00:00:00.000 ofte når vi skal løse lineære likningssystemer så vil du også dukke opp en parameter i ligning systemet vårt og vi skal nå se på et ganske stort eksempel der vi skal drøfte ligningene til systemet for forskjellige verdier av denne parameter enn så Her har vi satt opp et likningssystem med tre likninger og tre variabler X Y og z og I tillegg så har vi da enda den første ligningen og også i den siste ligning Hva er et reelt selv så var verdt reelle tall så får vi jo et nytt ligning system og Spørsmålet er kan vi løse dette ligning systemet å finne løsningene som etter hvert fall varierer med a 00:00:53.300 og det skal vi se på nå og det er da at det terminalen til kom for sent matrisen Kan være nyttig fordi den kan si oss iallefall Hvor mange løsninger Vi har og kanskje den kan si hvor mange løsninger vi har for forskjellige verdier av var så da setter jeg opp Hvorfor sent Mathisen 1 minus A1 plukket vi ut hvorfor ser jentene i Vera ligningene tallene som skal foran variablene vi den siste ligningen Så står det 0 * x 2 x y og x z 00:01:33.500 Da har vi kom for sent matrisen og så ser vi på determinanten til den Og siden Dette er en 3 x 3 det terminalt så kan vi bruke trikset med å sette opp de to første kolonne en gang til å danne diagonalene fra Venstre mot høyre og fra høyre mot venstre og da vil vi få terminalen til av kan du regne ut å ta produktet på Vera diagonalene Så enn minus 1A der- a 00:02:23.200 på den mest diagonalen så får vi minus av * 2 * 0 zer0 og på det meste 1 * 2 * 2 som er 4 og så tar vi diagonalene som går den andre veien 1 minus 1 0 produkt av det blir 0 produkt av 1 og 2 og 2 Det ble også 4 og så skal vi sette minus foran fordi den diagonalen går motsatt vei 00:02:51.400 også i en diagonal n&d minus a x 2 ganger og det blir minus 2 Ja Og så skal vi ha en minus foran fordi diagonalen går den motsatte veien så vi får + 2 av Jan 00:03:10.200 Hvordan ser vi at terminalen til a nå blir to an å Ja men du sa Så da vi fått et uttrykk for dette er min anten som er avhengig av hva er for noe i ligning systemet vi skal løse 00:03:28.400 Da ser vi at mistet uttrykket er forskjellig fra null Så vet vi at vi kommer til å få en løsning og hvis dette er min anten = 0 så har vi ingen eller uendelig mange 00:03:41.900 så det betyr at vi sto og Jan minus er forskjellig fra null Det vil si hva må da være forskjellig fra Jo vi kan faktorisere ut av å få to av minus en inni 00:04:05.600 vegvesen og det betyr at a må være forskjellig fra null fordi da blir den faktoren 0 eller så må 2A minus 1 er forskjellig fra null fordi da blir den faktoren øl i begge disse tilfellene så blir det terminalen forskjellig fra 0 så er forskjellig fra null eller er forskjellig fra en halv 00:04:32.900 vil gi en løsning 00:04:44.900 og hvis det terminalen = 0 så får vi ingen eller veldig mange så vi kan bare notere oss det her nede hvis da a = 0 eller a = en halv så får vi ingen eller uendelig mange 00:05:17.700 så allerede ved hjelp av til terminalen så har vi kommet et godt stykke på vei når Dette er min Han som er forskjellig fra null Det betyr at det er forskjellig fra null eller er forskjellig fra en halv så får vi en løsning 00:05:35.500 og hvis er lik null eller = en halv så har vi ingen eller men de mange og akkurat disse to tilfellene her Vi må vi da se på spesielt å se på Alice null har vi ingen eller uendelig mange og så får vi se på = en halv Åsmund finne ut Har vi ingen eller uendelig mange løsninger der også 00:06:01.900 Vi ser på dette ligning systemet som da har en parameter a i seg og vi har funnet ut at The Terminal til a = 0 når = 0 eller a = en halv 00:06:24.300 vi de to tilfellene så kan vi da siden Dette er min annet med null har enten ingen eller uendelig mange løsninger og det skal vi dra og se på noe så vi tar tilfelle av lik 0 først 00:06:39.200 hva setter vi inn tallet 0 for a her og da får vi følgende utvidet matrise for systemet du får en for 1 x 0 foran i en foran sett også en for det var de også har vi 2 minus 1 2 2 4 0 foran X2 foran i og er altså 0 og minus 1 Her har vi den utvidede må prisen til ligning systemet Hvorfor sier jentene og den såkalte B kolon 00:07:20.700 og da bruker vi gauss-jordan eliminasjon for å få denne over på redusert trappeform blir da kan vi si om denne har ingen eller uendelig mange løsninger 00:07:35.200 da må vi lete etter ledende enere det første tallet som er forskjellig fra null i radene skal bare en og det er oppfylt her også skal vi ha null under og da må vi få null her og det får vi ved å ta minus 2 x er en å legge til er 2 så Da beholder vi første rad og så får vi 0 og vi får beholdt minus 1 og vi får minus 2 + 2 er 0 minus 2 + 2 er 0 00:08:11.200 også forbeholder vi rad tre 00:08:19.800 og da har vi kommet et stykke på vei da vi fått null under innledningen gjerne i tillegg så vi fått en rad som faktisk nå sier at i som hører hjemme i kolonne 2y = 0 så det vet vi allerede nå og det betyr jo at den tredje raden Den sier at 2 x y = minus 1 men rar to see you at102 rad tre sier da faktisk at du er lik minus 1 00:08:55.100 og det betyr at vi får ingen løsning 00:08:58.400 så her får vi først at i = 0 fra rad to og så får vi at 2 x y = minus 1 grad 3 Og dette her gir ikke mening det betyr at vi har ingen løsning som er lik 0 så har Dette systemet i Det gir ikke mening vi får ikke oppfylt alle tre ligningene på en gang 00:09:31.100 så det var tilfellet av lik null og det neste er da å se på tilfelle av lik en halv 00:09:41.700 Vi er i ferd med å drøfte forskjellige løsninger av Dette systemet for forskjellige verdier av a og de har nå Sett at for av lik null så hadde ingen løsning for Anniken hals og vet jo også at vi kommer til å da på enten ingen eller uendelig mange løsninger siden det terminal til A10 da Så la oss se hva som skjer nå a = en halv 00:10:08.100 da setter vi opp den utvidede matrisen til systemet igjen og putter altså inn en halv for a så da får vi en du får minus en halv vi får en og en skal vi 2 minus 1 2 2 og vi får null for den eksen to en halv for a og minus 1 00:10:37.300 og så skal vi få denne over på redusert trappeform fordi da kan vi lese av antall løsninger til likninger systemet 00:10:47.200 det første tallet Vi kommer til i dag en som er forskjellig fra null D1 Så dette er en bedre ender og vi skaffer oss som null under denne først minus 2 x er en til R2 Vi sørge for at vi får null her 00:11:05.800 rad 1 skjer ingenting med da får vi minus 2 + 2 er 0 i får minus 2 X Minus en halv Det er 1 minus 1 det blir også 0 00:11:20.900 news 2 + 2 1 0 og minus 2 + 2 1 0 så vi får 0 hele veien 00:11:29.800 og rad tre har det ikke skjedd noe med enda 00:11:37.500 baby nå får null en rad med nuller er det betyr at denne ligningen kan faktisk uttrykkes ved hjelp av de to andre og at denne ligningen da ikke gir noe mer informasjon det holder med to likninger 00:11:56.700 og i den reduserte terapiformen så pleier vi da og alltid flytte radene med 0 ned 00:12:03.500 og det betyr også nå at vi faktisk har flere variable en likninger en opplysninger så vi Antageligvis Nå kommer til å få uendelig mange løsninger men La oss gå litt videre og se at det stemmer 00:12:17.900 Hvis jeg flytter og 3 og pip nå så tar vi samtidig og skaffer oss en ledende ener her ved å dele på 2 så vi tar og bytter rad og rad tre så da blir av to flytta opp hit og vi tar en halv * den Road to samtidig 00:12:41.300 Det betyr at vi gjør ingenting med rad 1 og så får vi rad 3 oppgitt David a gange med en halv da får vi en fjerdedel her og vi får minus en halv og en rad med nuller nederst 00:13:04.200 og da har vi fått to ledninger det 00:13:07.200 her og har jeg forstått alle vi kommer til å selge fra null er en 00:13:14.700 og vi har null under de ledende genene så da har vi nå prisen på trappeform 00:13:22.700 vi kan godt ta noe på redusert trappeform ved å skaffe oss 0 Det er også da får vi det gjør vi godt ha en halv * er to og legge til er en 00:13:43.500 da får vi først en og så får vi en halv minus en halv Det er null som vi ønsket også får vi en halv * en fjerdedel en åttendedel pluss en som er 8 8 deler det blir ny åttendedel av 00:14:02.500 og så får vi minus en halv * en halv d- en fjerdedel +44 dele det blir tre firedeler 00:14:13.900 bra to beholde vi på rad tre beholder vi også 00:14:25.400 og da har vi fått meg prisen på redusert trappeform og vi ser at vi har to ledende variabler og en fri variabel som vi også uendelig mange løsninger og disse løsningene kan vi også skrive opp Så la oss gjøre det bare for å fullføre eksempelet 00:14:48.900 hvis jeg må på tilfelle av lik en halv i Dette likning systemet og vi har nå flyttet matrisen som vi har fått oppgitt og dette er den reduserte trappeformel i tilfelle av lik en halv Så nå skal vi bare skrive opp Hvilke løsninger denne formen gir oss så Her har vi X Y og Z som da tilhører hver sin kolonne og da ser vi at X og Y er ledende variable for de svarer til ledende endre mens sett den er fri Og kan være hva som helst så vi innfører en parameter passet for å kunne fremstille løsningene 00:15:33.400 Daniel ligning to eller to vil jo satt i pluss en fjerdedel x s o z = minus en halv uran 1 euro 6 + 9 8 dlss = 3 fjerdedel 00:15:55.200 så da kan vi skrive opp løsningene x y z 00:16:00.000 = x blir tre firedeler minus 9 8 dlss og blir minus en halv minus en fjerdedel ss&c Tavares 00:16:20.000 Og i tillegg så kan nå også være et hvilket som helst reelt tall og når vi setter inn verdier for s så får vi tupler x y z som passer inn i Dette systemet Når er lik en halv så da har vi sett at når er lik null så har vi ingen løsning og når er lik en halv så har vi uendelig mange nemlig akkurat disse løsningene her 00:16:57.600 Hvorfor skal vi dra til Slutt Se hva slags løsninger er det vi har når er forskjellig fra 0 og forskjellig fra en halv da vet vi at du får en løsning men La oss se hvordan det faktisk ser ut 00:17:12.599 da er vi snart i mål med å se på løsningene til dette ligning systemet for forskjellige verdier av A og B har tatt for oss i detalj og lik null og = en halv Så la oss nå anta at a er forskjellig fra 0 og forskjellig fra en halv 00:17:33.100 da er det tar med tanten forskjellig fra 0 også og vi vet at vi får en løsning og vi skal nå se hvordan denne faktisk ser ut og da vil vi bare beholde a men vi Antar også at er forskjellig fra 0 og en halv så vi setter opp igjen Den utvidede matrisen men nå må vi da kan vi ikke sette inn en spesiell verdi for altså Nå må du bare beholde a01 x 130 ligningen og 2 og 1 minus 1 00:18:07.900 Og så skal vi redusere denne matrisen 00:18:12.100 Da har vi aldri den ledende ener her og vi skaffer oss to under med å ta minus 2 x er en til er to da får vi matrisen går vi opp litt sånn 00:18:30.000 vi beholder rad 1 og så tar vi minus 2 x 12-10 og så får vi minus 2 x og X Minus så det blir to a minus 1 2 og minus 1 og så får vi minus 2 + 2 1 0 og minus 2 + 2 1 0 og så beholder i dag 3 00:19:04.600 og da ser vi at vi har tallet 2 A minus 1 00:19:09.500 Vi må skaffe oss er en ledende ener 00:19:13.600 og da må vi anta at to av minus 1 er forskjellig fra 0 sånn at vi kan gange med en over 2 av minus 1 men det er i orden siden er forskjellig fra en halv så blir dette tallet forskjellig fra null så da kan vi ta 00:19:33.500 1 / 2 A minus 1 x er to da får vi en her 0 og 0 og så får vi kanskje flytte den Nå lytter han også må vi 02:00 Og minus 1A vi fått oss nok en ledende ener og denne raden sier at i som hører hjemme i andre kolonne = 0 så det vet vi men La oss fortsette med det vil si at vi finner var exocet der også og da skal vi skal få se 0 under denne ledningen og da må vi ta minus 2 x A2 å legge til rette og da trenger bare litt mer tavle plass først 00:20:26.100 David ledig plass og flyttet matrisen herfra og hit og vi vil nå skaffe oss 10-11 andre ledende innen ved å ta minus 2 x er 2 til er 3 Det betyr at vi beholder første og andre grad 0-100 og så ser vi at når vi får minus 2 x a32 til rad tre så er det faktisk bare her i40 også forandrer ikke disse to say 00:21:00.700 Sorry for null her Og siden Altså det står 0 her så vil du bare beholde a og minus 1 00:21:13.200 og da vi ferdig med deg det når har to og 0 under de ledende gjerne sånn er det rad tre skaffe oss og ledende ender her på det første tallet forskjellig fra null Det betyr at du må dele på a og da er det veldig fint at vi har antatt at er forskjellig fra null for da kan vi gange med en del på a som er et tall forskjellig fra 0 00:21:39.500 gjør vi det 00:21:47.100 og da får vi idag 3-1 og så får vi minus 1 delt på a 00:21:57.300 og da har vi fått trappeformel med ledende enere og vi har null under disse også må vi da skal få snudd over og Da starter vi med den nederste ledende igjennom og skaffer oss 0 over denne Først så skal vi ha null her og det får vi med å ta minus 3 ganger er 3 minus 1 x er 3 å legge til er en og igjen så trenger vi litt mer på plass da har vi kommet hit i den reduserte terapiformen vi har flyttet matrisen herfra og hit og vi skal nå få null her oppe så vi tar minus 1 * 3 til er en Det betyr sin det står 0 her her som forandres ikke de to og her får vi også minus 1 +1 så det blir 0 der og her får vi minus 1 x minus 1 og 3 00:22:57.300 +1 å dra å legge til en så da får vi en minus a08 får vi 1 + 1 og så får vi 0-100 i beholder Road to og rad tre og så har vi også skaffet oss nuller over den ledende eneren og det som gjenstår er da å få null over denne lederen 00:23:31.800 da skal vi ha null her så vi tar å ganger R2 til R1 00:23:42.200 og da får vi først en og så får vi altså 0 og 0 og vi får fortsatt 1 + 1 over sin det står 0 Herøy 0 1 0 0 1 0 0 1 minus 1 over a 00:24:05.700 og da ser vi at i tilfelle Når er forskjellig fra 0 og forskjellig fra en halv i dette ligning systemet kan det være hva som helst også kan være 103 eller kan være minus 750 6,2l noe sånt bare det er forskjellig fra 0 og 1 halv så får vi en løsning og denne løsningen kan vi nå lese av den reduserte trappeformel den tredje ligningen sier at Z = minus 1 nummer Ja da Er dette tallet vi velger oss i Lyngen i systemet yr0 og x 00:24:48.300 er 1 + 1 og bra så lenge løsningene vil også avhenge av a Kan vi sette opp løsnings 2 + 3 + 1 + 1 og 0 og minus 1 over a 00:25:14.200 og da har vi drøftet alle løsningene i alle forskjellige tilfeller for a og sett hvordan vi også håndterer lineære likningssystemer med parameter