00:00:00.000
Vi skal nå se litt på begrepene egenverdier og egenvektorer til en matrise og dette er nyttige begreper og det er ulike måter å motivere disse begrepene på utgangspunktet vårt er uansett at vi har en kvadratisk matrise og ønsket vårt er at det finnes vektorer Slik at når vi ganger den matrisen med vektoren så er det det samme som å gange med et tall

00:00:36.400
hvis dette her er oppfylt så er dette nemlig en sammenheng som kan være veldig nyttig å bruke i diverse anvendelser

00:00:45.200
og nå er altså Lambda er et reelt tall og vektoren var er forskjellig fra nullvektor

00:00:55.900
og hvis dette her er oppfylt så sier vi da at Lambda er en egenverdi for matrisen m og disse vene de er da tilhørende egenvektorer til egenverdien Lambda Så nå skal vi jakte på disse landene å vende

00:01:16.200
og da er altså denne ligningen utgangspunktet vårt så vi må prøve å gjøre noen kanskje med dette uttrykket for å kunne si noe mer i jakten vår så vi flytter først Lambda ved over og da står det Også eggledd ligning systemet her nå m x en Vektor minus Landgangen Vektor skal være lik null

00:01:47.500
dette her Det som er da en 1 x en matrise og ved er da en kolonnevektor Så da er det en 1 x en matrise Det betyr at dette her da en ny kolonne Vektor Og dette her er en kolonnevektor lik kolonnevektor den som står består av 0

00:02:09.000
vi ser at det er ukjent og Lambda er også ukjent for å komme videre nå for å løse dette ligning systemet så vi vil gjerne prøve å faktorisere ut det men hvis jeg skal få til det så bør helst da det stå en matrise med samme dimensjon som en her og det løser vi ved å gange inn med identitetsmatrisen fordi da gjør vi ikke noe galt det blir fortsatt stående det samme

00:02:44.600
fordi nå kan du få aktivisere ut ved fordi Lambda X identitetsmatrisen det blir nå en en gang en matrise på lik linje med at mr11 x en matrise Og da vil dette uttrykket gi mening Og vi kan trekke disse to fra hverandre

00:03:08.400
Nå har vi nemlig fått etter homogen lineært likningssystem det er dette her er offisielt hva prisen og det er altså homogen Fordi det står 0 på denne siden og ved er det ukjent

00:03:35.900
vi skal ha tak i VM forskjellig fra null Det betyr at vi ønsker uendelig mange løsninger for de siden dette her et homogen ligning system som vet vi at vi alltid har en løsning nemlig ved lik null men vi ønsker også å kunne være forskjellig fra 0 som oppfyller dette her og dermed vil vi få uvennlig mange løsninger

00:04:08.800
og det vet vi Vi får hvis dette er min Mountain til koeffisientmatrise = 0

00:04:16.600
Så dette er mitt navn til til en minus Lambda i lik null vil gi oss uendelig mange løsninger

00:04:28.600
Og dette her er da en likning i landet Det Lambda er den ukjente og dette denne ligningen Kallestad den karakteristiske ligningen til matrise ned Så da ser vi at vi har bruke teorien Vi har lært oss for lineære likningssystemer Åmot lyser så hadde nå funnet en måte der vi kan finne l'andana egen verdiene på ved å sette opp med karakteristiske ligningen vi skal det regne ut til terminalen til m minus Lambda x identitetsmatrisen og sette den lik null

00:05:15.100
Da finner vi Lambda egen verdiene og så tar vi for oss landet også bruker vi for eksempel denne sammenhengen her for deg å finne de cellene som oppfyller dette her for de ulike landene Vi har funnet og dermed finner vi egenvektorer og det skal vi da se et eksempel på nå

00:05:38.700
da Skal vi se på et eksempel der Vi regner ut egenverdier og egenvektorer til en matrise og Jeg velger meg matrisen 5 3/20 Hvilket tall og vektorer er det da som er sånn at når vi ganger denne matrisen med vektoren så får vi ta det samme som å bare * en Vektor med tall

00:06:00.600
og det vet det nå vi kan finne egen verdiene ved å se på The Terminal til m- landaas og når dette tilfellet så blir de to fordi vi har en 2 x 2 matrise

00:06:14.700
da setter vi opp med Nå skal vi ha determinanten til en som er 5 3/20 Lambda ganger i 2 det blir omgangen Lambda i i to og dermed får vi også landet på diagonalen siden i 2 har en sånn her så får vi Lambda isteden og fortsatt 0

00:06:45.200
Det betyr at vi skal ta det terminal til matrisen David er 5 minus Lambda som blir 3 minus 0 også blir det 2 minus 0 og 0 minus Lambda

00:07:07.100
og da vi Det terminal 1 til 2 x 2 matrise og det er da produktet på den ene diagonalen minnes produktet på den andre diagonalen så dette blir noe av lik 5 minus Lambda X Minus Lambda og minus 200 tre som er 6

00:07:27.600
det gjør oss minus ganger minus Lambda er Lambda Ja også burde 5 X Minus Lambda og minus 6 og da får vi også en andregradslikning fordi vi har en 2 x 2 matrise og for å finne uendelig mange løsninger uendelig mange vektorer som oppfyller dette her så setter vi også etter det lik null i dette tilfellet så er dette den karakteristiske ligningen til matrisen m320

00:08:01.400
Hvis du bruker abc-formelen på denne andregradslikningen så får vi at Lambda = minus 1 og Lambda kan også være 6 og det betyr at dette her er da egen verdiene til matrisen 5 3/20

00:08:27.900
og det meste vi nå skal gjøre det er når vi bruker minus 1 så skal vi finne Hvilke vektorer er det som er sånn at når vi ganger Hvem er prisen så er det det samme som å gange med minus 1 og hvilke vektorer er det da som er sånn at når Vi Ganger Med Mathisen så er det det samme som å gange med 6 disse kan vi nå finne ut hvordan vi bare ha litt med havneplass først

00:08:51.200
vi har nå regnet ut egen verdiene til matrise m320 Og det ble minus 1 og 6 og nå tenkte jeg å vise to forskjellige måter å regne ut egenvektorer på så hvis vi starter med en ene egenverdien land = minus 1 så tar vi for oss en metode først

00:09:15.500
og det er da Vi tar utgangspunkt i denne sammenhengen fordi den vi skal ha oppfylt matrisen X disse vektorene vi skal finne skal nå være lik minus 1 x Vektor så det betyr at vi skal ha oppfylt m320 X en lektor som vi da kan kalle x y z = minus 1 x x y

00:09:47.200
og det betyr at når vi har såpass små matroser som jeg har her så kan vi godt skrive ut ligning systemet vi får så vi kan gange ut 5 * x + 3 x y skal være lik da minus 1 x x som blir minus x og så skal vi ha 2 * x + 0 x y d2x skal være lik minus i

00:10:19.300
Hvilke xros er det som oppfyller dette her da kan vi rydde litt 5x + x w 6 x + 3y lik null den første ligningen og så står det Også 2 x + y slik 0-100

00:10:42.000
og da ser vi at den første ligningen er det er bare tre ganger den andre ligningen Det betyr at disse ligningene er like de gir akkurat samme informasjon inn i første servietter exro som jeg så at 6 x + 3 = 0 og det er akkurat det samme X noen som oppfyller 2x + E90 så vi har egentlig bare en likning nemlig 2 x + y = 0 som betyr at 2x for eksempel = minus Yr så vi kan innføre en parameter for i og da blir x slik minus en halv i minus en halv

00:11:33.000
som betyr at egenvekten blir da vektorer x y på formen S X Minus en halv og så står det en foran s

00:11:55.900
Neida jeg skal være et hvilket som helst reelt tall forskjellig fra 0 siden vi ønsker vektorer forskjellig fra 0

00:12:06.400
og som du vet så er det ulike parameter fremstillinger for disse vektene så dette er bare en mulighet vi kan godt gange opp med 2 for eksempel hvis du ikke ønsker brøk men dette her er et helt fint Svar så nå vi funnet egenvektor med tilhørende egenverdien minus 1 og så skal vi se på egenverdien 6

00:12:34.900
da skal vi også se på egen vekterne tilhørende den andre egenverdien som var Lambda lik 6 og en litt annen metode er da å fokusere på selve ligning systemet Vi skal også ha oppfylt MV minus Lambda e2v lik null og det betyr at vi være interessert i en minus Lambda i to som er laget for sent Mathisen til dette ligning systemet i dette tilfellet så er landelijk 6 Så vi regner du ut enn minus 6 x i to som deg hvorfor sent Mathisen og det gir oss en minus

00:13:33.700
6 ganger i 2 blir det matrisen med seksere på diagonalen Og så skal vi trekke disse fra hverandre og det gjør vi komponent Vis og da får vi 5 minus x som er minus 13.00 r32 minutter er 2 og 0 minus x i minus 6

00:14:01.300
og når vi da skal løse dette homogene ligning systemet så skal vi da

00:14:07.200
ha Hvorfor sier du at Risen og den utvidede matrisen det vi da setter opp nå i siste kolonne så vi får utvidet matrise minus 1 3 0 og 2 minus 6 0 for å finne løsningene som skal vi da redusere denne til redusert trappeform

00:14:35.700
vi skaffer oss levende Ender det første tallet som vi kommer til i den første raden skal være som er forskjellig fra 0 skal være en og da skiftet vi fortegn i første dag og så kan vi beholde andre rad

00:14:54.900
og så skaffer vi oss 0 under den ledende innen Vi har fått oss så vi tar minus 2 x av en å legge til rad 2 da får vi 0 her minus 2 x minus 3 er 6 minus X10 så det betyr at du får en rad med nuller som betyr at disse to ligningene vi startet med

00:15:23.400
sier du det samme den andre ligningen kan uttrykkes ved hjelp av den første ligningen så vi har egentlig bare en likning og første kolonne svarer da til x koordinater til Vekten vår og andre kolonne svarer til inn koordinater til Vekten hår så hvis vi nå innfører en parameter for i fordi dette her er en fri variabel X er en ledende variabel fordi den som var den ledende ener så får vi da hvis du setter i likes så får vi fikk slik 3 når vi flytter over det står X Minus 3 = 0 så xplora 3S

00:16:14.600
og dermed så får vi egen vekterne X Y lik s x 3 for eks og en foran S III hvordan ha den der altså s kan være hvilket som helst reelt tall forskjellig fra null siden vi ønsker vektorer forskjellig fra nullvektor

00:16:43.200
og da ser vi at alle vektorer som er da Multi plommer av rektoren 3-1 det sånn at når vi ganger denne matrisen med i vekterne så er det det samme som å gange den vektoren med tallet 6

00:17:01.900
og disse vektene er det egne vektorer for matrisen akkurat som da denne verdien 6 er en egenverdi for matrisen en