WEBVTT Kind: captions; language: nb-no

NOTE
Treffsikkerhet: 92% (HØY)

00:00:00.000 --> 00:00:11.900
Vi skal nå gi en innføring i begrepet radianer. Det handler om å måle vinkler. Som vi vet,

00:00:11.900 --> 00:00:19.500
kan vi måle vinkler i grader. Men jeg påstår at det finnes et bedre, og iallfall et mer naturlig vinkelmål, enn grader. 

00:00:19.500 --> 00:00:30.100
En vinkel er jo da en geometrisk form som dannes av to stråler, ut fra vinkelens toppunkt.

00:00:30.100 --> 00:00:38.200
Spørsmålet er, hvordan skal vi klare å måle hvor stor denne formen er?

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:00:38.200 --> 00:00:49.000
Da kan vi jo tenke oss at disse to vinkelbeina, de danner jo en del av en sirkel. Vi kan slå 

00:00:49.000 --> 00:00:56.000
en sirkelbue med radius r.

NOTE
Treffsikkerhet: 93% (HØY)

00:00:56.000 --> 00:01:06.300
Da får vi en buelengde mellom de to vinkelbeina, som er lengden på buen. 

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:01:06.400 --> 00:01:18.800
Poenget nå er at uansett hvor stor sirkel vi slår om de samme vinkelbeina, så får vi ut et forhold

00:01:18.800 --> 00:01:27.100
som ikke forandres. Hvis vi nå ser på den litt større sirkelbuen, så har den radius R.

00:01:27.100 --> 00:01:31.900
Så har vi fått en større buelengde B.

NOTE
Treffsikkerhet: 85% (HØY)

00:01:31.900 --> 00:01:44.700
Forholdet mellom B og hele den store sirkelen, som da har omkrets 2piR, 

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:01:45.500 --> 00:01:53.500
det vil være det samme som det forholdet vi har mellom den lille buen og den lille sirkelen

00:01:53.500 --> 00:01:56.100
og dens omkrets.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:01:59.400 --> 00:02:06.800
Denne buelengden utgjør en like stor del av den lille sirkelen som den store buelengden utgjør 

00:02:06.800 --> 00:02:11.050
av den store sirkelen. Derfor er disse to forholdene like.

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:02:11.050 --> 00:02:26.600
2pi er bare tall, cirka 6.28. 2pi kan vi forkote bort. Det betyr at vi står igjen med

00:02:26.600 --> 00:02:36.000
forholdet buelengde / radius, som vil være det samme for denne vinkelen, uansett hvor stor sirkelbue vi slår.

00:02:36.000 --> 00:02:48.300
Dette forholdet kaller vi da radian, som da gir oss et mål

00:02:48.300 --> 00:02:51.149
på denne størrelsen, denne vinkelen.

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:02:51.149 --> 00:03:03.200
Da kan vi prøve å finne ut litt hvor store er da vinkler med forskjellige radiantall.

00:03:03.200 --> 00:03:12.800
For eksempel vinkelen 1 radian, som vi forkorter rad, 

NOTE
Treffsikkerhet: 85% (HØY)

00:03:12.800 --> 00:03:22.800
hvor stor er den? Det betyr at buelengden / radiusen skal være lik 1.

00:03:22.800 --> 00:03:29.250
Forohldet mellom buelengde og radius er 1. Det betyr at buelengden er lik radiusen.

NOTE
Treffsikkerhet: 85% (HØY)

00:03:29.250 --> 00:03:32.200
Da kan vi tegne opp

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:03:32.900 --> 00:03:41.300
hvor stor denne vinkelen cirka vil bli, hvis vi da tar et toppunkt og så slår vi en sirkel med sentrum 

00:03:41.300 --> 00:03:43.000
i dette punktet.

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:03:43.000 --> 00:03:55.900
Så har vi da en radius til sirkelbuen. Så beveger vi oss langs denne sirkelbuen cirka r, sånn at vi får 

00:03:55.900 --> 00:04:08.200
buelengde lik radius. Da dannes det en vinkel, og den vinkelen har størrelse 1 radian.

00:04:08.200 --> 00:04:15.500
Det er akkurat vinkelen som har størrelse 1 rad. Da er buelengden lik radiusen.

NOTE
Treffsikkerhet: 85% (HØY)

00:04:15.700 --> 00:04:29.200
Vinkelen 2 rad har da forholdet buelengde / radius lik 2. Det betyr at

00:04:29.200 --> 00:04:33.000
buelengden er 2 ganger radiusen.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:04:33.100 --> 00:04:42.300
Det betyr at hvis vi har samme radius i dette tilfellet, så skal vi da gå en radius til langs sirkelbuen,

00:04:42.300 --> 00:04:51.400
sånn at vi kommer kanskje cirka hit. Her er en buelengde til. Da får vi en ny vinkel.

00:04:51.400 --> 00:04:58.000
Denne vinkelen er 2 rad.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:04:58.000 --> 00:05:07.800
Sånn kan vi fortsette. Vi trenger ikke å bruke hele tall, vi kan godt bruke 1.2, 7.8 osv. 

00:05:07.800 --> 00:05:15.000
Nå blir vinkler målt i tall, og vi går etter hvert bort fra å bruke betegnelsen radianer.

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:05:16.300 --> 00:05:23.100
Vi har nå vært vant til å bruke grader. I en sånn overgangsfase kan det være greit å regne seg 

00:05:23.100 --> 00:05:29.900
litt fram og tilbake mellom radialer og grader, bare for å bli litt ekstra kjent med dette nye vinkelmålet.

00:05:29.900 --> 00:05:44.400
Hva er forholdet mellom buelengde og radius for en sirkel?

00:05:44.400 --> 00:05:45.550
Buelengde / radius. 

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:05:45.550 --> 00:05:58.900
Buelengde til en sirkel er jo da omkretsen, 2pi*r, og radiusen er da r. Det betyr at for en full sirkel,

00:05:58.900 --> 00:06:11.200
en piruett, så har vi forholdet 2pi. Det betyr at i radianer så vil en sirkel da være ca 6.28.

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:06:11.200 --> 00:06:23.800
I grader vet vi at det er 360° i en sirkel, og dermed så får vi sammenhengen 360°=2pi. 

00:06:23.800 --> 00:06:27.050
Så kan vi godt skrive radianer. 

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:06:27.050 --> 00:06:40.600
Etter hvert går ordet rad bort, sånn at det gjerne står 360°=2pi. Da må vi bare være klar

00:06:40.600 --> 00:06:48.500
over at 2pi er radiantallet, sånn at det er et tall som svarer til radianer.

00:06:48.500 --> 00:06:56.900
Ellers blir kanskje det likhetstegnet igjen litt rart ut, at 6.28 skal være lik 360°, likhetsmessig.

00:06:56.900 --> 00:07:02.600
Vi bruker det en kort periode for å bli litt kjent med hvordan vi regner oss

00:07:02.600 --> 00:07:09.300
mellom grader og radianer, og det skal vi da se litt nærmere på nå.

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:07:09.300 --> 00:07:15.800
Vi har nå innført vinkelmålet radianer, og nå skal vi regne oss litt fram og tilbake mellom radianer og grader.

00:07:15.800 --> 00:07:29.700
Da har vi sett at 2pi radianer er lik 360°. Istad så vi på vinkelen 1 radian, 

00:07:29.700 --> 00:07:35.700
der altså buelengden skal være lik radiusen. Vi tegnet inn sånn cirka hvor stor denne vinkelen skulle være.

00:07:35.700 --> 00:07:46.200
Nå kan vi se hvor stor den faktisk er, målt i grader. 1 radian blir 360°/2pi.

00:07:46.200 --> 00:07:53.500

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:07:53.800 --> 00:08:05.000
Da deler vi på 2pi på begge sider for å få igjen 1 på den siden. Dette her er ca 57.3°,

00:08:05.000 --> 00:08:13.000
altså nesten 60°. Det kan stemme med den tegningen vi hadde istad. Da er buelengden 

00:08:13.000 --> 00:08:15.049
lik radiusen.

NOTE
Treffsikkerhet: 70% (MEDIUM)

00:08:15.049 --> 00:08:20.750
Hva med 5 radianer? 

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:08:20.750 --> 00:08:33.500
Da får vi tallet 360°/2pi, det er gradetallet som tilsvarer 1 radian. Så ganger vi det med 5.

00:08:33.500 --> 00:08:47.900
Da får vi ca 286.5°. Da har vi beveget oss over trekvart runde, faktisk. Da har vi kommet til 5 radianer.

00:08:47.900 --> 00:08:56.700
Så kan vi jo gå andre vei. La oss se på et par der vi starter med grader, for eksempel 1°. 

00:08:56.700 --> 00:09:10.600
Det er en veldig liten vinkel, bitteliten. Hvor mange radianer er 1°? Da må vi dele på 360

00:09:10.600 --> 00:09:20.250
på begge sider for å få igjen 1 på denne siden. Da får vi 2pi / 360, hvor vi da bare bruker gradetallet,

NOTE
Treffsikkerhet: 78% (HØY)

00:09:20.250 --> 00:09:32.100
det er det som er interessant for oss. Da får vi ca. 0.0175, hvis vi tar fire gjeldende desimaler.

00:09:32.100 --> 00:09:33.400

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:09:33.400 --> 00:09:42.500
Det er et veldig lite tall, og det blir enda mindre i radianer fordi 6.28 skal tilsvare 360°.

00:09:42.500 --> 00:09:52.200
Husk nå at når vi regner med radianer og stiller kalkulatoren på rad istedenfor deg (for grader), 

00:09:52.200 --> 00:09:58.350
fordi vi nå skal gå over til bare å regne med radianer.

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:09:58.350 --> 00:10:08.000
Vi kan også se på for eksempel 250°. Fra det vi ser her oppe, ser vi at 5 rad

00:10:08.000 --> 00:10:16.500
svarer til 286°, så 250° må svare til noe som er i hvertfall litt mindre enn 5. Det blir ganske nøyaktig 2pi / 360,

00:10:16.500 --> 00:10:34.400
da har vi 1°. Og så ganger vi med 250. Da får vi ca 4.363, litt mindre enn 5.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:10:34.400 --> 00:10:44.700
Vi kan videre merke oss at vi skal være her etter hvert. Vi skal regne med radianer.

00:10:44.700 --> 00:10:51.100
Det betyr at vi veldig ofte får med oss pi. Denne sammenhengen gjør at vi nå har trukket inn pi

00:10:51.100 --> 00:10:52.950
fordi vi har med sirkler å gjøre.

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:10:52.950 --> 00:11:02.900
Det betyr videre at vi får en del vinkler som er målt i grader, som blir kanskje ekstra pene 

00:11:02.900 --> 00:11:18.600
når vi måler dem i rad. 360° er altså 2pi. Hvis vi deler på 2 begge steder, så får vi at 180° er pi,

00:11:18.600 --> 00:11:21.099
cirka 3.14.

NOTE
Treffsikkerhet: 84% (HØY)

00:11:21.099 --> 00:11:30.500
90° kan vi også finne et pent uttrykk for. Da skal vi dele på 2 en gang til. 90° er pi/2.

00:11:30.500 --> 00:11:31.950

NOTE
Treffsikkerhet: 82% (HØY)

00:11:31.950 --> 00:11:41.900
45° skal vi dele på 2 en gang til, og får at 45° er pi/4.

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:11:41.900 --> 00:11:53.300
Et par andre vinkler som også går ofte igjen er 60°. Da deler vi 360° på 6, så det betyr at vi deler 2pi på 6.

00:11:53.300 --> 00:11:58.500
Vi får at 60° = pi/3.

NOTE
Treffsikkerhet: 81% (HØY)

00:11:58.500 --> 00:12:12.050
30°, da deler vi 360° på 12. Det betyr at vi deler 2pi på 12, og vi får at 30° = pi/6.

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:12:12.050 --> 00:12:19.900
Dette er kanskje de som forekommer ganske ofte. I tillegg så kan vi nå bruke disse til å få

00:12:19.900 --> 00:12:35.400
enda flere pene uttrykk. Vi kan for eksempel ta 90°+60°, da får vi 150°.

00:12:35.400 --> 00:12:40.200
Det betyr at vi tar pi/2 + pi/3.

NOTE
Treffsikkerhet: 80% (HØY)

00:12:43.400 --> 00:12:57.100
Da må vi gjøre om til sjettedeler. 3pi/6 og 2pi/6. 150° er 5pi/6. 

00:12:57.100 --> 00:12:58.350

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:12:58.350 --> 00:13:15.000
Så kan vi fortsette. Vi kan ta en til, kanskje. 180°+90°=270°. 180° er pi, 90 er pi/2.

00:13:15.000 --> 00:13:21.600
Det betyr at 270° = 3pi/2.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:13:21.800 --> 00:13:28.700
Denne type vinkler der pi forekommer, vil vi treffe på veldig ofte når vi nå begynner å regne 

00:13:28.700 --> 00:13:32.000
vinkler ved hjelp av radianer.