WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:10.100 Matriser kan brukes til mange forskjellige ting, og ikke minst kan de brukes til å se på løsninger 00:00:10.100 --> 00:00:25.200 av lineære likningssystemer. Det skal vi se på nå. Vi starter med en lineær likning, 00:00:25.200 --> 00:00:38.700 der vi kaller variablene x1, ..., xn. Tallene aij og b er bare reelle tall. 00:00:38.700 --> 00:00:43.550 Dette er en lineær likning i variablene x1, x2, ..., xn. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:00:43.550 --> 00:00:54.500 Men nå skal vi ikke bare ha en sånn ligning, vi skal ha mange sånne ligninger. 00:00:54.500 --> 00:01:11.000 am1 kan vi kalle koeffisienten i den m-te ligningen. Så får vi koeffisient amn foran xn. 00:01:11.000 --> 00:01:14.800 Vi har fått m likninger. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:01:15.800 --> 00:01:24.800 Når vi skal løse et sånt system, så betyr det at alle ligningene skal være oppfylt samtidig. 00:01:24.800 --> 00:01:33.300 Vi skal finne x1, x2, ..., xn, n-tupler som passer inn i alle ligningene samtidig. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:01:33.300 --> 00:01:42.200 En måte å gjøre det på, er å utnytte matrisemultiplikasjon. Dette systemet kan vi nå skrive 00:01:42.200 --> 00:01:55.500 ved hjelp av matriser. Da får vi matrisen a11, a12, ..., a1n. Så får vi nedover til am1, am2, ..., amn. 00:01:55.500 --> 00:02:15.000 Denne matrisen skal ganges med kolonnen som består av variablene våre. 00:02:15.000 --> 00:02:21.000 Så får vi da lik en kolonne bestående av b-er. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:02:22.700 --> 00:02:32.000 Vi har plukket ut a-ene og satt i en matrise. Dette kalles koeffisientmatrisen til ligningssystemet 00:02:32.000 --> 00:02:37.800 fordi vi nettopp har plukket ut koeffisientene. Hvis vi utnytter matrisemultiplikasjon, 00:02:37.800 --> 00:02:45.900 får vi nettopp at når vi ganger første rad med denne kolonnen, 00:02:45.900 --> 00:02:59.000 får vi tilbake første ligning. a11*x1 + a12*x2 osv, ned til a1n*xn som står her. 00:02:59.000 --> 00:02:59.750 NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:02:59.750 --> 00:03:04.850 Dette her er en mxn-matrise, NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:03:04.850 --> 00:03:16.100 og dette er en kolonne som er nx1, og så har vi kolonnen av b-er som er en mx1-matrise. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:03:16.800 --> 00:03:25.600 Da ser vi at nå har vi fått plukket ut koeffisientene her. De andre tallene b har vi også oppgitt 00:03:25.600 --> 00:03:32.500 når vi har oppgitt et system av likninger, de står her. For det første, kan dette skrives 00:03:32.500 --> 00:03:45.100 forkotet A for koeffisientmatrisen, x-vektor som består av variablene, lik b-vektor. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:03:45.100 --> 00:03:49.700 Poenget er at vi ønsker å løse dette systemet. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:03:49.700 --> 00:03:57.900 Det vi gjør da, er at vi danner oss den utvidede matrisen som består av koeffisientmatrisen. 00:03:57.900 --> 00:04:12.400 Så setter vi på b-vektor som en ekstra kolonne i matrisen. Dette er den utvidede matrisen 00:04:12.400 --> 00:04:15.700 til ligningssystemet. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:04:15.700 --> 00:04:23.049 Hvis vi ikke hadde brukt matriser og skulle løse det ligningssystemet, hva hadde vi gjort da? NOTE Treffsikkerhet: 61% (MEDIUM) 00:04:23.049 --> 00:04:26.650 Jo, vi skulle funnet x-ene. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:04:26.650 --> 00:04:35.500 Da prøver vi på en måte å slå sammen ligningene. Alle ligningene skal være oppfylt samtidig, 00:04:35.500 --> 00:04:41.300 vi prøver å redusere ligningssystemet sånn at vi til slutt står igjen med at x1 er lik noe, 00:04:41.300 --> 00:04:45.200 x2 er lik noe og så videre. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:04:45.200 --> 00:04:54.500 Det vi gjør når vi får den utvidede matrisen isteden, er at vi setter opp alle tallene, a-ene og b-ene. 00:04:54.500 --> 00:05:02.350 Det er de vi har plukket ut av systemet, og det er de vi har oppgitt når vi har oppgitt et ligningssystem. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:05:02.350 --> 00:05:12.500 x-ene holder vi styr på ved at de hører hjemme i hver av kolonnene i A-matrisen. Vi har ikke glemt x-ene, 00:05:12.500 --> 00:05:15.799 selv om de ikke er med i den utvidede matrisen. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:05:15.799 --> 00:05:25.800 Så reduserer vi denne matrisen til såkalt redusert trappeform. Det betyr at vi skal få så mange 1ere og 0ere 00:05:25.800 --> 00:05:35.700 som mulig i matrisen. Ut fra den reduserte trappeformen skal vi kunne lese ut 00:05:35.700 --> 00:05:43.600 hva løsningene til dette systemet er. Det skal vi se litt nærmere på. 00:05:43.600 --> 00:05:50.300 Vi ser på hvordan vi kan løse lineære likningssystemer ved hjelp av matriser. Vi setter opp koeffisientmatrisen 00:05:50.300 --> 00:05:56.950 og kolonnevektoren b, og får den utvidede matrisen. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:05:56.950 --> 00:06:14.500 Det neste vi gjør, er å redusere denne matrisen til en matrise som er på redusert trappeform. 00:06:14.500 --> 00:06:34.300 La oss se et eksempel på det. Matrisen med raden 1, 2, 0, 3, -1 og raden 0, 0, 1, 2, 0. Dette er en 2x5-matrise. 00:06:34.300 --> 00:06:41.400 Hvis vi tenker på dette som en utvidet matrise til et likningssystem, så betyr det at vi har fire variabler, 00:06:41.400 --> 00:06:50.500 og så har vi to likninger. Den siste kolonnen kommer fra denne b-kolonnen. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:06:50.500 --> 00:07:00.300 Jeg påstår at denne matrisen er nå på redusert trappeform, og hvorfor det? Jo, fordi for hver rad 00:07:00.300 --> 00:07:08.000 som ikke bare består 0ere (hvis vi har 0er, så ligger de nederst), men alle de andre radene-- 00:07:08.000 --> 00:07:15.100 det første tallet som er forskjellig fra 0 når vi går bortover fra venstre mot høyre, det er 1. 00:07:15.100 --> 00:07:18.100 Både i den raden og i denne. NOTE Treffsikkerhet: 63% (MEDIUM) 00:07:18.100 --> 00:07:22.700 Disse 1erne kalles ledende enere. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:07:22.700 --> 00:07:32.800 En annen ting er at det skal stå 0 under de ledende enerne, og det gjør det her. Her er vi ferdig, 00:07:32.800 --> 00:07:35.400 det er ikke noen flere rader så den er ok. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:35.400 --> 00:07:44.600 En annen ting, er at de ledende enerne skal stå i en trapp. Det betyr at hvis vi har to rader under hverandre 00:07:44.600 --> 00:07:51.100 med ledende enere, så skal den ledende eneren som står underst, står lenger til høyre enn den over, 00:07:51.100 --> 00:07:54.400 sånn at vi får dannet en trapp. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:54.400 --> 00:08:03.000 Når vi har redusert trappeform, så skal det også stå 0 over alle de ledende enerne. 00:08:03.000 --> 00:08:09.800 Det gjør det her, og her har vi ikke noen rader over, så der er det også greit. Dette er en matrise 00:08:09.800 --> 00:08:11.650 på redusert trappeform. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:08:11.650 --> 00:08:19.800 Når vi har redusert denne matrisen, den utvidede matrisen til systemet vårt 00:08:19.800 --> 00:08:27.500 til redusert trappeform, så kan vi lese av hvor mange løsninger vi har, og også lese av løsningene. 00:08:27.500 --> 00:08:42.500 For eksempel kan vi ha en løsning. Da vil den reduserte trappeformen være på følgende form. 00:08:42.500 --> 00:08:52.300 Vi vil ha en identitetsmatrise her oppe. Siden vi har n variabler i et sånn generelt ligningssystem, 00:08:52.300 --> 00:09:00.600 så vil det stå nxn-identitetsmatrise her. Så vil det være en kolonne her, hvor det kan stå noe tall 00:09:00.600 --> 00:09:11.800 forskjellig fra 0. Så vil vi ha rader med 0 under. Denne har n+1 kolonner. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:09:11.800 --> 00:09:14.849 NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:09:14.849 --> 00:09:23.400 Vi har identitetsmatrisen og tall her. Disse tallene som står her, det er da løsningen på systemet. 00:09:23.400 --> 00:09:31.300 Da sier identitetsmatrisen at ligningssystemet vi startet med har blitt overført til x1 er lik et tall, 00:09:31.300 --> 00:09:42.000 x2 er lik et tall og så videre nedover. Det gir en løsning. Det fine med denne prosessen, 00:09:42.000 --> 00:09:49.900 som kalles Gauss-Jordan-eliminasjon, som da tar en matrise og lager redusert trappeform. 00:09:49.900 --> 00:09:58.400 Denne overgangen her gjør at vi ikke forandrer på løsningsmengden på systemet som vi skal løse, 00:09:58.400 --> 00:09:59.849 og det er veldig viktig. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:09:59.849 --> 00:10:07.400 Løsningsmengden til systemet som vi har satt opp her, vil være det samme som det systemet vi får her. 00:10:07.400 --> 00:10:13.050 Disse operasjonene vi gjør i midten vil ikke forandre på de løsningene. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:10:13.050 --> 00:10:21.000 En løsning, da ser den reduserte trappeformen sånn ut. Det kan godt hende at ligningssystemet 00:10:21.000 --> 00:10:35.400 vi startet med har ingen løsning. Da vil den reduserte trappeformen også kunne fortelle oss om vi har det. 00:10:35.400 --> 00:10:46.700 Da vil vi nemlig få en rad som består av 0 og så et tall på slutten, 00:10:46.700 --> 00:10:48.849 og det tallet skal være forskjellig fra 0. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:10:48.849 --> 00:11:00.100 Så det er en sånn rad som dette her. Den sier jo at 0 ganger de forskjellige variablene skal være 00:11:00.100 --> 00:11:06.100 lik et tall forskjellig fra 0, og det gir ikke mening. Det betyr at vi startet med et system som også 00:11:06.100 --> 00:11:15.000 heller ikke ga mening. Så vi har ingen løsning. Det finnes ingen x1, ..., xn-tupler som passer inn 00:11:15.000 --> 00:11:18.800 i alle de ligningene vi ville løse ut for. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:11:19.500 --> 00:11:26.100 Siden vi har lineære ligningssystemer så kan vi ha en løsning eller ingen løsning. 00:11:26.100 --> 00:11:39.200 Hvis vi har flere enn en løsning, så har vi faktisk uendelig mange løsninger. I det tilfellet 00:11:39.200 --> 00:11:47.400 vil den reduserte trappeformen ha såkalte frie variabler. Hvis vi ser på dette eksempelet her. 00:11:47.400 --> 00:11:59.100 Dette er en redusert trappeform som vil gi oss uendelig mange løsninger. Vi har frie variabler. 00:11:59.100 --> 00:12:11.950 Her ble vi enige om at vi har fire variabler. Kan kalle dem x1, x2, x3 og x4. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:12:11.950 --> 00:12:24.600 Den første raden sier at x1 + 2*x2 + 0*x3 + 3*x4 = -1. 00:12:24.600 --> 00:12:39.200 Den andre raden sier at x3 + 2*x4 = 0. Dette kan vi sette opp på følgende måte. Siden x1 svarer til 00:12:39.200 --> 00:12:48.200 en ledende ener, så vil dette være en ledende variabel. Det vil også x3 være, fordi den også svarer til 00:12:48.200 --> 00:13:00.800 en ledende ener. De frie variablene er de som ikke svarer til ledende enere. 00:13:00.800 --> 00:13:10.550 Vi har to frie variabler her, x2 og x4, som betyr at vi kan velge hva vi vil for dem. NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:13:10.550 --> 00:13:20.300 Da innfører vi gjerne en parameter for hver av de frie variablene. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:13:20.300 --> 00:13:35.600 Så kan vi sette opp fra den reduserte trappeformen at x1 + 2*x2 som er s, + 0*x3 + 3*x4 00:13:35.600 --> 00:13:40.000 som er t, skal være lik -1. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:13:40.000 --> 00:13:49.600 Den andre raden sier at x3 + 2*x4 som er t, skal være 0. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:13:50.600 --> 00:13:58.150 Da kan vi løse ut og skrive opp NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:13:58.150 --> 00:14:14.100 de uendelig mange løsningene. Da får vi x1, x2, x3, x4. NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:14:14.300 --> 00:14:23.800 x1 = -1-2s-3t. NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:14:23.800 --> 00:14:41.700 x2 = s. x3 = -2t. x4 = t. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:14:44.100 --> 00:14:59.800 Da har vi skrevet opp løsningene x1, x2, x3, x4, som da alle mulige 4-tupler, der s og t kan være 00:14:59.800 --> 00:15:06.800 hvilke som helst reelle tall. Det er derfor vi får uendelig mange løsninger. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:15:06.900 --> 00:15:15.200 Da har vi sett at for å løse et lineært likningssystem, så setter vi opp den utvidede matrisen 00:15:15.200 --> 00:15:20.550 ved hjelp av matrisemultiplikasjonen. Vi reduserer denne til redusert trappeform, NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:15:20.550 --> 00:15:30.600 og så kan vi fra den reduserte trappeformen lese av en løsning, og hva denne eventuelt er. 00:15:30.600 --> 00:15:38.300 Eller om vi har ingen løsning, en sånn type rad. Eller om vi har uendelig mange løsninger. Da kan vi også 00:15:38.300 --> 00:15:45.000 bruke den reduserte trappeformen til å få en parameterfremstilling av de tuplene som passer inn 00:15:45.000 --> 00:15:47.900 i det systemet vi hadde tenkt å løse.