WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:10.900 Vi skal nå se litt på begrepene egenverdier og egenvektorer til en matrise. 00:00:10.900 --> 00:00:18.900 Dette er nyttige begreper, og det er ulike måter å motivere disse begrepene på. Utgangspunktet vårt er 00:00:18.900 --> 00:00:30.100 at vi har en kvadratisk matrise. Ønsket vårt er at det finnes vektorer, slik at når vi ganger 00:00:30.100 --> 00:00:35.000 den matrisen med vektoren, så er det det samme som å gange med et tall. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:00:35.400 --> 00:00:42.400 Hvis dette her er oppfylt, så er dette nemlig en sammenheng som kan være veldig nyttig å bruke 00:00:42.400 --> 00:00:44.650 i diverse anvendelser. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:00:44.650 --> 00:00:55.300 Nå er altså lambda et reelt tall, og vektoren vår er forskjellig fra nullvektor. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:00:55.300 --> 00:01:05.200 Hvis dette her er oppfylt, så sier vi da at lambda er en egenverdi for matrisen M. 00:01:05.200 --> 00:01:15.500 Disse v-ene er da tilhørende egenvektorer til egenverdien lambda. Nå skal vi jakte på disse lambdaene og v-ene. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:15.500 --> 00:01:25.000 Da er altså denne ligningen utgangspunktet vårt. Vi må prøve å gjøre noe med dette uttrykket 00:01:25.000 --> 00:01:37.200 for å kunne si noe mer i jakten vår. Vi flytter først lambda*v over, og da står det 00:01:37.200 --> 00:01:45.900 et ligningssystem her nå. M*v - lambda*v = 0. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:01:46.500 --> 00:01:57.100 Hvis M er en nxn-matrise og v er da en kolonnevektor, så da er det en nx1-matrise. 00:01:57.100 --> 00:02:05.300 Det betyr at dette er en ny kolonnevektor, og dette her er en kolonnevektor 00:02:05.300 --> 00:02:08.350 lik kolonnevektoren som består av 0. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:02:08.350 --> 00:02:17.900 Vi ser at v er ukjent, og lambda er også ukjent. For å komme videre nå for å løse dette ligningssystemet, 00:02:17.900 --> 00:02:24.400 vi vil gjerne prøve å faktorisere ut v. Hvis vi skal få til det, så bør det helst da 00:02:24.400 --> 00:02:33.100 stå en matrise med samme dimensjon som M her. Det løser vi ved å gange inn 00:02:33.100 --> 00:02:42.100 med identitetsmatrisen, for da gjør vi ikke noe galt. Det blir fortsatt stående, det samme. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:02:43.600 --> 00:02:52.400 Nå kan vi faktorisere ut v. Fordi lambda*In, det blir nå en nxn-matrise, 00:02:52.400 --> 00:03:02.300 på lik linje med at M er en nxn-matrise. Da vil dette uttrykket gi mening, og vi kan trekke 00:03:02.300 --> 00:03:04.400 disse to fra hverandre. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:03:07.400 --> 00:03:17.300 Nå har vi nemlig fått et homogent, lineært likningssystem. Dette her er koeffisientmatrisen. 00:03:17.300 --> 00:03:33.700 Det er altså homogent fordi det står 0 på denne siden, og v er ukjent. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:03:34.900 --> 00:03:54.600 Vi skal ha tak i v-er forskjellig fra 0. Det betyr at vi ønsker uendelig mange løsninger. 00:03:54.600 --> 00:04:00.400 Siden dette er et homogent ligningssystem, vet vi at vi alltid har en løsning, nemlig v=0. 00:04:00.400 --> 00:04:06.100 Men vi ønsker å finne v-er forskjellig fra 0 som oppfyller dette. Dermed vil vi få 00:04:06.100 --> 00:04:08.000 uendelig mange løsninger. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:04:08.000 --> 00:04:16.050 Det vet vi at vi får, hvis determinanten til koeffisientmatrisen er lik 0. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:04:16.050 --> 00:04:27.600 Så determinanten til (M - lambda*In) = 0 vil gi oss uendelig mange løsninger. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:04:27.600 --> 00:04:38.100 Og dette her er da en likning i lambda, der lambda er den ukjente. Denne ligningen kalles 00:04:38.100 --> 00:04:55.800 den karakteristiske ligningen til matrisen M. Så da ser vi at ved å bruke teorien vi har lært oss 00:04:55.800 --> 00:05:02.700 for lineære likningssystemer og matriser, så har vi funnet en måte der vi kan finne lambda (egenverdiene) på, 00:05:02.700 --> 00:05:09.400 ved å sette opp den karakteristiske ligningen. Vi skal regne ut determinanten 00:05:09.400 --> 00:05:14.600 til (M - lambda*In), og sette den lik 0. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:05:14.600 --> 00:05:23.900 Da finner vi lambdaer (egenverdiene). Så tar vi for oss lambdaene, og så bruker vi for eksempel 00:05:23.900 --> 00:05:31.400 denne sammenhengen her for å finne disse v-ene som oppfyller dette her for de ulike lambdaene 00:05:31.400 --> 00:05:37.950 vi har funnet. Dermed finner vi egenvektorene. Det skal vi da se et eksempel på nå. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:05:37.950 --> 00:05:45.200 Da skal vi se på et eksempel, der vi regner ut egenverdiene og egenvektorene til en matrise. 00:05:45.200 --> 00:05:54.100 Jeg velger meg matrisen [5, 3], [2, 0]. Hvilket tall og vektorer er det da som er sånn at når vi ganger 00:05:54.100 --> 00:05:59.700 denne matrisen med vektoren, så får vi det samme som å bare gange denne vektoren med et tall? NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:05:59.700 --> 00:06:10.100 Det vet vi nå. Vi kan finne egenverdiene ved å se på determinaten til (M - lambda*I2). 00:06:10.100 --> 00:06:14.000 I dette tilfellet blir det 2, fordi vi har en 2x2-matrise. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:06:14.000 --> 00:06:27.600 Da setter vi opp det. Nå skal vi ha determinanten til M, som er [5, 3], [2, 0]. Lambda*I2, 00:06:27.600 --> 00:06:41.200 det blir å gange lambda i I2. Dermed får vi lambda på diagonalen. Siden I2 har 1 stående her, 00:06:41.200 --> 00:06:44.450 får vi lambda isteden og fortsatt 0. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:06:44.450 --> 00:06:58.000 Det betyr at vi skal ta determinanten til matrisen, der vi tar 5-lambda. Så blir det 3-0. 00:06:58.000 --> 00:07:03.100 Så blir det 2-0, og 0-lambda. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:07:06.100 --> 00:07:14.200 Da har vi determinanten til en 2x2-matrise. Det er da produktet på den ene diagonalen 00:07:14.200 --> 00:07:24.700 minus produktet på den andre diagonalen. Dette blir lik (5-lambda)(-lambda) og minus 2*3=6. 00:07:24.700 --> 00:07:27.000 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:07:27.000 --> 00:07:40.000 Det gir oss (-lambda)*(-lambda) = lambda^2. Så blir det -5*lambda og -6. 00:07:40.000 --> 00:07:47.700 Da får vi en andregradslikning, fordi vi har en 2x2 matrise. For å finne uendelig mange løsninger, 00:07:47.700 --> 00:07:55.000 uendelig mange vektorer som oppfyller dette her, så setter vi dette lik 0. 00:07:55.000 --> 00:08:00.799 I dette tilfellet er dette den karakteristiske ligningen til matrisen M. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:08:00.799 --> 00:08:14.300 Hvis vi bruker abc-formelen på denne andregradslikningen, får vi at lambda=-1. 00:08:14.300 --> 00:08:27.200 Lambda kan også være 6. Det betyr at dette her er da egenverdiene til matrisen M. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:08:27.200 --> 00:08:34.400 Det neste vi nå skal gjøre, er når vi bruker -1, så skal vi finne hvilke vektorer 00:08:34.400 --> 00:08:40.000 er det som er sånn, at når vi ganger med matrisen, så er det det samme som å gange med -1? 00:08:40.000 --> 00:08:44.300 Og hvilke vektorer er det da som er sånn, at når vi ganger med matrisen, så er det det samme som å gange med 6? 00:08:44.300 --> 00:08:50.650 Disse kan vi nå finne ut. Da må vi bare ha litt mer tavleplass først. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:08:50.650 --> 00:09:01.500 Vi har nå regnet ut egenverdiene til matrisen M. Det ble -1 og 6. Nå tenkte jeg å vise 00:09:01.500 --> 00:09:11.300 to forskjellige måter å regne ut egenvektorer på. Hvis vi starter med den ene egenverdien, lambda=-1, 00:09:11.300 --> 00:09:14.900 så tar vi for oss en metode først. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:09:14.900 --> 00:09:23.300 Det er da vi tar utgangspunkt i denne sammenhengen, for det er den vi skal ha oppfylt. 00:09:23.300 --> 00:09:35.400 Matrisen ganger vektorene vi skal finne, skal nå være lik -1*v. Vi skal ha oppfylt [5, 3], [2, 0] 00:09:35.400 --> 00:09:46.100 ganger en vektor som vi da kan kalle [x, y], skal være lik -1[x, y]. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:09:46.200 --> 00:09:53.000 Det betyr at når vi har såpass små matriser som vi har her, så kan vi godt skrive ut ligningssystemet vi får. 00:09:53.000 --> 00:10:08.700 Vi kan gange ut. 5x + 3y skal være lik da -1, ganger x som blir -x. 00:10:08.700 --> 00:10:15.900 Så skal vi ha 2x + 0y, det er 2x, skal være lik -y. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:10:18.300 --> 00:10:32.900 Hvilke x-er og y-er er det som oppfyller dette her? Da kan vi rydde litt. 5x+x = 6x+3y = 0 00:10:32.900 --> 00:10:40.800 i den første ligningen. Så står det 2x+y = 0 i den andre. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:10:41.000 --> 00:10:49.500 Da ser vi at den første ligningen er bare tre ganger den andre ligningen. 00:10:49.500 --> 00:10:57.000 Disse ligningene er like, de gir akkurat samme informasjon. I den første ser vi etter x-er og y-er 00:10:57.000 --> 00:11:08.000 som er sånn at 6x+3y = 0. Det er akkurat de samme x-ene og y-ene som oppfyller 2x+y = 0. 00:11:08.000 --> 00:11:21.500 Vi har bare en ligning, nemlig 2x+y = 0. Det betyr at 2x for eksempel er lik -y. Vi kan innføre en parameter for y. 00:11:21.500 --> 00:11:31.400 Da blir x lik -1/2y, altså -1/2s. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:11:32.000 --> 00:11:53.600 Det betyr at egenvektorene blir da vektorer [x, y] på formen s[-1/2, 1]. Det står 1 foran s. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:11:54.900 --> 00:12:03.900 Der s kan være et hvilket som helst reelt tall forskjellig fra 0, siden vi ønsker vektorer 00:12:03.900 --> 00:12:05.650 forskjellig fra 0. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:12:05.650 --> 00:12:14.300 Som vi vet, er det ulike parameterfremstillinger for disse vektorene. Dette er bare en mulighet. 00:12:14.300 --> 00:12:22.600 Vi kan godt gange opp med 2 for eksempel, hvis vi ikke ønsker brøk. Dette her er et helt fint svar. 00:12:22.600 --> 00:12:31.500 Nå har vi funnet egenvektorene tilhørende egenverdien -1. Så skal vi se på 00:12:31.500 --> 00:12:34.000 egenverdien 6. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:12:34.000 --> 00:12:44.700 Da skal vi se på egenvektorene tilhørende den andre egenverdien som var lambda=6. 00:12:44.700 --> 00:12:57.500 En annen metode er å fokusere på selve ligningssystemet. Vi skal ha oppfylt (M*v - lambda*I2*v) = 0. 00:12:57.500 --> 00:13:10.600 Det betyr at vi er interessert i (M - lambda*I2), som er koeffisientmatrisen 00:13:10.600 --> 00:13:23.600 til dette ligningssystemet. I dette tilfellet er lambda=6. Vi regner ut M - 6*I2, 00:13:23.600 --> 00:13:33.250 som er koeffisientmatrisen. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:13:33.250 --> 00:13:43.500 Det gir oss M - 6*I2, det blir matrisen med 6 på diagonalen. Så skal vi trekke disse fra hverandre, 00:13:43.500 --> 00:13:56.500 det gjør vi komponentvis. Da får vi 5-6=-1, 3-0=3, 2-0=2 og 0-6=-6. 00:13:56.500 --> 00:13:58.800 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:14:00.300 --> 00:14:06.650 Når vi da skal løse dette homogene ligningssystemet, NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:14:06.650 --> 00:14:14.900 skal vi ha koeffisientmatrisen og den utvidede matrisen, der vi da setter opp 0 i siste kolonne. 00:14:14.900 --> 00:14:29.700 Vi får utvidet matrise [-1, 3, 0] og [2, -6, 0]. For å finne løsningene, skal vi da redusere denne 00:14:29.700 --> 00:14:32.200 til redusert trappeform. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:14:34.700 --> 00:14:42.200 Vi skaffer oss ledende ener. Det første tallet som vi kommer til i den første raden, 00:14:42.200 --> 00:14:51.100 som er forskjellig fra 0, skal være 1. Da skifter vi fortegn i første rad, og så kan vi beholde andre rad. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:14:53.900 --> 00:15:02.100 Så skaffer vi oss 0 under den ledende eneren vi har fått oss. Vi tar -2*R1 og legger til R2, 00:15:02.100 --> 00:15:18.700 da får vi 0 her. -2*-3 = 6-6 = 0. Det betyr at vi får en rad med 0. 00:15:18.700 --> 00:15:22.849 Det betyr at disse to ligningene vi startet med, sier det samme. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:15:22.849 --> 00:15:30.100 Den andre ligningen kan uttrykkes ved hjelp av den første ligningen. 00:15:30.100 --> 00:15:39.800 Vi har egentlig bare en likning. Første kolonne svarer da til x-koordinaten til vektoren vår. 00:15:39.800 --> 00:15:49.300 Andre kolonne svarer til y-koordinaten til vektoren vår. Hvis vi nå innfører en parameter for y, 00:15:49.300 --> 00:15:57.400 fordi dette her er en fri variabel. x er en ledende variabel, fordi den svarer til en ledende ener. 00:15:57.400 --> 00:16:11.900 Hvis vi setter y=s, får vi x=3 når vi flytter over. Det står x-3y=0. x blir da 3s. 00:16:11.900 --> 00:16:13.400 NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:16:13.600 --> 00:16:33.500 Dermed så får vi egenvektorene [x, y] lik s, ganger 3 for x og 1 foran s i y-koordinaten. 00:16:33.500 --> 00:16:41.200 s kan være et hvilket som helst reelt tall forskjellig fra 0, siden vi ønsker vektorer forskjellig fra nullvektor. 00:16:41.200 --> 00:16:42.400 NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:16:42.400 --> 00:16:53.700 Da ser vi at alle vektorer som er multiplumer av vektoren [3, 1], de er sånn at når vi ganger 00:16:53.700 --> 00:17:01.300 denne matrisen med de vektorene, så er det det samme som å gange den vektoren med tallet 6. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:17:01.300 --> 00:17:10.000 Disse vektorene er egne vektorer for matrisen, akkurat som da denne verdien 6 er en egenverdi 00:17:10.000 --> 00:17:13.900 for matrisen M.