WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:08.900 Vi skal nå snakke litt om funksjoner. En funksjon er en regel som til ethvert element i en mengde 00:00:08.900 --> 00:00:17.200 gir oss ett og bare ett element i en annen mengde. Det er fine ord, så la oss tegne litt. Vi har en mengde 00:00:17.200 --> 00:00:30.500 og en annen mengde med noen elementer i hver. En funksjon er altså en regel 00:00:30.500 --> 00:00:40.000 som til hvert av disse elementene, gir oss ett og bare ett element NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:40.000 --> 00:00:49.500 i den andre mengden. Det kan godt hende at flere elementer går på det samme elementet her nede, NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:00:49.500 --> 00:00:55.600 men det er ikke sånn at det samme elementet kan gå på flere her nede. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:00:55.600 --> 00:01:03.650 Alle elementene her oppe blir da tilordnet et eller annet her nede. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:01:03.650 --> 00:01:11.700 Som navn på funksjoner, så har vi veldig ofte f. Men den kan jo godt hete r og den kan hete s, 00:01:11.700 --> 00:01:16.700 t til og med, u osv. NOTE Treffsikkerhet: 57% (MEDIUM) 00:01:16.700 --> 00:01:18.600 Forskjellige navn. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:01:18.600 --> 00:01:27.500 Vi kommer gjerne til å bruke veldig ofte f. Vi skal se på funksjoner i en variabel, ofte kalt x. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:01:27.500 --> 00:01:34.200 Denne mengden her kalles definisjonsmengden til funksjonen. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:01:34.200 --> 00:01:44.400 I matematikk får vi veldig ofte gitt et uttrykk for denne funksjonen vår. For eksempel at f(x)=2x. 00:01:44.400 --> 00:01:54.200 Det betyr at vi kan sette inn x-verdier og så får vi ut f(x)-verdier ved å gange 00:01:54.200 --> 00:01:55.650 den x-verdien med 2. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:01:55.650 --> 00:02:04.600 I dette tilfellet kan vi faktisk sette inn alle reelle tall. Mengden vår består av 00:02:04.600 --> 00:02:09.699 uendelig mange elementer, alle de reelle tallene. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:02:10.300 --> 00:02:18.700 Når vi da setter inn et reelt tall, får vi ut et nytt reelt tall. Mengden vi går inn i, 00:02:18.700 --> 00:02:35.400 det er også de reelle tallene i dette tilfellet. Her er 0, 1, 2 osv. Så 0 for eksempel, 0*2=0. 0 vil sendes på 0. NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:02:35.400 --> 00:02:43.600 1 vil sendes på 1*2, så 1 sendes på 2. NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:02:44.700 --> 00:02:55.200 Vi kan ha 1/2. 1/2*2 vil sendes på 1 osv, også for de negative tallene. 00:02:55.200 --> 00:02:56.700 For alle reelle tall. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:02:56.700 --> 00:03:00.500 pi vil sendes på 2pi for eksempel. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:03:00.500 --> 00:03:08.600 Da ser vi at i dette tilfellet er definisjonsmengden hele R. Definisjonsmengden, litt mer generelt, 00:03:08.600 --> 00:03:16.500 er alle de x-ene vi kan sette inn i uttrykket sånn at uttrykket gir mening. 00:03:16.500 --> 00:03:18.950 Dette uttrykket gir mening for alle reelle tall. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:03:18.950 --> 00:03:28.100 Vi kan ofte danne oss et bilde, et annet type bilde enn dette her, av en funksjon. Da tegner vi grafen 00:03:28.100 --> 00:03:46.400 til en funksjon, og det er mengden av alle punktene (x, f(x)). For grafen 2x vet vi at det gir oss 00:03:46.400 --> 00:04:00.400 en rett linje gjennom origo med stigningstall 2. Alle punktene som ligger på denne linja, 00:04:00.400 --> 00:04:06.750 det er akkurat disse punktene her. Denne linja kalles grafen til f. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:04:06.750 --> 00:04:16.000 Dette her er jo en veldig pen oppførsel. Det er mange fenomener som oppfører seg lineært. 00:04:16.000 --> 00:04:26.500 Vi kan også ha mange andre typer funksjoner, det er veldig kjekt å ha. En veldig viktig funksjon er e^x. 00:04:26.500 --> 00:04:28.550 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:04:28.550 --> 00:04:38.900 Da kan vi sette inn x-er. De verdiene vi får, det er e opphøyd i x. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:04:38.900 --> 00:04:44.900 For å få et bilde av den funksjonen, NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:04:44.900 --> 00:04:52.700 så ser den noe sånt ut. Det er jo en helt annen oppførsel enn den oppførselen her. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:04:53.000 --> 00:05:06.300 Også en annen viktig funksjon er ln x. Den oppfører seg igjen litt annerledes. NOTE Treffsikkerhet: 58% (MEDIUM) 00:05:06.300 --> 00:05:11.299 Den kommer nedenifra her og så går den ut sånn. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:05:11.299 --> 00:05:15.549 Når vi setter inn x-er får vi ln x, NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:05:15.549 --> 00:05:18.600 en ny type oppførsel. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:05:18.900 --> 00:05:28.000 Nå har vi sett noen eksempler allerede på såkalt grunnleggende, elementære funksjoner. 00:05:28.000 --> 00:05:37.600 Dette er et eksempel på eksponentialfunksjoner, som er på formen ab^x. De heter eksponentialfunksjoner 00:05:37.600 --> 00:05:45.250 fordi x-en står oppi eksponenten. Grunntallet er gjerne større enn 0. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:05:45.250 --> 00:05:57.500 Her har vi et eksempel på logaritmefunksjoner, som er på formen et tall * logaritmen med grunntall b. 00:05:57.500 --> 00:06:01.450 Grunntallet er større enn 0. NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:06:01.450 --> 00:06:11.000 I dette tilfellet er b=e. Grunntallet til ln er e. log e er det samme som ln. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:06:11.000 --> 00:06:19.300 Dette er jo en lineær funksjon, men vi kan godt si at det er en potensfunksjon. 00:06:19.300 --> 00:06:27.000 Det er ax opphøyd i en b. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:06:27.400 --> 00:06:36.000 Nå heter det potensfunksjon fordi nå står x-en nede, og så ser vi på potenser av x. 00:06:36.000 --> 00:06:42.700 I dette tilfellet har vi bare første potens, så a=2 og b=1 i det tilfellet der. NOTE Treffsikkerhet: 73% (MEDIUM) 00:06:43.100 --> 00:06:47.549 Når det gjelder definisjonsmengdene NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:06:47.549 --> 00:06:57.200 for eksponentialfunksjoner, så kan vi sette inn alle mulige x-er. Definisjonsmengden er hele R. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:06:57.200 --> 00:07:08.000 For logaritmefunksjoner må x være større enn 0. Akkurat i dette tilfellet 00:07:08.000 --> 00:07:16.100 ser vi at grafen ikke er på venstre side av y-aksen. Her er definisjonsmengden alle positive x. 00:07:16.100 --> 00:07:18.150 NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:07:18.150 --> 00:07:26.000 Her borte vil faktisk definisjonsmengden variere litt med b, blant annet fordi vi ikke kan 00:07:26.000 --> 00:07:29.500 ta partallsrøtter av negative tall. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:07:32.200 --> 00:07:39.400 Når vi har noen av disse elementære funksjonene på tavla, så kan vi lage oss alle mulige rare funksjoner 00:07:39.400 --> 00:07:44.100 som oppfører seg enda mer annerledes enn disse igjen. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:07:44.100 --> 00:08:00.500 Vi kan ta summer, vi kan ta produkt og lignende av disse funksjonene. For eksempel e^x + 2x, 00:08:00.500 --> 00:08:06.500 det gir jo en ny funksjon. Da har vi en sum av en eksponentialfunksjon og en potensfunksjon. 00:08:06.500 --> 00:08:17.800 Vi kan ta produktet av dem, differansen og vi kan se på kvotienten av dem. Men kanskje enda viktigere 00:08:17.800 --> 00:08:32.450 er en ny type operasjon som vi ikke er så vant til, det er å sette sammen funksjoner. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:08:32.450 --> 00:08:43.000 For eksempel kan vi sette sammen eksponentialfunksjonen med en lineær funksjon. Det betyr altså at 00:08:43.000 --> 00:08:50.700 den lineære funksjonen er bakt inn i eksponentialfunksjonen. Vi ser på den lineære funksjonen som en variabel 00:08:50.700 --> 00:09:01.400 i eksponentialfunksjonen. Vi kan også ha ln(e^x). NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:09:01.400 --> 00:09:09.900 Det er en sammensatt funksjon der e^x fungerer som en variabel i ln-funksjonen. Vi har satt sammen ln og e^x. 00:09:09.900 --> 00:09:19.700 Akkurat i dette tilfellet er det litt morsomt, for dette blir den lineære funksjonen x. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:09:19.700 --> 00:09:30.000 Det er veldig viktig å tenke litt over forskjellen på en sammensatt funksjon og et produkt, eller en sum. 00:09:30.000 --> 00:09:32.600