WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:06.700 Her kommer noen tips og poenger som er verdt å merke seg når det gjelder å løse likninger. 00:00:06.700 --> 00:00:14.300 Vi skal se på ligninger i en variabel x. Da vil en ligning være en sammenheng mellom to uttrykk i x. 00:00:14.300 --> 00:00:18.850 De to uttrykkene er satt lik hverandre. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:00:18.850 --> 00:00:28.100 Likhetstegnet er veldig viktig i matematikken. Vi kan ha lineære likninger 00:00:28.100 --> 00:00:38.300 sånn som -2x+3 = 4-x. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:38.300 --> 00:00:47.000 De forskjellige typene ligninger får navn etter hva slags uttrykk x-ene er bakt inn i. 00:00:47.000 --> 00:00:54.900 Her ser vi at x er ganget med -2, altså da en skalar. Så plusser vi også på en konstant (eller en skalar). 00:00:54.900 --> 00:01:01.700 Tilsvarende på andre sida. Begge disse uttrykkene er lineære uttrykk i x. 00:01:01.700 --> 00:01:03.849 Vi får en lineær ligning. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:01:03.849 --> 00:01:12.700 Så sier ligningen at disse to uttrykkene skal være like hverandre. Hvilke x er det 00:01:12.700 --> 00:01:16.800 som da oppfyller den strenge likheten? NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:01:16.800 --> 00:01:24.700 For å løse likninger, så skal vi finne x. Det betyr at vi må gjøre en del operasjoner 00:01:24.700 --> 00:01:31.400 for å kunne stå igjen med "x er lik" til slutt. Da er vi ferdig med å løse dette problemet. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:31.400 --> 00:01:41.000 Hvordan kommer vi fram til at x er lik? Jo, i dette tilfellet må vi samle x-ene på den ene sida 00:01:41.000 --> 00:02:01.300 og konstantleddene på den andre siden. For å få x-en dit, kan vi plusse på x på hver side. Alle operasjoner må gjøres sånn at likhetstegnet beholdes. 00:02:01.300 --> 00:02:06.850 Da får vi ikke noe x lenger på denne sida, for nå har vi lagt den til på den andre sida isteden. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:02:06.850 --> 00:02:16.100 Disse to ligningene er fortsatt like. De er oppfylt for samme x. Da kan vi trekke sammen de to x-ene 00:02:16.100 --> 00:02:27.000 og få -x+3 = 4. Så vil vi ha x alene. Da må vi trekke fra 3 på den sida, 00:02:27.000 --> 00:02:37.750 og da må vi gjøre det samme på den andre sida for å bevare likheten. Da får vi at -x=1. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:02:37.750 --> 00:02:47.000 For å stå igjen med x alene til slutt, må vi da skifte fortegn eller dele på -1. 00:02:47.000 --> 00:02:58.000 Da får vi at x=-1. Det er det eneste tallet i verden som passer inn og som oppfyller 00:02:58.000 --> 00:03:08.200 akkurat denne likheten. Den gjør at -2*(-1) + 3. Det blir 2+3=5, og 4-(-1)=5. 00:03:08.200 --> 00:03:09.500 NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:03:09.500 --> 00:03:13.300 Da har vi løst den ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:03:13.300 --> 00:03:28.300 Så kan vi ha for eksempel rasjonale likninger. Sånn som 3 / x-1 = 6/x. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:03:29.000 --> 00:03:36.000 Nå har vi fått et nytt navn på ligningen, fordi nå har vi fått uttrykk for x ned i en nevner. 00:03:36.000 --> 00:03:44.800 Rasjonale uttrykk er brøker. Hvis vi har noen x-er i nevneren, så får vi 00:03:44.800 --> 00:03:46.300 en rasjonal ligning. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:03:46.300 --> 00:03:54.700 Vi skal løse den ligningen, finne de x-ene som passer inn og som da gjør at den likheten er oppfylt. 00:03:54.700 --> 00:03:56.100 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:03:56.900 --> 00:04:04.100 Siden vi nå har gått over til brøker, så er det alltid en ting vi må passe på. Det er at nevneren 00:04:04.100 --> 00:04:12.200 må være forskjellig fra 0. For å regne videre nå, så må vi anta at x er forskjellig fra 1. 00:04:12.200 --> 00:04:22.400 Da er den nevneren forskjellig fra 0. Og at x er forskjellig fra 0, for da er den nevneren forskjellig fra 0. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:04:22.400 --> 00:04:28.950 Hvis vi regner med alle tallene forskjellig fra 1 og 0, NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:04:28.950 --> 00:04:31.299 så kan vi fortsette å regne. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:04:31.299 --> 00:04:39.800 Da må vi prøve akkurat samme tankegang som her borte. Vi skal ende opp med x lik et eller annet. 00:04:39.800 --> 00:04:47.200 Vi må bare manipulere litt på uttrykket. Vi begynner med å gange opp med x på hver side. 00:04:47.200 --> 00:04:58.600 Da får vi kvittet oss med den nevneren. Hvis vi ganger opp med x på begge sider, så har vi kvittet oss med den x-en. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:04:58.600 --> 00:05:07.000 Da har den dukket opp der isteden. Det betyr at vi har 3x / x-1 = 6. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:05:07.900 --> 00:05:15.500 Så vil vi kvitte oss med den andre nevneren, så da ganger vi med x-1 på begge sider. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:05:20.000 --> 00:05:30.800 Så ganger vi ut. Vi står igjen med en lineær ligning. Det skjer veldig ofte i ligningsløsning. 00:05:30.800 --> 00:05:38.600 Vi starter med en type ligning, og underveis omformes den kanskje til en kjent ligning som vi har regnet ut før. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:05:39.900 --> 00:05:52.300 Nå flytter vi over x-ene. Vi trekker fra 6x på begge sider, det gir 3x-6x=-3x er lik -6. 00:05:52.300 --> 00:06:04.200 Så deler vi på -3 for å få x er lik. I dette tilfellet så blir det 2. 00:06:04.200 --> 00:06:12.200 Tallet 2 er det eneste tallet i verden som er sånn at 3 / x-1 = 6/x. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:06:12.800 --> 00:06:25.500 Vi har flere typer ligninger. Vi har eksponential- og logaritmelikninger. Det betyr at variabelen vår 00:06:25.500 --> 00:06:35.100 er bakt inn i et eksponentialuttrykk eller et logaritmeuttrykk. For eksempel 4*ln x - 2 = 0. 00:06:35.100 --> 00:06:46.950 Så uttrykket 4*ln x - 2 skal altså være lik 0. Hvilke x er det som gjør det? NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:06:46.950 --> 00:06:54.300 Igjen, som for ligningløsning, så må vi få x alene. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:06:54.300 --> 00:07:02.800 Nå er x bakt inn i et ln-uttrykk. Det er ganget med 4 og vi har trukket fra 2. For å få x alene, 00:07:02.800 --> 00:07:10.600 kan vi begynne med å flytte 2-tallet over. Det betyr at vi plusser på 2 på begge sider av likhetstegnet. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:07:11.400 --> 00:07:19.100 Det må alltid bevares sånn at for hvert skritt nedover, så er det samme ligning vi har oppfylt. NOTE Treffsikkerhet: 75% (MEDIUM) 00:07:19.100 --> 00:07:29.300 Så blir vi kvitt 4-tallet ved å dele på 4 på begge sider. Da får vi 2/4 = 1/2. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:07:30.300 --> 00:07:39.850 Da er vi nesten ferdig. Men ln x er jo da fortsatt ikke x enda. For å få x alene, NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:07:39.850 --> 00:07:51.900 så må vi ta e opphøyd i på begge sider. Det er da et triks for å få vekk ln 00:07:51.900 --> 00:07:54.400 og stå igjen med bare x. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:07:54.400 --> 00:08:02.200 Nå vet vi at e^ln x, det er x. NOTE Treffsikkerhet: 67% (MEDIUM) 00:08:02.300 --> 00:08:15.500 Dermed så står det x = e^1/2, som for øvrig er roten av e. NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:08:16.300 --> 00:08:26.200 Legg også merke til at denne ligningen gjelder kun for positive x. ln x er bare definert 00:08:26.200 --> 00:08:28.250 når x er positiv. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:08:28.250 --> 00:08:35.799 Her var x bakt inn i et logaritmeuttrykk. Så kan vi for eksempel ha irrasjonale likninger. 00:08:35.799 --> 00:08:43.650 Da er x bakt inn i et rotuttrykk. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:08:43.650 --> 00:08:52.200 Vi kan se på ligningen roten av x = 6-x. NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:08:52.500 --> 00:09:01.800 Da skal vi igjen finne x. Hvilke x er det som er sånn at når vi ta roten av x, så får vi 6-x? NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:09:02.300 --> 00:09:05.650 Da skal vi igjen få x alene. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:09:05.650 --> 00:09:12.500 I de andre ligningene har vi flyttet alt som har med x å gjøre over på venstre side. 00:09:12.500 --> 00:09:20.500 Det gjør vi ikke for irrasjonale likninger, fordi da skal trikset være å først bli kvitt rottegnet. 00:09:20.500 --> 00:09:26.400 Hvis vi hadde hatt flere rotuttrykk, hadde vi samlet alle rotuttrykkene på venstre side. 00:09:26.400 --> 00:09:37.900 Det er allerede gjort. Det vi gjør i slike ligninger er at vi kvadrerer. Da blir vi kvitt rottegnene, 00:09:37.900 --> 00:09:44.600 (roten av x)^2 = x. Så må vi gange ut den parentesen. Det gjør vi med å bruke andre kvadratsetning. 00:09:44.600 --> 00:09:53.400 Da får vi 2*6*x som det andre leddet, +x^2. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:09:55.200 --> 00:10:03.700 Hvis vi flytter over x-en hit, så får vi -13x. 00:10:03.700 --> 00:10:16.300 Så snur vi alt rundt sånn at vi får alt på venstresiden. Så står vi igjen med den kvadratiske ligningen, 00:10:16.300 --> 00:10:23.100 fordi nå har x et kvadratledd her. x^2-13x+36=0. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:10:23.100 --> 00:10:27.050 Det kan vi løse ved abc-formelen. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:10:27.050 --> 00:10:41.200 Da får vi x lik -b, som blir da +13. +/- roten av b^2, da prøver vi å ta det i hodet, 00:10:41.200 --> 00:10:45.550 eller så kan man bruke kalkulator. 13^2=169. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:10:45.550 --> 00:11:07.600 -4*1*36. 4*36=144. Roten av det, delt på 2*1. 169-144 er et pent kvadrattall, nemlig 25. 00:11:07.600 --> 00:11:14.400 Roten av 25 er 5. Her står det (13 +/- 5) / 2. NOTE Treffsikkerhet: 70% (MEDIUM) 00:11:15.200 --> 00:11:27.100 13+5 = 18/2 = 9. 13-5 = 8/2 = 4. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:11:27.800 --> 00:11:36.400 Og så er det at for irrasjonale ligninger, setter vi da ikke to streker under svaret enda. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:11:36.400 --> 00:11:43.100 I denne overgangen her, når vi kvadrerer for å bli kvitt rottegnet, så kan det hende at vi får inn 00:11:43.100 --> 00:11:45.150 noen falske løsninger. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:11:45.150 --> 00:11:48.950 Dermed må vi sette prøve på svaret. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:11:48.950 --> 00:11:54.400 Det betyr at vi må sette inn for å sjekke om disse faktisk passer inn i ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:11:54.400 --> 00:12:05.150 Roten av 9 = 6-9 gir at 3=-3. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:12:05.150 --> 00:12:11.550 Det er ikke. det betyr at 9 er ingen løsning. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:12:11.550 --> 00:12:16.600 Den har kommet inn som en ekstra løsning i den overgangen her. NOTE Treffsikkerhet: 50% (MEDIUM) 00:12:16.700 --> 00:12:18.950 4 da? NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:12:18.950 --> 00:12:31.600 Hvis vi setter inn 4, så får vi roten av 4 = 6-4. Det gir 2=2. Det stemmer. 00:12:31.600 --> 00:12:33.450 4 er en løsning. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:12:33.450 --> 00:12:43.300 x=4 er den eneste løsningen som oppfyller denne likheten. Det gjør at uttrykket 00:12:43.300 --> 00:12:46.900 roten av x er lik uttrykket 6-x. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:12:46.900 --> 00:12:51.900 Det er litt om løsning av likninger, NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:12:51.900 --> 00:12:56.550 som da er en sammenheng mellom to uttrykk i x. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:12:56.550 --> 00:13:07.500 Men vi kan også sammenligne to uttrykk i x. Da har vi altså ulikheter og vi har symbolene mindre enn eller lik, 00:13:07.500 --> 00:13:16.600 større enn eller lik, mindre enn og større enn, som vi da bruker istedenfor en likhet. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:13:16.700 --> 00:13:24.700 Når vi da skal regne med ulikheter, så er det litt flere ting å passe på. 00:13:24.700 --> 00:13:34.550 En tommelfingerregel er at når vi multipliserer eller ganger med et negativt tall NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:13:34.550 --> 00:13:42.600 når vi skal løse ulikheter, så må vi snu ulikheten. Den blir byttet til den, og de der blir også byttet om. 00:13:42.600 --> 00:13:46.200 Det er når vi multipliserer eller deler med negative tall. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:13:46.200 --> 00:13:55.000 Vi må også passe litt ekstra på når vi tar denne type operasjoner, at vi tar et tall opphøyd i på hver side. 00:13:55.000 --> 00:14:02.000 Akkurat for e så går det fint, da beholder vi ulikheten. Men for noen andre grunntall, så må vi 00:14:02.000 --> 00:14:11.900 passe litt ekstra på. Så er det da for irrasjonale ulikheter og rasjonale ulikheter. 00:14:11.900 --> 00:14:16.300 Når vi skal løse ulikheter, må vi bruke fortegnsskjema. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:14:16.300 --> 00:14:21.200 Det var litt tips om likninger og ulikheter.