WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:08.100 Nå skal vi snakke om kvadratsetningene. Det er enkle formler for uttrykk opphøyd i annen. 00:00:08.100 --> 00:00:12.500 Den første kvadratsetningen NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:12.500 --> 00:00:25.200 gir oss en formel for (a+b)^2. Hva er det for noe? Det er ikke noe annet 00:00:25.200 --> 00:00:37.000 enn (a+b)(a+b). Vi skal gange sammen to parenteser. Hvordan gjør vi det? 00:00:37.000 --> 00:00:45.550 Vi tar hvert ledd i den summen, og ganger med hvert av leddene i den andre parentesen. NOTE Treffsikkerhet: 73% (MEDIUM) 00:00:45.550 --> 00:00:54.500 Vi får aa + ab + ba + bb. NOTE Treffsikkerhet: 71% (MEDIUM) 00:00:56.900 --> 00:01:05.200 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:01:08.700 --> 00:01:22.500 Trekker vi dette sammen, så ser vi at vi får a^2 + ab + ba. Men her kan vi bare snu, 00:01:22.500 --> 00:01:37.500 fordi å gange er kommutativt. Vi får 2ab + b^2. Det er første kvadratsetning. Det uttrykket er lik 00:01:37.500 --> 00:01:39.200 det uttrykket. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:01:42.600 --> 00:01:51.300 Denne er det veldig nyttig å kunne bruke begge veier. Husk det, det kan brukes begge veier. Vi skal nå se 00:01:51.300 --> 00:01:57.900 på en geometrisk utledning av kvadratsetningen. Da kan vi jo begynne med et kvadrat, siden vi jobber 00:01:57.900 --> 00:02:04.800 med kvadratsetningen. Altså en firkant der alle sider er like lange. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:02:10.500 --> 00:02:18.250 Hvis vi nå deler inn den på en litt finurlig måte. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:02:18.250 --> 00:02:22.800 Hvis vi for eksempel trekker NOTE Treffsikkerhet: 60% (MEDIUM) 00:02:23.800 --> 00:02:27.400 en strek ned der, NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:02:27.800 --> 00:02:33.150 og lar den være like lang som den. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:02:33.150 --> 00:02:38.600 Trekker en strek bort der. NOTE Treffsikkerhet: 60% (MEDIUM) 00:02:38.600 --> 00:02:42.899 Hvis vi sier at den lengden var b NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:02:42.899 --> 00:02:47.450 og den lengden var b, for de var jo like lange. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:02:47.450 --> 00:02:56.100 Så kaller vi den for a og den for a. De må også være like lange, siden vi startet med et kvadrat. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:02:56.400 --> 00:03:07.900 Så kan vi se litt på arealene her nå. Vi har fire firkanter. To av dem er kvadrater, der er alle sidene 00:03:07.900 --> 00:03:11.300 er like lange. To av dem er rektangler. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:03:11.300 --> 00:03:22.950 Hvis vi ser på arealet av den lille her nå, så ser vi at den har sidekanter b og b. Arealet er altså b^2. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:03:22.950 --> 00:03:33.300 Ser vi på det store kvadratet her, så har det sidekanter a. Arealet av den er a^2. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:03:33.300 --> 00:03:41.750 De to rektangelene her, de har sidekanter b og a, NOTE Treffsikkerhet: 70% (MEDIUM) 00:03:41.750 --> 00:03:44.650 b og a. NOTE Treffsikkerhet: 73% (MEDIUM) 00:03:44.650 --> 00:03:50.200 De har begge areal ab. NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:03:51.500 --> 00:04:00.200 Hvis nå legger sammen disse arealene, så ser vi at det dekker hele det opprinnelige kvadratet. 00:04:00.200 --> 00:04:07.800 a^2 + b^2 + 2ab, altså det vi har der. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:04:08.100 --> 00:04:14.450 Men hva er arealet av hele kvadratet? NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:04:14.450 --> 00:04:20.500 Det er et kvadrat med sidelengde a+b. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:04:20.600 --> 00:04:27.000 Så det er (a+b)(a+b), altså (a+b)^2. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:04:32.100 --> 00:04:37.600 Vi kan gå over til de neste kvadratsetningene. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:04:37.600 --> 00:04:40.900 Andre kvadratsetning er (a-c)^2. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:04:40.900 --> 00:04:56.800 Den kan vi utlede fra den første. Vi kan skrive dette her som (a+(-c))^2. 00:04:56.800 --> 00:05:02.300 NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:05:03.000 --> 00:05:09.700 Da får vi at dette er lik, ved å bruke den formelen der, NOTE Treffsikkerhet: 65% (MEDIUM) 00:05:09.700 --> 00:05:16.600 a^2 + 2a-- NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:05:16.700 --> 00:05:26.300 her hadde vi *b, men nå er det -c som har rollen til b. (-c) + b^2, det vil si 00:05:26.300 --> 00:05:30.900 + (-c)^2. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:05:31.000 --> 00:05:56.800 Vi ser at vi får a^2. Her får vi -2ac. Minus og minus gir pluss, så vi får +c^2. (a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2. 00:05:56.800 --> 00:06:03.200 Vi har en tredje kvadratsetning også. Vi kaller den vanligvis konjugatsetningen, for den har ikke 00:06:03.200 --> 00:06:17.100 noe med et kvadrat å gjøre. Den er imidlertid et produkt hvor vi ganger sammen (a+d)(a-d). NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:06:18.400 --> 00:06:28.800 Når vi ganger sammen de parentesene, så gjør vi det samme som før. Vi får aa + a(-d) 00:06:28.800 --> 00:06:47.250 + da + (-d)(-d). Ble nesten plass til den siste parentesen. NOTE Treffsikkerhet: 71% (MEDIUM) 00:06:47.250 --> 00:07:01.900 Regner vi sammen det, så får vi a^2 - ad + ad - d^2. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:02.300 --> 00:07:13.300 Da ser dere at de to midterste leddene, de kansellerer hverandre. Vi står igjen med a^2 - d^2. 00:07:13.300 --> 00:07:15.400 NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:07:18.100 --> 00:07:27.000 Bare for å ha sagt det en gang til, disse tre setningene er veldig viktig å kunne bruke. Ikke bare en vei, 00:07:27.000 --> 00:07:28.300 men begge. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:07:29.100 --> 00:07:39.800 Nå skal vi se på noen eksempler på bruk av kvadratsetningene. Hvis vi ønsker å regne ut (2+3x)^2, 00:07:39.800 --> 00:07:51.799 så ser vi at her kan vi bruke første kvadratsetning NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:07:51.799 --> 00:07:57.299 med 2 i rollen som a og 3x i rollen som b. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:07:57.299 --> 00:08:24.100 Det vil si at dette er lik a^2, det blir 2^2. + 2ab, 2*2*3x. Til slutt +b^2, det vil si (3x)^2. NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:08:28.900 --> 00:08:46.600 2^2=4. 2*2*3=12, +12x. Til sist 3^2 * x^2, det vil si 9x^2. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:08:51.600 --> 00:08:54.500 Det var det første eksempelet. NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:08:54.500 --> 00:08:57.300 Så til eksempel 2. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:08:57.300 --> 00:09:14.800 La oss se på (x - 1/2y)^2. Her har vi den andre kvadratsetningen med x i rollen som a 00:09:14.800 --> 00:09:19.200 og 1/2y i rollen som c. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:09:19.400 --> 00:09:37.100 Her skal vi få dette til å bli lik a^2, det vil si x^2. -2ac, -2*x*1/2y. 00:09:37.100 --> 00:09:46.300 Til slutt +c^2, +(1/2y)^2. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:09:51.500 --> 00:09:56.800 La meg sette den streken, det har jeg hatt lyst til lenge. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:09:59.900 --> 00:10:13.200 Vi trekker sammen dette her. Vi får x^2. Så får vi -2*1/2, det vil si -1, *xy som er -xy. 00:10:13.200 --> 00:10:24.900 Til slutt får vi +(1/2*y)^2. (1/2)^2=1/4. Vi får +1/4y^2. 00:10:24.900 --> 00:10:27.400 NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:10:30.100 --> 00:10:35.600 Et tredje eksempel for bruk av kvadratsetningene. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:10:36.400 --> 00:10:47.500 Det er kanskje litt mer overraskende at vi nå kan bruke dem. 3x^2 - 1. Oppgaven vår er 00:10:47.500 --> 00:10:49.900 å faktorisere dette uttrykket. NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:10:49.900 --> 00:10:54.600 Kan vi bruke noen av kvadratsetningene her da? NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:10:57.000 --> 00:11:05.300 Vi kan faktisk det. Hvis vi bruker den tredje, altså konjugatsetningen. Hvis vi skriver nå om dette, 00:11:05.300 --> 00:11:14.600 så vil det kanskje bli mer opplagt. Hvis vi skriver om det til (roten av 3*x)^2, 00:11:14.600 --> 00:11:21.200 så er dere enig i at det er 3x^2 hvis vi regner det ut. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:11:21.200 --> 00:11:26.100 1 er det samme som 1^2. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:11:26.200 --> 00:11:35.200 Nå begynner vi å se at vi har kommet på denne formen. Vi har roten av 3*x i rollen som a 00:11:35.200 --> 00:11:39.300 og 1 i rollen som d. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:11:39.400 --> 00:11:55.600 Hvis vi nå bruker regel nr. 3 baklengs, så har vi at dette er lik (roten av 3*x + 1) 00:11:55.600 --> 00:12:09.200 ganget med (roten av 3*x - 1). Det er et typisk eksempel på hvor nyttige kvadratsetningene 00:12:09.200 --> 00:12:11.300 er å bruke baklengs.