00:00:00.000
Vi skal nå Snakke litt om førsteordens lineære differensialligninger og en differenslikning så er den tallfølge som er den ukjente og en tallfølge er en oppramsing av tall for eksempel 2-4-6-8 osv og det ser vi er partallene

00:00:26.700
når vi har skrevet opp en tallfølge så kan det være litt spennende å prøve å finne mønsteret i denne tallfølgen og vi kan uttrykke dette mønsteret matematisk ved å gi navn til leddene som vi kan for eksempel kalle det første leddet for eksem da blir det neste leddet x 2 og x 3 x 4 osv og denne sammenhengen i denne tallfølgen kan uttrykkes på følgende måte x 1 + 1 = x 1 + 2 og matematisk så står det det her at 1 + førsteleddet kan vi finne ved å ta det foregående leddet oppløse på 2

00:01:13.900
og dette er en 1. ordens differensiallikning fordi vi da bruker det foregående leddet for å finne den neste leddet så vi trenger et ledd for å finne den neste

00:01:26.600
da ser vi at vi kan regne oss videre i følgende ved hjelp av denne sammenhengen Så nå vet vi jo forsåvidt de første leddene Men hvis vi tenker oss at vi starter med eksem likt og så kan vi da finne X 72 x 1 + 2 så da kan vi regne oss nedover ifølge hjelp av ligningen som for eksempel X10 Da har vi startet på 2

00:01:58.500
og så har vi lagt til to 9 * til å danne vi på 20 når vi skal løse sammenligninger det betyr å finne et uttrykk for det endte leddet i tallfølgen sånn at vi kan sette inn en verdi for en Odda regne ut hva det endte med det her for noe så å løse denne ligningen betyr rett og slett å finne et uttrykk for da det en ble det i helgen

00:02:34.900
hvordan se på et eksempel til som er da litt mer avansert en partall følgende

00:02:42.500
Vi kan da forklare hvordan denne følgende bygde opp Vi tar to ganger det foregående legge Også plutselig på 2

00:03:01.700
Dette her vil gi oss en tallfølge

00:03:04.900
en hvis vi da kaller det første leddet for 2 x E92 så kan vi regne ut X2 notat To ganger det foregående som da blir 2 x 2 er 4 + 2 1 og 6

00:03:22.400
og ekstrem Villa To ganger det foregående 2 * 12 2 x 6 som er 12 + 2 som blir 14

00:03:33.100
og så kan vi fortsette

00:03:35.800
jeg påstår at i dette tilfellet så blir faktisk X10 2046

00:03:48.400
som er ganske høyt tall så bare det å gange med 2

00:03:53.100
i forhold til her borte var ikke gange med 2 men bare pusse på 2 hver gang jeg gange 9 med to oppløse på 2 da vokser også tallfølgen plutselig mye fortere her er 1000 led20 når vi starter med 2 Her er det Tine leder 2046 sovehjelp på tallfølge så får vi også samtidig en god følelse på hvordan tall vokser generelt og hvordan vi da henger sammen og nå skal vi se litt nærmere på hvordan vi kan regne med differenslikninger matematisk å løse disse

00:04:29.400
Vi skal nå se hvordan vi kan løse homogene førsteordens lineære differensialligninger og homogene likninger Vi er på formen x 1 + 1 lik Etne antall ganger Excel er dette tallet er forskjellig fra 0

00:04:53.500
og grunnen til at dette er en homogen ligning er at vi strengt tatt kan flytte alt som har med følgende å gjøre over på venstresiden og så står det lik null og da har vi homogene likninger

00:05:08.400
en slik ligning er også bygd opp ved at vi får den neste leddet du gange det foregående med er og for hvert ledd så gange vi med det samme tallet er hver gang Det betyr at følgende for eksempel starte med en og det neste leddet vil da være her Og så får vi er real er et rede osv

00:05:35.000
men nå ser vi at vi kan også gange denne Felgen med et hvilket som helst tall som vi kan få tallet hvis du starte med generelt altså så vil den neste være se ganger er får vi se ganger er Jan ser ganger er et rede osv og dette er fortsatt Føler som er sånn at Vi Ganger Med er hver gang

00:06:00.300
og dette er den generelle løsningene til disse ligningene så et uttrykk for eksem her er da gitt med en konstant ganger er en til vi får det endte leddet med å starte med en lang konstant og ganger også med er hver gang å se kan være et hvilket som helst reelt tall

00:06:29.600
når vi allerede brukt en del 212 Så la oss bruke et utall en gang til Hvis vi ser på følgende eller differenslikninger gitt ved x 1 + 1 = 2 x x 1

00:06:45.300
så betyr det at vi har så ser på følgende er vi i gang med 2 hver gang og en generell løsning av denne differensiallikningen er da en konstant gange to jente jeg se er et reelt alt dette her er den generelle løsningen og så får vi en spesiell løsning hvis vi da vet Hvilket tall følgende starter med Så for eksempel hvis 1 = 2 så kan vi sette inn en i den generelle løsningen og da får vi x 1 = 3 * 2 i første som har C2C og hvis dette skal være lik to vil i dette tilfellet C1 og da har vi en spesiell løsning nemlig følgende X

00:07:45.300
lik serien innhold og vi får bare potensene av 2

00:07:55.000
sånn annen måte å si det på er at følgende to jente er Da kan Da beskrives ved hjelp av denne ligningen

00:08:05.800
Dette er av de homogene ligningene

00:08:10.200
og så kommer de inn homogene

00:08:16.900
og de kan vi skrive på følgende Polen x 1 + 1 = Etne antall ganger x-en og nå får vi i tillegg pluss et uttrykk som avhengig av en og vi skal se på tilfellene er dette uttrykket er et boliglån

00:08:40.100
så spesielt Kan du være en konstant eller kan være et lineært helt eller andregradspolynom tredjegradspolynom osv

00:08:49.400
og da ser vi nå at hvis vi da Flytter alt som har med tallfølgen vi skal finne over på venstre side så står det da noe igjen på høyresiden som er forskjellig fra null og derfor får vi nå nå inhomogen så dette leddene

00:09:06.900
gir oss også forskjellen mellom homogene førsteordens likninger og in homogene første ordens likninger fortsatt første orden fordi vi trenger bare et foregående ledd for å regne ut den neste

00:09:24.100
og da er jo spørsmålet Hvordan løser vi din homogene vi skal fortsatt finne et uttrykk for det endte ledig følgende eksem og siden forskjellen I selve ligningene ligger her

00:09:39.700
så viser det seg faktisk at forskjellen i løsningene også har noe med dette uttrykket å gjøre Det viser seg at i dette tilfellet så vil et uttrykk for eksem være de homogene løsningene og så vi se på den homogene versjonen av ligningen og så legger vi til en spesiell løsning og denne løsningen gjette Vi er på samme form som denne så denne her gjett vi da er på samme form som denne appen

00:10:29.100
så vi trenger da først å løse de homogene ligningen den homogene versjonen Og så prøver vi det å finne en spesiell løsning som har gjort det så plutselig de sammen og dette viser seg og da gi alle de inn homogene løsningene og det skal vi se litt nærmere på nå Vi skal å løse den inn homogene lineære differensiallikninger av første orden på formen x 1 + 1 week 2 * x + 2

00:11:06.500
Der står det matematikk symboler med ord så Betyr dette at vi ser på tallfølgen som er bygd opp slik at vi får det en + førsteleddet Å ta det foregående å gange med 2 og så plutselig på 2 og Dette her var tallfølgen vi så på istad og jeg da påstå at det Tine leddet i denne følgende vil være 2046 hvis vi starter med eksem week 2

00:11:35.600
Så la oss nå se hvordan vi kan finne ut det og det gjør vi da bør løse ligningen Finn et uttrykk for eksem Og så skal vi sette inn en lik tid og forhåpentligvis få 2046 siden dette her er en inhomogen likning vi kan flytte alt som har med følgende å gjøre over på venstresiden og så står det noe som er forskjellig fra null så må vi dele opp i din homogene løsningene og så finne en spesiell løsning så vi starter med den homogene versjonen av ligningen da setter vi på en ha for å huske at nå holder vi på med den homogene personen

00:12:24.600
og da er dette ligningen der vi også gange med 2 hver gang og løsningene til Disse er da en konstant * 2 1 til jeg se kan være hva som helst da vi ferdig med de også må vi finne en spesiell løsning som passer inn i den inn homogene ligningen og da er det utgangspunktet vårt at vi skal gjette at dette her er en løsning på samme form som da dette uttrykket Her i dette tilfellet så er dette uttrykket jeg får en konstant likt og så da vet vi at en spesiell løsning vi setter oss for å huske at nå holder på med en spesiell løsning er den konstante følgende a a a a a osv

00:13:22.500
Hva må det være for at dette eventuelt skal passe inn Jo da må vi sette inn i ligningen så da setter vi på en s for å huske at jeg det vi holder på med og hvis jeg skal passe inn så ser vi at det er en pluss første leddet og det endrede og alle ledd i denne Felgen er jo og så da kan vi sette inn av begge steder Og her skal Vi Ganger Med 2 + 2 Odda har vi fått en likninger som sier at a minus 2 av blir det minus og = 2 og det betyr at a = minus 2

00:14:13.000
sånn konstant ifølge minus 2 minus 2 minus 2 minus 2 osv den passer inn her

00:14:21.100
fordi minus 2 = 2 x minus 2 som er minus 4 + 2 også er minus 2 så da kan vi sjekke at den passer inn og det betyr at de generelle løsningene til denne ligningen er de homogene løsningene se mange to jente + en spesiell løsning som da bli minus 2 DLC er et reelt tall

00:14:55.600
Så dette er en generell løsning fordi det er uendelig mange siden ser kan være hva som helst så vi har uendelig mange tallfølger som oppfyller denne ligningen men så vet vi at vi skal ha tak i akkurat den tallfølgen som starter med X1 dictu Og da kan vi se og finne se akkurat det tilfellet så da setter vi inn igjen og da får vi altså 2c minus 2 som skal da være lik 2

00:15:35.700
og da får vi to se litt 4 og da må se der 2

00:15:44.200
som betyr at en spesiell løsning blir da tallfølgen x12 får se her

00:16:00.600
og hvis vi slår sammen potensen av to som blir det 2 opphøyd i 1 + 1 minus 2

00:16:08.500
og her står et uttrykk for tallfølgen som starter på x = 2 og er sånn at for hvert ledd så gange vi med 2 oppløse på 2 og får da det neste Lede og da kan vi bare sette inn 10 rett inn i formelen å finne x 10

00:16:30.600
så da vil x 10 = 42 11 minus 2

00:16:40.200
og 11:02 det er 2048

00:16:44.800
minus 2 er 2046 så da ser vi hvordan vi har da kan finne leddene i en tallfølge når vi har løst differenslikninger og til slutt så skal vi ta for oss part av følgende en gang til å se litt på hvordan den kan sees på i forbindelse med differenslikninger

00:17:06.599
vi skal å løse en inhomogen første ordens differensiallikning til nemlig x 1 + 1 = x 1 + 2 i tillegg så ønsker vi at X1 skal være to og vi vet jo nå at dette er partallene vi starter med to å legge til 2 hver gang men det er et par interessante punkter som kommer dukker opp når vi skal løse denne Så la oss gjøre det

00:17:36.700
den er en homogen fordi vi har to 12 stående her så vi starter med å finne den homogen homogene løsningene Så da ser vi på den homogene versjonen av ligningen

00:17:53.300
da setter vi dette uttrykket lik 0

00:17:57.900
da ser vi at vi har ligningen x 1 + 1 = x 1

00:18:03.200
Det betyr at den gangen med en hver gang så løsningen og blir bare se X en jente som bare er en det konstante følgende fordi den neste ledd = det foregående og det er konstant ifølge så de oppfyller den homogene ligningen

00:18:27.500
Og så skal vi finne en spesiell løsning og i dette tilfellet så er da dette uttrykket går inn for en et konstant lik 2

00:18:39.700
og i utgangspunktet så vil nå hvis han skal finne en spesiell løsning her som jeg vet at den er på samme form som dette

00:18:47.500
men på samme form som dette er jo konstante løsninger og disse kunne disse konstante når de passer inn i den homogene versjonen og det betyr at vi aldri kommer til å få oppfylt hele denne løsningen hvis vi setter bare inn kontanter hvis du setter inn en konstant her og den samme konstanten der så får vi kan du flytte den over og så får vi 09:00 to og det går jo ikke

00:19:13.900
og i disse tilfellene så sier vi det At vi må gå opp en grad nå vi etter så her må vi da faktisk gjette at x en spesiell løsning er et lineært ledd og vi trenger deg ikke å putte på konstanter for de vil forsvinne

00:19:38.200
og så setter inn dette i ligningen og prøver å finne og så da har vi han så ligningen som de setter på hennes for å markere at nå holder vi på å finne en spesiell løsning og så setter vi inn a-en for x1s da får vi av * 1 + 1 for det 1 + første leddet og så får vi a-en for det endte med det +2 også regner vi ut

00:20:15.600
Hvordan ser vi at hvis disse to uttrykkene skal være like så har vi også A1 på begge sider også vi I like to på vidda som betyr at følgende to ganger en er det en spesiell løsning sånn x1s er lik 2 1

00:20:42.900
og så kan vi ta å sette inn og få den generelle inn homogene løsningene det blir ax12 +61 s&d homogene var konstantene også plutselig på den spesielle løsningen 2 x 1 og her står den generelle løsningen av den inhomogen ligningen

00:21:12.400
og så er det at vi har fått oppgitt en betingelse og da setter vi inn nx1 da setter vi inn en for en da får vi se + 2 som skal være 2

00:21:26.800
Det betyr at c10 og dermed så får vi en spesiell løsning X1 lik null få se også 2-1 så da er partall følgende

00:21:47.100
så da har vi sett at de tilfelle hvor konstanter det løser den homogene versjonen av den innom og en ligningen så må vi gå opp en grad må vi etter en spesiell løsning og så kan vi fortsette på samme måte og finne den innom og en av løsningene og ta de homogene opp lyset på en spesiell løsning