WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:11.600 Da skal vi snakke litt om tall, symboler og uttrykk. Vi begynner med de naturlige tallene. 00:00:11.600 --> 00:00:24.700 Vi betegner dem med en tykk N, og det er da mengden av tallene fra 1, 2, 3 og videre oppover. 00:00:24.700 --> 00:00:29.400 Vi bruker krøllparanteser for å betegne en mengde av ting. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:29.400 --> 00:00:37.400 Blant de naturlige tallene finnes det en del spesielle tall som vi er ekstra interessert i 00:00:37.400 --> 00:00:44.800 som kalles primtall. For eksempel kan ethvert naturlig tall som finnes inni her, for eksempel 40, 00:00:44.800 --> 00:00:55.600 skrives som et produkt av sine primtallsfaktorer. Et primtall er altså et tall som kun er delelig med 1 00:00:55.600 --> 00:01:07.100 og seg selv. 2 er et primtall og 2 går opp i 40. 2 går faktisk opp i 40 en gang til, og en gang til. 00:01:07.100 --> 00:01:15.250 Når vi har delt 40 på til sammen 8, står vi igjen med 5 som er nok et primtall. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:01:15.250 --> 00:01:23.800 Det her er en viktig ting vi gjør ofte i matematikken, at vi bryter ned store ting til litt mindre. 00:01:23.800 --> 00:01:28.100 I dette tilfellet et tall i mindre faktorer. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:01:28.700 --> 00:01:37.900 Fra de naturlige tallene kan vi ta med det fine tallet 0 og også få med negative tall. Da har vi 00:01:37.900 --> 00:01:48.600 de hele tallene som vi skriver med en stor, tjukk Z. Det er mengden da av negative, naturlige tall. 00:01:48.600 --> 00:01:55.800 Så har vi med 0 videre oppover. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:01:57.400 --> 00:02:08.199 Det neste nå, å utvide tallsystemet vårt enda videre, er å gå til mengden vi kaller for Q. 00:02:08.199 --> 00:02:16.850 Det er altså brøker. Det er alle tall som kan skrives som brøk. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:02:16.850 --> 00:02:23.500 Nå er det kanskje ikke så lett å begynne å ramse opp alle brøker på den fine måten vi kunne 00:02:23.500 --> 00:02:33.300 for hele tall for eksempel. En brøk kan 2/3, 5/8, 7/16, 180/6 osv. 00:02:33.300 --> 00:02:41.100 Da er det veldig fint å kunne innføre symboler, nettopp til sånn type bruk. Da kan vi nemlig skrive mengden Q 00:02:41.100 --> 00:02:49.300 som mengden av a/b, NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:02:49.500 --> 00:03:03.000 slik at a og b nå er element i mengden av hele tall. Det betyr at a og b kan være et hvilket 00:03:03.000 --> 00:03:04.550 som helst tall inni her, NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:03:04.550 --> 00:03:11.900 og så skrive det opp med en strek imellom, en brøkstrek. Så må vi huske at b skal være forskjellig fra 0. 00:03:11.900 --> 00:03:19.200 Da har vi skrevet opp mengden av alle brøker. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:03:19.200 --> 00:03:25.600 Da ser vi en fin måte å bruke symboler på, og at symboler er helt nødvendig å ha i matematikken. 00:03:25.600 --> 00:03:27.200 NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:03:27.200 --> 00:03:32.250 Det neste tallsystemet etter brøk NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:03:32.250 --> 00:03:43.100 vil naturlig være de reelle tallene. Når vi sier et tall, så vil vi mene et reelt tall. 00:03:43.100 --> 00:03:50.900 Det betyr at vi kan faktisk finne det tallet liggende på en linje som fortsetter i det uendelige. 00:03:50.900 --> 00:03:52.100 NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:03:52.100 --> 00:03:58.800 Her på denne linja så finner vi for eksempel brøker. Vi finner de hele tallene et sted her 00:03:58.800 --> 00:04:01.300 og de naturlige tallene. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:04:01.900 --> 00:04:10.600 Vi merker oss også at hvis vi tar de reelle tallene og så trekker vi fra brøkene, NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:04:10.600 --> 00:04:25.600 da får vi såkalte irrasjonale tall. Et annet ord for brøker er rasjonale tall. Så hvis vi tar vekk brøkene, 00:04:25.600 --> 00:04:32.000 så står vi igjen med de irrasjonale tallene. Det er tall som ikke kan skrives som brøker, for eksempel 00:04:32.000 --> 00:04:44.450 roten av 2, roten av 3, pi, e osv. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:04:44.450 --> 00:04:51.900 Alle tall som dukker opp veldig ofte og disse er irrasjonale: de kan ikke skrives som brøk. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:04:54.200 --> 00:05:02.600 Hvis vi tar for oss alle tallene, som ligger tett i tett i tett på denne tallinjen her, og alle mulige symboler osv 00:05:02.600 --> 00:05:09.300 så kan vi lage oss veldig mange rare uttrykk. Når vi skal løse problemer 00:05:09.300 --> 00:05:15.900 så dukker det ofte opp mange uttrykk. Da er det fint for eksempel å ha litt forenklede skriveformer. 00:05:15.900 --> 00:05:27.450 Dette som står her kan skrives som 2^3, fordi det er tre 2-tall. NOTE Treffsikkerhet: 68% (MEDIUM) 00:05:27.450 --> 00:05:31.400 Der har vi allerede NOTE Treffsikkerhet: 48% (MEDIUM) 00:05:31.400 --> 00:05:34.500 en forkortet skrivemåte. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:05:35.700 --> 00:05:44.300 Det som er enda viktigere kanskje når vi skal regne med tall og symboler, er at vi må 00:05:44.300 --> 00:05:46.300 ha hjelp noen ganger av parenteser. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:05:46.300 --> 00:06:14.800 La oss nå prøve å regne ut et uttrykk. -2*3 + (a+7)*9 - (4-2a / 2) + a*2^3. 00:06:14.800 --> 00:06:19.100 NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:06:21.400 --> 00:06:26.800 Dette uttrykket vil vi gjerne forenkle. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:06:27.000 --> 00:06:35.150 Hva står det nå her? Hvis vi leser fra venstre mot høyre, så står det altså -2*3 NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:06:35.150 --> 00:06:45.500 + og så har vi en parentes i hele dette uttrykket. Det betyr at a og 7, de hører sammen. 00:06:45.500 --> 00:06:46.900 NOTE Treffsikkerhet: 61% (MEDIUM) 00:06:47.000 --> 00:06:53.200 Så har vi da at a+7 skal ganges med 9. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:06:53.200 --> 00:07:03.200 Hvis ikke den parentesen hadde stått der, så måtte vi ha satt et gangetegn mellom 7 og 9. 00:07:03.200 --> 00:07:05.350 Ellers hadde det blitt 79. NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:07:05.350 --> 00:07:11.000 Hvis parantesen hadde vært borte, så hadde bare a stått for seg selv. NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:07:11.000 --> 00:07:15.700 Der ser vi en fin bruk av parentes. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:07:15.700 --> 00:07:26.950 Videre står det - og en brøk som heter (4-2a / 2). Så har vi +a*2^3. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:07:26.950 --> 00:07:34.900 Her borte står det heller ingen parantes, som betyr at det er kun 2-tallet som skal 00:07:34.900 --> 00:07:36.050 opphøyes i tredje. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:07:36.050 --> 00:07:44.500 Så fort vi setter på en parentes, da for eksempel rundt både a og 2, så blir det at a også 00:07:44.500 --> 00:07:51.500 skal opphøyes i tredje. Da ser vi at parenteser er viktig. Enten fordi de ikke er der, eller fordi de er der. 00:07:51.500 --> 00:07:52.700 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:55.800 --> 00:08:02.600 Dette er et ganske stort uttrykk. Jo større uttrykk man har, jo kanskje lenger tilbake må man gå 00:08:02.600 --> 00:08:10.000 for å få litt oversikt over uttrykket. I matematikken, når man ser sånn uttrykk, så er det summene 00:08:10.000 --> 00:08:18.650 vi fokuserer på. Dette her leser vi altså som at vi skal summere en del ledd. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:08:18.650 --> 00:08:26.350 Det er det som er viktig. Da er -2*3 et ledd. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:08:26.350 --> 00:08:34.299 Det betyr ikke at vi skal ta -2 og at gangetegnet går helt bort hit, fordi da skulle det stått 00:08:34.299 --> 00:08:43.900 en parentes rundt hele dette her. Det er bare -2*3 som skal høre sammen i et ledd. 00:08:43.900 --> 00:08:56.600 Det neste leddet er (a+7)*9. Så har vi nok et ledd, nemlig brøken. Brøken er et eget ledd, og a*2^3 00:08:56.600 --> 00:08:58.300 er et eget ledd. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:08:58.400 --> 00:09:05.300 Da har vi fokusert inn på leddene, og så regner vi ut hver av leddene for seg før vi begynner 00:09:05.300 --> 00:09:06.700 å trekke sammen. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:09:06.700 --> 00:09:11.050 Da får vi -2*3 = -6. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:09:11.050 --> 00:09:26.600 Så skal 9 ganges inn med både a og 7 siden det står parentes. Vi får 9*a + 9*7. 00:09:26.600 --> 00:09:27.900 Så var det brøken vår. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:09:27.900 --> 00:09:31.800 Da står det minus foran brøken. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:09:31.800 --> 00:09:41.500 Den brøken kan vi jo prøve å forenkle litt. Da ser vi at telleren kan faktoriseres som (2*(2-a) / 2). 00:09:41.500 --> 00:09:50.300 Nå kommer det inn to parenteser plutselig, NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:09:50.300 --> 00:10:02.100 som vi trenger for å vite hva som hører sammen. 8a får vi nå, for 2^3 er 8. Det var kun 2-tallet 00:10:02.100 --> 00:10:12.800 som skulle opphøyes i tredje. a*8 er det samme som 8*a. Da kan vi trekke litt sammen. 00:10:12.800 --> 00:10:27.200 -6 + 63 = 57. Så har vi 9a her borte og 8a der. De kan trekkes sammen fordi uansett hva a er, 00:10:27.200 --> 00:10:33.700 så vil a være det samme både her og der borte. Det blir 17*a til sammen. NOTE Treffsikkerhet: 60% (MEDIUM) 00:10:33.900 --> 00:10:37.250 Så er vi ikke helt ferdig med brøken. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:10:37.250 --> 00:10:42.700 Nå har vi faktorisert. Nå står det gangetegn her, som man ikke alltid ser. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:10:42.700 --> 00:10:53.000 Da kan vi forkorte de to 2-tallene, og så står det (-) og da er det greit å beholde den ene parantesen. 00:10:53.000 --> 00:10:54.500 NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:10:54.500 --> 00:11:05.900 Da vet vi at når vi skal løse opp den parentesen og kvitte oss med parentesen, 00:11:05.900 --> 00:11:07.850 så bytter vi fortegn. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:11:07.850 --> 00:11:15.600 Hvis ikke parantesen hadde stått der, så hadde det blitt et annet uttrykk. Parenteser er viktig. 00:11:15.600 --> 00:11:16.650 NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:11:16.650 --> 00:11:28.100 Da får vi 57 - 2 = 55. 17a + en ekstra a, da blir det 18a til sammen. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:11:30.500 --> 00:11:38.600 Da har vi fulgt regnereglene. Vi har forskjellige tallsystemer og vi har regneregler for brøk 00:11:38.600 --> 00:11:45.700 og vi har regneregler for potenser. Vi har regneregler for reelle tall, og vi har parenteser til å hjelpe oss 00:11:45.700 --> 00:11:50.900 å holde styr på alle disse forskjellige tingene vi kan lage oss. Ved hjelp av dette her, så er det 00:11:50.900 --> 00:11:59.100 ingen som helst tvil om at det store uttrykket der blir nøyaktig 55 + 18a.