WEBVTT Kind: captions; language: nb-no

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:00:00.000 --> 00:00:07.600
Derivasjon er et veldig viktig begrep. Det gjør oss i stand til å regne med forandringer,

00:00:07.600 --> 00:00:12.150
og verden er jo full av forandringer. Derivasjon kommer vi ikke så langt uten.

NOTE
Treffsikkerhet: 81% (HØY)

00:00:12.150 --> 00:00:23.100
Noen fenomener forandrer seg imidlertid ikke så ofte, de er konstante. Der er forandringen lik 0.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:00:23.100 --> 00:00:30.100
Andre fenomener kan oppføre seg på denne måten. De har for eksempel en positiv vekst

00:00:30.100 --> 00:00:37.600
som er veldig jevn, en lineær vekst. Da har vi plutselig en forandring, men selve forandringen

00:00:37.600 --> 00:00:39.650
ser vi er konstant.

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:00:39.650 --> 00:00:50.600
Så kan vi også ha andre typer fenomener som da kan variere litt mer, for eksempel noe sånt.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:00:50.800 --> 00:01:00.100
Da må vi begynne å se litt nærmere på forandringen. Vi har en sånn type oppførsel.

00:01:00.100 --> 00:01:08.400
Hvis vi ser her borte, så er forandringen positiv, men så flater den ut. Den blir mindre og mindre,

00:01:08.400 --> 00:01:11.050
og akkurat her oppe er forandringen 0.

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:01:11.050 --> 00:01:18.600
Akkurat som her, hele tida. Så får vi negativ forandring som blir større og større en liten stund,

00:01:18.600 --> 00:01:25.800
og så flater forandringen ut igjen og blir 0, og så øker forandringen igjen.

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:01:25.800 --> 00:01:33.600
Hvordan skal vi klare å regne på den forandringen og sette opp matematiske uttrykk for det

00:01:33.600 --> 00:01:35.650
jeg nå prøvde å si med ord?

NOTE
Treffsikkerhet: 84% (HØY)

00:01:35.650 --> 00:01:44.900
Det vi gjør da, er at vi prøver å tilnærme grafen med linjestykker.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:01:44.900 --> 00:01:53.400
Det betyr at vi trekker tangenten i et punkt. Det er da en rett linje

00:01:53.400 --> 00:02:03.200
som bare skjærer grafen i det punktet, akkurat rundt punktet. Her oppe for eksempel, så har vi da en tangent

00:02:03.200 --> 00:02:10.699
som akkurat skjærer det punktet. Hvis vi ser på stigningstallet til den tangenten,

00:02:10.699 --> 00:02:12.250

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:02:12.250 --> 00:02:20.800
så observerer vi akkurat det samme som det jeg var inne på i stad. Her er det da positivt stigningstall

00:02:20.800 --> 00:02:30.900
på tangenten, ganske stort. Her er det mindre og positivt. Akkurat på toppen vil vi ha null stigning.

00:02:30.900 --> 00:02:39.200
Så får vi negativ stigning og større og større, og mindre og mindre igjen, og null stigning

00:02:39.200 --> 00:02:46.700
og positiv stigning igjen. Nå begynner vi å nærme oss, fordi nå har vi innført rette linjer.

00:02:46.700 --> 00:02:51.600
Rette linjer kan vi ganske mye om, og vi kan begynne nå å regne på ting.

NOTE
Treffsikkerhet: 82% (HØY)

00:02:52.400 --> 00:03:00.500
For å finne forandringen er vi nå enige om at stigningstallet til tangenten,

00:03:00.500 --> 00:03:05.500
det er en nyttig ting å få med seg.

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:03:05.500 --> 00:03:15.400
For å regne ut hva stigningstallet til tangenten er, så tegner vi et litt forstørret bilde.

00:03:15.400 --> 00:03:25.900
Da setter vi grafen til en funksjon inn i et koordinatsystem, og så forstørrer vi opp littegrann.

00:03:25.900 --> 00:03:37.000
Her er er en bit av grafen til funksjonen. Så velger vi oss et punkt. Her er en eller annen spesifikk x-verdi

00:03:37.000 --> 00:03:40.050
som kan variere langs hele linja.

NOTE
Treffsikkerhet: 79% (HØY)

00:03:40.050 --> 00:03:44.300
Det punktet er vi nå veldig interessert i.

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:03:44.300 --> 00:03:52.700
Da har vi f(x) opp på y-aksen.

NOTE
Treffsikkerhet: 79% (HØY)

00:03:53.100 --> 00:03:58.800
Vi skal ha tak i stigningstallet til tangenten i det punktet.

NOTE
Treffsikkerhet: 94% (HØY)

00:03:58.800 --> 00:04:03.000
Hvordan finner vi det?

NOTE
Treffsikkerhet: 94% (HØY)

00:04:04.500 --> 00:04:07.400
Det er en rett linje.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:04:07.900 --> 00:04:16.100
Vi vet at hvis vi kjenner to punkter på en rett linje, så kan vi sette opp ligningen for den linja.

00:04:16.100 --> 00:04:23.300
Vi velger oss et annet punkt. Nå, for tydelighetens skyld, så bare tar vi det punktet et stykke unna.

00:04:23.300 --> 00:04:34.400
Men generelt så er dette bare et lite stykke fra x, bare rett ved siden av x. Denne delta x-en vi legger til, 

00:04:34.400 --> 00:04:36.900
den er egentlig bitteliten.

NOTE
Treffsikkerhet: 64% (MEDIUM)

00:04:36.900 --> 00:04:47.200
Da ser vi på punktet x + delta x, og da er funksjonsverdien f(x + delta x).

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:04:48.000 --> 00:04:52.500
Gjennom de to punktene går det en rett linje.

NOTE
Treffsikkerhet: 84% (HØY)

00:04:54.400 --> 00:05:03.750
Det kalles sekanten. Det er en sekant til grafen til f, som da går gjennom to punkter på grafen.

NOTE
Treffsikkerhet: 85% (HØY)

00:05:03.750 --> 00:05:16.750
Stigningstallet til den sekanten er forskjellen i verdiene

NOTE
Treffsikkerhet: 94% (HØY)

00:05:16.750 --> 00:05:19.350

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:05:19.350 --> 00:05:27.300
til funksjonen, delt på forskjellen i x.

NOTE
Treffsikkerhet: 93% (HØY)

00:05:31.000 --> 00:05:34.600
Det er stigningstallet til denne linja.

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:05:34.600 --> 00:05:39.800
Men det er jo ikke den linja vi interessert i, vi skulle ha stigningstallet til den linja.

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:05:39.800 --> 00:05:43.150
Den går bare gjennom det punktet.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:05:43.150 --> 00:05:51.800
Hvordan vi løser det matematisk, er at vi da gjør en såkalt grenseprosess. Vi tar dette punktet her,

00:05:51.800 --> 00:05:59.900
og så flytter vi det langs grafen til funksjonen, til vi nærmer oss dette punktet her.

00:05:59.900 --> 00:06:10.000
Matematisk skriver vi det med en lim. Da tar vi lim av dette uttrykket,

00:06:10.000 --> 00:06:19.900
som er stigningstallet til sekanten delt på delta x (fordi vi har x-x), og så lar vi altså

00:06:19.900 --> 00:06:26.799
delta x gå mot 0. Vi lar denne avstanden går mot 0, da flytter vi dette punktet nedover.

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:06:26.799 --> 00:06:35.000
Hvis denne grenseverdien eksisterer, det vil si at dette blir et tall, så kaller vi denne grenseverdien

00:06:35.000 --> 00:06:37.900
for den deriverte til f(x) i punktet x,

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:06:38.000 --> 00:06:47.000
som vi skriver f'(x). Det er definisjonen på

00:06:47.000 --> 00:06:49.500
den deriverte funksjonen til f(x).

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:06:51.500 --> 00:07:00.200
Ut fra denne definisjonen kan vi skrive opp en del regler for hvordan vi skal derivere ulike funksjoner.

00:07:00.200 --> 00:07:07.900
Det gjør oss i stand til å regne ut hvordan ulike fenomener forandrer seg.

00:07:07.900 --> 00:07:16.600
Det skal vi se litt mer på nå. Ja, derivasjonsdefinisjonen som vi nettopp hadde her nede,

00:07:16.600 --> 00:07:22.300
den bruker vi ikke så mye når vi skal regne med selve derivering. Men den er veldig viktig,

00:07:22.300 --> 00:07:30.200
fordi det er den som gjør at vi da kan skrive opp disse reglene som nå kommer. For eksempel har vi at

00:07:30.200 --> 00:07:35.050
når vi deriverer en konstant, så får vi 0.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:07:35.050 --> 00:07:47.000
Nå er a en konstant, det var det vi så i begynnelsen. Hvis vi tar x og opphøyer i et reelt tall

00:07:47.000 --> 00:07:57.900
og deriverer det, så får vi at det er det samme som er r * x opphøyd i (r-1). Vi trekker fra 1

00:07:57.900 --> 00:08:11.300
i eksponenten, og flytter eksponenten herfra og ned foran. Så har vi også eksponentialfunksjoner. 

00:08:11.300 --> 00:08:20.200
Når vi deriverer disse, får vi eksponentialfunksjonen tilbake sammen med en konstant som heter ln a.

00:08:20.200 --> 00:08:23.200
Vi antar at grunntallet er større enn 0.

NOTE
Treffsikkerhet: 78% (HØY)

00:08:23.200 --> 00:08:33.799
Det gjør jo da at e^x er vår favoritteksponentialfunksjon, fordi ln e = 1.

00:08:33.799 --> 00:08:35.799
Dette er bare e^x. 

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:08:36.200 --> 00:08:47.100
Så har vi den deriverte av ln, som er 1/x. Her må vi også huske at x alltid er større enn 0

00:08:47.100 --> 00:08:50.300
for at ln skal være definert.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:08:50.300 --> 00:08:54.450
Det er noen av de kjente funksjonene.

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:08:54.450 --> 00:09:03.300
Så har vi da derivasjonsregler for hvordan vi kan derivere produkter, summer osv.

00:09:03.300 --> 00:09:15.700
Hvis vi ganger en funksjon med en konstant og deriverer, er det det samme som å gange konstanten

00:09:15.700 --> 00:09:24.700
med den deriverte funksjonen. Konstanter setter vi utenfor når vi deriverer. Hvis vi summerer to funksjoner,

00:09:24.700 --> 00:09:34.200
det er en operasjonen vi er kjent med. Det er bare å summere de deriverte funksjonene,

00:09:34.200 --> 00:09:38.050
og tilsvarende når vi tar en differanse.

NOTE
Treffsikkerhet: 75% (MEDIUM)

00:09:38.050 --> 00:09:44.750
Når vi imidlertid tar et produkt av to funksjoner,

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:09:44.750 --> 00:09:50.800
så kommer det en litt spesiell regel inn. Men det er ikke noe magi i denne regelen, den kommer fra 

00:09:50.800 --> 00:09:58.800
den definisjonen som vi skrev opp her nede i stad. Den regelen sier at vi skal beholde den første funksjonen

00:09:58.800 --> 00:10:05.000
og gange med den deriverte av den andre. Så skal vi derivere den første funksjonen

00:10:05.000 --> 00:10:07.700
og gange med den andre.

NOTE
Treffsikkerhet: 81% (HØY)

00:10:07.800 --> 00:10:18.900
Så kommer det en tilsvarende rar regel for kvotienter av funksjoner. Da antar vi

00:10:18.900 --> 00:10:19.800
at g(x) er forskjellig fra 0.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:10:19.800 --> 00:10:30.900
Den sier at vi skal først starte med nevnerfunksjonen, og så gange med den deriverte av telleren.

00:10:30.900 --> 00:10:40.200
Så skal vi beholde telleren, og gange med den deriverte av nevneren. Så skal vi dele på nevneren i annen. 

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:10:43.200 --> 00:10:49.400
Det er veldig lurt å lage deres egne huskeregler for hvordan dere skal huske de to reglene,

00:10:49.400 --> 00:10:51.500
for de er veldig kjekke å kunne.

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:10:51.500 --> 00:11:03.500
Så har vi det å sette sammen funksjoner. Hvis h(x) = f(g(x)),

00:11:03.500 --> 00:11:11.099
da har vi satt sammen f(x) og g(x). g(x) har blitt en variabel i en annen funksjon.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:11:11.099 --> 00:11:24.700
Da er den deriverte til den sammensatte funksjonen, den deriverte av f(x) med hensyn på g(x).

00:11:24.700 --> 00:11:34.250
Så ganger vi med den deriverte av g(x). Dette kalles kjerneregelen, og vi tenker da på g(x) som en kjerne.

NOTE
Treffsikkerhet: 84% (HØY)

00:11:34.250 --> 00:11:38.900
Dette er kvotientregelen, og dette er produktregelen.

NOTE
Treffsikkerhet: 82% (HØY)

00:11:39.700 --> 00:11:52.300
La oss ta et par eksempler. Hvis vi for eksempel tar f(x)=xe^x.

NOTE
Treffsikkerhet: 85% (HØY)

00:11:52.300 --> 00:12:01.800
Vi skal derivere den. Det første vi gjør er å finne ut: er dette et produkt, en sum eller en sammensatt funksjon?

NOTE
Treffsikkerhet: 72% (MEDIUM)

00:12:01.800 --> 00:12:08.050
Denne ser vi er satt sammen av de elementære funksjonene x og e^x. 

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:12:08.050 --> 00:12:13.349
Så det er et produkt, og da er det produktregelen.

NOTE
Treffsikkerhet: 94% (HØY)

00:12:13.349 --> 00:12:17.000
Vi følger hva den sier.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:12:17.000 --> 00:12:28.200
Da får vi f'(x) er lik-- vi beholder den første som er x, og så deriverer vi e^x som er e^x.

00:12:28.200 --> 00:12:41.400
Så deriverer vi x som er 1, det er den regelen. Så får vi 1* og beholder e^x, som er e^x.

NOTE
Treffsikkerhet: 94% (HØY)

00:12:41.400 --> 00:12:53.000
Det er den deriverte funksjonen til den. Denne funksjonen forteller oss hvordan denne funksjonen forandrer seg.

NOTE
Treffsikkerhet: 93% (HØY)

00:12:53.600 --> 00:13:07.300
Så kan vi ta et eksempel til. Vi er glad i eksponentialfunksjoner, men nå har vi

00:13:07.300 --> 00:13:09.500
fått x^2 i eksponenten.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:13:09.500 --> 00:13:17.700
Nå spør vi igjen: hva slags funksjon er dette? Er det et produkt, en sum eller en sammensatt funksjon?

00:13:17.700 --> 00:13:18.550

NOTE
Treffsikkerhet: 85% (HØY)

00:13:18.550 --> 00:13:26.600
Nå ser vi at denne her er satt sammen av en eksponentialfunksjon og en kvadratisk funksjon.

00:13:26.600 --> 00:13:31.200
x^2 er bakt inn som en variabel i eksponentialfunksjonen,

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:13:31.200 --> 00:13:33.900
og det betyr kjerneregelen.

NOTE
Treffsikkerhet: 81% (HØY)

00:13:33.900 --> 00:13:36.100
Det er den regelen her. 

NOTE
Treffsikkerhet: 57% (MEDIUM)

00:13:36.100 --> 00:13:42.450
Her er g(x) lik x^2, og f(x) er e^x.

NOTE
Treffsikkerhet: 81% (HØY)

00:13:42.450 --> 00:13:49.100
Da skal vi først derivere eksponentialfunksjonen, den ytterste funksjonen,

00:13:49.100 --> 00:13:53.300
med hensyn på kjernen. Så skal vi derivere kjernen til slutt.

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:13:53.300 --> 00:14:02.350
Det betyr at den deriverte funksjonen blir da å derivere e^(x^2)

NOTE
Treffsikkerhet: 82% (HØY)

00:14:02.350 --> 00:14:12.500
som en eksponentialfunksjon, vi bare beholder x^2. Dette får vi nå fordi den deriverte av e^x er e^x.

00:14:12.500 --> 00:14:23.950
Så ganger vi med den deriverte av x^2 og det er 2x, som er den regelen her oppe. Vi flytter 2-tallet ned og trekker fra 1.

NOTE
Treffsikkerhet: 61% (MEDIUM)

00:14:23.950 --> 00:14:33.900
Da har vi fått en funksjon som forteller oss hvordan denne funksjonen forandrer seg.

NOTE
Treffsikkerhet: 67% (MEDIUM)

00:14:33.900 --> 00:14:43.600
Så tar vi med 3x*e^2x.

NOTE
Treffsikkerhet: 38% (LAV)

00:14:45.500 --> 00:14:47.600

NOTE
Treffsikkerhet: 79% (HØY)

00:14:47.600 --> 00:14:52.400
Igjen: er dette et produkt, en sum eller en sammensatt funksjon?

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:14:52.400 --> 00:15:00.700
Her har vi et 3-tall, konstant funksjon. En x, lineær funksjon.

00:15:00.700 --> 00:15:08.900
En eksponentialfunksjon og noe mer enn bare x i variabelen. Denne siste her er til og med også satt sammen.

00:15:08.900 --> 00:15:18.150
Vi har et produkt der den siste funksjonen er en sammensatt funksjon av e og 2x.

NOTE
Treffsikkerhet: 70% (MEDIUM)

00:15:18.150 --> 00:15:21.100
Når vi skal derivere den, 

NOTE
Treffsikkerhet: 70% (MEDIUM)

00:15:23.200 --> 00:15:25.300

NOTE
Treffsikkerhet: 94% (HØY)

00:15:25.300 --> 00:15:29.350
må vi først ta at dette her er et produkt 

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:15:29.350 --> 00:15:32.600
og så bruke kjerneregelen.

NOTE
Treffsikkerhet: 70% (MEDIUM)

00:15:32.600 --> 00:15:44.550
3-tallet setter vi utenfor. Konstanter kan settes ut, og så konsentrerer vi oss om produktet xe^2x.

NOTE
Treffsikkerhet: 80% (HØY)

00:15:44.550 --> 00:15:50.849
Da beholder vi x og deriverer e^2x,

NOTE
Treffsikkerhet: 45% (LAV)

00:15:50.849 --> 00:15:55.150
deriverer x og beholder e^2x.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:15:55.150 --> 00:16:06.400
Beholder x og deriverer e^2x. Den var sammensatt, så da må vi inn med kjerneregelen.

00:16:06.400 --> 00:16:14.700
Først deriverer vi e^2x med hensyn på e. Da bare beholder vi den, fordi den deriverte av e^x er e^x. 

00:16:14.700 --> 00:16:26.050
Så må vi huske på å gange med den deriverte til kjernen. Så deriverer vi x som er 1 og beholder e^2x.

NOTE
Treffsikkerhet: 50% (MEDIUM)

00:16:26.050 --> 00:16:28.600
Nå er vi ferdig.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:16:28.600 --> 00:16:36.000
Da har vi derivert produktet og brukt kjerneregelen inni her. Så kan vi kanskje også faktorisere ut e^2x,

00:16:36.000 --> 00:16:47.950
så blir svaret pent. Da får vi 2x+1.

NOTE
Treffsikkerhet: 79% (HØY)

00:16:47.950 --> 00:16:54.200
Den funksjonen sier oss nå hvordan denne funksjonen her borte forandrer seg.

NOTE
Treffsikkerhet: 94% (HØY)

00:16:54.700 --> 00:17:03.900
Alle disse reglene her er veldig nyttige å kunne. Kanskje litt ekstra spesielt er produktregelen og kjerneregelen.

00:17:03.900 --> 00:17:07.200