WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:11.600 Da skal vi bli litt kjent med begrepet determinanter. Determinanten til en matrise er et tall. 00:00:11.600 --> 00:00:20.900 Men aller først må vi starte med en matrise som er kvadratisk. Vi har like mange rader som kolonner. 00:00:20.900 --> 00:00:29.200 Når vi har en kvadratisk matrise, kan vi regne ut et tall fra denne matrisen som er veldig nyttig. 00:00:29.200 --> 00:00:36.100 Så la oss nå se hvordan vi kan regne ut dette tallet. Først skrive opp litt notasjon. 00:00:36.100 --> 00:00:47.000 Determinanten til en matrise kan betegnes med detA. Det kan også betegnes med loddrette streker 00:00:47.000 --> 00:00:50.099 rundt matrisen. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:00:50.099 --> 00:01:01.500 Da starter vi med en 1x1-matrise, det er bare et tall. Determinanten til et tall er tallet selv. 00:01:01.500 --> 00:01:02.950 NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:01:02.950 --> 00:01:08.699 Det neste er 2x2-matriser. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:01:08.699 --> 00:01:19.500 En generell 2x2-matrise har fire komponenter som vi kan kalle a, b, c, d. 00:01:19.500 --> 00:01:28.700 Formelen for å regne ut determinanten til denne matrisen (da setter vi vertikale streker) 00:01:28.700 --> 00:01:36.800 er gitt ved å ta produktet av komponentene på diagonalen fra venstre mot høyre, 00:01:36.800 --> 00:01:46.700 minus produktet på den andre diagonalen. Så ad-bc. Det er er formelen for en 2x2-determinant. NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:01:51.100 --> 00:01:58.300 For 3x3-determinanter har vi i første rekke et triks vi kan bruke. La oss vise dette trikset på et eksempel. 00:01:58.300 --> 00:02:12.800 Vi har matrisen [2, 1, -2], [3, 5, 0], [-1, 3, 4]. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:02:13.300 --> 00:02:26.900 Vi ønsker å ta denne determinanten. Her har vi determinanten til A. Trikset går ut på å sette opp 00:02:26.900 --> 00:02:40.500 de to første kolonnene en gang til bak matrisen, og så danner vi diagonaler. Fra venstre mot høyre 00:02:40.500 --> 00:02:52.500 kan vi danne tre diagonaler. Fra høyre mot venstre kan vi også danne tre diagonaler. Se nå litt analogien 00:02:52.500 --> 00:03:00.800 mot 2x2-determinanter hvor vi først tok venstre mot høyre, minus høyre mot venstre den andre veien. 00:03:00.800 --> 00:03:02.400 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:03:03.000 --> 00:03:12.700 Nå tar vi produktet av komponentene på hver av disse diagonalene, og plusser sammen disse produktene. 00:03:12.700 --> 00:03:20.500 Så gjør vi det samme på disse diagonalene, bare at disse som går den andre veien skal trekkes fra. 00:03:20.500 --> 00:03:22.500 Da setter vi minus foran. NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:03:22.800 --> 00:03:32.500 Da får vi 2*5*4. Så får vi 1*0*-1, NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:03:32.500 --> 00:03:50.200 dette skal plusses sammen. Så får vi -2*3*3, fortsatt plusse sammen. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:03:52.600 --> 00:04:01.400 Så tar vi de andre diagonalene. -2*5*-1, da skal vi sette minus foran 00:04:01.400 --> 00:04:08.650 og så tar vi produktet. NOTE Treffsikkerhet: 72% (MEDIUM) 00:04:08.650 --> 00:04:21.500 Så får vi 3*0*2, skal også ta minus foran. Og 4*3*1, med minus foran. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:04:23.700 --> 00:04:38.500 Så legger vi sammen. Da tar vi produktene først. 2*5*4=40. Her får vi 0. Her får vi 9*-2=-18. 00:04:38.500 --> 00:04:51.700 Og så får vi -2*-1*5=10, og så er det en minus. 00:04:51.700 --> 00:04:56.300 Så får vi 0 fordi det er 0 i produktet, og her får vi -12. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:04:56.600 --> 00:05:09.200 Da får vi 40-18-10-12=0. I dette tilfellet vil matrisen 00:05:09.200 --> 00:05:13.550 som har disse komponentene, 3x3-determinaten til den, bli 0. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:05:13.550 --> 00:05:20.400 Legg merke til at vi kan godt ha et tall forskjellig fra 0 også, 00:05:20.400 --> 00:05:23.450 men i dette tilfellet så får vi 0. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:05:23.450 --> 00:05:30.700 Nå skal vi se en annen metode for å regne ut denne determinanten, som også vil fungere 00:05:30.700 --> 00:05:40.400 når vi har høyere dimensjon enn 3. Dette trikset fungerer kun for 3x3-determinanter. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:05:41.100 --> 00:05:50.100 Da skal vi se en annen måte å regne ut en 3x3-determinant på, som også kan generaliseres til nxn-determinanter. 00:05:50.100 --> 00:05:56.600 Legg for øvrig merke til at noen ganger kan disse firkantparentesene 00:05:56.600 --> 00:06:03.300 som pleier å stå rundt matrisen, de kan godt stå inni de vertikale strekene. De vertikale strekene 00:06:03.300 --> 00:06:09.200 betyr bare at vi skal regne ut et tall ut fra denne matrisen, som da kalles determinanten. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:06:09.200 --> 00:06:12.250 Metoden vi skal se på nå, NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:06:12.250 --> 00:06:18.800 er at vi skal regne ut den samme determinanten som vi nettopp regnet ut her i stad, der vi fikk tallet 0. 00:06:18.800 --> 00:06:27.700 Men nå skal vi bruke følgende metode. Vi skal bruke komponentene i første rad. 00:06:27.700 --> 00:06:35.400 For hver komponent vi bruker, så holder vi over raden og kolonnen som denne komponenten står i. 00:06:35.400 --> 00:06:47.500 Så skriver vi opp underdeterminanten som da blir stående igjen. [5, 0], [3, 4]. Da har vi fått en 2x2-determinant. 00:06:47.500 --> 00:06:56.900 Da tar vi neste komponent i første rad. Nå setter vi minus foran, og så holder vi 00:06:56.900 --> 00:07:09.200 over raden og kolonnen som den står i. Så får vi [3, 0], [-1, 4] som underdeterminant. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:07:09.200 --> 00:07:16.900 Så tar vi den siste komponenten, da skal vi ikke skifte fortegn. Da blir det fortsatt -2. 00:07:16.900 --> 00:07:24.500 Så holder vi over raden og kolonnen som den står i. Så får vi [3, 5], [-1, 3]. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:07:27.200 --> 00:07:38.100 Da har vi redusert den 3x3-determinanten ned til flere 2x2-determinanter. 00:07:38.100 --> 00:07:45.900 Dette gjelder også mer generelt. Hvis denne her er mye større, kan vi bruke metoden der vi går på første rad 00:07:45.900 --> 00:07:53.800 og setter opp komponentene i første rad bortover, der vi bytter fortegn annenhver gang. 00:07:53.800 --> 00:08:00.000 Så holder vi over raden og kolonnen som denne komponenten står i, og skriver opp underdeterminanten. 00:08:00.000 --> 00:08:09.700 Så jobber vi oss nedover. Hvis vi har en 5x5-determinant, så vil vi få fem komponenter i radene 00:08:09.700 --> 00:08:18.400 og så får vi fem 4x4-determinanter under. Så må vi ta 4x4-determinantene og jobbe oss nedover. 00:08:18.400 --> 00:08:19.600 Dette kan bli ganske stort. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:08:19.600 --> 00:08:27.500 Det er derfor vi bruker datamaskiner til å regne ut determinanter når de er fra 4x4 og oppover. 00:08:27.500 --> 00:08:28.850 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:08:28.850 --> 00:08:38.600 Men da kan vi ihvertfall regne ut denne uansett. Nå får vi 2. Og 2x2-determinanten, det var 5*4 - 3*0. 00:08:38.600 --> 00:08:52.800 Så får vi -1, og så får vi 3*4 - (-1)*0. 00:08:52.800 --> 00:09:07.900 Så får vi -2, og denne determinanten er da produktet 3*3 minus produktet av -1*5. 00:09:07.900 --> 00:09:27.500 Så regner vi ut og får 2(20) - 12 - 2(14). NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:09:27.500 --> 00:09:32.550 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:09:32.550 --> 00:09:49.000 Vi får 40-12-28=0, 00:09:49.000 --> 00:09:52.500 akkurat som vi fikk i stad. NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:09:52.500 --> 00:10:00.300 Da ser vi en annen måte å regne ut determinanter på, som lar seg generalisere til nxn-determinanter. 00:10:00.300 --> 00:10:01.750 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:10:01.750 --> 00:10:08.300 En veldig viktig grunn til at vi lærer om determinanter, er for å kunne si noe om antall løsninger 00:10:08.300 --> 00:10:19.100 til et lineært likningssystem. For ligningssystemer der vi har en koeffisientmatrise 00:10:19.100 --> 00:10:29.600 ganger kolonnevektoren lik b-kolonnen, og i tillegg der koeffisientmatrisen er en nxn-matrise. 00:10:29.600 --> 00:10:37.100 Det betyr at vi har like mange likninger som vi har variabler. I dette tilfellet kan vi jo regne ut 00:10:37.100 --> 00:10:46.300 determinanten til koeffisientmatrisen, siden den er kvadratisk. Da viser det seg at det 00:10:46.300 --> 00:10:54.500 om determinanten er 0 eller ikke, er veldig viktig. Det viser seg at determinanter forskjellig fra 0 00:10:54.500 --> 00:11:02.050 betyr at dette ligningssystemet med n likninger og n variabler, faktisk har nøyaktig NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:11:02.050 --> 00:11:04.800 en løsning. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:11:07.600 --> 00:11:18.400 Hvis determinanten til koeffisientmatrisen er lik 0, så har vi ingen eller uendelig mange løsninger. 00:11:18.400 --> 00:11:31.800 Om vi har ingen eller uendelig mange, det må vi bruke Gauss-Jordan-eliminasjon for å finne ut av. 00:11:31.800 --> 00:11:39.000 Men bare det at determinaten er lik 0 eller ikke, det kan skille ut om vi har en løsning. 00:11:39.000 --> 00:11:49.700 Det som er litt ekstra fint, er hvis vi har homogene ligningssystemer. 00:11:49.700 --> 00:11:55.100 Det betyr at den b-kolonnen er 0. Alle ligningene sier NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:11:55.100 --> 00:12:02.400 et tall ganger x, pluss et tall ganger x osv, er lik 0 på alle ligningene. 00:12:02.400 --> 00:12:05.000 Det er et homogent ligningssystem. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:12:05.100 --> 00:12:08.900 Det har alltid en løsning. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:12:08.900 --> 00:12:29.400 Nemlig at alle variablene er 0, fordi de vil passe inn. Hvis alle variablene er 0, 00:12:29.400 --> 00:12:40.000 vil alle ligningene være lik 0 og systemet er oppfylt. Det betyr at hvis detA 00:12:40.000 --> 00:12:49.600 er forskjellig fra 0, vet vi at vi har løsningen x=0 og kun den. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:12:49.600 --> 00:12:55.150 Hvis detA=0, NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:12:55.150 --> 00:13:02.500 vet vi at vi har alltid minst en løsning i dette tilfellet og det betyr at vi kan ikke 00:13:02.500 --> 00:13:06.500 ha ingen løsning, og vi må ha uendelig mange. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:13:06.500 --> 00:13:20.000 Det er mange tilfeller der vi bare er interessert i hvor mange løsninger et lineært ligningssystemet har 00:13:20.000 --> 00:13:28.000 og ikke nødvendigvis hvordan de ser ut. Da kan determinanten til koeffisientmatrisen 00:13:28.000 --> 00:13:30.000 være et veldig nyttig verktøy.