WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:09.300 Nå skal vi se på regneregler for potenser og se hvordan disse kan utledes. Vi har nå et tall a 00:00:09.300 --> 00:00:20.200 forskjellig fra 0 og vi har et helt, positivt tall n. Hva skjer hvis vi ganger a med seg selv n ganger? 00:00:20.200 --> 00:00:35.400 Jo, da innfører vi skrivemåten at dette er a^n. Dette er et eksempel på en potens 00:00:35.400 --> 00:00:40.900 der a kalles grunntallet og n kalles eksponenten. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:43.800 --> 00:00:52.000 Vi har også skrivemåten a^-n. NOTE Treffsikkerhet: 69% (MEDIUM) 00:00:52.400 --> 00:01:00.500 Det betyr 1/a^n. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:01:03.700 --> 00:01:12.400 Den skrivemåten følger logisk fra regnereglene vi utleder, men det skal jeg komme tilbake til senere. 00:01:12.400 --> 00:01:19.400 La oss først nå se hva som skjer hvis vi prøver å gange to potenser med samme grunntall men ulike eksponenter 00:01:19.400 --> 00:01:26.700 med hverandre. Altså a^n * a^m. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:01:26.700 --> 00:01:40.400 a ganget med seg selv n ganger, og så skal vi gange det med a ganget med seg selv m ganger. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:01:40.400 --> 00:01:49.800 Hvor mange ganger har vi ganget a med seg selv? NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:01:51.300 --> 00:02:03.600 Jo, n+m ganger. Altså står det egentlig her a^n+m. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:02:03.900 --> 00:02:18.050 Tilsvarende kan vi nå gjøre hvis vi deler to potenser på hverandre. a^n / a^m, NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:02:18.050 --> 00:02:29.000 ved å bruke den skrivemåten der oppe så er det a^n * a^-m. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:02:29.100 --> 00:02:36.150 Det er da lik a^n-m. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:02:36.150 --> 00:02:47.200 Hva er det egentlig som har skjedd her? Her har vi tatt a (n ganger) ganget med seg selv i teller, 00:02:47.200 --> 00:02:53.300 a (m ganger) ganget med seg selv i nevner. Så har vi forkortet m ganger NOTE Treffsikkerhet: 63% (MEDIUM) 00:02:53.500 --> 00:02:56.300 NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:02:56.500 --> 00:03:07.900 disse a-ene, m ganger bortover. Hva står vi igjen med a-er i teller da? Vi står igjen med (n-m) a-er etter hverandre. 00:03:07.900 --> 00:03:16.100 Dette går veldig fint så lenge n og m er forskjellige. Men hva hvis de er like? NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:03:16.100 --> 00:03:25.400 Hvis n=m, da kan vi forkorte alt. Hva står vi igjen med? Jo, vi står igjen med 1. 00:03:25.400 --> 00:03:34.400 Det vil være veldig nyttig for oss at vi har følgende definisjon, at a^0=1. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:03:37.900 --> 00:03:49.300 La oss se hva som skjer hvis vi tar en potens og opphøyer den i noe. Vi tar a^n og opphøyer i m-te. 00:03:49.300 --> 00:03:51.700 NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:03:51.700 --> 00:04:01.600 Det vil si at vi tar a^n ganget med seg selv m ganger. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:04:08.000 --> 00:04:22.600 Da har vi først a n ganger bortover, og så har vi det m ganger til. Det vil si at totalt så har vi a^n*m. 00:04:22.600 --> 00:04:24.950 NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:04:24.950 --> 00:04:30.400 Det står a ganget med seg selv n ganger, m ganger. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:04:30.500 --> 00:04:43.100 Siden å gange er kommutativt, så er dette her lik a^m*n. Det vil si hvis 00:04:43.100 --> 00:04:50.500 vi bruker likheten andre veien, (a^m)^n. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:04:56.900 --> 00:05:05.400 Nå har vi sett på regneregler for potenser der vi har hatt samme grunntall a hele tiden. La oss se på produkter 00:05:05.400 --> 00:05:15.700 av potenser med forskjellig grunntall, men samme eksponent. Altså a^n * b^n. 00:05:15.700 --> 00:05:18.050 NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:05:18.050 --> 00:05:34.400 Hvis vi skriver ut det, så står det her a ganget med seg selv n ganger * b ganget med seg selv n ganger. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:05:34.400 --> 00:05:41.800 Hvis vi tenker oss at vi tar den første a-en og den første b-en og setter dem med i et par osv bortover, 00:05:41.800 --> 00:05:54.299 så har vi n par av typen ab. Det er a ganget med seg selv også n ganger. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:05:54.299 --> 00:06:02.800 Det er jo ikke noe annet enn ab opphøyd i n-te. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:06:07.600 --> 00:06:18.000 Nå kan vi innføre en notasjon som også er en konsekvens av regnereglene, nemlig at a^1/n 00:06:18.000 --> 00:06:25.250 er lik n-te roten av a. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:06:25.250 --> 00:06:38.000 Da er det litt viktig at vi ser at vi kan ikke ta partallsrøtter av negative, reelle tall. Altså hvis n er et partall, 00:06:38.000 --> 00:06:43.600 så kan vi ikke ta den roten hvis a er negativt. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:06:47.400 --> 00:06:55.350 Hvis vi har den relasjonen jeg nettopp skrev opp, så kan vi skrive NOTE Treffsikkerhet: 65% (MEDIUM) 00:06:55.350 --> 00:07:06.000 n-te roten av a * n-te roten av b NOTE Treffsikkerhet: 68% (MEDIUM) 00:07:06.200 --> 00:07:14.600 som a^1/n * b^1/n. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:07:14.700 --> 00:07:26.500 Så kan vi bruke den regelen som vi nettopp skrev opp. Vi får (ab)^1/n. NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:07:26.900 --> 00:07:34.400 Det gir oss n-te roten av ab. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:07:34.400 --> 00:07:37.700 Det er en kjempeviktig regel. NOTE Treffsikkerhet: 55% (MEDIUM) 00:07:37.700 --> 00:07:40.900 Den er veldig viktig å ha med seg. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:07:43.800 --> 00:07:51.700 Helt til slutt så kan vi se hva som skjer når vi deler to potenser med ulike grunntall, men samme eksponent. 00:07:51.700 --> 00:08:01.900 Da er det viktig at b er forskjellig fra 0 her. Vi har a^n / b^n. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:08:03.700 --> 00:08:13.300 På tilsvarende måte som da vi ganget sammen, så kan vi skrive dette som a ganget med seg selv n ganger 00:08:13.300 --> 00:08:25.000 delt på b ganget med seg selv n ganger. Så kan vi dele opp det i (a/b) ganget med seg selv n ganger. 00:08:25.000 --> 00:08:26.500 NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:08:26.500 --> 00:08:39.900 Til slutt får vi at dette er lik (a/b)^n. Nå skal vi se på noen eksempler 00:08:39.900 --> 00:08:50.700 på bruk av potensregler. La oss regne på 12^-1/2. Kan vi finne en annen måte å skrive det på? 00:08:50.700 --> 00:09:00.000 Det første vi kan gjøre, er at vi kan skrive dette som 1 / 12^1/2. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:09:00.000 --> 00:09:10.800 Så kan vi se at 12, det kan faktoriseres i primtallsfaktoriseringen sin. 00:09:10.800 --> 00:09:17.300 Vi får 1 / (2*2*3)^1/2. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:09:21.000 --> 00:09:42.400 Dette gir oss 1 / (2^2)^1/2 * 3^1/2. 2^2 kommer fra de to faktorene der 00:09:42.400 --> 00:09:50.300 som jeg skriver om på potensform. Så bruker jeg at jeg kan dele opp et produkt og ha den samme eksponenten 00:09:50.300 --> 00:09:51.750 i hver av faktorene. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:09:51.750 --> 00:10:06.250 Da får jeg 1 / 2^(2/2) ved å bruke (a^n)^m, NOTE Treffsikkerhet: 75% (MEDIUM) 00:10:06.250 --> 00:10:11.400 ganget med 3^1/2. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:10:11.400 --> 00:10:21.500 Men 2/2=1, så her står det egentlig bare 2 i nevner. Så kan vi skrive om den på rotform, 00:10:21.500 --> 00:10:31.700 ganget med roten av 3. Men nå er vi ikke så innmari glad i røtter i nevner. 00:10:31.700 --> 00:10:40.599 Vi utvider hele brøken med roten av 3. Da står vi igjen med (roten av 3) / 6. NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:10:40.599 --> 00:10:48.500 Altså 12^-1/2 = (roten av 3) / 6. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:10:49.700 --> 00:10:56.099 Vi skal se på et litt verre eksempel. NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:10:56.099 --> 00:11:19.800 Hvis vi tar tredjeroten av a^2*b^2 / sjetteroten av a^2(ab)^2. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:11:21.400 --> 00:11:26.650 Så skal vi forenkle dette uttrykket her. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:11:26.650 --> 00:11:38.600 Det første som jeg vil gjøre her, det er å skrive om fra rotform til potensform. Det vil si at jeg får 00:11:38.600 --> 00:11:54.200 (a^2*b^2)^1/3 i telleren. 00:11:54.200 --> 00:12:03.600 Så får jeg (a^2*a^2*b^2)^1/6. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:12:08.400 --> 00:12:16.500 Dette kan jeg igjen forenkle ved å bruke NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:12:16.500 --> 00:12:30.100 både gangeregelen for potenser og denne (a^n)^m regelen. I teller får jeg a^2/3 00:12:30.100 --> 00:12:49.300 ganget med b^2/3. I nevner så får jeg a^2*a^2, det vil si a^2+2, ganget med b^2. 00:12:49.300 --> 00:12:52.100 Alt det i 1/6. NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:12:56.200 --> 00:13:10.200 Det vil si at jeg har nå (a^2/3 * b^2/3) / a^4. NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:13:10.600 --> 00:13:21.900 Så har jeg opphøyd i 1/6, så a^4/6. Så har jeg (b^2)^1/6, 00:13:21.900 --> 00:13:25.800 så jeg har b^2/6. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:13:25.800 --> 00:13:40.600 Jeg ser at disse to brøkene 4/6 og 2/6, de kan jeg forkorte. Jeg kan forkorte 2 i begge. 00:13:40.600 --> 00:13:57.300 Jeg står igjen med (a^2/3 * b^2/3) / (a^2/3 * b^1/3). 00:13:57.300 --> 00:14:00.700 NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:14:02.800 --> 00:14:16.100 Det kan jeg skrive om ved å bruke a^-n = 1/a^n baklengs. Så kan jeg flytte nevneren opp 00:14:16.100 --> 00:14:29.750 sånn at jeg får a^2/3 * b^2/3 * a^-2/3 * b^-1/3. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:14:29.750 --> 00:14:43.900 Det vil si at her får jeg, ved å bytte om rekkefølgen på faktorene, a^2/3 - 2/3 00:14:43.900 --> 00:14:57.100 * b^2/3 - 1/3. Her får vi a^0 som en faktor. a^0=1, og så får vi 00:14:57.100 --> 00:15:04.600 b^2/3 - 1/3, altså b^1/3. NOTE Treffsikkerhet: 72% (MEDIUM) 00:15:04.600 --> 00:15:12.800 En hånd i været alle som hadde trodd at det uttrykket kunne forkortes til det.