WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:12.900 Vi skal nå se hvordan vi kan bruke teorien for matriser til å løse følgende ligningssystem. 00:00:12.900 --> 00:00:24.100 Hva slags system er det vi har satt opp her? Jo, vi har xn+1 skal være (4/5)xn + (2/5)yn. 00:00:24.100 --> 00:00:33.900 n skal nå være et naturlig tall der vi starter på 0. Vi kan sette inn 0, 1, 2, 3, 4 osv oppover. 00:00:33.900 --> 00:00:45.100 yn+1 er uttrykt ved hjelp av (1/5)xn + (3/5)yn. I tillegg vet vi at vi skal starte 00:00:45.100 --> 00:00:58.100 med tuppel [x0, y0] lik [10, 80]. Det betyr at hvis vi setter inn x0=10 og y0=80, så kan vi sette 00:00:58.100 --> 00:00:59.500 inn 10 der og 80 der, NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:00:59.500 --> 00:01:09.900 og så finner vi x1. Så kan vi sette inn 10 der og 80 der og finne y1. 00:01:09.900 --> 00:01:20.200 Vi kan faktisk regne ut [x1, y1]. Tilsvarende, når vi har funnet [x1, y1] så kan vi sette det inn her 00:01:20.200 --> 00:01:32.600 og så kan vi finne [x2, y2] og så videre oppover. Det vi da ønsker oss, er at istedenfor å regne oss 00:01:32.600 --> 00:01:46.400 oppover på denne måten, så vi vil finne et generelt uttrykk for det n-te leddet [xn, yn]. 00:01:46.400 --> 00:01:47.949 NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:01:47.949 --> 00:01:58.050 Da kan vi sette inn n=50 for eksempel, og finne da den 50. tuppel som passer inn her. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:01:58.050 --> 00:02:08.500 Det betyr at vi nå har to tallfølger x1, x2, x3, x4 osv. Tallfølgen y1, y2 osv oppover. 00:02:08.500 --> 00:02:15.800 Dette her er nå et system som kobler sammen disse to tallfølgene. Det er derfor 00:02:15.800 --> 00:02:23.050 vi har kalt denne snutten "Systemer av differenslikninger", fordi den ukjente her er tallfølger. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:02:23.050 --> 00:02:30.100 Dette her er da matematikk som vi kan bruke i for eksempel populasjonsdynamikkoppgaver. 00:02:30.100 --> 00:02:36.100 Vi skal nå se hvordan vi kan da finne et uttrykk for xn og yn. NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:02:37.100 --> 00:02:47.600 Dette er systemet vårt. Vi bruker nå matriseteori, så vi setter dette opp på matriseform. 00:02:47.600 --> 00:03:00.600 Da får vi [xn+1, yn+1] som matrise. Så bruker vi matrisemultiplikasjon og plukker ut koeffisientene. 00:03:00.600 --> 00:03:18.700 [(4/5), (2/5)], [(1/5), (3/5)]. Denne matrisen skal da ganges med [xn, yn]. 00:03:18.700 --> 00:03:27.000 Når vi ganger ut dette matriseproduktet, får vi akkurat dette som står på høyre side i ligningssystemet vårt. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:03:27.000 --> 00:03:35.350 Da har vi en matriseform. Vi kan kalle denne matrisen for M. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:03:35.350 --> 00:03:52.300 Det betyr faktisk at hvis vi starter nå med [x0, y0], så ser vi at [x1, y1] blir M[x0, y0]. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:03:53.300 --> 00:04:10.300 [x2, y2] blir da å gange med M en gang til. Det betyr at [x2, y2] = M(M[x0, y0]), 00:04:10.300 --> 00:04:25.700 som er M^2[x0, y0], fordi matrisemultiplikasjon er assosiativt. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:04:25.700 --> 00:04:41.700 Da ser vi at [xn, yn] blir da å gange med matrisen M n ganger NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:04:41.700 --> 00:04:46.900 med starten vår [x0, y0], som vi vet. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:04:47.200 --> 00:04:55.000 Vi er et stykke på vei. Vi ønsker å finne et uttrykk for [xn, yn], som er å gange med 00:04:55.000 --> 00:05:01.000 matrisen n ganger. Det betyr at vi må regne ut denne matrisen i n-te, og det kan være litt 00:05:01.000 --> 00:05:02.100 slitsomt. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:05:02.100 --> 00:05:05.500 Vi gjør heller noe annet. NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:05:06.400 --> 00:05:15.500 Hva hvis det å gange med matrisen hadde vært det samme som å gange med et tall? 00:05:15.500 --> 00:05:20.000 Da hadde ting blitt mye enklere, da hadde vi sluppet å gange ut den matrisen n ganger. Da kan vi bare gange 00:05:20.000 --> 00:05:22.549 et tall med seg selv n ganger. Det er litt enklere. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:05:22.549 --> 00:05:31.900 Det skjer jo hvis vi har egenvektorer. Men [x0, y0] er veldig sjelden en egenvektor, så det betyr at 00:05:31.900 --> 00:05:41.600 vi må gjøre om eller skrive denne her ved hjelp av egenvektorer til matrisen M. Det skal vi da gjøre, 00:05:41.600 --> 00:05:49.800 bare vi har fått litt tavleplass. Da er vi i ferd med å finne et uttrykk for x1 og y1 til dette systemet. 00:05:49.800 --> 00:06:01.500 Tuppelen, eller vektoren, [x1, y1] har vi sett kan uttrykkes ved å gange med matrisen M^n, 00:06:01.500 --> 00:06:11.200 der M er koeffisientmatrisen som er skrevet opp der oppe, ganger utgangsvektoren vår. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:06:11.900 --> 00:06:21.700 Vi ønsker nå å skrive [x0, y0] ved hjelp av egenvektorer, siden vi skal gange denne med matrisen mange ganger. 00:06:21.700 --> 00:06:27.000 Da vil vi gjerne gange med et tall isteden. Det er settingen for egenverdier og egenvektorer. 00:06:27.000 --> 00:06:40.200 Så egenverdiene til M kan vi da finne ved å sette opp den karakteristiske ligningen. 00:06:40.200 --> 00:06:47.950 Hvis vi løser den, så får vi 1 og 2/5. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:06:47.950 --> 00:07:05.200 Til disse så hører det da egenvektorer. For lambda=1, så finner vi at vektorene s[2, 1] 00:07:05.200 --> 00:07:17.700 er de som oppfyller egenvektorene. Lambda=2/5, så får vi egenvektorer s[-1, 1]. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:07:19.800 --> 00:07:26.950 Dette kan vi nå bruke for å finne uttrykk for [xn, yn]. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:07:26.950 --> 00:07:38.700 Vi skriver da x0 og y0 som altså er 10 og 80, ved hjelp av [2, 1] og [-1, 1]. Vi trenger bare en egenvektor 00:07:38.700 --> 00:07:45.000 for hver egenverdi. Da velger vi den vektoren som vi har satt utenfor s-en. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:07:45.000 --> 00:07:57.800 Vi vil ha et tall ganger den ene egenvektoren for lambda=1, pluss et tall ganger en egenvektor for lambda=2/5. 00:07:57.800 --> 00:08:11.000 Dette skal da være lik [10, 80]. For å komme videre her, må vi da først løse dette lineære likningssystemet 00:08:11.000 --> 00:08:19.500 der a og b nå er ukjent. Da kan vi sette opp den utvidede matrisen til dette systemet. 00:08:19.500 --> 00:08:30.200 Det blir [2, -1, 10], [1, 1, 80]. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:08:30.200 --> 00:08:37.299 Da har vi plukket ut koeffisientene i ligningssystemet. Ligningssystemet sier 2*a - b 00:08:37.299 --> 00:08:47.800 skal være lik 10. Da får vi 2, -1, 10 som koeffisienter. Så har vi a+b skal være 80. 00:08:47.800 --> 00:08:54.450 Det gir koeffisientene 1 og 1. Og så b-kolonnen, 80. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:08:54.450 --> 00:09:04.550 b-kolonnen i ligningsspråket vårt, der vi setter opp matrisen ax=b. b er her, NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:09:04.550 --> 00:09:14.300 og a skriver vi ved hjelp av disse to. Hvis vi reduserer denne utvidede matrisen til redusert trappeform, 00:09:14.300 --> 00:09:23.600 får vi matrisen [1, 0, 30], [0, 1‚ 50]. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:09:25.200 --> 00:09:35.600 Det betyr at a hører hjemme i første kolonne, er 30. b hører hjemme i andre kolonne, er da lik 50. 00:09:35.600 --> 00:09:38.100 NOTE Treffsikkerhet: 75% (MEDIUM) 00:09:39.000 --> 00:09:55.300 [a, b] = [30, 50]. Det betyr at utgangsvektoren vår [10, 80] kan skrives som 30 ganger den ene egenvektoren, 00:09:55.300 --> 00:10:04.500 pluss 50 ganger den andre egenvektoren. Det skal vi utnytte. Vi holder på å løse dette systemet, 00:10:04.500 --> 00:10:13.700 ved å finne uttrykk for xn og yn. Det er gitt ved å gange med en matrise n ganger der matrisen 00:10:13.700 --> 00:10:18.650 er gitt ved koeffisientene i systemet, og da ganger utgangspunktet vårt. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:10:18.650 --> 00:10:28.600 Vi har nå skrevet opp egenverdiene og egenvektorene til denne matrisen M. Så har vi uttrykt [x0, y0] 00:10:28.600 --> 00:10:40.400 som er [10, 80] ved hjelp av egenvektorer, og da funnet at denne utgangsvektoren er 30 ganger den ene egenvektoren 00:10:40.400 --> 00:10:44.150 pluss 50 ganger den andre. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:10:44.150 --> 00:10:47.800 Da kan vi sette dette inn her. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:10:47.800 --> 00:10:59.600 Vi skal nå regne ut hva [x1, y1] er. Da skal det bli M^n. Så erstatter vi nå [x0, y0] 00:10:59.600 --> 00:11:15.100 som er [10, 80], med dette uttrykket her. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:11:16.200 --> 00:11:28.000 Nå har vi foreløpig kun bare erstattet [x0, y0] med en lineær kombinasjon av egenvektorer. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:11:28.000 --> 00:11:49.600 Da kan vi godt skrive 30 utenfor. Så får vi 30M^n[2, 1] + 50, og så ganger vi inn M^n her, ganger [-1, 1]. 00:11:49.600 --> 00:12:01.400 Nå kommer poenget. Her står det at M^n skal ganges med [2, 1]. Men [2, 1] er en egenvektor 00:12:01.400 --> 00:12:09.800 tilhørende egenverdien 1. Hver gang vi ganger matrisen med denne vektoren, så er det det samme 00:12:09.800 --> 00:12:16.500 som å gange med tallet 1. Dette er jo da styrken til egenverdier og egenvektorer. 00:12:16.500 --> 00:12:26.900 Dette blir bare 1^n[2, 1]. Det å gange med M er det samme som å gange med 1. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:12:26.900 --> 00:12:38.100 Tilsvarende her, vi skal gange M^n med [-1, 1], som da er en egenvektor tilhørende egenverdien 2/5. 00:12:38.100 --> 00:12:47.050 Hver gang vi ganger matrisen med denne vektoren, så ganger vi da bare med tallet 2/5. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:12:47.050 --> 00:12:55.100 Hver gang vi ganger med M, så ganger vi med 2/5 isteden. 00:12:55.100 --> 00:12:59.400 Dermed får vi (2/5)^n[-1, 1]. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:12:59.500 --> 00:13:10.100 Da er vi ferdig med matrisen. Nå står det bare tall igjen, og da kan vi rydde litt. 00:13:10.100 --> 00:13:27.500 1^n=1, så dette her er vektoren [60, 30] når vi ganger inn 30. Vi kan gange inn -50(2/5)^n. 00:13:27.500 --> 00:13:42.000 Her nede får vi 50(2/5)^n. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:13:45.000 --> 00:13:52.950 Da har vi funnet et uttrykk for xn og yn, tallfølgene våre. NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:13:52.950 --> 00:14:13.500 xn er da tallfølgen 60 - 50(2/5)^n. yn er tallfølgen 30 + 50(2/5)^n. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:14:17.800 --> 00:14:25.800 Det var det vi ønsket å finne. Helt til slutt kan vi se littegranne på hva som skjer 00:14:25.800 --> 00:14:33.100 med disse tallfølgene når n blir veldig stor. Det er et veldig interessant problem for tallfølger, 00:14:33.100 --> 00:14:41.200 hva skjer når n vokser? Langt uti tallfølgen, stopper denne tallfølgen opp eller går mot den uendelig, 00:14:41.200 --> 00:14:44.300 eller går den kanskje mot et tall? NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:14:44.300 --> 00:14:47.050 NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:14:47.050 --> 00:14:55.700 Hva skjer nå, når n blir veldig stor? Jo, vi har (2/5)^n. Når vi ganger 2/5 00:14:55.700 --> 00:15:02.700 med seg selv veldig mange ganger, så blir dette her forsvinnende lite. Det betyr at disse to leddene 00:15:02.700 --> 00:15:10.600 blir forsvinnende små. Når n går mot uendelig, så vi vil stå igjen med vektoren [60, 30]. 00:15:10.600 --> 00:15:27.800 Det kan vi skrive lim[xn, yn] når n går mot uendelig, er lik [60, 30]. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:15:27.800 --> 00:15:38.500 I dette tilfellet ser vi at når vi starter med vektoren [10, 80] og så har vi denne sammenhengen 00:15:38.500 --> 00:15:42.650 mellom da x-ene og y-ene. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:15:42.650 --> 00:15:52.800 Når n blir veldig stor, så vil vi ende opp med vektoren [60, 30].