WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:07.600 Nå skal vi snakke om naturlige logaritmer og regneregler for logaritmer. Det tar utgangspunktet 00:00:07.600 --> 00:00:26.950 i bokstaven e. På samme måte som pi står for 3.14 osv, så står e for 2.71828... osv. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:00:26.950 --> 00:00:37.600 Logaritmen til et tall er definert som det tallet som e må opphøyes i for å gi tallet 00:00:37.600 --> 00:00:49.250 vi startet med tilbake. e opphøyd i den naturlige logaritmen til et tall a større enn 0, er lik tallet a. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:00:49.250 --> 00:00:53.900 Her må a være større enn 0. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:00:56.300 --> 00:01:06.300 Vi skal se på ulike egenskaper ved dette her. For eksempel har vi at hvis vi tar e^0 00:01:06.300 --> 00:01:11.550 så vet vi at det ved potensregler er definert til å være lik 1. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:01:11.550 --> 00:01:22.700 Ved definisjonen der borte, så det e^ln 1. Hvis vi ser på eksponentene gjennom likheten, 00:01:22.700 --> 00:01:32.100 får vi faktisk ln 1 = 0. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:01:32.400 --> 00:01:37.750 Det samme kan vi gjøre for e^1. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:01:37.750 --> 00:01:52.250 Det er lik e-- bruker vi nå definisjonen, får vi at det er lik e^ln e. NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:01:52.250 --> 00:02:02.449 Ser vi nå igjen på eksponentene, får vi relasjonen at ln e = 1. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:02:02.449 --> 00:02:12.500 Det var to enkle grunnleggende egenskaper ved logaritmer. Så skal vi se litt på hvordan vi kan utlede 00:02:12.500 --> 00:02:15.000 noen regneregler for dette. NOTE Treffsikkerhet: 72% (MEDIUM) 00:02:16.000 --> 00:02:21.600 Hvis vi tar ab, NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:02:21.600 --> 00:02:32.800 så kan vi bruke den definisjonen på to måter. Den ene er at vi kan skrive det som e^ln(ab). 00:02:32.800 --> 00:02:33.450 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:02:33.450 --> 00:02:46.300 Da har vi sett på hele produktet alene. Så kan vi se på hver faktor for seg. Det vil si at vi kan skrive ab 00:02:46.300 --> 00:02:53.000 som e^ln a * e^ln b. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:02:54.200 --> 00:03:07.350 Da får vi at det er lik regneregler for potenser e^(ln a+ln b). NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:03:07.350 --> 00:03:12.250 Sammenligner vi nå eksponentene gjennom likheten, NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:03:12.250 --> 00:03:17.100 så får vi at ln(ab) NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:03:17.100 --> 00:03:23.700 er lik ln a + ln b. Heisann. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:03:25.900 --> 00:03:37.100 Vi kan nå tenke oss at vi kan gjøre dette her mange ganger. Vi kan for eksempel ta a^r 00:03:37.100 --> 00:03:47.650 og se hva det blir for noe. Vi gjør det på en hel parallell måte. e^ln(a^r), NOTE Treffsikkerhet: 51% (MEDIUM) 00:03:47.650 --> 00:03:50.150 NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:03:50.150 --> 00:04:03.100 det kan også være lik e^ln a * e^ln a * osv... * e^ln a. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:04:03.100 --> 00:04:17.250 Her har vi r sånne ved å bruke regelen over. e^ln a lagt sammen r ganger, e^r*ln a. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:04:17.250 --> 00:04:31.450 Ser vi nå gjennom likheten, så får vi regneregelen at ln(a^r) = r*ln a. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:04:31.450 --> 00:04:41.500 Det vi har gjort nå, vi har ingen restriksjoner på r. Det er litt viktig å huske, 00:04:41.500 --> 00:04:46.100 at r kan være hva som helst i de reelle tall. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:04:50.800 --> 00:04:54.850 Fra disse to egenskapene NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:04:54.850 --> 00:05:03.700 og disse to regneregler som vi har fått til slutt, så kan vi utlede en regel til: 00:05:03.700 --> 00:05:08.500 nemlig hvis vi ser på ln(a/b). NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:05:08.500 --> 00:05:22.900 Ved å bruke brøkregler så er det ln(ab^-1). Bruker vi nå denne her, 00:05:22.900 --> 00:05:34.100 ser vi at det er ln a + ln(b^-1). NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:05:37.100 --> 00:05:47.900 Ved å bruke denne regelen igjen, så får vi at det er lik ln a - ln b. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:05:47.900 --> 00:06:01.700 Altså at ln(a/b) er lik ln a - ln b. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:06:04.500 --> 00:06:11.500 Nå skal vi se på noen eksempler hvor vi regner med logaritmer. Aller først vil jeg bare minne om 00:06:11.500 --> 00:06:21.200 regnereglene vi har. Bare markerer den og kaller den 1, den 2 og den 3. Så skal jeg prøve å indikere 00:06:21.200 --> 00:06:25.250 hvilke regler vi bruker når, når vi regner eksempelet. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:06:25.250 --> 00:06:42.500 Eksemplet jeg skal gjennomgå er ln(x^3 - x^2) + ln(1/x^3). NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:06:43.000 --> 00:06:57.500 Dette uttrykket ønsker vi nå å forenkle. Det første jeg ser, 00:06:57.500 --> 00:07:02.000 det er at her har vi en brøk. Da kan vi bruke regel nr. 3. NOTE Treffsikkerhet: 73% (MEDIUM) 00:07:02.000 --> 00:07:09.550 Det andre jeg ser er at her kan vi faktorisere, NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:07:09.550 --> 00:07:24.700 så la oss gjøre det. ln(x^2(x-1)), det var faktoriseringen. Så er regel nr. 3, 00:07:24.700 --> 00:07:28.700 ln 1 - ln(x^3). NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:07:31.600 --> 00:07:38.400 Da har vi kommet et stykke på vei, men uttrykket ser nesten verre ut enn det var i utgangspunktet. 00:07:38.400 --> 00:07:43.900 Men her har vi ln til et produkt, da kan vi bruke regel nr. 1. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:44.100 --> 00:07:52.700 Dessuten har vi ln 1, men det vet vi også hva er der borte. Hvis vi nå bruker regel nr. 1 00:07:52.700 --> 00:08:07.700 og at ln 1 = 0, blir det første leddet ln(x^2) + ln(x-1) + 0, og så får vi 00:08:07.700 --> 00:08:11.600 - ln(x^3). NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:08:16.400 --> 00:08:20.300 La meg bare sette den parentesen der. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:08:20.800 --> 00:08:34.600 Nå har vi to uttrykk som er på formen ln(a^r). La oss bruke regel nr. 2 to ganger. 00:08:34.600 --> 00:08:48.100 Da får vi 2*ln x + ln(x-1) - 3*ln x. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:08:51.600 --> 00:09:06.500 Her har vi 2ln x, her har vi -3ln x. Vi får totalt -ln x + ln(x-1). NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:09:06.700 --> 00:09:16.300 Kan vi gjøre noe med det? Det kan vi. Vi har regel nr. 3. Høyresiden av den kan vi gjøre om 00:09:16.300 --> 00:09:20.000 til venstresiden. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:09:20.100 --> 00:09:39.300 Vi får ved regel nr. 3 ln(x-1 / x). Det ble litt enklere enn her. 00:09:39.300 --> 00:09:46.500 Jeg vil også at dere skal observere en ting vi har. Når vi kommer et stykke på vei, så ser vi at 00:09:46.500 --> 00:09:54.450 vi har ln(x-1). Hva sier det oss om hva x må være? Jo, for at vi skal kunne ha a>0, NOTE Treffsikkerhet: 73% (MEDIUM) 00:09:54.450 --> 00:10:00.300 så må x være større enn 1. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:10:04.100 --> 00:10:06.800 Det var alt.