WEBVTT Kind: captions; language: nb-no

NOTE
Treffsikkerhet: 92% (HØY)

00:00:00.000 --> 00:00:10.400
Ofte når vi skal løse lineære ligningssystemer, så vil det også dukke opp en parameter i ligningssystemet vårt.

00:00:10.400 --> 00:00:16.400
Vi skal nå se på et ganske stort eksempel der vi skal drøfte ligningene til systemet

00:00:16.400 --> 00:00:22.900
for forskjellige verdier av denne parameteren. Her har vi satt opp et likningssystem 

00:00:22.900 --> 00:00:33.600
med tre likninger og tre variabler: x, y og z. I tillegg har vi en a i den første ligningen 

00:00:33.600 --> 00:00:44.500
og også i den siste ligningen. a er et reelt tall. For hvert reelle tall, så får vi jo et nytt ligningssystem.

00:00:44.500 --> 00:00:51.000
Spørsmålet er, kan vi løse dette ligningssystemet og finne løsningene

00:00:51.000 --> 00:00:52.500
sånn at de varierer med a?

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:00:52.500 --> 00:01:00.500
Det skal vi se på nå. Det er da at determinanten til koeffisientmatrisen kan være nyttig.

00:01:00.500 --> 00:01:07.300
Den kan si oss iallefall hvor mange løsninger vi har, og kanskje den kan si hvor mange løsninger

00:01:07.300 --> 00:01:15.800
vi har for forskjellige verdier av a. Da setter vi opp koeffisientmatrisen [1, -a, 1].

00:01:15.800 --> 00:01:25.300
Da plukker vi ut koeffisientene i hver av ligningene, tallene som står foran variablene.

00:01:25.300 --> 00:01:32.800
I den siste ligningen står det (0)*x, (2)*y og (a)*z. 

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:01:32.800 --> 00:01:41.800
Da har vi koeffisientmatrisen, og så ser vi på determinanten til den. Siden dette er en 3x3-determinant, 

00:01:41.800 --> 00:01:51.500
så kan vi bruke trikset med å sette opp de to første kolonnene en gang til og danne diagonalene

00:01:51.500 --> 00:02:12.500
fra venstre mot høyre, og fra høyre mot venstre. Da vil vi få determinanten til A.

00:02:12.500 --> 00:02:21.500
Den kan vi nå regne ut ved å ta produktet på hver av diagonalene. 1*-1*a = -a.

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:02:22.200 --> 00:02:35.100
På den neste diagonalen får vi -a*2*0 = 0. På den neste er det 1*2*2 = 4.

00:02:35.100 --> 00:02:44.300
Så tar vi diagonalene som går den andre veien. 1*-1*0, produktet av det blir 0. Produktet av 1*2*2 = 4. 

00:02:44.300 --> 00:02:50.100
Så skal vi sette minus foran, fordi den diagonalen går motsatt vei.

NOTE
Treffsikkerhet: 85% (HØY)

00:02:50.400 --> 00:03:01.300
Så har vi en diagonal igjen. Det er -a*2*a = -2a^2, og så skal vi ha en minus foran

00:03:01.300 --> 00:03:09.300
fordi diagonalen går den motsatte veien. Vi får +2a^2.

NOTE
Treffsikkerhet: 81% (HØY)

00:03:09.300 --> 00:03:21.000
Da ser vi at detA blir 2a^2 - a. Da vi fått et uttrykk for determinanten,

00:03:21.000 --> 00:03:27.200
som da avhenger av hva a er for noe i ligningssystemet vi skal løse.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:03:27.400 --> 00:03:37.300
Da ser vi at hvis dette uttrykket er forskjellig fra 0, så vet vi at vi kommer til å få en løsning.

00:03:37.300 --> 00:03:41.300
Hvis determinanten er lik 0, så har vi ingen eller uendelig mange.

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:03:41.300 --> 00:03:55.000
Det betyr at hvis 2a^2 - a er forskjellig fra 0-- det vil si, hva må a være forskjellig fra?

00:03:55.000 --> 00:04:04.800
Jo, vi kan faktorisere ut a og få 2a-1 inni parantesen.

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:04:04.800 --> 00:04:16.200
Det betyr at a må være forskjellig fra 0, fordi da blir den faktoren 0. Eller så må 2a-1

00:04:16.200 --> 00:04:22.900
være forskjellig fra 0, for da blir den faktoren 0. I begge disse tilfellene

00:04:22.900 --> 00:04:32.299
blir determinanten forskjellig fra 0. a forskjellig fra 0, eller a forskjellig fra 1/2

NOTE
Treffsikkerhet: 94% (HØY)

00:04:32.299 --> 00:04:40.300
vil gi en løsning.

NOTE
Treffsikkerhet: 92% (HØY)

00:04:43.900 --> 00:04:53.400
Hvis detA=0, så får vi ingen eller uendelig mange. Vi kan bare notere oss det her nede.

00:04:53.400 --> 00:05:14.200
Hvis a=0 eller a=1/2, så får vi ingen eller uendelig mange.

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:05:16.700 --> 00:05:23.700
Allerede, ved hjelp av determinanten, har vi kommet et godt stykke på vei.

00:05:23.700 --> 00:05:31.300
Når detA er forskjellig fra 0, det betyr at a er forskjellig fra 0 eller a er forskjellig fra 1/2,

00:05:31.300 --> 00:05:34.600
så får vi en løsning.

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:05:34.600 --> 00:05:44.000
Hvis a=0 eller a=1/2, så har vi ingen eller uendelig mange. Akkurat disse to tilfellene her

00:05:44.000 --> 00:05:53.200
må vi se på spesielt og se på a=0. Har vi ingen eller uendelig mange?

00:05:53.200 --> 00:06:01.000
Så må vi se på a=1/2. Da må vi finne ut, har vi ingen eller uendelig mange løsninger der også?

NOTE
Treffsikkerhet: 84% (HØY)

00:06:01.000 --> 00:06:11.500
Vi ser på dette ligningssystemet som har en parameter a i seg. Vi har funnet ut

00:06:11.500 --> 00:06:23.750
at detA=0 når a=0 eller a=1/2.

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:06:23.750 --> 00:06:31.100
I de to tilfellene så kan vi da, siden detA=0, ha enten ingen eller uendelig mange løsninger.

00:06:31.100 --> 00:06:37.800
Det skal vi da se på nå. Vi tar tilfellet a=0 først.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:06:38.200 --> 00:06:48.600
Da setter vi inn tallet 0 for a her. Vi får følgende utvidet matrise for systemet.

00:06:48.600 --> 00:07:05.900
Vi får 1 foran x, 0 foran y, 1 foran z og 1 for b-verdi. Så har vi [2, -1, 2, 2]. Vi får 0 foran x,

00:07:05.900 --> 00:07:16.400
2 foran y, a er altså 0 og -1. Her har vi den utvidede matrisen til ligningssystemet. 

00:07:16.400 --> 00:07:20.100
Koeffisientene og den såkalte b-kolonnen.

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:07:20.100 --> 00:07:27.800
Da bruker vi Gauss-Jordan-eliminasjon for å få denne over på redusert trappeform.

00:07:27.800 --> 00:07:31.800
Da kan vi si om denne har ingen eller uendelig mange løsninger.

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:07:34.200 --> 00:07:41.900
Da må vi lete etter ledende enere. Det første tallet som er forskjellig fra 0 i radene skal være 1

00:07:41.900 --> 00:07:49.500
og det er oppfylt her, og så skal vi ha 0 under. Da må vi få 0 her, og det får vi ved å ta -2*R1

00:07:49.500 --> 00:08:02.700
og legge til R2. Da beholder vi første rad, og så får vi 0. Vi får beholdt -1

00:08:02.700 --> 00:08:09.700
og vi får -2+2=0, -2+2=0. 

NOTE
Treffsikkerhet: 77% (HØY)

00:08:10.200 --> 00:08:15.300
Så beholder vi R3.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:08:18.800 --> 00:08:25.900
Da har vi kommet et stykke på vei. Da har vi fått 0 under de ledende enerne. I tillegg har vi fått en rad

00:08:25.900 --> 00:08:38.500
som faktisk sier at y, som hører hjemme i kolonne 2, er lik 0. Det vet vi allerede nå. 

00:08:38.500 --> 00:08:51.300
Det betyr jo at den tredje raden, den sier at 2y=-1. Men R2 sier at y=0,

00:08:51.300 --> 00:08:54.450
så R3 sier faktisk at 0=-1. 

NOTE
Treffsikkerhet: 84% (HØY)

00:08:54.450 --> 00:08:57.700
Det betyr at vi får ingen løsning.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:08:57.700 --> 00:09:13.000
Her får vi først at y=0 fra R2. Så får vi at 2y=-1 i R3. Dette her gir ikke mening.

00:09:13.000 --> 00:09:26.700
Det betyr at vi har ingen løsning. Når a=0, så gir ikke dette systemet mening.

00:09:26.700 --> 00:09:30.650
Vi får ikke oppfylt alle tre ligningene på en gang.

NOTE
Treffsikkerhet: 82% (HØY)

00:09:30.650 --> 00:09:40.000
Det var tilfellet a=0. Det neste er å se på tilfellet a=1/2.

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:09:40.700 --> 00:09:48.500
Vi er i ferd med å drøfte forskjellige løsninger av dette ligningssystemet for forskjellige verdier av a.

00:09:48.500 --> 00:09:55.900
Vi har nå sett at for a=0, så har vi ingen løsning. For a=1/2 vet vi også

00:09:55.900 --> 00:10:02.000
at vi kommer til å få enten ingen eller uendelig mange løsninger siden detA=0.

00:10:02.000 --> 00:10:06.600
La oss se hva som skjer når a=1/2.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:10:07.100 --> 00:10:15.300
Da setter vi opp den utvidede matrisen til systemet igjen og putter altså inn a=1/2.

00:10:15.300 --> 00:10:29.600
Da får vi [1, -1/2, 1, 1]. Så får vi [2, -1, 2, 2]. Vi får 0 foran x-en, 

00:10:29.600 --> 00:10:34.200
2, 1/2 for a og -1.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:10:36.300 --> 00:10:43.100
Så skal vi få denne over på redusert trappeform, for da kan vi lese av antall løsninger

00:10:43.100 --> 00:10:45.300
til likningssystemet.

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:10:46.200 --> 00:10:53.400
Det første tallet vi kommer til i R1 som er forskjellig fra 0 er 1, så dette er en ledende ener.

00:10:53.400 --> 00:11:05.099
Vi skaffer oss 0 under denne først. -2*R1 til R2 vil sørge for at vi får 0 her.

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:11:05.099 --> 00:11:18.700
R1 skjer det ingenting med. Da får vi -2+2=0. Vi får -2*(-1/2) = 1-1 = 0.

00:11:18.700 --> 00:11:20.400

NOTE
Treffsikkerhet: 79% (HØY)

00:11:20.400 --> 00:11:29.250
-2+2=0 og -2+2=0. Vi får 0 hele veien.

NOTE
Treffsikkerhet: 71% (MEDIUM)

00:11:29.250 --> 00:11:33.900
R3 har det ikke skjedd noe med enda.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:11:36.500 --> 00:11:46.300
Det at vi nå får en rad med nuller, det betyr at denne ligningen kan faktisk uttrykkes ved hjelp av de to andre

00:11:46.300 --> 00:11:54.100
og at denne ligningen ikke gir noe mer informasjon. Det holder med to likninger.

NOTE
Treffsikkerhet: 81% (HØY)

00:11:55.700 --> 00:12:02.950
I den reduserte trappeformen pleier vi alltid å flytte radene med 0 ned.

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:12:02.950 --> 00:12:11.000
Det betyr også nå at vi faktisk har flere variabler enn likninger/opplysninger,

00:12:11.000 --> 00:12:16.000
antageligvis kommer vi til å få uendelig mange løsninger. La oss gå litt videre og se at det stemmer.

00:12:16.000 --> 00:12:17.099

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:12:17.099 --> 00:12:25.000
Hvis vi flytter R3 opp hit nå, tar vi samtidig og skaffer oss en ledende ener her ved å dele på 2.

00:12:25.000 --> 00:12:39.400
Vi bytter R2 og R3. Da blir R2 flyttet opp hit og vi tar (1/2)*R2 samtidig.

00:12:39.400 --> 00:12:40.650

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:12:40.650 --> 00:12:52.600
Det betyr at vi gjør ingenting med R1. Så får vi R3 oppgitt. Vi ganger med 1/2

00:12:52.600 --> 00:13:01.500
så vi får 1/4 og -1/2, og en rad med nuller nederst.

NOTE
Treffsikkerhet: 70% (MEDIUM)

00:13:03.200 --> 00:13:06.550
Da har vi fått to ledende enere.

NOTE
Treffsikkerhet: 80% (HØY)

00:13:06.550 --> 00:13:13.850
Her og her. Det første tallet vi kommer til forskjellig fra 0, er 1.

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:13:13.850 --> 00:13:22.250
Vi har 0 under de ledende enerne, så da har vi matrisen på trappeform.

NOTE
Treffsikkerhet: 76% (HØY)

00:13:22.250 --> 00:13:34.600
Vi kan godt ta den over på redusert trappeform ved å skaffe oss 0 der også.

00:13:34.600 --> 00:13:42.100
Vi tar (1/2)*R2 og legge til R1. 

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:13:42.500 --> 00:13:53.100
Da får vi først 1, og så får vi 1/2-1/2=0 som vi ønsket.

00:13:53.100 --> 00:14:01.700
Så får vi 1/2*1/4 = 1/8+1 som er 8/8, det blir 9/8.

NOTE
Treffsikkerhet: 81% (HØY)

00:14:01.700 --> 00:14:12.400
Så får vi -1/2*1/2 = -1/4 + 4/4 = 3/4.

NOTE
Treffsikkerhet: 66% (MEDIUM)

00:14:12.900 --> 00:14:20.900
R2 beholder vi, og R3 beholder vi også.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:14:24.400 --> 00:14:35.300
Da har vi fått matrisen på redusert trappeform. Vi ser at vi har to ledende variabler

00:14:35.300 --> 00:14:44.800
og en fri variabel, som vil gi oss uendelig mange løsninger. Disse løsningene kan vi også skrive opp.

00:14:44.800 --> 00:14:48.400
La oss gjøre det, bare for å fullføre eksempelet.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:14:48.400 --> 00:14:57.800
Vi ser nå på tilfellet a=1/2 i dette likningssystemet. Vi har nå flyttet matrisen som vi har fått opp hit.

00:14:57.800 --> 00:15:05.000
Dette er den reduserte trappeformen i tilfelle a=1/2.

00:15:05.000 --> 00:15:14.900
Nå skal vi skrive opp hvilke løsninger denne formen gir oss. Her har vi x, y og z som da tilhører hver sin kolonne.

00:15:14.900 --> 00:15:24.200
Da ser vi at x og y er ledende variabler, for de svarer til ledende enere. 

00:15:24.200 --> 00:15:32.900
z er fri og kan være hva som helst. Vi innfører en parameter for z, for å kunne fremstille løsningene.

NOTE
Treffsikkerhet: 85% (HØY)

00:15:32.900 --> 00:15:49.100
Da vil ligning to, eller R2, gi oss at y + 1/4s (for z) = -1/2.

00:15:49.100 --> 00:15:54.550
R1 gir at x + 9/8s = 3/4.

NOTE
Treffsikkerhet: 94% (HØY)

00:15:54.550 --> 00:15:59.400
Da kan vi skrive opp løsningene [x, y, z]. 

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:15:59.400 --> 00:16:19.200
x blir 3/4 - 9/8s. y blir -1/2 - 1/4s. z er bare s.

NOTE
Treffsikkerhet: 92% (HØY)

00:16:19.200 --> 00:16:29.500
I tillegg så kan nå også s være et hvilket som helst reelt tall. Når vi setter inn verdier for s,

00:16:29.500 --> 00:16:42.000
så får vi tupler x, y, z som passer inn i dette ligningssystemet når a=1/2. Da har vi sett at når a=0,

00:16:42.000 --> 00:16:55.100
så har vi ingen løsning. Når a=1/2 så har vi uendelig mange,

00:16:55.100 --> 00:16:57.000
nemlig akkurat disse løsningene her.

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:16:57.000 --> 00:17:04.200
Så skal vi til slutt se, hva slags løsninger er det vi har når a er forskjellig fra 0 og fra 1/2?

00:17:04.200 --> 00:17:11.849
Da vet vi at vi får en løsning, men la oss se hvordan det faktisk ser ut.

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:17:11.849 --> 00:17:18.500
Da er vi snart i mål med å se på løsningene til dette ligningssystemet for forskjellige verdier av a. 

00:17:18.500 --> 00:17:27.400
Vi har tatt for oss i detalj a=0 og a=1/2. La oss nå anta at a er forskjellig fra 0 

00:17:27.400 --> 00:17:32.100
og forskjellig fra 1/2.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:17:32.100 --> 00:17:40.000
Da er determinanten forskjellig fra 0 også, og vi vet at vi får en løsning.

00:17:40.000 --> 00:17:47.600
Vi skal se hvordan denne faktisk ser ut. Da vil vi bare beholde a, men vi antar at a er forskjellig fra 0 og 1/2.

00:17:47.600 --> 00:17:55.600
Vi setter opp den utvidede matrisen, men nå kan vi ikke sette inn en spesiell verdi for a,

00:17:55.600 --> 00:18:05.400
så nå må vi bare beholde a. 0 foran x i den tredje ligningen, 2, a og -1.

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:18:06.900 --> 00:18:11.250
Så skal vi redusere denne matrisen.

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:18:11.250 --> 00:18:20.800
Da har vi allerede en ledende ener her. Vi skaffer oss to under ved å ta -2*R1 til R2.

00:18:20.800 --> 00:18:29.400
Da får vi matrisen-- går vi opp hit, sånn.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:18:29.400 --> 00:18:42.100
Vi beholder R1 og så tar vi -2*1 = -2+2 = 0, og så får vi -2*a = -2a*(-1) = 2a. Det blir 2a-1.

00:18:42.100 --> 00:18:59.900
Så får vi -2+2=0 og -2+2=0. Så beholder vi R3.

NOTE
Treffsikkerhet: 83% (HØY)

00:19:03.600 --> 00:19:08.700
Da ser vi at vi har tallet 2a-1.

NOTE
Treffsikkerhet: 79% (HØY)

00:19:08.700 --> 00:19:13.050
Vi må skaffe oss her en ledende ener.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:19:13.050 --> 00:19:22.200
Da må vi anta at 2a-1 er forskjellig fra 0, sånn at vi kan gange med 1 / 2a-1.

00:19:22.200 --> 00:19:30.000
Men det er i orden siden a er forskjellig fra 1/2. Da blir dette tallet forskjellig fra 0.

00:19:30.000 --> 00:19:31.500

NOTE
Treffsikkerhet: 92% (HØY)

00:19:32.500 --> 00:19:49.500
Vi kan ta (1 / 2a-1)*R2. Da får vi 1 her, 0 og 0. Så får vi [0, 2, a, -1].

00:19:49.500 --> 00:20:04.200
Da har vi fått oss nok en ledende ener. Denne raden sier at y, som hører hjemme i andre kolonne, er lik 0.

00:20:04.200 --> 00:20:12.000
Det vet vi, men la oss fortsette nedover sånn at vi finner hva x og z er også.

00:20:12.000 --> 00:20:22.700
Da skal vi skal skaffe oss 0 under denne ledende eneren. Da må vi ta -2*R2 og legge til R3.

00:20:22.700 --> 00:20:25.350
Da trenger vi bare litt mer tavleplass først.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:20:25.350 --> 00:20:34.300
Da har vi ryddet litt plass og flyttet matrisen herfra opp hit. Vi vil nå skaffe oss 0 under den andre ledende eneren

00:20:34.300 --> 00:20:52.100
ved å ta -2*R2 til R3. Det betyr at vi beholder R1 og R2. [0, 1, 0, 0].

00:20:52.100 --> 00:20:59.500
Når vi får -2*R2 til R3, er det faktisk bare her vi får 0. Så forandrer ikke disse to seg.

00:20:59.500 --> 00:21:00.250

NOTE
Treffsikkerhet: 80% (HØY)

00:21:00.250 --> 00:21:08.800
Siden det står 0 her, så vil vi bare beholde a og -1.

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:21:12.200 --> 00:21:19.900
Da er vi ferdig med R1 og R2 med 0 under de ledende enerne. Da er det R3,

00:21:19.900 --> 00:21:26.900
skaffe oss ledende ener på det første tallet forskjellig fra 0. Det betyr at vi må dele på a.

00:21:26.900 --> 00:21:33.500
Da er det veldig fint at vi har antatt at a er forskjellig fra 0, for da kan vi gange med 1/a

00:21:33.500 --> 00:21:36.300
som er et tall forskjellig fra 0.

NOTE
Treffsikkerhet: 67% (MEDIUM)

00:21:38.500 --> 00:21:41.400
Da gjør vi det.

NOTE
Treffsikkerhet: 76% (HØY)

00:21:46.100 --> 00:21:53.500
Da får vi i R3 [0, 0, 1, -1/a].

NOTE
Treffsikkerhet: 92% (HØY)

00:21:56.300 --> 00:22:08.300
Da har vi fått trappeformen med ledende enere. Vi har 0 under disse.

00:22:08.300 --> 00:22:15.900
Så må vi da skaffe oss 0 over. Da starter vi med den nederste ledende eneren og skaffer oss 0 over denne først.

00:22:15.900 --> 00:22:25.100
Da skal vi ha 0 her, og det får vi ved å ta -1*R3 og legge til R1.

00:22:25.100 --> 00:22:32.600
Igjen trenger vi litt mer tavleplass. Da har vi kommet hit i den reduserte trappeformen.

00:22:32.600 --> 00:22:45.600
Vi har flyttet matrisen herfra opp hit. Vi skal nå få 0 her oppe, så vi tar -1*R3 til R1.

00:22:45.600 --> 00:22:52.400
Siden det står 0 her og her, så forandres ikke de to. Her får vi -1+1=0.

00:22:52.400 --> 00:22:57.100
Her får vi -1*(-1/a) = 1/a, og legger til 1. 

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:22:57.100 --> 00:23:17.700
Da får vi [1, -a, 0, 1+1/a]. Så får vi [0, 1, 0, 0]. Vi beholder R2 og R3.

00:23:17.700 --> 00:23:27.800
Så har vi skaffet oss nuller over den ledende eneren. Det som gjenstår,

00:23:27.800 --> 00:23:31.050
er å få 0 over denne ledende eneren.

NOTE
Treffsikkerhet: 78% (HØY)

00:23:31.050 --> 00:23:40.900
Da skal vi ha 0 her, så vi tar a*R2 til R1.

NOTE
Treffsikkerhet: 85% (HØY)

00:23:41.200 --> 00:23:54.900
Da får vi først 1, og så får vi altså 0, og 0, og vi får fortsatt 1+1/a siden det står 0 her.

00:23:54.900 --> 00:24:02.700
[0, 1, 0, 0]. Vi har [0, 0, 1, -1/a].

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:24:04.700 --> 00:24:16.700
Da ser vi at i tilfellet når a er forskjellig fra 0 og forskjellig fra 1/2 i dette ligningssystemet,

00:24:16.700 --> 00:24:25.600
da kan a være hva som helst. a kan være 103 eller -756.2 eller noe sånt.

00:24:25.600 --> 00:24:33.000
Bare det er forskjellig fra 0 og 1/2 så får vi en løsning, og denne løsningen kan vi nå lese av

00:24:33.000 --> 00:24:41.500
den reduserte trappeformen. Den tredje ligningen sier at z=-1/a der a er dette tallet

00:24:41.500 --> 00:24:47.850
vi velger oss i ligningssytemet. y=0 og x=1+1/a.

NOTE
Treffsikkerhet: 80% (HØY)

00:24:47.850 --> 00:25:05.400
Løsningene vil avhenge av a. Da kan vi sette opp løsningstuppelet eller 3-tuppelet

00:25:05.400 --> 00:25:11.400
(1+1/a, 0, -1/a).

NOTE
Treffsikkerhet: 83% (HØY)

00:25:13.200 --> 00:25:23.800
Da har vi drøftet alle løsningene i alle forskjellige tilfeller for a, og sett hvordan

00:25:23.800 --> 00:25:28.500
vi håndterer lineære likningssystemer med parameter.