WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:13.100 Vi skal se på rette linjer i planet. Det har vi essensielt to typer av: den ene er på formen y=ax+b 00:00:13.100 --> 00:00:27.300 og den andre typen er på formen x=c. a, b og c er konstanter. Vi skal se hvordan vi kan tegne 00:00:27.300 --> 00:00:42.600 disse linjene i planet. x-aksen her og y-aksen her. Denne x=c er en linje der x-verdien er c, 00:00:42.600 --> 00:00:53.750 mens y-verdien kan være hva som helst. Altså den vertikale linja med x-verdi c. NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:00:53.750 --> 00:01:06.000 Den andre typen linjer er litt mer kompliserte. Der må vi bruke det faktum at to punkter i planet 00:01:06.000 --> 00:01:10.199 gir oss nøyaktig en rett linje. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:01:10.199 --> 00:01:19.600 To naturlige punkter å starte med er x=0. Hvis vi har x=0 inn i ligningen vår, hva får vi da? 00:01:19.600 --> 00:01:25.150 Da får vi y=a*0+b. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:01:25.150 --> 00:01:35.700 Det er punktet (0, b), det er på linjen vår. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:35.800 --> 00:01:47.700 Det betyr at b er skjæringen med y-aksen. Et annet punkt som vi lett kan finne på linja, 00:01:47.700 --> 00:01:59.200 det er for x=1. Hvis vi har x=1 der sånn, får vi at y=a*1+b, altså a+b. 00:01:59.200 --> 00:02:14.500 y skal være a+b. Punktet (1, a+b) skal være med på linja. 00:02:14.500 --> 00:02:29.800 Da har vi to punkter, og kan trekke linjen mellom dem. Her har vi lengde 1 og vi ser at vi her har lengde a. 00:02:29.800 --> 00:02:31.000 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:02:31.000 --> 00:02:44.000 Den a-en betegner hvor mye y-verden stiger per enhet på x-aksen. a kalles stigningstallet til linja. 00:02:44.000 --> 00:02:52.800 I dette tilfellet er a positiv, så linja øker. Men a kan også være 0, da har vi en horisontal linje. 00:02:52.800 --> 00:02:59.200 a kan være negativ, da vil linja synke. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:02:59.200 --> 00:03:05.500 Vi kan se på et eksempel på dette her, NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:03:05.500 --> 00:03:15.550 nemlig ligningen y=-2x+3. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:03:15.550 --> 00:03:28.000 Hvis vi tegner opp planet nå, med x-aksen der og y-aksen der. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:03:28.000 --> 00:03:47.700 1, 2, 3 på y-aksen og 1, 2 på x-aksen. Da ser vi at når x=0, må y=3. Vi vet også at b=3, 00:03:47.700 --> 00:03:56.300 så 3 må være skjæringen med y-aksen. Akkurat dette punktet (0, 3) skal være med på linja. 00:03:56.300 --> 00:04:12.300 Når x=1, så er y=-2*1+3, det er 1. Da er punktet (1, 1) med på linja. 00:04:12.300 --> 00:04:16.200 Linja vår ser sånn ut. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:04:16.200 --> 00:04:29.800 Men vi kan også gå andre veien. Vi kan tenke oss at vi starter i planet med en tegning av en linje, 00:04:29.800 --> 00:04:38.049 x-aksen og y-aksen. Hvis vi har linja vår som går sånn, NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:04:38.049 --> 00:04:42.600 så får vi spørsmål: hva er ligningen for denne linja? NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:04:42.600 --> 00:04:54.300 Vi benytter oss av at to punkter gir nøyaktig en rett linje. 00:04:54.300 --> 00:05:08.050 Hvis vi kaller x-verdien til det ene punktet for x0 og y-verdien y0, og for det andre punktet x1 og y1, NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:05:08.050 --> 00:05:13.100 så kan vi se at NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:05:13.400 --> 00:05:30.600 denne lengden her er x1-x0. Denne lengden her er y1-y0. Da kan vi finne stigningstallet, 00:05:30.600 --> 00:05:40.150 altså hvor mye den stiger per enhet på x-aksen. a må være lik NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:05:40.150 --> 00:05:57.800 y1-y0 / x1-x0. Når vi har funnet a, så vet vi at ligningen skal være på formen 00:05:57.800 --> 00:06:11.600 y er lik vår nå kjente a, * x + b. Det er b som er ukjent, b skal vi nå finne. Den kan vi finne ved å bruke 00:06:11.600 --> 00:06:26.200 at x0 og y0 oppfyller den ligningen. y0=a*x0 + b. Da kan vi finne b 00:06:26.200 --> 00:06:36.300 uttrykt ved x0 og y0. b=y0-a*x0. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:06:36.300 --> 00:06:55.900 Da får vi at dette er lik ax + y0 - ax0. Det er ligningen for en linje i planet. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:06:56.100 --> 00:07:03.800 Nå har vi sett hvordan vi kan finne ligningen til en linje som går gjennom to kjente punkter. 00:07:03.800 --> 00:07:10.900 Hvis vi flytter over y0 fra høyre til venstre side, så kan vi skrive denne ligningen på standardform. 00:07:10.900 --> 00:07:22.250 y-y0 = a(x-x0), der nå a er NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:07:22.250 --> 00:07:38.800 stigningstallet y1-y0 / x1-x0. Nå skal vi se på en viktig anvendelse av denne ligningen. 00:07:38.800 --> 00:07:47.800 Vi skal se hvordan vi til en funksjon f(x) kan finne tangentlinjer i et hvilket som helst punkt. 00:07:47.800 --> 00:08:11.000 Hvis vi nå er i planet, med x-aksen og y-aksen og har grafen til en funksjon f(x). 00:08:11.000 --> 00:08:22.750 Vi velger oss et punkt på den grafen med x-verdi c og y-verdi f(c). NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:08:22.750 --> 00:08:35.950 Da kan vi finne en tangentlinje, nøyaktig en linje, som ligger tettest mulig inntil funksjonen. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:08:35.950 --> 00:08:45.300 Vi vet at tangentlinja, det er den linja som har som stigningstall den deriverte av funksjonen i punktet c. 00:08:45.300 --> 00:08:55.600 Det vil si at når vi skal finne ligningen for tangentlinja, så vet vi allerede hva a er for noe. 00:08:55.600 --> 00:09:01.750 a er her f'(c). NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:09:01.750 --> 00:09:17.800 Videre kjenner vi y0 og x0. (x0, y0) er punktet vi har på linja, altså (c, f(c)). NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:09:21.400 --> 00:09:32.600 Nå har vi alt vi trenger til å skrive opp ligningen. Vi har y, -y0 som er f(c). Det skal være lik a 00:09:32.600 --> 00:09:37.850 som er f'(c), ganget med x NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:09:37.850 --> 00:09:44.800 -x0, som i dette tilfellet var c. NOTE Treffsikkerhet: 71% (MEDIUM) 00:09:45.800 --> 00:09:56.900 Dette er tangentlinja til funksjonen f(x) i punktet (c, f(c)). NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:09:56.900 --> 00:10:10.300 La oss se på et eksempel. Hvis vi har f(x)=x^2, så kan vi for eksempel velge oss 00:10:10.300 --> 00:10:19.200 punktet (c, f(c)) lik (3, 9). NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:10:19.200 --> 00:10:36.849 Hvis vi beregner den deriverte, så er den generelt lik 2x. For c=3, har vi at den deriverte er lik 6. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:10:36.849 --> 00:10:47.950 Når vi setter dette inn i ligningen vi har kommet fram til, ser vi at vi får y - f(c) NOTE Treffsikkerhet: 24% (LAV) 00:10:47.950 --> 00:10:51.350 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:10:51.350 --> 00:11:10.500 som er 9. Det er lik f'(3) som er 6, ganget med x-c som er 3. Hvis vi bare skriver om denne her, så får vi y=6x, 00:11:10.500 --> 00:11:24.600 -6*3 = -18+9 = -9. Dette er ligningen for tangentlinja til funksjonen f(x)=x^2 00:11:24.600 --> 00:11:26.700 i punktet (3, 9).