WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:11.300 Vi skal nå snakket litt om komplekse tall. Bakgrunnen for å innføre slike tall, handler om å løse andregradsligninger. 00:00:11.300 --> 00:00:18.500 La oss sette opp en andregradslikning. La oss kalle variabelen for z. 00:00:18.500 --> 00:00:27.600 Hvilket tall er det som oppfyller denne ligningen? NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:00:27.600 --> 00:00:39.200 Siden det er en andregradslikning, så bruker vi abc-formelen. Vi får -b +/- roten av b^2 - 4ac som er 12, 00:00:39.200 --> 00:00:48.300 delt på 2a som er 2. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:48.300 --> 00:00:58.849 Vi får løsninger (-2 +/- roten av -8) / 2. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:00:58.849 --> 00:01:05.600 Da stopper vi opp når vi jobber med reelle tall, fordi vi har fått noe negativt under rottegnet. 00:01:05.600 --> 00:01:11.400 Røtter av negative tall har vi da ikke definert for reelle tall. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:01:11.400 --> 00:01:17.250 Vi ønsker oss rett og slett å kunne ta røtter av reelle tall, NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:01:17.250 --> 00:01:25.200 fordi vi ønsker å finne løsninger også på denne type andregradslikninger. Vi antar at det finnes 00:01:25.200 --> 00:01:33.300 et tall i, slik at i^2 er noe negativt, nemlig -1. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:01:33.300 --> 00:01:43.500 Ved å gjøre dette, får vi åpnet ganske mange dører. Vi ser for eksempel at vi kan danne oss et tall ib, 00:01:43.500 --> 00:01:53.100 det b er et reelt tall. Slike tall kalles imaginære. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:01:56.400 --> 00:02:06.900 i, dette tallet som er sånn at i^2 = -1, ganger et reelt tall, er da et imaginært tall. 00:02:06.900 --> 00:02:23.100 Vi kan definere oss at roten av -1 er i. Ikke bare det: hvis vi ser på et positivt tall, 00:02:23.100 --> 00:02:31.350 og ser på i*roten av x. Dette gir mening fordi x er noe positivt, så roten av x går bra. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:02:31.350 --> 00:02:45.900 Hvis vi opphøyer dette i annen, da får vi i^2*x. i^2 = -1, så dette blir -x. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:02:45.900 --> 00:02:54.400 Det betyr at vi nå har tall som opphøyd i annen gir noe negativt. Dette blir negativt, fordi x er positiv 00:02:54.400 --> 00:03:11.800 og vi har nå -x. Vi kan definere oss at roten av -x er i*roten av x. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:03:12.300 --> 00:03:23.800 Da har vi løst det vi ønsket, nemlig å ta roten av et negativt, reelt tall. Vi erstatter det med i*roten av x. 00:03:23.800 --> 00:03:26.700 NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:03:26.700 --> 00:03:37.700 Det gjør vi her borte. Da erstatter vi roten av -8 med i*roten av 8. NOTE Treffsikkerhet: 75% (MEDIUM) 00:03:38.600 --> 00:03:41.350 Så regner vi videre. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:03:41.350 --> 00:03:57.600 8 er 4*2, så roten av 8 blir 2*roten av 2. Da kan vi faktorisere ut 2 i teller 00:03:57.600 --> 00:04:10.000 og forkorte 2 mot 2 i nevneren, og får igjen -1 +/- i*roten av 2. Nå har vi plutselig fått to løsninger 00:04:10.000 --> 00:04:21.500 av denne ligningen som vi ønsket å løse. Her har vi et reelt tall, 00:04:21.500 --> 00:04:28.350 pluss/minus i ganger et reelt tall, som da var et imaginært tall. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:04:28.350 --> 00:04:37.800 Disse tallene, reelle tall pluss/minus imaginære tall, de kalles komplekse tall. 00:04:37.800 --> 00:04:46.400 Nå skal vi se litt mer på at i faktisk også finnes. Vi fortsetter å snakke om komplekse tall. 00:04:46.400 --> 00:04:55.400 Vi har sett at dette er tall på formen reelle tall pluss imaginære tall. Mengden av komplekse tall 00:04:55.400 --> 00:05:07.500 betegner vi med C. Det er mengden at tall a+ib, slik at a og b er reelle tall, og i er dette tallet 00:05:07.500 --> 00:05:17.200 som er sånn at i^2 = -1. Mengden av disse tallene er de komplekse tallene. 00:05:17.200 --> 00:05:24.900 Vi regner med dem på akkurat samme måten som for reelle tall. Men hver gang vi får i^2, 00:05:24.900 --> 00:05:27.400 erstattes det med -1. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:05:28.700 --> 00:05:46.000 Dette er å skrive det komplekse tallet på kartesisk form. Det skal straks bli klart 00:05:46.000 --> 00:05:58.500 hvorfor det heter det. a kaller vi realdelen til det komplekse tallet, og b kalles den imaginære delen 00:05:58.500 --> 00:06:07.600 til det komplekse tallet. Dette er to reelle tall. Det betyr at et komplekst tall inneholder to reelle tall. 00:06:07.600 --> 00:06:15.200 Hvis vi begynner å tenke geometri, så kan vi tenke oss at vi kan representere et komplekst tall 00:06:15.200 --> 00:06:21.200 som et punkt i planet, fordi vi har to reelle koordinater. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:06:22.000 --> 00:06:36.000 Da tegner vi et koordinatsystem, der vi har den reelle aksen her, og så har vi den imaginære aksen oppover. 00:06:36.000 --> 00:06:47.800 Da kan tallet a+ib representeres ved at vi går a bort på den reelle aksen. 00:06:47.800 --> 00:06:58.400 Så går vi b opp på den imaginære aksen. Her ligger det komplekse tallet a+ib. 00:06:58.400 --> 00:07:04.600 Mens vi kan representere de reelle tallene som liggende på en tallinje, så kan vi representere 00:07:04.600 --> 00:07:07.650 de komplekse tallene som liggende i planet. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:07:07.650 --> 00:07:16.300 Det betyr jo at tallet i finnes. Vi kan representere det som et punkt i planet. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:07:17.500 --> 00:07:27.200 Da vet vi at når vi har et punkt i planet, så er det jo flere måter å angi hvordan vi finner dette punktet på. 00:07:27.200 --> 00:07:35.800 Vi kan bruke de kartesiske koordinatene a og b, nettopp hvor mye vi går opp og bort på hver akse, 00:07:35.800 --> 00:07:46.700 eller så kan vi finne hvor langt det er fra origo til punktet. Denne avstanden kaller vi ro. 00:07:46.700 --> 00:07:48.450 NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:07:48.450 --> 00:07:57.900 Hvilken vinkel er det dette punktet danner med den positive førsteaksen? NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:07:57.900 --> 00:08:07.700 Hvis vi kjenner ro og theta (som er vinkelen), kan vi også finne dette punktet i planet. 00:08:07.700 --> 00:08:12.800 Dermed har vi en annen måte å representere det samme komplekse tallet på. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:08:14.200 --> 00:08:27.000 Pythagoras kan hjelpe oss litt på vei når det gjelder å regne seg fra a og b til ro og theta, og motsatt. 00:08:27.000 --> 00:08:28.850 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:08:28.850 --> 00:08:41.100 Pythagoras gir jo nemlig at vi kan bruke denne trekanten her, som har kateter a og b, og hypotenus ro. 00:08:41.100 --> 00:08:45.950 Vi får at ro^2 = a^2 + b^2. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:08:45.950 --> 00:08:54.600 Videre kan vi bruke cosinus og sinus til vinkelen theta for å få inn enda flere sammenhenger. 00:08:54.600 --> 00:09:11.000 cos theta blir jo hosliggende katet (a), delt på ro (hypotenus). 00:09:11.000 --> 00:09:17.200 sin theta blir motstående katet (b), delt på hypotenus (ro). NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:09:17.700 --> 00:09:34.900 Det betyr at de kartesiske koordinatene a og b er ro*cos theta, og b = ro*sin theta. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:09:35.300 --> 00:09:49.400 Ved hjelp av ro^2 = a^2 + b^2 og at a=ro*cos theta, b=ro*sin theta, så kan vi regne oss 00:09:49.400 --> 00:10:03.200 fra den kartesiske formen til polarformen, som vi da kan skrive opp ved å erstatte a med ro*cos theta 00:10:03.200 --> 00:10:22.200 og b med ro*sin theta. Denne regningen mellom disse formene skal vi nå se litt nærmere på. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:10:22.200 --> 00:10:30.900 Det å tolke et komplekst tall som et punkt i planet, det er ganske dypt faktisk. Det åpner opp enda 00:10:30.900 --> 00:10:37.400 flere dører for oss, fordi nå har vi to forskjellige måter å representere et komplekst tall på. 00:10:37.400 --> 00:10:45.400 Vi har den kartesiske formen med realdel og imaginærdel. Vi har polarformen, der vi bruker ro 00:10:45.400 --> 00:10:52.900 som modulusen til tallet, og theta som er vinkelen tallet danner med den positive førsteaksen, 00:10:52.900 --> 00:10:55.500 og det er da et argument for tallet. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:10:55.500 --> 00:11:03.400 Vi kan regne oss nå fram og tilbake mellom disse to formene, ved å bruke formlene ro^2 = a^2 + b^2, 00:11:03.400 --> 00:11:14.200 a = ro*cos theta og b = ro*sin theta. La oss se på tallet -1 + i*roten av 3. 00:11:14.200 --> 00:11:17.400 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:11:17.400 --> 00:11:24.200 Det er nå et komplekst tall på kartesisk form, og vi vil gjerne skrive det på polarform. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:11:24.300 --> 00:11:34.349 Da må vi finne ro først. Vi får at ro^2 = -1^2 (det er 1), NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:11:34.349 --> 00:11:43.100 + b^2 (roten av 3^2), som er 3. Dette er 4. Siden ro er en lengde, så skal vi ha noe positivt. 00:11:43.100 --> 00:11:46.300 ro blir da 2. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:11:46.400 --> 00:11:57.700 Det betyr at vi da kan gå videre for å finne theta. Den er gitt ved at cos theta skal være a (som er -1), 00:11:57.700 --> 00:12:14.500 delt på ro, så det blir -1/2. sin theta skal være b delt på ro. 00:12:14.500 --> 00:12:24.100 b er realdelen (roten av 3), delt på ro (som er 2). Det blir roten av 3 / 2. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:12:24.100 --> 00:12:31.000 Da har vi nok opplysninger til å finne hvilken vinkel vi tenker på. Vinkelen vi skal tak i, 00:12:31.000 --> 00:12:38.900 ligger i første omløp. Det er den vinkelen vi vanligvis bruker. Så en vinkel mellom 0 og 2pi. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:12:38.900 --> 00:12:53.300 cos er negativ. Det betyr at vi er på venstre side i koordinatsystemet. Her er 1. kvadrant, 2, 3, 4. 00:12:53.300 --> 00:13:03.000 cos er x-koordinatene, så vi er på denne sida. sin, y-koordinaten, er positiv så vi er her et sted. 00:13:03.000 --> 00:13:08.850 Vi ser etter en vinkel i dette området. NOTE Treffsikkerhet: 68% (MEDIUM) 00:13:08.850 --> 00:13:16.400 cos 1/2, da tenker vi på vinkelen pi/3. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:13:16.400 --> 00:13:26.200 pi/3 ligger i 1. kvadrant. Vi tenker oss, hvilken vinkel får vi når vi speiler pi/3 om y-aksen? 00:13:26.200 --> 00:13:37.700 Da får vi 2pi/3, theta er 2pi/3. NOTE Treffsikkerhet: 63% (MEDIUM) 00:13:38.400 --> 00:13:51.800 pi/3 ligger cirka her. Når vi speiler den om y-aksen, så får vi vinkelen 2pi/3. NOTE Treffsikkerhet: 69% (MEDIUM) 00:13:52.300 --> 00:14:03.650 Da har vi pi - pi/4. Da er 3pi/3 - pi/3 = 2pi/3. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:14:03.650 --> 00:14:13.200 Da har vi nok informasjon til å skrive opp polarformen. ro er 2 og theta er 2pi/3. 00:14:13.200 --> 00:14:28.650 Da får vi z = 2cos 2pi/3 + i*2sin 2pi/3. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:14:28.650 --> 00:14:38.200 Da har vi to forskjellige måter å skrive det samme tallet på. Dette gir litt mere geometrisk informasjon. 00:14:38.200 --> 00:14:43.500 Dette gir mere algebraisk informasjon. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:14:44.700 --> 00:14:53.099 La oss ta med at for komplekse tall, så er det noe som kalles det konjugerte tallet. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:14:53.099 --> 00:15:05.400 Hvis z=a+ib, så får vi det konjugerte tallet ved å sette minus foran imaginærdelen. 00:15:05.400 --> 00:15:11.000 Det er tallet a-ib. NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:15:11.000 --> 00:15:21.850 La oss ta en liten titt på geometrien igjen. Hvis tallet a+ib ligger her, NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:15:21.850 --> 00:15:29.550 så har vi gått a bortover på den reelle aksen og b opp på den imaginære aksen. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:15:29.550 --> 00:15:39.300 Det kompleks konjugert tallet har samme realdel, så a er den samme. Men b-en skifter fortegn, 00:15:39.300 --> 00:15:49.900 det betyr at vi speiler tallet om x-aksen (eller om den reelle aksen). Det kompleks konjugert tallet 00:15:49.900 --> 00:15:56.900 vil ligge her nede, som speilingen av tallet om realaksen. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:16:00.400 --> 00:16:10.200 Ut fra polarformen så kan vi finne enda en måte å fremstille et komplekst tall på. 00:16:10.200 --> 00:16:14.450 Det gjør vi ved å trekke inn eksponentialer. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:16:14.450 --> 00:16:26.200 Vi ser på e, grunntallet i den naturlige logaritmen. Hvis vi opphøyer det i et imaginært tall, NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:16:26.200 --> 00:16:40.700 så definerer vi det til å være cos theta + i*sin theta. Dette er en definisjon, 00:16:40.700 --> 00:16:49.200 men dette gir oss faktisk en overgang mellom geometri og over i analyse, funksjonsteori. 00:16:49.200 --> 00:16:57.700 Nå trekker vi inn mange aspekter. Vi har algebra, geometri og analyse i tillegg. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:16:57.700 --> 00:17:03.250 Ved å bruke denne formen, så kan vi skrive et komplekst tall på en kompakt form. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:17:03.250 --> 00:17:27.000 Hvis z = ro*cos theta + i*ro*sin theta, så kan vi faktorisere ut ro. 00:17:27.000 --> 00:17:38.300 Så bruker vi definisjonen. e^i*theta er lik dette som står her. Vi får ro*e^i*theta. 00:17:38.300 --> 00:17:43.600 Dette her kalles kompakt polarform. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:17:49.900 --> 00:17:58.450 Hvis vi for eksempel ønsker å skrive dette tallet som vi har jobbet med på kompakt polarform, NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:17:58.450 --> 00:18:01.100 NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:18:01.100 --> 00:18:14.100 får vi z = 2 for ro, og så e^i*theta. e^i*2pi/3. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:18:16.600 --> 00:18:24.400 Da har vi sett at komplekse tall inneholder veldig mye forskjellige aspekter av matematikk, 00:18:24.400 --> 00:18:27.700 både algebra, geometri og analyse.