professor Oliver Röndigs, Institut für Mathematik, Universität Osnabrück 

Sammendrag

I doktorgradsarbeidet mitt har jeg studert noen spesielle matematiske invarianter, en bestemt type tall som forblir uendret under matematiske transformasjoner. Jeg har beregnet invariantene fullstendig, funnet relasjoner mellom invariantene, og utviklet verktøy for å beregne de.

Avhandlingen er innen motivisk homotopiteori, en sammenfletting av to grener av matematikken, homotopiteori og algebraisk geometri. Ordinær homotopiteori og algebraisk geometri er som skygger av den rikere motiviske homotopiteorien. I homotopiteori ser det som kan omformes eller gli inn i hverandre likt ut, litt som et maleri av Picasso. Denne gummiaktige verdenen gjør de underliggende sammenhengene tydeligere, men blir først håndfast når vi bruker algebra til å måle dens egenskaper. Algebraisk geometri studerer løsninger av polynomligninger. Samlingen av løsninger kan være en kontinuerlige kurve eller flate, for eksempel en sirkel, eller danne et diskret hierarki av løsninger.

Mange matematiske strukturer er uforandret under visse gode transformasjoner. I Picasso sine portretter er det to øyne, selv om øynene ikke er der de pleier å være. Antall øyne er invariant under maleren sin pensel. Dette litt banale eksempelet kunne vært en motivisk invariant. Personen er det matematiske objektet vi studerer, og antall øynene er tallet vi er interessert i. I denne avhandlingen studerer vi motiviske invarianter. Det er matematiske strukturer som forblir uendret under de penselstrøkene som er tillatt i motivisk homotopiteori. Vi beregner motiviske invarianter og studerer verktøy som kan brukes for å finne de motiviske invariantene.

De motiviske invariantene vi tar for oss er hermitisk K-teori og algebraisk kobordisme. Hermitisk K-teori studerer løsninger av polynomligninger av grad 2. Algebraisk kobordisme måler hvordan algebraiske kurver og mer generelt høyeredimensjonale flater kan kobles sammen. I avhandlingen beregner vi hermitisk K-teori og algebraisk kobordisme fullstendig for generaliserte heltall. Tidligere var bare noen få spesialtilfeller av disse motiviske invariantene kjent. Vi finner også en kobling mellom invariantene og spesielle verdier av Riemanns zeta-funksjon.

Hovedverktøyet vi bruker for å beregne motiviske invarianter er spektralsekvenser. Spektralsekvenser er en systematisk fremgangsmåte for å dele en invariant opp i mer forståelige biter, og så pusle det sammen til et komplett bilde igjen. Vi benytter to spektralsekvenser, den motiviske Adams spektralsekvensen og slice spektralsekvensen. Spektralsekvensene brukes både som et beregningsverktøy for invarianter, og som interessante objekter å studere i seg selv. Vi finner strukturelle resultater for spektralsekvensene og algebraiske strukturer knyttet til de. Dette generaliserer resultater som tidligere kun var kjent i topologi.

 

For mer informasjon

Kontakt Matematisk institutt

Publisert 1. aug. 2019 15:48 - Sist endret 7. aug. 2019 12:16