WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:12.000 Nå skal vi snakke om en løsningsformel for annengradsligninger. Vi har en annengradsligning ax^2+bx+c=0, 00:00:12.000 --> 00:00:32.200 der a, b og c er tall. Vi må forsikre oss om at a er forskjellig fra 0. 00:00:32.200 --> 00:00:35.000 Hvis a=0, så har vi ikke noen annengradsligning i det hele tatt. NOTE Treffsikkerhet: 68% (MEDIUM) 00:00:36.500 --> 00:00:44.700 Det vi skal finne, er verdier av x som gjør at når vi setter inn for x, NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:00:44.700 --> 00:00:58.800 så holder ligningen. Verdier x1 og x2, sånn at når vi setter inn x1 og x2, så holder ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:01:01.000 --> 00:01:13.700 Når vi kjenner løsningene, kan vi faktorisere annengradsligningen som a(x-x1), 00:01:13.700 --> 00:01:26.900 altså den ene løsningen, ganget med (x-x2), den andre løsningen. x1 og x2 trenger ikke å være forskjellige. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:01:30.100 --> 00:01:42.200 Når vi har helt spesielle a, b og c, kan vi av og til bruke kvadratsetningene. Eller vi kan greie 00:01:42.200 --> 00:01:50.600 å se den faktoriseringen automatisk. Imidlertid er det bare helt spesielle tilfeller. 00:01:50.600 --> 00:01:57.000 Derfor trenger vi en generell løsningsformel. Nå skal jeg gå gjennom hvordan vi kommer fram til den løsningsformelen. 00:01:57.000 --> 00:02:06.000 Det første vi ser, er at a må være forskjellig fra 0. Vi har lov til å dele på a. 00:02:06.000 --> 00:02:24.200 Vi står igjen med x^2 + (b/a)x + c/a. Dette skulle være lik 0. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:02:25.700 --> 00:02:36.900 Nå skal vi gjøre et lite triks. Vi skal bruke kvadratsetningen også. Det trikset vi skal gjøre 00:02:36.900 --> 00:02:44.000 er at vi skal flytte over c/a til andre siden, og så skal vi legge til noe på begge sider av likhetstegnet, 00:02:44.000 --> 00:02:48.250 sånn at vi kan bruke kvadratsetningene baklengs. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:02:48.250 --> 00:02:58.750 La oss først flytte over c/a. Vi får x^2 + (b/a)x NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:02:58.750 --> 00:03:01.399 på venstre side. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:03:01.399 --> 00:03:10.400 Så har vi et lite opprom der. Lager et lite opprom på andre siden også, og så får jeg -c/a. 00:03:10.400 --> 00:03:13.300 NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:03:13.700 --> 00:03:18.600 Hva er det vi må legge til her NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:03:18.600 --> 00:03:24.500 på begge sider av likheten, for at vi skal kunne bruke kvadratsetningene baklengs? NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:03:24.500 --> 00:03:32.500 Hvis vi husker tilbake til kvadratsetningene, så ser vi at hvis vi legger til halvparten 00:03:32.500 --> 00:03:45.500 av koeffisienten foran x opphøyd i annen, da kan vi bruke kvadratsetningen. Altså må vi legge til (b/2a)^2 00:03:45.500 --> 00:03:59.200 på begge sider. Nå vil jeg bare regne ut det som står på venstre side. 00:03:59.200 --> 00:04:08.399 Det er lik b^2 / 4a^2, og så har vi -c/a. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:04:08.399 --> 00:04:12.000 Stakkars lille bamse. NOTE Treffsikkerhet: 66% (MEDIUM) 00:04:14.300 --> 00:04:24.150 Han bare klusser med alt, han. Sånn. Nei, nå får du henge der. Da går vi videre. NOTE Treffsikkerhet: 73% (MEDIUM) 00:04:24.150 --> 00:04:37.500 Her står det ikke noe annet enn (x + b/2a)^2. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:04:39.400 --> 00:04:48.700 På den andre siden kan vi sette dette på felles brøkstrek ved å utvide med 4a 00:04:48.700 --> 00:05:03.200 i det siste leddet. Vi får på høyre side b^2 - 4ac / 4a^2. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:05:08.000 --> 00:05:16.700 Det vi ser nå, er at nå har vi noe opphøyd i annen er lik noe. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:05:16.800 --> 00:05:28.000 For å få bort den opphøyd i annen (for det er x-en vi er ute etter), så kan vi ta rottegn på begge sider. 00:05:28.000 --> 00:05:44.700 Vi får altså x + b/2a er lik +/- og så kvadratroten av alt det som sto på høyre side. 00:05:44.700 --> 00:06:00.900 Nemlig b^2-4ac / 4a^2. Når vi har en kvadratrot av en brøk, så kan vi ta kvadratroten av telleren 00:06:00.900 --> 00:06:08.100 og kvadratroten av nevneren for seg. 00:06:08.100 --> 00:06:17.450 Vi får +/- (roten av b^2-4ac) NOTE Treffsikkerhet: 61% (MEDIUM) 00:06:17.450 --> 00:06:25.800 / (roten av 4)(roten av a^2), nemlig 2a. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:06:26.300 --> 00:06:38.200 Nå er vi bare en bitteliten hårsbredd fra å få x helt alene. Vi bare flytter over b/2a, 00:06:38.200 --> 00:06:45.800 og vi får x er lik NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:06:46.000 --> 00:07:00.300 (-b / 2a) +/- (roten av b^2-4ac) / 2a. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:07:00.600 --> 00:07:12.400 Her har vi fellesnevner 2a i begge ledd, så vi setter det på stor felles brøkstrek. 00:07:12.400 --> 00:07:25.700 Vi får at x = -b +/- (roten av b^2-4ac) / 2a. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:07:26.900 --> 00:07:39.150 Den formelen for løsningene av annengradsligningen, den er ekstremt viktig og veldig mye brukt. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:07:39.150 --> 00:07:44.000 Vi skal se på noen eksempler på bruk av denne. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:07:44.900 --> 00:07:55.400 Nå skal vi se på løsning av annengradsligninger ved hjelp av løsningsformelen vår, den som kalles abc-formelen. 00:07:55.400 --> 00:08:08.650 Hvis vi har x^2-5x+6=0, NOTE Treffsikkerhet: 70% (MEDIUM) 00:08:08.650 --> 00:08:15.100 så ser vi at vår a, den er lik 1. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:08:15.100 --> 00:08:26.900 Her står det egentlig 1x^2. Vår b=-5 = og vår c=6. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:08:26.900 --> 00:08:42.349 Det skal vi nå bruke i den formelen. x er altså lik NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:08:42.349 --> 00:09:10.200 -(-5) +/- (roten av (-5)^2 - 4*1*6) / 2*1. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:09:10.600 --> 00:09:32.100 Det gir oss at x er lik -(-5)=5 +/- (-5)^2=25 og 4*1*6=24. 00:09:32.100 --> 00:09:50.700 Det gir +/- (roten av 25-24) / 2. Nå er 25-24=1, og roten av 1 er 1. 00:09:50.700 --> 00:10:01.550 Her får vi at x = (5 +/- 1) / 2. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:10:01.550 --> 00:10:15.500 Vi får to muligheter for x, nemlig at x = 5+1 = 6/2 = 3, NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:10:15.800 --> 00:10:28.500 eller at x = 5-1 = 4/2 = 2. NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:10:28.500 --> 00:10:33.800 Altså kan vi skrive det uttrykket NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:10:34.400 --> 00:10:47.300 som står til venstre, som a=1 ganget med x minus den ene løsningen, 00:10:47.300 --> 00:10:54.200 ganget med x minus den andre løsningen. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:10:57.400 --> 00:11:06.900 Det var et eksempel på bruk av løsningsformelen for annengradsligninger, abc-formelen. 00:11:06.900 --> 00:11:08.600 Vi skal se på et eksempel til. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:11:08.600 --> 00:11:21.550 Si at vi har 2x^2+4x+2=0. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:11:21.550 --> 00:11:32.400 Da har vi en a=2, en b=4 og en c=2. Setter vi det inn i abc-formelen, 00:11:32.400 --> 00:11:58.100 får vi at x = -4 +/- (roten av 4^2 - 4*2*2) / 2*2. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:12:03.300 --> 00:12:10.900 Under rottegnet har vi 4^2 = 16. 4*2*2 = 16. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:12:10.900 --> 00:12:21.300 Det vil si at det som står under rottegnet, det blir 0. 00:12:21.300 --> 00:12:34.300 Her står vi igjen med -4/4=-1. Det vil si at denne annengradsligningen har bare en løsning, 00:12:34.300 --> 00:12:39.800 nemlig x=-1. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:12:39.800 --> 00:12:56.900 Så kan vi skrive dette uttrykket på faktorisert form. Da bruker vi a=2 ganget med x-(-1), altså (x+1), 00:12:56.900 --> 00:13:01.000 ganget med x+1, altså (x+1)^2.