WEBVTT Kind: captions; language: nb-no

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:00:00.000 --> 00:00:11.600
Vi skal nå regne ut en del eksakte verdier for cosinus og sinus. Det betyr at vi skal se litt på trigonometri,

00:00:11.600 --> 00:00:19.700
eller trekantberegninger. Trekantene skal da i første rekke være rettvinklede.

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:00:20.900 --> 00:00:31.400
Vi tegner en rettvinklet trekant, og setter navn på sidene. a og b er katetene i trekanten, og c er 

00:00:31.400 --> 00:00:33.100
hypotenusen.

NOTE
Treffsikkerhet: 94% (HØY)

00:00:33.500 --> 00:00:41.000
Og i tillegg så tar vi for oss en av vinklene som ikke er den rette vinkelen.

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:00:41.000 --> 00:00:50.900
Vi ser på følgende forhold. cosinus til vinkelen er forholdet mellom den hosliggende kateten a

00:00:50.900 --> 00:01:05.200
og hypotenusen. sinus til vinkelen er da definert som forholdet mellom den motstående kateten b og hypotenusen.

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:01:06.900 --> 00:01:14.400
Dette her er pene forhold. Hvis vi forstørrer opp denne trekanten sånn at vi får en formlik trekant,

00:01:14.400 --> 00:01:23.600
så vil disse forholdene mellom hosliggende katet og hypotenus fortsatt være det samme,

00:01:23.600 --> 00:01:29.800
fordi vi har formlike trekanter. Tilsvarende med forholdet mellom motstående katet og hypotenus.

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:01:29.800 --> 00:01:37.200
Vi kan også se på andre pene forhold i denne trekanten, men det er disse to vi skal fokusere på.

00:01:37.200 --> 00:01:44.800
Vi skal nå regne ut for noen verdier av vinkelen, altså noen eksakte verdier av cosinus og sinus.

00:01:44.800 --> 00:01:47.100

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:01:47.100 --> 00:01:58.300
Da starter vi med en likebeint, rettvinklet trekant. Det betyr at vinklene som ikke er rette,

00:01:58.300 --> 00:02:09.199
er begge pi/4, og katetene er da like lange. Så har vi en hypotenus.

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:02:09.500 --> 00:02:17.200
Siden vi har en rettvinklet trekant, så kan vi bruke Pytagoras. Da kan vi bruke Pythagoras til å finne c

00:02:17.200 --> 00:02:34.500
uttrykt ved hjelp av a. Da får vi a^2 + a^2. Kvadratet av katetene,

00:02:34.500 --> 00:02:41.200
summen av de, skal være kvadratet av hypotenusen.

NOTE
Treffsikkerhet: 75% (MEDIUM)

00:02:41.200 --> 00:02:48.350
Da får vi at 2a^2 skal være lik c^2.

NOTE
Treffsikkerhet: 80% (HØY)

00:02:48.350 --> 00:03:04.300
Det betyr at c er (roten av 2a^2). Siden nå både c og a er positive,

00:03:04.300 --> 00:03:09.000
så blir c lik (roten av 2)*a.

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:03:10.600 --> 00:03:23.900
c er (roten av 2)*a. Da kan vi sette opp cosinus og sinus til vinkelen pi/4.

NOTE
Treffsikkerhet: 92% (HØY)

00:03:23.900 --> 00:03:43.600
cosinus til pi/4 er hosliggende katet a, delt på hypotenus (roten av 2)*a. Da kan vi forkorte a.

00:03:43.600 --> 00:03:53.400
Så får vi cosinus til pi/4 er 1 / roten av 2. Vi er ikke så veldig glad i rottegn i nevneren,

00:03:53.400 --> 00:04:03.800
så vi utvider brøken med roten av 2. Da får vi roten av 2 i teller, og så får vi 2 i nevner.

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:04:03.800 --> 00:04:15.600
Så cos pi/4 er eksakt roten av 2 / 2. Dette er cirka 0.707, men eksakt verdi er roten av 2 / 2

00:04:15.600 --> 00:04:22.000
og den bruker vi så mye som mulig når vi regner og får da cos pi/4.

00:04:22.000 --> 00:04:23.900

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:04:23.900 --> 00:04:35.300
sinus til pi/4 er motstående katet delt på hypotenus. Men motstående katet er den samme som den hosliggende kateten,

00:04:35.300 --> 00:04:45.100
så dette blir likt. Vi får a / (roten av 2)*a. Samme regning gir at dette også

00:04:45.100 --> 00:04:50.600
er eksakt roten av 2 / 2.

NOTE
Treffsikkerhet: 80% (HØY)

00:04:52.500 --> 00:04:59.800
Så det var cosinus og sinus til pi/4. Så skal vi se litt på noen andre vinkler også.

NOTE
Treffsikkerhet: 92% (HØY)

00:04:59.800 --> 00:05:07.400
Da skal vi se på noen flere vinkler hvor vi skal regne ut eksakte verdier av cosinus og sinus. 

00:05:07.400 --> 00:05:18.200
Den neste trekanten vi tar for oss, er en halvt likesidet trekant. Det betyr at denne vinkelen er pi/3.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:05:18.600 --> 00:05:26.800
I en slik trekant vet vi at hvis vi da har hypotenusen, så vil den korteste kateten være 

00:05:26.800 --> 00:05:30.500
halvparten av hypotenusen.

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:05:30.700 --> 00:05:38.100
Den andre kateten kaller vi foreløpig b. Ved hjelp av Pythagoras kan vi uttrykke denne ved hjelp av c.

00:05:38.100 --> 00:05:52.800
Igjen, Pythagoras gir oss at kvadratet av den ene kateten

00:05:52.800 --> 00:05:58.250
pluss kvadratet av den andre, skal være lik kvadratet av hypotenusen.

NOTE
Treffsikkerhet: 84% (HØY)

00:05:58.250 --> 00:06:04.350
Nå skal vi løse ut for b, fordi vi ønsker et uttrykk for b også, ved hjelp av c.

NOTE
Treffsikkerhet: 82% (HØY)

00:06:04.350 --> 00:06:14.800
Da får vi at b^2 = c^2. Her står det c^2 / 4 som vi flytter over.

00:06:14.800 --> 00:06:18.400
Vi får -c^2/4.

NOTE
Treffsikkerhet: 85% (HØY)

00:06:18.400 --> 00:06:28.900
Det betyr at b^2 er 3/4*c^2. Vi har 4/4 - 1/4.

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:06:29.100 --> 00:06:43.300
Nå er både b og c positive. De er lengder i en trekant. b blir nå (roten av 3 / 4)*c.

00:06:43.300 --> 00:06:51.000
Det betyr at b er lik roten av 3, delt på roten av 4 (som er 2), ganger c.

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:06:51.700 --> 00:07:00.900
Da har vi (roten av 3 / 2)*c som et uttrykk for den lange kateten i denne halvt likesidede trekanten.

00:07:00.900 --> 00:07:02.049

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:07:02.049 --> 00:07:17.100
Da kan vi finne uttrykk for cosinus og sinus til pi/3. cos pi/3 er hosliggende katet

00:07:17.100 --> 00:07:24.050
delt på hypotenus. Det er c/2 / c.

NOTE
Treffsikkerhet: 92% (HØY)

00:07:24.050 --> 00:07:32.400
Da kan vi forkortelse c. Her står det 1*c, husk det. Dette blir 1/2, en eksakt verdi.

00:07:32.400 --> 00:07:44.000
Så har vi sin pi/3, det er forholdet mellom motstående katet, (roten av 3 / 2)*c,

00:07:44.000 --> 00:07:53.000
delt på hypotenusen. Nå ser vi hvorfor jeg ville ha alle sidene uttrykt ved hjelp av c,

00:07:53.000 --> 00:07:58.400
for da kan vi forkorte bort c og få pene forhold.

NOTE
Treffsikkerhet: 54% (MEDIUM)

00:07:58.400 --> 00:08:04.300
Vi får (roten av 3 / 2)*c / c. 

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:08:04.300 --> 00:08:17.400
Vi forkorter c, og står igjen med den eksakte verdien roten av 3 / 2, som er cirka 0.806.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:08:21.200 --> 00:08:31.500
I tillegg kan vi få med en vinkel til fra denne trekanten. Den tredje vinkelen er pi/6.

00:08:31.500 --> 00:08:41.100
Det betyr at vi kan få ut cosinus og sinus til pi/6 fra samme trekant.

00:08:41.100 --> 00:08:49.450
cos pi/6 blir hosliggende katet, (roten av 3 / 2)*c / c.

NOTE
Treffsikkerhet: 81% (HØY)

00:08:49.450 --> 00:09:08.200
Forkorting av c gir altså eksakt roten av 3 / 2. sin pi/6 er motstående katet, c/2,

00:09:08.200 --> 00:09:21.800
delt på hypotenus. Igjen forkortes c. Husk at det står 1 der. Det gir eksakt 1/2.

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:09:22.100 --> 00:09:31.400
Da ser vi at cos pi/3 er lik sin pi/6, og sin pi/3 er lik cos pi/6.

00:09:31.400 --> 00:09:39.700
Det er fordi disse vinklene forekommer i samme trekant, der altså bare katetene

00:09:39.700 --> 00:09:44.350
bytter rolle for de to vinklene.

NOTE
Treffsikkerhet: 92% (HØY)

00:09:44.350 --> 00:09:52.700
Da har vi sett litt på eksakte verdier for cosinus og sinus i en trekant. Nå skal vi bevege oss videre

00:09:52.700 --> 00:10:00.500
og se på enda flere vinkler. Da skal vi se hvordan vi kan definere oss cosinus og sinus for alle vinkler,

00:10:00.500 --> 00:10:08.300
og ikke bare vinkler som er da innvendig i en trekant. Det vi gjør da, er å bevege oss ut i planet.

00:10:08.300 --> 00:10:15.600
Vi tegner oss et koordinatsystem med en sirkel.

NOTE
Treffsikkerhet: 84% (HØY)

00:10:17.400 --> 00:10:30.000
Denne sirkelen skal være litt spesiell. Den skal ha radius 1 og sentrum i origo.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:10:30.800 --> 00:10:41.200
Hvis vi nå lar den positive førsteaksen være det ene vinkelbeinet, så kan vi da starte i punktet (1, 0)

00:10:41.200 --> 00:10:53.600
og bevege oss langs sirkelbuen. Hvis vi da stopper i et punkt P, så vil dette punktet gi oss en vinkel

00:10:53.600 --> 00:11:03.600
ved at vi trekker linjen fra origo og ut til punktet. Da får vi en vinkel. På en naturlig måte

00:11:03.600 --> 00:11:11.300
vil nå en vinkel svare til et punkt på enhetssirkelen. På denne måten kan vi danne oss

00:11:11.300 --> 00:11:20.300
så store vinkler vi bare vil, ved å fortsette rundt og rundt mot klokka i positive omløp,

00:11:20.300 --> 00:11:24.000
eller med klokka hvis vi ønsker negative vinkler.

NOTE
Treffsikkerhet: 82% (HØY)

00:11:24.000 --> 00:11:32.400
Det første omløpet er gjerne det vi bruker mest, og det går altså fra vinkler 0 og rundt til

00:11:32.400 --> 00:11:35.100
vi kommer en runde 2pi.

NOTE
Treffsikkerhet: 85% (HØY)

00:11:36.200 --> 00:11:47.200
Hva er dette punktet, og har det punktet noen sammenheng med denne vinkelen,

00:11:47.200 --> 00:11:50.350
siden vi kan gå fra vinkel til punkt, og punkt til vinkel?

NOTE
Treffsikkerhet: 93% (HØY)

00:11:50.350 --> 00:11:53.450

NOTE
Treffsikkerhet: 68% (MEDIUM)

00:11:53.450 --> 00:11:57.650

NOTE
Treffsikkerhet: 65% (MEDIUM)

00:11:57.650 --> 00:12:01.800
x-koordinaten til punktet,

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:12:01.800 --> 00:12:11.000
det vil nå være kateten i en rettvinklet trekant, og y-koordinaten vil være den andre kateten.

00:12:11.000 --> 00:12:19.650
I denne trekanten er hypotenusen 1. Det er derfor vi har valgt oss en enhetssirkel med radius 1.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:12:19.650 --> 00:12:36.200
Da får vi at cos v er hosliggende katet x, delt på hypotenus. sinus til vinkelen er motstående katet y,

00:12:36.200 --> 00:12:48.900
delt på hypotenus. Dette betyr at x-koordinaten blir cosinus til vinkelen og y-koordinaten

00:12:48.900 --> 00:12:50.900
blir sinus til vinkelen.

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:12:50.900 --> 00:13:02.800
Det betyr at P har koordinater cosinus til vinkelen, og sinus til vinkelen. Dette gjør at vi nå

00:13:02.800 --> 00:13:09.200
kan definere oss cosinus og sinus til alle vinkler. På denne måten kunne vi nå skaffe oss alle vinkler,

00:13:09.200 --> 00:13:13.450
ved å følge et punkt på enhetssirkelen.

NOTE
Treffsikkerhet: 87% (HØY)

00:13:13.450 --> 00:13:20.000
Når vi da har funnet den vinkelen vi er interessert i, så ser vi på punktet og x- og y-koordinaten

00:13:20.000 --> 00:13:26.700
til det punktet. x-koordinaten vil da være cos til vinkelen, og sinus vil være y-koordinaten.

00:13:26.700 --> 00:13:33.500
Dette er definisjonen av cosinus og sinus til en vinkel.

NOTE
Treffsikkerhet: 83% (HØY)

00:13:33.600 --> 00:13:43.900
La oss bruke det for å se på vinkelen pi/2. Hva er cosinus og sinus til denne vinkelen?

00:13:43.900 --> 00:13:45.200

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:13:46.000 --> 00:13:58.400
Da har vi vinkelen som har alltid det første vinkelbeinet, er den positive førsteaksen. 

00:13:58.400 --> 00:14:09.800
For pi/2 har vi kommet til punktet (0, 1). Vi ser hele tida på hvor vinkelbeina treffer 

00:14:09.800 --> 00:14:12.100
enhetssirkelen.

NOTE
Treffsikkerhet: 84% (HØY)

00:14:13.400 --> 00:14:22.600
Det betyr at vi kan lese av cosinus til pi/2 og sinus til pi/2.

00:14:22.600 --> 00:14:32.900
cos pi/2 er 0, og sin pi/2 er y-koordinaten 1. 

NOTE
Treffsikkerhet: 78% (HØY)

00:14:35.000 --> 00:14:43.900
Vi kan ta et eksempel til, v = 3pi/2.

NOTE
Treffsikkerhet: 85% (HØY)

00:14:44.500 --> 00:14:55.400
Da starter vi med det første vinkelbeinet, positive førsteaksen. Så beveger vi oss rundt,

00:14:55.400 --> 00:15:01.400
langs enhetssirkelen, til vi har kommet vinkelen 3pi/2. Det er jo hit.

NOTE
Treffsikkerhet: 89% (HØY)

00:15:01.400 --> 00:15:03.600
Nå har vi gått 3pi/2.

NOTE
Treffsikkerhet: 85% (HØY)

00:15:03.600 --> 00:15:14.500
Hvilket punkt har vi kommet til med det andre vinkelbeinet da? Siden vi er på enhetssirkelen,

00:15:14.500 --> 00:15:22.700
så har dette koordinater (0, -1).

NOTE
Treffsikkerhet: 84% (HØY)

00:15:22.700 --> 00:15:39.500
Da leser vi av cosinus til 3pi/2 og sinus til 3pi/2. cos 3pi/2 = 0.

00:15:39.500 --> 00:15:44.500
sin 3pi/2 = -1.

NOTE
Treffsikkerhet: 90% (HØY)

00:15:45.700 --> 00:15:51.300
Sånn kan vi fortsette for mange forskjellige vinkler, og vi skal gjøre det for et par vinkler til.

00:15:51.300 --> 00:16:01.400
La oss finne de eksakte verdiene til et par flere vinkler. Da tar vi utgangspunkt i disse vinklene som vi fant

00:16:01.400 --> 00:16:10.500
i den første delen av snutten, hvor vi så på pi/4, pi/6 og pi/3 ved å se på de innvendige vinklene i trekanter.

00:16:10.500 --> 00:16:19.200
cos og sin er roten av 2 / 2 for pi/4. Så har vi cos pi/6 er roten av 3 / 2.

00:16:19.200 --> 00:16:25.900
sin pi/6 er 1/2. cos til pi/3 er 1/2, og sin pi/3 er roten av 3 / 2.

00:16:25.900 --> 00:16:36.000
Disse er det veldig kjekt å huske.

00:16:36.000 --> 00:16:44.900
La oss se på vinkelen 7pi/4 og finne eksakte verdier for cosinus og sinus til denne vinkelen.

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:16:44.900 --> 00:16:56.400
Da kan det være greit å tegne inn vinkelen ved hjelp av enhetssirkelen. 7pi/4 er nesten 8pi/4,

00:16:56.400 --> 00:17:06.500
som er en hel runde, altsp 2pi. Så skal vi da trekke fra pi/4,

00:17:06.500 --> 00:17:08.950
da havner vi cirka her.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:17:08.950 --> 00:17:20.700
7pi/4 er da denne vinkelen. Det betyr at vi har havnet på dette punktet her, som ligger i 4. kvadrant.

00:17:20.700 --> 00:17:28.099
Hva er x- og y-koordinaten til dette punktet? x-koordinaten til punktet gir cos,

00:17:28.099 --> 00:17:40.300
og y-koordinaten gir oss sin. Vi prøver å bruke litt symmetrier.

00:17:40.300 --> 00:17:49.500
Punktet som svarer til den vinkelen, får vi ved å speile punktet som svarer til pi/4.

00:17:49.500 --> 00:17:58.400
Dette punktet blir speilet om x-aksen. Dette punktet vet vi koordinatene til,

00:17:58.400 --> 00:18:03.600
for det er cosinus og sinus til pi/4, som vi da husker her.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:18:03.600 --> 00:18:15.200
Dette punktet har koordinater (roten av 2 / 2, roten av 2 / 2). Dermed vil dette punktet ha 

00:18:15.200 --> 00:18:23.000
samme x-koordinat, fordi vi speiler om x-aksen. Dette punktet vil få roten av 2 / 2 som x-koordinat.

00:18:23.000 --> 00:18:31.800
Så vil y-koordinaten skifte fortegn, -roten av 2 / 2.

00:18:31.800 --> 00:18:42.400
Fra koordinatene til punktet leser vi av cosinus og sinus. cos 7pi/4 blir roten av 2 / 2.

00:18:42.400 --> 00:18:53.900
sin 7pi/4 blir -roten av 2 / 2. Det stemmer bra med at vi er i 4. kvadrant,

00:18:53.900 --> 00:19:02.800
for da vil cosinus (x-koordinaten) være positiv, og sinus (y-koordinaten) være negativ.

NOTE
Treffsikkerhet: 86% (HØY)

00:19:04.500 --> 00:19:15.850
La oss ta et eksempel til. Vi velger å se på vinkelen 5pi/6.

NOTE
Treffsikkerhet: 84% (HØY)

00:19:15.850 --> 00:19:25.300
Det er nesten 6pi/6, som er pi. Da havner vi her borte. Men så skal vi da trekke fra pi/6,

00:19:25.300 --> 00:19:30.900
så da vil vi havne sånn cirka her.

NOTE
Treffsikkerhet: 84% (HØY)

00:19:30.900 --> 00:19:41.200
Dette her er nå vinkelen 5pi/6. Det er pi - pi/6.

NOTE
Treffsikkerhet: 88% (HØY)

00:19:41.700 --> 00:19:50.400
Igjen ser vi på punktet som er skjæringen mellom det andre vinkelbeinet og enhetssirkelen.

00:19:50.400 --> 00:19:56.250
Vi lurer på hva er x- og y-koordinaten til dette punktet.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:19:56.250 --> 00:20:06.600
Da er det igjen at vi bruker speilinger, og observerer at dette punktet blir speilingen 

00:20:06.600 --> 00:20:14.500
av punktet som svarer til vinkelen pi/6. Det er derfor det kan være lurt å huske de eksakte verdiene

00:20:14.500 --> 00:20:20.400
for vinkler i første kvadrant, for da kan vi bruke speilingsegenskaper og regne oss tilbake hit,

00:20:20.400 --> 00:20:29.100
og så ser vi bare på hvordan fortegnet forandrer seg. Dette punktet hører altså til pi/6.

00:20:29.100 --> 00:20:37.900
Det betyr at cos (x-koordinaten) er roten av 3 / 2, og sinus (y-koordinaten) er 1/2.

00:20:37.900 --> 00:20:51.800
Her har vi punktet roten av 3 / 2 bort på x-aksen, og 1/2 oppe på y-aksen.

00:20:51.800 --> 00:20:56.950
Når vi ser på punktet her borte, beholder vi y-koordinaten, fordi vi speiler om y-aksen.

NOTE
Treffsikkerhet: 91% (HØY)

00:20:56.950 --> 00:21:07.100
Så vil x-koordinaten skifte fortegn. Det betyr at dette punktet blir (-roten av 3/2, 1/2).

00:21:07.100 --> 00:21:19.900
Da har vi cosinus- og sinusverdien til vinkelen som svarer til det punktet.

00:21:19.900 --> 00:21:35.200
cos 5pi/6 blir -roten av 3 / 2, og sinus 5pi/6 blir 1/2. Det stemmer fint med at vinkelen

00:21:35.200 --> 00:21:43.900
ligger i 2. kvadrant, for det er x-koordinaten (cosinus) negativ, og y-koordinaten (sinus) er positiv.

00:21:43.900 --> 00:21:53.000
Da har vi sett litt på hvordan vi kan regne ut eksakte verdier for cosinus og sinus.