WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:12.100 Da skal vi bli litt kjent med matriser, som er rektangulære tabeller. Denne tabellen skal vi 00:00:12.100 --> 00:00:21.300 fylle med tall. De skal stå i rader og kolonner. Det betyr at en matrise 00:00:21.300 --> 00:00:30.400 vil ha en dimensjon som vi da skal betegne med antall rader*antall kolonner. Tallene i matrisen skal vi 00:00:30.400 --> 00:00:42.400 kalle for komponentene til matrisen. Store bokstaver betegner en matrise. 00:00:42.400 --> 00:00:49.000 Ofte bruker vi de store bokstavene, men andre ganger er det veldig greit å komme ned på komponentnivå. 00:00:49.000 --> 00:00:58.400 Generelt innfører vi små bokstaver for disse komponentene med da subskripter. 00:00:58.400 --> 00:00:59.849 i står for raden til komponenten, NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:59.849 --> 00:01:08.000 og j står for kolonnen til komponenten. Så hvis vi for eksempel har en 3x2-matrise. 00:01:08.000 --> 00:01:17.900 Den har tre rader og to kolonner. En generell slik matrise kan vi da skrive med komponenter 00:01:17.900 --> 00:01:30.500 a11 for komponenten i første rad, første kolonne. a12 for komponenten i første rad, andre kolonne. 00:01:30.500 --> 00:01:40.700 a21 for andre rad, første kolonne. a22 for andre rad, andre kolonne. Så skal vi ha tre rader, så vi får 00:01:40.700 --> 00:01:51.200 a31 for tredje rad, første kolonne og a32 for tredje rad, andre kolonne. Så har vi firkantparenteser rundt 00:01:51.200 --> 00:01:52.550 komponentene. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:52.550 --> 00:02:04.100 Disse nye objektene kan vi regne med. Så for eksempel kan vi se på følgende regnestykke: 00:02:04.100 --> 00:02:17.500 hvis vi setter opp tallene 1, 4, 2. -4, 0, 7. Denne er nå to rader og tre kolonner, så den er en 2x3-matrise. 00:02:17.500 --> 00:02:34.900 Så kan vi for eksempel ta +3 ganger en annen matrise. -2, 0, 1. 5, 5, 2. Denne matrisen er også en 2x3-matrise. 00:02:34.900 --> 00:02:44.100 Det betyr at vi kan legge dem sammen. Vi kan kun legge sammen matriser som har samme dimensjon. 00:02:44.100 --> 00:02:48.450 Hvis vi har forskjellige dimensjoner, så er ikke addisjon definert. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:02:48.450 --> 00:02:56.100 En annen ting er at vi kan gange matriser med en skalar, eller et tall, og det gjør vi ved å gange dette tallet 00:02:56.100 --> 00:03:04.700 inn i hver av komponentene i matrisen. Når vi skal regne ut dette regnestykket, så kan vi 00:03:04.700 --> 00:03:25.200 først beholde den første matrisen, og så ganger vi inn 3 i matrisen. Da får vi -6, 0, 3. 15, 15, 6. 00:03:25.200 --> 00:03:27.750 Vi har ganget inn 3 i alle komponentene. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:03:27.750 --> 00:03:35.700 Så skal vi da legge disse to sammen, det gjør vi komponentvis. Det betyr at vi tar første rad, 00:03:35.700 --> 00:03:43.300 første kolonne med første rad, første kolonne her osv bortover. Vi får en ny matrise som svar, 00:03:43.300 --> 00:03:52.500 den vil ha samme dimensjon. Komponenten i første rad, første kolonne blir 1-6=-5. 00:03:52.500 --> 00:03:53.550 NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:03:53.550 --> 00:04:09.250 Første rad, andre kolonne blir 4+0=4. Så får vi 2+3=5. -4+15=11. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:04:09.250 --> 00:04:30.600 0+15=15. 7+6=13. Så da ser vi hvordan vi definerer oss multiplikasjon 00:04:30.600 --> 00:04:39.800 med skalar og addisjon av matriser. Det neste er å se på hvordan vi multipliserer matriser. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:04:41.000 --> 00:04:48.100 Da skal vi se litt på matrisemultiplikasjon. Definisjonen av dette her kan virker kanskje litt merkelig, 00:04:48.100 --> 00:04:55.300 men den viser seg å være veldig hensiktsmessig. Så la oss se hvordan vi da multipliserer to matriser. 00:04:55.300 --> 00:05:12.100 Vi tar et eksempel, og ser på matrisen 3, 1. 0, -1. 2, 5. 7, 0. Dette er en 4 rader, 00:05:12.100 --> 00:05:15.750 2 kolonner. 4x2-matrise. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:05:15.750 --> 00:05:29.700 Og så skal vi da multiplisere den med matrisen 4, 2, 1. -1, 5, 2. Dette er en 2x3-matrise. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:05:30.000 --> 00:05:38.800 Det første vi merker oss når vi skal multiplisere matriser, er at vi må ha antall kolonner 00:05:38.800 --> 00:05:47.200 i den første matrisen må være lik antall rader i den andre. Disse to tallene må være like. 00:05:47.200 --> 00:05:56.100 Hvis ikke de er like, så kan vi ikke multiplisere matriser på denne måten. Da skal vi regne ut dette. 00:05:56.100 --> 00:06:04.300 Vi får en ny matrise som svar, og den vil ha en dimensjon og komponenter. 00:06:04.300 --> 00:06:12.800 Dimensjonen til den nye matrisen vil være 4x3 i dette tilfellet. 00:06:12.800 --> 00:06:15.850 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:06:15.850 --> 00:06:25.500 Komponentene skal vi finne ved bruke radene i den første matrisen og kolonnene i den andre. 00:06:25.500 --> 00:06:33.600 Poenget med at vi har like mange komponenter i radene som i kolonnene, er at vi skal ta skalarproduktet 00:06:33.600 --> 00:06:41.700 mellom raden og kolonnen. Det betyr at vi skal gange de to første komponentene med hverandre 00:06:41.700 --> 00:06:48.400 og de to neste med hverandre, og så skal vi legge sammen disse produktene. Det skal vi gjøre 00:06:48.400 --> 00:06:56.200 med alle komponentene bortover. For å få første rad, første kolonne i den nye matrisen, 00:06:56.200 --> 00:07:07.050 skal vi bruke første rad her og første kolonne her. Vi får 3*4 + 1*(-1). NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:07:07.050 --> 00:07:13.600 Det gir komponenten i første rad, første kolonne. Og så skal vi fortsette bortover. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:13.600 --> 00:07:23.900 I neste kolonne bruker vi fortsatt første rad og andre kolonne. Da tar vi 3*2 + 1*5. 00:07:23.900 --> 00:07:36.200 Så skal vi ha tredje kolonne, første rad. Så da tar vi første rad og tredje kolonne. 00:07:36.200 --> 00:07:48.250 Det blir 3*1 + 1*2. Da er vi ferdig med første rad. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:07:48.250 --> 00:07:56.700 Så kommer andre rad, og da gjør vi det samme. Bruker andre rad her og hver kolonne bortover 00:07:56.700 --> 00:08:11.800 for å flytte oss i kolonnene i svaret. Da får vi først 0*4 + (-1)*(-1). Det er andre rad, første kolonne. 00:08:11.800 --> 00:08:26.500 Så kommer neste. 0*2 + (-1)*5. Så den siste kolonnen, 0*1 + (-1)*2. 00:08:26.500 --> 00:08:29.000 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:08:32.299 --> 00:08:45.800 Det var andre rad. Vi gjør det samme med tredje rad. Da får vi 2*4 + 5*(-1). 00:08:45.800 --> 00:09:02.200 Dette passer veldig godt sammen. Det blir 2*2 + 5*5. Så kommer 2*1 + 5*2. 00:09:02.200 --> 00:09:23.900 Så var det en rad igjen. Da får vi først 7*4 + 0*(-1). Så får vi 7*2 + 0*5. 00:09:23.900 --> 00:09:26.300 Og så får vi 7*1 + 0*2. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:09:26.300 --> 00:09:38.600 Her står nå den nye matrisen vi får som svar. Så er det da noen regnestykker inni her 00:09:38.600 --> 00:09:51.800 som vi må regne ut. 12-1=11 i første rad, første kolonne. Så blir det 6+5=11. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:09:51.800 --> 00:09:56.100 Så blir det 3+2=5. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:09:56.100 --> 00:10:08.900 0, og så blir dette +1. Så får vi 0*2 - 1*5 = -5. Så får vi 0-2=-2. 00:10:08.900 --> 00:10:29.500 Her blir det 8-5=3. 4+25 blir 29. 2+10, da får vi 12. Så får vi 7*4 er 28. 00:10:29.500 --> 00:10:36.350 14+0 gir 14. NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:10:36.350 --> 00:10:39.800 7*1 + 0 = 7. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:10:41.300 --> 00:10:56.600 Her har vi da svarmatrisen. Når vi ganger en 4x2-matrise med en 2x3-matrise, får vi en 4x3-matrise. 00:10:56.600 --> 00:11:02.400 Det er veldig viktig å merke seg hvordan vi definerer oss matrisemultiplikasjon. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:11:02.800 --> 00:11:11.900 Det er mye som kan sies om matriser, og vi skal si hvertfall littegranne til av nyttige ting. 00:11:11.900 --> 00:11:20.400 Det ene er at vi har en matrise som kalles nullmatrisen, som har 0 i alle komponenter. 00:11:20.400 --> 00:11:28.200 Matrisen kan ha forskjellige dimensjoner. Kan være en 2x2 eller kan være 104x356 eller hva som helst, 00:11:28.200 --> 00:11:37.250 bare det står 0 i alle komponenter. Så har vi identitetsmatrisen av dimensjon n. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:11:37.250 --> 00:11:45.200 Det betyr at vi har en nxn-matrise. Det betyr også at den er kvadratisk, og i en kvadratisk matrise 00:11:45.200 --> 00:11:52.100 kan vi danne diagonaler. Både en som starter øverst til venstre og går ned mot høyre, 00:11:52.100 --> 00:11:59.500 og en som starter oppe i høyre og går ned mot venstre. Når vi sier diagonalen, så mener vi den som går 00:11:59.500 --> 00:12:01.599 fra venstre mot høyre. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:12:01.599 --> 00:12:09.900 Identitetsmatrisen er en diagonalmatrise, som betyr at vi har noe forskjellig fra 0, 00:12:09.900 --> 00:12:17.500 eller kan være 0, stående på diagonalen, men vi har alltid 0 utenfor diagonalen. 00:12:17.500 --> 00:12:26.300 For en identitetsmatrise, er det i tillegg sånn at det står 1 på diagonalkomponentene. 00:12:26.300 --> 00:12:36.400 I2 vil være matrisen der det står 1 på diagonalen og 0 ellers. Det er altså en 2x2-matrise. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:12:36.600 --> 00:12:46.300 I tillegg kan det hende vi treffer på litt merkelige skrivemåter. 00:12:46.300 --> 00:12:59.600 Da har vi bare komprimert matrisen litt sammen. Dette betyr at vi har identitetsmatrisen I3. 00:12:59.600 --> 00:13:13.000 3x3-matrisen med 1ere på diagonalen og 0 ellers. Stående i venstre, øverst i hjørnet. 00:13:13.000 --> 00:13:23.100 Så har vi tall som kan være forskjellig fra 0 stående her. Så har vi rader med 0 under denne matrisen. 00:13:23.100 --> 00:13:26.550 Det er bare en skrivemåte vi kan merke oss. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:13:26.550 --> 00:13:34.500 I tillegg har vi også at addisjon av matriser og skalarmultiplikasjon gjør at vi kan skrive følgende. 00:13:34.500 --> 00:13:52.300 Vi kan se på matrisen 2-s, nå får vi inn noe symboler også. 3+2s+t og t. 00:13:52.300 --> 00:14:04.100 Det er en 3x1-matrise som vi også kan tenke på som en kolonnevektor. Da gjør matriseaddisjon at vi kan 00:14:04.100 --> 00:14:10.700 plukke ut konstantleddene og s-leddene og t-leddene for seg. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:14:10.700 --> 00:14:17.800 For eksempel kan vi da trekke ut konstantene. Der står det 2, 3 og her står det 0 som konstant. 00:14:17.800 --> 00:14:28.300 Så kan vi skrive konstantene som en egen kolonnevektor. Så kan vi sette s utenfor, 00:14:28.300 --> 00:14:34.900 fordi vi vet at å gange inn et tall i en matrise er det samme som å gange med hver komponent. 00:14:34.900 --> 00:14:43.500 Da kan vi trekke ut komponentene som står foran s i hver rad her. Her står det -1*s. 00:14:43.500 --> 00:14:54.800 Der står det 2s, og her står det 0s. Så får vi -1. 2. 0, skal da ganges med s. 00:14:54.800 --> 00:15:03.500 Til slutt kan vi sette t-leddene. Her står det ingen t-er. Her står det 1t og 1t. Hvis vi setter t utenfor, 00:15:03.500 --> 00:15:08.550 så får vi 0. 1. 1. som kolonnevektor. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:15:08.550 --> 00:15:18.600 Det er altså matriseaddisjon som gjør at vi kan skrive disse matrisene og summen av matriser 00:15:18.600 --> 00:15:25.000 på to forskjellige måter. Noen ganger er det den matrisen som er hensiktsmessig å bruke. 00:15:25.000 --> 00:15:33.700 Andre ganger kan det være fint og oversiktlig å dele det opp i konstanter og da s-ledd og t-ledd 00:15:33.700 --> 00:15:35.450 sånn som i dette tilfellet. NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:15:35.450 --> 00:15:39.500 Det er nå litt om matriser.