WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:11.700 Vi skal nå snakke litt om første ordens lineære differensligninger. I en differenslikning er det 00:00:11.700 --> 00:00:23.300 en tallfølge som er den ukjente. En tallfølge er en oppramsing av tall, for eksempel 2, 4, 6, 8 osv. 00:00:23.300 --> 00:00:26.100 Det ser vi er partallene. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:26.100 --> 00:00:32.100 Når vi har skrevet opp en tallfølge, kan det være litt spennende å prøve å finne mønsteret i denne tallfølgen. 00:00:32.100 --> 00:00:41.100 Vi kan uttrykke dette mønsteret matematisk ved å gi navn til leddene. 00:00:41.100 --> 00:00:52.000 Vi kan for eksempel kalle det første leddet for x1. Da blir det neste leddet x2, x3, x4 osv. 00:00:52.000 --> 00:01:05.600 Denne sammenhengen i denne tallfølgen kan uttrykkes på følgende måte: xn+1 = xn + 2. 00:01:05.600 --> 00:01:13.400 Matematisk står det her at det n+1-leddet kan vi finne ved å ta det foregående leddet og plusse på 2. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:13.400 --> 00:01:21.000 Dette er en første ordens differenslikning, fordi vi da bruker det foregående leddet for å finne 00:01:21.000 --> 00:01:25.400 det neste leddet. Vi trenger et ledd for å finne det neste. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:01:25.600 --> 00:01:36.000 Da ser vi at vi kan regne oss videre i følgen ved hjelp av denne sammenhengen. 00:01:36.000 --> 00:01:42.400 Nå vet vi forsåvidt de første leddene. Men hvis vi tenker oss at vi starter med x1=2, så kan vi da 00:01:42.400 --> 00:01:56.800 finne x2 ved å sette x1 + 2. Da kan vi regne oss nedover i følgen ved hjelp av ligningen. For eksempel x10, 00:01:56.800 --> 00:01:58.200 da har vi startet på 2. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:01:58.200 --> 00:02:11.600 Så har vi lagt til 2 ni ganger til. Da ender vi på 20. Når vi skal løse sånne ligninger-- det betyr å finne 00:02:11.600 --> 00:02:18.900 et uttrykk for det n-te leddet i tallfølgen, sånn at vi kan sette inn en verdi for n og regne ut 00:02:18.900 --> 00:02:26.500 hva det n-te leddet er for noe. Å løse denne ligningen betyr rett og slett å finne et uttrykk 00:02:26.500 --> 00:02:34.000 for det n-te leddet i følgen. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:02:34.000 --> 00:02:41.750 La oss se på et eksempel til, som er da litt mer avansert enn partallsfølgen. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:02:41.750 --> 00:02:56.800 Vi kan da forklare hvordan denne følgen er bygd opp. Vi tar 2 * det foregående leddet, 00:02:56.800 --> 00:02:59.000 og så plusser vi på 2. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:03:00.700 --> 00:03:04.350 Dette her vil gi oss en tallfølge. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:03:04.350 --> 00:03:16.000 Igjen, hvis vi da kaller det første leddet for x1=2, så kan vi regne ut x2 ved å ta 2 ganger 00:03:16.000 --> 00:03:21.600 det foregående som da blir 2*2 = 4+2 = 6. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:03:21.600 --> 00:03:31.900 x3 blir 2 ganger det foregående, 2*6 = 12+2 = 14. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:03:32.100 --> 00:03:35.250 Så kan vi fortsette. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:03:35.250 --> 00:03:45.700 Jeg påstår at i dette tilfellet så blir faktisk x10=2046, NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:03:47.400 --> 00:03:52.450 som er et ganske høyt tall. Bare det å gange med 2 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:03:52.450 --> 00:03:58.300 i forhold til her borte hvor vi ikke ganger med 2, men bare plusser på 2 hver gang. Her ganger vi med 2 00:03:58.300 --> 00:04:05.700 og plusser på 2. Da vokser tallfølgen plutselig mye fortere. Her er det tiende leddet 20 når vi starter med 2, 00:04:05.700 --> 00:04:14.300 her er det tiende leddet 2046. Ved hjelp av tallfølger så får vi samtidig en god følelse for hvordan 00:04:14.300 --> 00:04:22.900 tall vokser generelt og hvordan de da henger sammen. Nå skal vi se litt nærmere på hvordan vi kan 00:04:22.900 --> 00:04:28.400 regne med differenslikninger matematisk, og løse disse. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:04:28.400 --> 00:04:38.200 Vi skal nå se hvordan vi kan løse homogene første ordens lineære differensligninger. 00:04:38.200 --> 00:04:52.850 Homogene likninger er på formen xn+1 lik et tall * xn, der dette tallet er forskjellig fra 0. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:04:52.850 --> 00:04:58.800 Grunnen til at dette er en homogen ligning, er at vi strengt tatt kan flytte alt som har med følgen å gjøre 00:04:58.800 --> 00:05:07.450 over på venstresiden, og så står det lik 0. Da har vi homogene likninger. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:05:07.450 --> 00:05:14.200 En slik ligning er bygd opp ved at vi får det neste leddet ved å gange det foregående med r. 00:05:14.200 --> 00:05:22.600 For hvert ledd så ganger vi med det samme tallet r hver gang. Det betyr at følgen for eksempel 00:05:22.600 --> 00:05:33.800 starter med 1, og det neste leddet vil da være r. Så får vi r^2, r^3 osv. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:05:34.000 --> 00:05:42.000 Nå ser vi at vi kan også gange denne følgen med et hvilket som helst tall. 00:05:42.000 --> 00:05:50.100 Hvis vi starter med et generelt tall C, så vil det neste være Cr, så får vi Cr^2, Cr^3 osv. 00:05:50.100 --> 00:05:59.600 Dette er fortsatt følger som er sånn at vi ganger med r hver gang. NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:05:59.600 --> 00:06:11.600 Dette er den generelle løsningene til disse ligningene. Et uttrykk for xn her er da gitt ved Cr^n. 00:06:11.600 --> 00:06:20.000 Vi får det n-te leddet ved å starte med en konstant, og vi ganger med r hver gang. 00:06:20.000 --> 00:06:26.800 C kan være et hvilket som helst reelt tall. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:06:28.600 --> 00:06:37.700 Nå har vi allerede brukt en del 2-tall, så la oss bruke et 2-tall en gang til. Hvis vi ser på følgen, 00:06:37.700 --> 00:06:44.550 eller differenslikningen, gitt ved xn+1 = 2xn, NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:06:44.550 --> 00:06:52.900 så betyr det at vi ser på følgen der vi ganger med 2 hver gang. En generell løsning 00:06:52.900 --> 00:07:04.300 av denne differenslikningen er da en konstant ganger 2^n, der C er et reelt tall. 00:07:04.300 --> 00:07:14.600 Dette er den generelle løsningen. Så får vi en spesiell løsning hvis vi da vet hvilket tall følgen starter med. 00:07:14.600 --> 00:07:27.000 For eksempel hvis x1=2, så kan vi sette inn 1 i den generelle løsningen og da får vi x1=C2^1, som er 2C. 00:07:27.000 --> 00:07:38.500 Hvis dette skal være lik 2, vil C=1. 00:07:38.500 --> 00:07:45.150 Da har vi en spesiell løsning, nemlig følgen xn-- NOTE Treffsikkerhet: 73% (MEDIUM) 00:07:45.150 --> 00:07:53.500 C=1, og vi får bare potensene av 2. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:07:54.000 --> 00:08:03.700 En annen måte å si det på, er at følgen 2^n kan beskrives ved hjelp av denne ligningen. 00:08:03.700 --> 00:08:04.850 NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:08:04.850 --> 00:08:09.600 Dette er de homogene ligningene. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:08:09.600 --> 00:08:13.300 Så kommer de inhomogene. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:08:15.900 --> 00:08:27.100 De kan vi skrive på følgende form. xn+1 er lik et tall * xn. Nå får vi i tillegg 00:08:27.100 --> 00:08:36.900 pluss et uttrykk som avhenger av n. Vi skal se på tilfellene der dette uttrykket er et polynom. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:08:39.100 --> 00:08:46.100 Spesielt kan det være en konstant, et lineært ledd, andregradspolynom, 00:08:46.100 --> 00:08:48.650 tredjegradspolynom osv. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:08:48.650 --> 00:08:56.600 Hvis vi flytter alt som har med tallfølgen vi skal finne over på venstre side, 00:08:56.600 --> 00:09:03.700 så står det da noe igjen på høyresiden som er forskjellig fra 0. Derfor får vi noe inhomogent. 00:09:03.700 --> 00:09:06.400 Dette leddet gir oss NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:09:06.400 --> 00:09:14.600 forskjellen mellom homogene første ordens likninger og inhomogene første ordens likninger. 00:09:14.600 --> 00:09:22.500 Fortsatt første orden fordi vi trenger bare et foregående ledd for å regne ut det neste. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:09:23.100 --> 00:09:31.300 Da er jo spørsmålet, hvordan løser vi de inhomogene? Vi skal fortsatt finne et uttrykk for det n-te leddet 00:09:31.300 --> 00:09:39.150 i følgen xn. Siden forskjellen i selve ligningene ligger her, NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:09:39.150 --> 00:09:47.100 så viser det seg faktisk at forskjellen i løsningene også har noe med dette uttrykket å gjøre. 00:09:47.100 --> 00:09:58.700 Det viser seg at i dette tilfellet så vil et uttrykk for xn være de homogene løsningene. 00:09:58.700 --> 00:10:07.800 Vi ser på den homogene versjonen av ligningen, så legger vi til en spesiell løsning. Denne løsningen 00:10:07.800 --> 00:10:27.700 gjetter vi er på samme form som denne. Denne her gjetter vi da er på samme form som f(n). NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:10:28.100 --> 00:10:37.700 Vi trenger da først å løse den homogene versjonen. Så prøver vi 00:10:37.700 --> 00:10:46.200 å finne en spesiell løsning. Når vi har gjort det, så plusser vi dem sammen. 00:10:46.200 --> 00:10:54.900 Dette gir alle de inhomogene løsningene, og det skal vi se litt nærmere på nå. Vi skal løse 00:10:54.900 --> 00:11:05.700 den inhomogene lineære differenslikningen av første orden på formen xn+1 = 2xn + 2. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:11:05.700 --> 00:11:14.000 Der står det matematikksymboler. Med ord så betyr dette at vi ser på tallfølgen som er bygd opp slik 00:11:14.000 --> 00:11:22.700 at vi får det n+1-leddet ved å ta det foregående og gange med 2, og så plusser vi på 2. 00:11:22.700 --> 00:11:31.400 Dette her var tallfølgen vi så på istad, hvor jeg da påsto at det tiende leddet i denne følgen vil være 2046 00:11:31.400 --> 00:11:34.850 hvis vi starter med x1=2. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:11:34.850 --> 00:11:42.100 La oss nå se hvordan vi kan finne ut det. Det gjør vi da ved å løse ligningen, finne et uttrykk for xn, 00:11:42.100 --> 00:11:52.600 og så skal vi sette inn n=10 og forhåpentligvis få 2046. Siden dette her er en inhomogen likning 00:11:52.600 --> 00:11:59.800 (vi kan flytte alt som har med følgen å gjøre over på venstresiden og så står vi igjen med 00:11:59.800 --> 00:12:07.400 noe som er forskjellig fra 0), så må vi dele opp de homogene løsningene og så finne en spesiell løsning. 00:12:07.400 --> 00:12:18.700 Vi starter med den homogene versjonen av ligningen. Da setter vi på en h for å huske at nå holder vi 00:12:18.700 --> 00:12:23.650 på med den homogene versjonen. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:12:23.650 --> 00:12:32.200 Da er dette ligningen der vi ganger med 2 hver gang. Løsningene til disse er da C2^n, 00:12:32.200 --> 00:12:45.400 der C kan være hva som helst. Da er vi ferdig med de. Så må vi finne en spesiell løsning 00:12:45.400 --> 00:12:53.300 som passer inn i den inhomogene ligningen. Da er utgangspunktet vårt at vi skal gjette at dette her 00:12:53.300 --> 00:13:00.200 er en løsning på samme form som dette uttrykket her. I dette tilfellet er dette uttrykket f(n) konstant lik 2, 00:13:00.200 --> 00:13:12.400 så da gjetter vi at en spesiell løsning-- vi setter s for å huske at nå 00:13:12.400 --> 00:13:22.000 holder vi på med en spesiell løsning-- er den konstante følgen A, A, A, A, A osv. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:13:22.000 --> 00:13:34.300 Hva må A være for at dette eventuelt skal passe inn? Jo, da må vi sette inn i ligningen. Da setter vi 00:13:34.300 --> 00:13:44.800 på en s for å huske at det er det vi holder på med. Hvis A skal passe inn, så ser vi at det n+1-leddet 00:13:44.800 --> 00:13:50.900 og det n-te leddet og alle ledd i denne følgen er jo A. Så da kan vi sette inn A begge steder. 00:13:50.900 --> 00:14:03.400 Her skal vi gange A med 2, +2. Da har vi fått en likning i A som sier at A-2A=-A er lik 2, 00:14:03.400 --> 00:14:10.900 og det betyr at A=-2. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:14:12.000 --> 00:14:20.500 Den konstante følgen -2, -2, -2, -2 osv, den passer inn her. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:14:20.500 --> 00:14:30.500 -2 = 2*-2 = -4+2 = -2. Da kan vi sjekke at den passer inn. 00:14:30.500 --> 00:14:43.500 Det betyr at de generelle løsningene til denne ligningen er de homogene løsningene C2^n 00:14:43.500 --> 00:14:54.750 pluss en spesiell løsning, som da blir -2. C er et reelt tall. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:14:54.750 --> 00:15:04.200 Dette er en generell løsning fordi det er uendelig mange, siden C kan være hva som helst. 00:15:04.200 --> 00:15:14.200 Vi har uendelig mange tallfølger som oppfyller denne ligningen. Men så vet vi at vi skal ha tak 00:15:14.200 --> 00:15:25.000 i akkurat den tallfølgen som starter med x1=2. Da kan vi sette inn det og finne C akkurat i det tilfellet. 00:15:25.000 --> 00:15:35.150 Da setter vi inn n=1, og da får vi altså 2C - 2 som skal da være lik 2. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:15:35.150 --> 00:15:43.100 Da får vi 2C=4, og da må C være 2. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:15:43.200 --> 00:15:57.100 Det betyr at en spesiell løsning blir da tallfølgen xn lik 2 for C. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:15:59.600 --> 00:16:08.050 Hvis vi slår sammen potensen av 2, så blir det 2^n+1 - 2. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:16:08.050 --> 00:16:19.200 Her står et uttrykk for tallfølgen som starter på x1=2 og er sånn at for hvert ledd, så ganger vi med 2 00:16:19.200 --> 00:16:27.600 og plusser på 2 og får da det neste leddet. Da kan vi bare sette inn 10 rett inn i formelen 00:16:27.600 --> 00:16:29.850 og finne x10. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:16:29.850 --> 00:16:39.400 Da vil x10 være lik 2^11 - 2. NOTE Treffsikkerhet: 66% (MEDIUM) 00:16:39.400 --> 00:16:44.250 2^11=2048, NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:16:44.250 --> 00:16:55.200 -2 er 2046. Da ser vi hvordan vi kan finne leddene i en tallfølge når vi har løst differenslikningen. 00:16:55.200 --> 00:17:01.900 Til slutt skal vi ta for oss partallsfølgen en gang til og se litt på 00:17:01.900 --> 00:17:05.949 hvordan den kan sees på i forbindelse med differenslikninger. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:17:05.949 --> 00:17:19.400 Vi skal løse en inhomogen første ordens differenslikning til, nemlig xn+1 = xn + 2. 00:17:19.400 --> 00:17:27.599 I tillegg så ønsker vi at x1=2. Vi vet jo nå at dette er partallene. Vi starter med 2 og legger til 2 hver gang. 00:17:27.599 --> 00:17:34.200 Men det er et par interessante punkter som dukker opp når vi skal løse denne, 00:17:34.200 --> 00:17:35.750 så la oss gjøre det. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:17:35.750 --> 00:17:45.300 Denne er inhomogen fordi vi har et 2-tall stående her. Vi starter med å finne de homogene løsningene. 00:17:45.300 --> 00:17:52.750 Da ser vi på den homogene versjonen av ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:17:52.750 --> 00:17:57.300 Da setter vi dette uttrykket lik 0. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:17:57.300 --> 00:18:02.600 Da ser vi at vi har ligningen xn+1 = xn. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:18:02.600 --> 00:18:14.300 Det betyr at vi ganger med 1 hver gang. Løsningene blir bare C*1^n som bare er 1, 00:18:14.300 --> 00:18:24.300 de konstante følgene. Fordi det neste leddet er lik det foregående, og det er konstante følger. 00:18:24.300 --> 00:18:26.900 De oppfyller den homogene ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:18:26.900 --> 00:18:36.000 Så skal vi finne en spesiell løsning. I dette tilfellet så er da dette uttrykket vårt 00:18:36.000 --> 00:18:38.850 f(n) en konstant lik 2. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:18:38.850 --> 00:18:44.800 Når vi da skal finne en spesiell løsning her, vil vi gjette at den er 00:18:44.800 --> 00:18:46.900 på samme form som dette. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:18:46.900 --> 00:18:54.300 Men på samme form som dette er konstante løsninger. Disse konstantene passer inn 00:18:54.300 --> 00:19:00.800 i den homogene versjonen. Det betyr at vi aldri kommer til å få oppfylt hele denne løsningen 00:19:00.800 --> 00:19:07.400 hvis vi setter bare inn konstanter. Hvis vi setter inn en konstant her og den samme konstanten der, 00:19:07.400 --> 00:19:12.600 så kan vi flytte den over og så får vi 0=2. Det går jo ikke. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:19:12.900 --> 00:19:24.100 I disse tilfellene sier vi at vi må gå opp en grad når vi gjetter. Her må vi da faktisk gjette at xn, 00:19:24.100 --> 00:19:34.800 en spesiell løsning, er et lineært ledd. Vi trenger ikke å putte på konstanter 00:19:34.800 --> 00:19:36.700 fordi de vil forsvinne. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:19:37.200 --> 00:19:46.200 Så setter vi inn dette i ligningen og prøver å finne A. Da har vi ligningen som vi setter på en s 00:19:46.200 --> 00:19:54.600 for å markere at nå holder vi på å finne en spesiell løsning. Vi setter inn An for xns. 00:19:54.600 --> 00:20:09.800 Da får vi A(n+1) for det n+1-leddet. Så får vi An for det n-te, pluss 2. 00:20:09.800 --> 00:20:11.300 Så regner vi ut. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:20:14.600 --> 00:20:23.700 Da ser vi at hvis disse to uttrykkene skal være like, så har vi An på begge sider. 00:20:23.700 --> 00:20:42.050 Så har vi A=2. Det betyr at følgen 2n er da en spesiell løsning. xns=2n. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:20:42.050 --> 00:20:57.600 Så kan vi sette inn og få de generelle inhomogene løsningene. Det blir xnh + xns. 00:20:57.600 --> 00:21:06.700 De homogene var konstantene, og så plusser vi på den spesielle løsningen 2n. Her står den generelle løsningen 00:21:06.700 --> 00:21:11.650 av den inhomogene ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:21:11.650 --> 00:21:21.600 Så er det at vi har fått oppgitt en betingelse. Da setter vi inn den. x1-- da setter vi inn 1 for n, 00:21:21.600 --> 00:21:25.949 vi får C+2 som skal være 2. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:21:25.949 --> 00:21:44.300 Det betyr at C=0. Dermed får vi en spesiell løsning. xn lik 0 for C, og 2n som er partallsfølgen. 00:21:44.300 --> 00:21:45.900 NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:21:46.100 --> 00:21:55.300 Da har vi sett at i tilfellet hvor konstanter løser den homogene versjonen av den inhomogene likningen, 00:21:55.300 --> 00:22:03.200 så må vi gå opp en grad når vi gjetter en spesiell løsning. Så kan vi fortsette på samme måte 00:22:03.200 --> 00:22:10.800 og finne de inhomogene løsningene ved å ta de homogene og plusse på en spesiell løsning.