WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:10.800 Vi skal nå se hvordan vi kan redusere en matrise til redusert trappeform. 00:00:10.800 --> 00:00:17.600 Da skal vi bruke metoden Gauss-Jordan-eliminasjon. Vi skal gjøre det ved å se på et eksempel. 00:00:17.600 --> 00:00:37.000 Vi ser på matrisen [2, 1, -2, 0], [-1, 3, 2, 1], [4, 0, -1, -2]. 00:00:37.000 --> 00:00:43.600 Bakgrunnen for å skulle redusere en matrise til redusert trappeform, er at vi ønsker 00:00:43.600 --> 00:00:49.900 å løse lineære likningssystemer. Vi kan tenke på dette som en utvidet matrise til et likningssystem. 00:00:49.900 --> 00:00:57.300 Det betyr at i de tre første kolonnene her, har vi plukket ut koeffisientene 00:00:57.300 --> 00:00:59.550 i ligningssystemet, NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:00:59.550 --> 00:01:06.400 de tallene som står foran variablene. Så har vi da denne ekstra kolonnen, som er denne b-kolonnen 00:01:06.400 --> 00:01:08.900 i ligningssystemet. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:01:09.300 --> 00:01:19.100 Når denne skal reduseres til redusert trappeform, så skal vi skaffe oss 1ere og 0ere, så mange som mulig, 00:01:19.100 --> 00:01:25.800 under og over de ledende enerne. Vi skal snakke oss gjennom dette her etter hvert. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:26.200 --> 00:01:33.449 Vi har lov til å gjøre tre operasjoner. Operasjonene skal vi gjøre på radene. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:01:33.449 --> 00:01:43.500 Vi kan bytte to rader, vi kan gange en rad med et tall, og vi kan også gange en rad med et tall 00:01:43.500 --> 00:01:48.550 og legge det til en annen rad. Det er de tre operasjonene vi skal bruke. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:01:48.550 --> 00:01:56.200 Det første vi gjør, er da å skaffe oss så mange ledende enere som mulig. 00:01:56.200 --> 00:02:02.800 Når vi beveger oss fra venstre bortover i radene, skal det første tallet vi kommer til, som er forskjellig fra 0, 00:02:02.800 --> 00:02:09.900 være en ener. Hvis vi ser litt på denne matrisen, ser vi at det står nesten 1 her, med minus foran. 00:02:09.900 --> 00:02:18.500 Vi ønsker oss 1 her oppe. Da bytter vi disse to radene, og så ganger vi rad to med -1. 00:02:18.500 --> 00:02:27.200 Da får vi nemlig 1 opp hit. Vi bytter rad 1 og rad 2. 00:02:27.200 --> 00:02:43.600 Da har nå rad 2 blitt rad 1. Da ganger vi rad 1 med -1. (-1)*R1. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:02:43.600 --> 00:02:57.500 Da får vi følgende matrise. Det blir [1, -3, -2, -1] som første rad. 00:02:57.500 --> 00:03:16.000 R1 blir til R2, [2, 1, -2, 0]. R3 beholder vi. Nå har vi fått oss en ledende ener. 00:03:16.000 --> 00:03:20.450 Den første eneren vi kommer til en rad, som da er et tall forskjellig fra 0. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:03:20.450 --> 00:03:30.200 Det neste som skjer, er at vi må skaffe oss 0 under denne eneren. Dette 2-tallet må vi få om til 0, 00:03:30.200 --> 00:03:39.900 og 4-tallet også. Det gjør vi ved å ta -2*R1 og legge til R2, og så tar vi -4*R1 og legger til R3. 00:03:39.900 --> 00:03:43.050 NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:03:43.050 --> 00:03:57.800 Da tar vi -2*R1 til R2. -4*R1 til R3. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:03:57.900 --> 00:04:10.700 Da beholder vi første rad. Så skal vi ta -2*1 + 2 = 0. 00:04:10.700 --> 00:04:18.899 -2*-3 = 6+1 = 7. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:04:18.899 --> 00:04:31.100 -2*-2 = 4-2 = 2. Og -2*-1 = 2 + 0 = 2. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:04:31.700 --> 00:04:44.300 Så var det R3. Da tar vi -4*1 + 4 = 0. Så er det -4*-3 = 12+0 = 12. 00:04:44.300 --> 00:04:53.450 -4*-2 = 8-1 = 7. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:04:53.450 --> 00:05:00.700 -4*-1 = 4-2 = 2. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:05:03.800 --> 00:05:10.350 Da er vi ferdig med den første ledende eneren og har fått 0 under den. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:05:10.350 --> 00:05:17.300 Da går vi til neste rad, og så går vi bortover. Det første tallet vi skal komme til, skal være 1. 00:05:17.300 --> 00:05:24.700 Det skal da bli en ledende ener. Det betyr at vi må gjøre det 7-tallet om til 1. 00:05:24.700 --> 00:05:28.600 Det gjør vi ved å gange R2 med 1/7. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:05:33.200 --> 00:05:45.400 Vi beholder første rad. Så ganger vi R2*1/7, da får vi 1. Så får vi 2/7, 2/7. 00:05:45.400 --> 00:05:59.500 Så beholder vi foreløpig R3. Da har vi fått oss en ledende ener til. Det første tallet 00:05:59.500 --> 00:06:07.600 vi kommer til i denne raden, er nå 1. Så må vi få 0 under denne. Det betyr at 12-tallet må gjøres om til 0. 00:06:07.600 --> 00:06:18.500 Vi må ta -12*R2 og legge til R3. 00:06:18.500 --> 00:06:20.900 Det skal vi gjøre, bare vi har pusset tavlen. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:06:21.500 --> 00:06:31.100 Da har vi flyttet matrisen som stod her opp hit. Vi fortsetter reduseringen. Vi har en ledende ener her. 00:06:31.100 --> 00:06:45.700 Vi skal få 0 der, ved å gange R2 med -12 og legge den til R3. 00:06:45.700 --> 00:06:56.100 Vi beholder første rad. Vi beholder også andre rad, begge disse radene har fått ledende enere i seg. 00:06:56.100 --> 00:07:04.900 Så skal vi ta -12*R2 og legge til R3. 00:07:04.900 --> 00:07:14.049 Da får vi 0 her. Så tar vi -12*(2/7) + 7. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:07:14.049 --> 00:07:32.400 Da må vi ha litt brøkregning. -12*(2/7) + 7. Det blir -24/7 + 49/7 = 25/7. 00:07:32.400 --> 00:07:39.250 Det kan fort bli brøker når vi driver med Gauss-Jordan-eliminasjon. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:07:39.250 --> 00:07:49.500 Så skal vi ha -12*(2/7) + 2. Da får vi -24/7 + 2 (som er 14/7) = -10/7. 00:07:49.500 --> 00:08:02.600 Da har vi kommet så langt. 00:08:02.600 --> 00:08:10.800 Vi har nå fått 0 under denne ledende eneren også. Da går vi til neste rad, beveger oss fra venstre. 00:08:10.800 --> 00:08:17.200 Det første tallet forskjellig fra 0 skal være 1, men her står det 25/7. 00:08:17.200 --> 00:08:21.500 Vi må gange R3 med 7/25. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:08:21.700 --> 00:08:37.400 Da rammer vi inn dette kladdehjørnet. Så tar vi 7/25*R3. Da beholder vi første rad og andre rad. 00:08:37.400 --> 00:08:50.000 Tredje rad får også ledende ener her. Så får vi -10/7 * 7/25 = -10/25. 00:08:50.000 --> 00:09:05.000 Det blir -2/5 når vi forkorter brøken med 5. 00:09:05.000 --> 00:09:15.000 Da har vi kommet til bunns med ledende enere. Vi har dannet oss en trapp av de ledende enerne. 00:09:15.000 --> 00:09:22.950 Vi har 0 under. Denne matrisen er på trappeform. Den er ikke redusert enda, men den er på trappeform. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:09:22.950 --> 00:09:33.300 Fra den nederste raden kan vi lese ut ligningen. Hvis vi ser på kolonnene som jo tilsvarer variabler, 00:09:33.300 --> 00:09:41.400 når vi tenker på dette som en utvidet matrise til et likningssystem i x1, x2, x3. 00:09:41.400 --> 00:09:50.800 Den nederste raden sier at x3 = -2/5. Vi kan faktisk jobbe oss oppover og sette inn 2/5 for x3. 00:09:50.800 --> 00:10:00.200 Så kan vi finne x2, og så kan vi sette inn både x3 og x2 i den øverste ligningen 00:10:00.200 --> 00:10:10.500 og løse ut for x1. x1 -3x2 - 2x3 = -1. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:10:11.300 --> 00:10:19.700 Vi kan også gå helt ned til redusert trappeform, for da kan vi lese direkte ut av matrisen 00:10:19.700 --> 00:10:28.500 hva løsningsmengden er. Vi fortsetter. Det betyr at vi må også få 0 over de ledende enerne. 00:10:28.500 --> 00:10:38.200 Her og her må det står 0, og også over den ledende eneren. Da starter vi nedenifra. 00:10:38.200 --> 00:10:45.900 Når vi har kommet til trappeform, så har vi startet øverst og gått nedover i radene for å skaffe oss ledende enere. 00:10:45.900 --> 00:10:53.800 Når vi da går fra trappeform og helt til redusert trappeform, så starter vi nederst med den nederst ledende eneren, 00:10:53.800 --> 00:11:01.900 får oss 0 her først, og så går vi opp til neste ledende ener og skaffer oss 0 der også. 00:11:01.900 --> 00:11:02.550 NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:11:02.550 --> 00:11:06.200 Det skal vi gjøre nå straks. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:11:06.500 --> 00:11:15.600 Da har vi igjen flyttet denne matrisen som stod her opp hit, som altså er matrisen på trappeform. 00:11:15.600 --> 00:11:25.500 Vi ønsker nå 0 over denne ledende eneren for å prøve å få tak i den reduserte trappeformen. 00:11:25.500 --> 00:11:35.600 Da ganger vi R3*-2/7 og legger til R2. Så ganger vi R3*2, og legger til R1, 00:11:35.600 --> 00:11:48.300 så får vi 0 her oppe også. Vi får -2/7*R3 til R2. Så tar vi 2*R3 og legger til R1. 00:11:48.300 --> 00:11:52.650 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:11:52.650 --> 00:12:04.400 Da får vi i R1-- de to første her forandrer seg ikke. Så får vi 2*1 + (-2) = 0. 00:12:04.400 --> 00:12:09.750 1, -3, 0. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:12:09.750 --> 00:12:25.900 Så har vi 2*(-2/5) - 1. Det er -4/5 - 5/5 = -9/5. 00:12:25.900 --> 00:12:30.200 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:12:32.500 --> 00:12:42.400 Så var det R2. Da får vi ikke noe forandring til å begynne med, for det står 0 under her. 00:12:42.400 --> 00:12:59.600 Så får vi (-2/7)*1 + 2/7 = 0. Så får vi (-2/7)*(-2/5) + 2/7. 00:12:59.600 --> 00:13:18.600 Det blir 4/35. Her får vi 10/35, så det blir 14/35. Hvis vi forkorter med 7, får vi 2/5. 00:13:18.600 --> 00:13:20.300 NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:13:20.300 --> 00:13:34.200 R3 forandres ikke, så den skriver vi opp en gang til. Da er vi så langt. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:13:34.200 --> 00:13:43.700 Da har vi fått oss 0ere over denne ledende eneren. Da gjenstår det bare å få 0 over denne ledende eneren. 00:13:43.700 --> 00:13:50.150 Vi jobber oss oppover fra den nederste ledende eneren og oppover. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:13:50.150 --> 00:14:03.500 Da må vi ta 3*R2 og legge til R1. 00:14:03.500 --> 00:14:16.200 Da får vi fortsatt 1 der. Så får vi 3*1 - 3 = 0. Ingen forandring her, for det står 0 der. 00:14:16.200 --> 00:14:28.400 Så får vi 3*(2/5) = 6/5 - 9/5 = -3/5. 00:14:28.400 --> 00:14:46.500 Så får vi ingen forandring, verken i R2 eller i R3. Nå har vi endelig fått matrisen 00:14:46.500 --> 00:14:50.650 på redusert trappeform. Her har vi trappen av ledende enere. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:14:50.650 --> 00:15:02.400 Nå har vi også 0 over alle de ledende enerne. Da ser vi at første rad sier at x1, 00:15:02.400 --> 00:15:13.200 som hører hjemme i første kolonne, er -3/5. x2, som hører hjemme i andre kolonne, er 2/5. 00:15:13.200 --> 00:15:23.600 x3, som hører hjemme i tredje kolonne, er -2/5. Det er løsningen på dette systemet 00:15:23.600 --> 00:15:30.700 som hadde matrisen vi startet med som utvidet matrise. Nå har vi sett hvordan vi da kan finne løsningen 00:15:30.700 --> 00:15:36.900 på et ligningssystem ved hjelp av Gauss-Jordan-eliminasjon.