WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:06.200 Når vi har flere likninger og flere variabler, så har vi et likningssystem. Vi skal nå se hvordan 00:00:06.200 --> 00:00:14.300 vi kan løse et likningssystem med to likninger i to variabler. Hvis vi for eksempel har ligningene 00:00:14.300 --> 00:00:26.500 x+y = 1 og 3x+y = -1, så markerer vi at vi har et likningssystem ved å sette på en krøllparentes. 00:00:26.500 --> 00:00:34.700 Det betyr altså at vi skal ha oppfylt begge ligningene samtidig, og vi er ute etter de x-ene og y-ene 00:00:34.700 --> 00:00:37.600 som passer inn i begge ligningene på en gang. NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:00:37.600 --> 00:00:41.550 Hvordan finner vi de x-ene og y-ene? NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:41.550 --> 00:00:49.800 Den ene metoden vi skal se på er addisjonsmetoden. Det handler om å legge sammen 00:00:49.800 --> 00:00:58.100 disse ligningene, sånn at vi får eliminert bort en av variablene og står igjen med en likning 00:00:58.100 --> 00:01:01.200 i en ukjent, noe som vi kan løse. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:01:01.300 --> 00:01:08.000 Da ser vi litt på ligningen. Hva er det vi kan gjøre med ligningene for å få eliminert en variabel? 00:01:08.000 --> 00:01:08.900 NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:01:08.900 --> 00:01:15.400 For eksempel, hvis vi ganger den øverste ligningen med -1, så kommer vi til å få 00:01:15.400 --> 00:01:16.750 -y der og +y der. NOTE Treffsikkerhet: 45% (LAV) 00:01:16.750 --> 00:01:26.200 Når vi da legger disse sammen, så vil y-ene forsvinne. Da gjør vi det. Vi ganger den øverste ligningen med -1. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:01:27.300 --> 00:01:36.300 Da får vi ligningen -x-y = -1. Det er fortsatt den samme ligningen, 00:01:36.300 --> 00:01:40.800 de samme x-ene og y-ene vil passe inn i ligningen. Så beholder vi den andre. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:01:44.200 --> 00:01:55.900 Så legger vi ligningene sammen ved addisjonsmetoden. Da får vi -x+3x=2x. Så forsvinner y-ene, 00:01:55.900 --> 00:02:04.000 som var poenget. Så får vi -1-1, som er -2. Da står vi igjen med en likning i en variabel, 00:02:04.000 --> 00:02:04.900 NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:02:04.900 --> 00:02:11.900 som vi da kan løse ved å dele på 2. Da får vi x=-1. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:02:12.600 --> 00:02:21.100 Da vet vi x, og da kan vi finne y ved å bruke en av de andre ligningene. For eksempel den øverste ligningen. 00:02:21.100 --> 00:02:33.400 Setter vi inn x=-1, får vi da -1+y = 1. Det gir at y=2. Da har vi løst likningssystemet. 00:02:33.400 --> 00:02:41.000 Vi kan faktisk også sette inn x=-1 og y=2 i begge ligningene, og den passer 00:02:41.000 --> 00:02:42.500 begge steder. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:02:43.600 --> 00:02:47.800 Grafene til disse ligningene NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:02:47.800 --> 00:03:06.500 vil være rette linjer. Vi kan få oss et bilde av hva som skjer. Hvis vi tegner et koordinatsystem og markerer av enheter på aksene, NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:03:11.000 --> 00:03:23.100 så ser vi at den øverste ligningen-- hvis vi flytter over, så er det linja y = 1-x. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:03:23.300 --> 00:03:33.200 Den andre ligningen gir y = -1-3x. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:03:34.500 --> 00:03:37.500 Den øverste ligningen NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:03:37.500 --> 00:03:46.900 gir linja som skjærer y-aksen i 1 og har stigningstall -1. Når vi går 1 bort, så går vi 1 ned. 00:03:46.900 --> 00:03:57.100 Vi skal gå hit. Når vi går 1 tilbake, så går vi 1 opp. Så prøver vi å tegne en så rett linje vi kan. NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:03:57.100 --> 00:04:01.899 Det er y = 1-x. NOTE Treffsikkerhet: 69% (MEDIUM) 00:04:01.899 --> 00:04:06.750 Så tegner vi den andre linja, den skal skjære y-aksen i -1. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:04:06.750 --> 00:04:16.399 Så har den stigningstall -3. Når vi går 1 bort, så går vi 3 ned. Når vi går 1 bort den andre veien, 00:04:16.399 --> 00:04:25.500 så går vi bort 1 herfra og 3 den veien. Så prøver vi igjen å tegne en rett linje gjennom 00:04:25.500 --> 00:04:27.400 de tre punktene. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:04:29.100 --> 00:04:36.500 Da får vi linja y = -1-3x. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:04:36.500 --> 00:04:40.850 Da ser vi at vi har et felles skjæringspunkt, NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:04:40.850 --> 00:04:53.000 som altså er punktet (-1, 2) som vi fant ved å regne algebraisk. Så kan vi finne det igjen geometrisk. 00:04:53.000 --> 00:04:54.850 NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:04:54.850 --> 00:05:02.900 Dette er et eksempel på et system som har en løsning, fordi vi har et felles punkt mellom disse to linjene. 00:05:02.900 --> 00:05:03.850 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:05:03.850 --> 00:05:14.300 Hvis vi nå gjør litt manipulering på dette systemet, så kan vi for eksempel se på systemet 3x+y = 2. 00:05:14.300 --> 00:05:18.700 Så kan vi beholde den andre ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:05:23.000 --> 00:05:26.700 Hvilke løsninger har dette systemet? NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:05:26.700 --> 00:05:31.250 Vi skal ha oppfylt begge disse ligningene på en gang. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:05:31.250 --> 00:05:40.400 Da kan vi igjen, for å kvitte oss med en variabel, gange den øverste ligningen med -1. 00:05:40.400 --> 00:05:48.300 Så får vi -3x-y = -2, og så beholder vi den nederste. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:05:49.300 --> 00:06:03.000 Så legger vi de sammen. Vi ser at her forsvinner både x-ene og y-ene, så vi får 0. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:06:03.000 --> 00:06:05.600 Så får vi -3. Det stemmer jo ikke. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:06:05.600 --> 00:06:13.800 Det betyr at dette systemet her ikke gir mening. Vi har fått noe som ikke gir mening. 00:06:13.800 --> 00:06:16.250 Dette systemet har ingen løsning. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:06:16.250 --> 00:06:31.500 Hvorfor ikke det? Jo, hvis vi tegner opp den ene linja, den har vi allerede. Det er den linja her. 00:06:31.500 --> 00:06:45.000 Den øverste linja har nå blitt til y = 2-3x. Det betyr at vi har linja som går gjennom 2, men som også har stigningstall -3. Den er parallell 00:06:45.000 --> 00:06:46.200 med den linja her. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:06:49.900 --> 00:06:57.800 Da ser vi at de to linjene aldri møtes. Algebraisk får vi ingen løsning, ingen mening i det 00:06:57.800 --> 00:07:02.200 vi har satt opp her. Det ser vi igjen geometrisk. NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:07:02.300 --> 00:07:18.500 Vi tar med en tredje mulighet også. Hvis vi nå beholder den øverste ligningen x+y = 1, og så forandrer vi litt på den nederste. 00:07:18.500 --> 00:07:19.700 Se på dette systemet. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:07:21.600 --> 00:07:31.500 Da ser vi faktisk at disse to ligningene er like, fordi vi ser at den nederste ligningen er bare 00:07:31.500 --> 00:07:33.750 den øverste ligningen ganget med 3. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:07:33.750 --> 00:07:41.900 Dette her er bare en likning i to variabler. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:07:41.900 --> 00:07:54.100 Alle løsninger til en likning i to variabler, det er bare en rett linje, nemlig den linjen der. Det er linjen her, egentlig da to ganger. 00:07:54.100 --> 00:07:55.300 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:07:57.000 --> 00:08:13.400 Dermed får vi uendelig mange løsninger. Alle punktene som ligger på den linja, som jo er 00:08:13.400 --> 00:08:19.200 uendelig mange punkter (for denne linja fortsetter både i den og den andre enden). NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:08:19.200 --> 00:08:25.100 Alle punktene oppfyller begge de to ligningene, fordi det er den samme ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:08:25.100 --> 00:08:34.799 Et system med to likninger i to variabler kan altså ha en løsning, ingen løsning 00:08:34.799 --> 00:08:44.100 eller uendelig mange løsninger som vi finner igjen geometrisk ved et skjæringspunkt, parallelle linjer eller en linje.