00:00:00.000 vi skal ha snakket litt om komplekse tall og bakgrunnen for å innføre slike tall handler om å løse andregradslikninger Så la oss sette opp en andregradslikning og langskalle variabelen for sett Hvilket tall er det som oppfyller denne ligningen 00:00:28.400 jo sånn men andregradslikning så bruker vi abc-formel og vi får da minus B pluss minus roten av Bien minus 4 a-c som er 12 / 2 * A som er 2 00:00:49.100 og det betyr at vi får løsninger minus to pluss minus roten av minus 8 delt på 2 00:00:59.800 og da stoppet vi også opp når du jobber med reelle tall for de har fått noe negativt under rottegnet og røtter og negative tall har vi da ikke definert for reelle tall 00:01:12.300 så vi ønsker oss rett og slett å kunne ta røtter og hele tall 00:01:17.800 fordi vi ønsker å finne løsninger også på denne type andregradslikninger så vi antar at det finnes et tall i slik at i Iran er noe negativt det blir minus igjen 00:01:33.900 og ved å gjøre dette så får vi åpnet ganske mange dører vi ser for eksempel at vi kan danne oss tall i x b Det er et reelt tall slik at all kalles i magen ære 00:01:57.400 så i dette tallet som er sånn at ingen = minus 1 x etter helt tall er da et imaginært tall og vi kan å definere oss at roten av minus 1 er det i og ikke bare det hvis vi nå ser på et positivt å se på i * roten av x og Dette gir noe mening fordi Excel og positivt så roten av X gå bra 00:02:31.900 hvis du noe oppi dette ja da får vi i Jan * x i annen er minus 1 så dette blir minus X 00:02:46.800 Det betyr at vi Nå har tall sånn og opphør annet da gi noe negativt Dette blir negativt fordi X er positivt og vi har nå minus X så vi kan defineres at roten av minus X Ella i roten av X 00:03:13.300 Så det har vi løst det vi ønsket nemlig å ta roten av negativt reelle tall og erstatte vi det med i x roten av X 00:03:27.600 og det gjør vi det her borte og erstatter vi roten av minus 8 i * roten av 8 00:03:39.600 og så regner vi videre 00:03:42.000 roten av 8 8 4 x 2 så roten at det blir to roten av 2 Og da kan vi faktorisere to eat eller å forkorte to mot dominerende og får igjen minus 1 + minus i roten av 2 Nå har vi plutselig fått to løsninger av dette denne ligningen som ønsket å løse Og dette her at all Her har vi et helt tall pluss eller minus i x et reelt tall som da var et imaginært tall 00:04:28.800 og disse tallene reelle tall pluss og minus i magen er et tall de kalles komplekse tall og nå skal vi se litt mer på at de faktisk også finnes Vi fortsetter å snakke om komplekse tall og de hadde sett at dette er tall på formen reelle tall + imaginære tall og mengden av komplekse tall betegner idag men storfe og det er også mengden avfall a + b * b slik at A og B er reelle tall og i er dette tallet som er sånn at i Jan er minus 1 mengden av disse tallene Det er det komplekse tallene og Vi regner med den på akkurat samme måten som for hele tall bare Hver Gang Vi får i annen så erstattes altså det med minus 1 00:05:29.700 dette her sier vi at er å skrive tallet med komplekse tallet på kartesisk form og det skal straks bli klart Hvorfor det heter det kaller vi real delen til komplekse tale om det kaldeste i magen er delen til det komplekse tale og dette er jo to reelle tall og det betyr at komplekst tall inneholder to reelle tall og da hvis du begynne å tenke geometri så kan vi tenke oss at vi kan representere et komplekst tall som et punkt i Planet fordi vi har to reelle koordinater 00:06:23.000 svart tegner vi et koordinatsystem der vi da har den reelle aksen her også har vi i magen er aksjen oppover Dark antallet av + ib representeres ved at vi går av bort på den reelle Laksen og så får vi ta det opp på den i magen er at den her ligger det komplekse tallet a + b så også mens vi kan representere de reelle tallene som ligner på en tall linje så kan vi representere de komplekse tallene som liggende i Planet 00:07:08.200 og det betyr jo at tallet i finnes vi kan representere det som et punkt i Planet 00:07:18.500 og da vet vi at når vi har et punkt i Planet så er det jo flere måter å Angi hvordan vi finner dette punktet på Vi kan også bruke de kartesiske koordinater a&b nettopp hvor mye vi går opp og bort på hver aksje Eller så kan vi finne Hvor langt er det fra Origo til punktet denne avstanden kan vi Kalle råd 00:07:49.100 og hvilken vinkel er det dette punktet danner med den positive ja førsteaksen 00:07:58.600 hvis vi kjenner ro og da tetta som er vinkelen så kan vi også finne dette punktet i Planet og dermed så har vi en annen måte å representere det samme komplekse tallet på 00:08:15.200 og på takras kan avhjelpe oss litt på vei når det gjelder å regne seg fra A og B til ro og tetta og motsatt 00:08:29.700 Pytagoras jo nemlig at vi kan bruke denne Trekanten her som har kateter a og b og hypotenusen til at vi derfor tror jeg han er Jan + Bea 00:08:46.700 og videre så kan vi bruke cosinus og Sinus til vinking til da for å få en enda flere sammenhenger cosinus Dette blir jo hosliggende katet som er delt på ro som er hypotenusen Sinus Dette blir da hos motstående katet som er b / i på noe mus som er dum 00:09:18.700 og det betyr at vi kaotiske koden 18. av det er jo cosinus dette og det er lik ro synes dette 00:09:36.300 så ved hjelp av ro Jan = Adrian + Bea og at a = Rosenes dette og B = rosinas dette så kan vi Reinås fra den kartesiske formen til Polar formen som vi da kan skrive opp med overstått og med ro cosinus dette og det med ro sidestøtte og denne regningen mellom disse formene skal vi nå se litt nærmere på 00:10:23.100 det å tolke et komplekst tall som et punkt i Planet Det er ganske dypt faktisk og åpner opp enda flere dører for oss fordi nå har vi to forskjellige måter å representere et komplekst tall på Vi har en kartesiske formen med Royal Del og i magen er det og det har Polar form enn det de bruker jo som da kalles modusen til tale og dette som er altså vinkelen tale danner men positiv førsteaksen og det er da et argument for tallet 00:10:56.100 og vi kan regne oss nå fram og tilbake mellom disse to formene ved å bruke formlene noe annet = H and + Bea og da og liker å kose med støtte og baby Kro synes dette så da se på tallet minus 1 + i ganger roten av 3 00:11:18.100 Det er nå et komplekst tall på kartesisk form og vil gjerne skrive det på Polar form 00:11:25.300 Da må vi finne ro først så da får vi at Royal r- en Jan C1 00:11:34.800 pluss barn som blir roten av 3 år som er 3 Dette 4 og siden rom er en lengde så skal vi ha noe positivt så rom blir da 2 00:11:47.400 og det betyr at vi da kan gå videre for å finne dette og den Gift ved at cosinus byttet Da skal da være og som er minus 1 / ro Så det blir minus en halv og synes dette skal da være B / ro og be arealdelen roten av 3 / ro som er 2 det blir roten av 3 Halle 00:12:25.000 og da har vi nok opplysninger til å finne hvilken vinkel Vi tenker på og vinkelen Vi har skal tak i ligger i første omløp med den vinkelen vi vanligvis bruker som ligger mellom 0 og 2P 00:12:39.600 cosinus er negativ Det betyr at vi er på venstre side i koordinatsystem her er første kvadrat andre tredje fjerde cosinus AUX koordinatene Så det er på denne sida Sinus i koordinater er positiv Så vi er her Vi ser etter en vinkel i denne dette området 00:13:09.500 Hvor finnes en halv Da tenker vi på vinkelen i tre deler 00:13:17.100 P3 dele ligger de første på brant og Vi tenker oss hvilken vinkel får vi når vi speiler P3 dele om Jackson Jo da får vi to P3 løftet av r2troll 00:13:39.400 så p30 dele ligger circa har på NAV i speilet den om y-aksen så får vi vinkelen 2 p30l 00:13:53.300 fordi da har vi 10 minus P3 P3 minus p30 ea2 P3 00:14:04.500 og da har vi nok informasjon til å skrive Polar formen Roa to og dette er to P3 dele så da får vi sett lik to ganger cosinus to feel spesielle + R2 Sinus 2P tredemølle 00:14:29.300 og da var det to forskjellige måter å skrive det samme tallet på dette her idag litt mere geometrisk informasjon Dette gir mere algebra ISK informasjon 00:14:45.700 Når starter med at for komplekse tall så er det noe som kalles det konjugerte tallet 00:14:53.800 og da hvis z = a + ib så er det konjugerte tallet hadde vi får ved å sette minus foran i magen er den så det er da tale og minus ib 00:15:11.900 langs en liten titt på geometrien igjen Hvis tallet a+ i b ligger her 00:15:22.600 så har vi det gått av bortover på den reelle aksen og B opp på ni magen er aksen 00:15:30.300 the komplekskonjugert at alle har samme real del så hva er den samme men ben skifter fortegn Det betyr at vi speiler tale om x-aksen eller annen relaxin så den komplekskonjugert det tallet Vil du ligge her nede som den det speilingen avtale om real action 00:16:01.400 ut fra Polar formen så kan vi finne enda en måte å fremstille et komplekst tall på og det gjør vi ved å trekke inn eksponensiell 00:16:15.200 Vi ser på er grunntallet i den naturlige logaritmen hvis vi opphøyer det i et imaginært tall 00:16:27.000 så definerer vi det til å være cosinus til tett av snus i sin støtte Dette er en definisjon men dette gir oss faktisk en overgang mellom Geometry overy analyse funksjonsteori så trekker vi inn mange aspekter Vi har algebra Vi har geometri Og nå får vi også analyse i tillegg 00:16:58.600 å bruke denne formen så kan vi skrive et komplekst tall 00:17:04.099 på en kompakt form så hvis Z = ro på smittet av + i ro synes dette så kan vi faktoriser utro også bruker vi definisjonen er opprettet av er nå Lik dette som står her så vi får ro e opphøyd i tetta Og dette her kalles kompakt Polar form 00:17:50.900 så hvis vi får stempel ønsker å skrive dette tallet som jeg jobbet med på kompakt Polar form 00:17:59.400 så får vi 00:18:02.000 sett like to for ro og så e opphøyd i detta e opphøyd i 2 P3 00:18:17.600 så da hvis etter at komplekse tall inneholder veldig mye forskjellige aspekter av matematikk både algebra geometri og analyse