00:00:00.000
Vi skal nå se hvordan vi kan løse andre ordens lineære homogene differensiallikninger og det er likninger på formen x 1 + 2 + Etne antall x x 1 + 1 + 1 antall * x = 0 og siden har samlet alt som har med tallfølgen vi skal finne å gjøre på venstre side og det står 0 her så har vi en homogen likning så det også har vi da gitt og det er reelle tall

00:00:40.100
og nå skal vi ha så finne følger der vi vet hvis vi vet de to foregående leddene så kan vi da finne den neste ved hjelp av ligningen Derfor har vi noen andre ordens differensiallikning fordi vi trenger to foregående ledd for å finne den neste

00:00:59.600
Hvordan løser vi da disse

00:01:03.000
Vi skal nå finne disse til følgende som passer inn her og ledende sammenhengen mellom leddene er også gitt ved denne ligningen Jo da prøver vi oss først på homogene førsteordens differensiallikninger så hvis vi har den første ordens homogen ligning på denne formen Så vet vi at løsningene er gitt på denne formen

00:01:32.800
og da prøver vi å se om ikke disse løsningene også kunne passe inn i denne typen lenger så vi prøver igjen til passer inn i den andre ordens ligningen også

00:01:56.800
hva må skje da hvis vi kan sette den følgen er jente så blir det x 1 + 2 det blir er i en pesto og da det en buss Førde Lærdal B ganger er 1 + 1 og det endte med Det spør han se X er en til

00:02:20.700
Og da kan vi faktorisere ut er i en til Og så står vi igjen med er Jan + B er + 1000 og da har vi et produkt som skal være 0 og da må minst en av faktorene er 0 og er jente er forskjellig fra null fordi er dette tallet vi gange med antall Vi er forskjellig fra null eller så får vi bare en ulv følgende

00:02:50.600
Det betyr at dette uttrykket skal være 0

00:02:59.400
og da får vi plutselig redusert denne andre ordens differensiallikninger til en andregradslikning

00:03:07.500
og det betyr at jeg må løse andregradslikninger for å løse differensiallikninger

00:03:13.900
denne ligningen kalles den karakteristiske ligningen til differenslikninger

00:03:31.100
og da vet vi at en andregradslikning Nå har vi tre muligheter for de løsningene vi har to kan ha Tore løsninger vi kan ha en reell løsning Eller vi kan ha to komplekse løsninger og I hvert av disse tilfellene så får vi da inn at røttene i denne andregradslikningen jente skal du ha passe inn i denne andre ordens differensiallikninger og det vil gi oss løsnings formler I hvert av de tre tilfellene som vi skal se litt nærmere på nå

00:04:22.200
vi har nå Sett at når vi skal løse andre ordens lineære homogene differensiallikninger så handler om å løse andregradslikninger og denne andregradslikningen er da på Formen er Jan + VR + se lik null Der b&c kommer fra differensiallikningen røttene som i dag finner i denne ligningen vil gi oss løsninger til differensiallikningen er i en til og så roten jente vil være en løsning i den andre ordens differensiallikninger den som vi har satt opp dette opplegget da vi giftet først at er jente var en løsning og da fant vi at den måtte passe inn i denne karakteristiske ligningen

00:05:12.500
så et tilfelle er det at denne ligningen har to reelle løsninger hvis vi da kaller i R1 og R2

00:05:26.500
da får vi at er en jente skal være løsninger og R2 i en til skal også være løsninger for de var også sånn vi hadde satt opp dette med en karakteristisk ligningen I tillegg så kan vi da * disse følgende med kontanter og det kan vi med disse også

00:05:49.900
om Det viser seg at hvis vi tar Summer av disse så får vi også løsninger og Det viser seg også at dette faktisk er alle løsningene til defence ligningen i tilfelle at den karakteristiske ligningen har to reelle løsninger og nå har vi også fått to konstanter c&d som skal bestemmes og det er fordi vi har andre ordens differensiallikning da får vi to konstanter slutt eksempel nå

00:06:23.400
kan være differensiallikningen x 1 + 2 + 3 halve x 1 + 1 minus XC90

00:06:35.900
Hvilke farger er det som er sånn at vi kan finne det en pluss andre leddet vi å ta tre halve ganger og foregående å trekke fra det foregående der igjen og alltid får null Nå begynner å bli ganske komplisert selvfølgelig snakker om og da er det fint å ha en metode for å kunne finne løsningene til disse og metoden er å skrive opp andregradslikningen Du får ved å plukke ut hvorfor ser jentene i differenslikninger her står det en x x 1

00:07:15.800
og så løser vi den og da kan vi godt bruke abc-formelen Hvor er minnet om den minus pluss minus roten av barn som er 9 firedeler minus 4 a-c det blir + 4 / 2 og da får vi 9 firedeler +16 firedeler dr-25 4 dele og roten av det er fem halve så må vi minus 3 holde pluss minus 5 Halla / 2

00:07:56.800
og vi har da minus 3 halve + 5 halve Det er to halve som er 1 / 2 Det blir en halv og så får vi minus 3 halve minus 5 halve minus 8 halve som er der minus 4 / 2 blir minus 2

00:08:16.700
og da har vi to reelle løsninger av den karakteristiske ligningen og vi setter inn i løsnings formelen han følgende vi ser etter her er kontanter * en halv jente + konstanter gange minus 2 NTC og det er alle mulig reelle tall kan være for eksempel så kan det være null å se være en så følgen en halv jente så en halv og en fjerdedel en åttendedel osv Det er en følge som vil passe inn i denne differenslikninger Og alle løsningene er da på denne formen ved å velge forskjellige verdier for se og det uendelig mange løsninger så dette

00:09:16.700
generelle løsningen den neste vi nå skal gjøre er å se på tilfelle der den karakteristiske ligningen til en annens differenslikning har en reell rot for eksempel ligningen x 1 + 2 minus 2 x 1 + 1 + x = 0 den karakteristiske ligningen til denne andre ordens differensiallikninger er er Jan minus 2 er og plukker ut hvorfor tjenestene og her står det da en lik null

00:09:57.200
dette kjenner igjen som et fullstendig kvadrat

00:10:01.400
Det er minus 1 Jan eventuelt så kan vi også bruke abc-formelen å se at vi får roten en men her er altså hvis vi kaller roten for er én i dette tilfelle så får vi en

00:10:21.300
når vi har kun en rot i den karakteristiske ligningen så viste det seg at den generelle formelen for løsningene til en sånn type ligning er på formen et lineært ledd ganger er en jente

00:10:45.500
Hvem er en er denne roten som vi bare har én av i den kaotiske ligningen så istedenfor å ha bare konstanter X er en så får vi da også et ledd der vi har gått opp en grad nemlig til en X en konstant

00:11:04.900
som også da vi kan skrive ut på formen 3 ganger er en jente + 1 * det er en jente

00:11:17.300
og hvis du bruker det i dette tilfellet så ser vi at du får en for er ensom og en jente er en så vi får løsninger på formen konstanter + 1 * det den ser og det kan være hva som helst

00:11:43.500
Så for eksempel så kan det være 0 og da har vi konstant løsninger og vi ser at konstante følgelig passer inn her hvis vi har en konstant minus 2 x NRKs tanten og + konstant men så får vi alltid 0 så konstant ifølge oppfyller denne

00:12:05.900
dc10 og kanskje det er lik en så får vi følgende 1 og den Hvis vi starter med en så vil det være følgende en to tre fire fem seks osv de naturlige tallene denne følgen at all vil også passe inn her

00:12:30.800
Har du tenkt på det 1800-tall Kan karakteriseres ved at hvis vi tar et naturlig tall og trekke fra 2 ganger Det foregående tallet opp lyset på det foregående der igjen så får vi alltid 0 for eksempel 3 minus 2 x 2 minus minus 4 så 3 minus 4 minus 1 + 1 er 0 og det gjelder for alle naturlige tall av tre etterfølgende da naturlige tall så vil denne sammenhengen alltid være oppfylt den differenslikning en måte og kurtisere tallfølger på for deg tallfølgen som er den ukjente

00:13:14.800
hva Legger merke til det at når vi da har tilfelle det generelle tilfelle der de har en reell rot i den katolske ligningen så kan vi også få med er jenter tillegg i dette tilfellet så = 1 så da får vi ikke noe er jente men generelt så vil

00:13:34.700
er jente følge med i begge disse leddene Når var turistiske ligningen har en reell rot og da er det et tilfelle som gjenstår nemlig når vi har komplekse løsninger Aden andregradslikningen som er karakteristiske ligningen

00:13:53.300
vi ser fortsatt på andre ordens lineære homogene differensiallikninger som altså er formen x 1 + 2 + x x 1 + 1 + 2 x 1 lik null og vi løser disse ved å sette opp den karakteristiske ligningen Og nå har vi kommet til det tredje og siste tilfellet vi kan ha for løsninger til denne andregradslikningen nemlig at du får to komplekse løsninger og det kan jo bli litt interessant fordi Nå starter vi altså Med en differenslikning der b&c er reelle tall

00:14:40.800
og så begynner vi å løse denne også dukker det opp komplekse tall vi kan kalle røttene vi da får for er en og er en konjugert fordi disse røttene som opptrer i dette tilfellet vil være konjugerte av hverandre

00:15:00.600
Da viser det seg at det faktisk finnes en form for løsningene til denne ligningen selv om vi trenger komplekse tall underveis så finnes det en regel form på løsninger for å finne det så trenger vi Polar formen til disse røttene så vi kan godt bruke er en og da finner vi Polar formen til dette tallet nemlig modusen Og et argument for dette komplekset tallet og nå Det er funnet det så viser det seg at den reelle formen til løsningene til differenslikninger er konstant x model Åssen endte cosinus til en X argumentet + konstanter skal gis et Sinus ledd Det er nå c og d

00:16:00.600
det gjelder tall og derfor vi sier at dette er da den regjerende formen for løsningene

00:16:09.500
så denne formen skal vi første rekke bruke men vi ser nå også at nå blir det jo veldig interessante tallfølger vi får ut vi starter med denne sammenhengen og i det tilfellet når denne karakteristiske ligningen har komplekse røtter så får vi inn cosinus og Sinus i tallfølgen så lav sent eksempel på hvordan vi bruker denne formelen

00:16:34.200
Vi kan se på ligningen x 1 + 2 minus 2 x 1 + 1 + 2 x = 0

00:16:47.500
den har karakteristisk likning er real minus 2 er + 2

00:16:54.900
vi kan løse denne ved abc-formel minus pluss minus roten av be- 4 a-c / 2 A som er 2 pluss minus roten av minus 4 / 2 og vi vet nå at du ut når vi får noe negativt underrot Heine så er stad vi dette nå med X roten av 4 og roten av 4 del 2

00:17:23.099
så vi får to pluss minus i * 2 / 2 Og da kan vi faktorisere to og forkorte to så vi får igjen løsningene i + min 1 + minus i

00:17:40.800
og da ser vi også at vi får komplekskonjugert det løsninger

00:17:46.900
og for å bruke løsnings formel for å løse differensiallikningen som gjør dere skal løse så må vi finne Polar formen til dette tallet og da finner vi jo modusen greit arealdelen i annet pluss i magen er delen Ja og ta kvadratroten av det det er Pytagoras så det blir roten av en museum som er roten av 2

00:18:16.100
og så vet vi at for å finne argumentet så tar vi real delen og deler på modusen så cosinus Dette er en delt på roten av 2 og Sinus da bruker vi i magen er delen som også blir 1 / roten av 2 som vi forøvrig vet er roten av 2 halve det å gange med roten av 2 og det oppe og nede

00:18:50.100
Hvorfor har dette så kan vi da finne dette

00:18:55.300
Bodø cosinus og Sinus er positive så vi er i første kvadrat og i tillegg er cosinus og Sinus like og da er det vinkelen P4 dele ut etter

00:19:11.500
og da ser vi at vi har fått skaffet oss ro og dette Og da kan vi sette inn i formen og finne løsningene til denne differensiallikningen da kan vi skrive opp løsningene under her da setter vi inn roten av 2 for ro og så får vi cosinus til en gange P4 dele og det tilsvarende leddet på Sinus roten av 2 igjen til Sinus til en gang P4 dele

00:19:52.600
Nå fikk vi akkurat plass å se og det er fortsatt reelle tall

00:20:02.000
og Nå ser vi også du får kose oss i nisser og de går litt opp og ned så i dette tilfelle får vi da tallfølger Der leddene vil hoppe litt opp og ned og Det viser seg å være ganske spennende tallfølger Så vi er ganske glad i dette tilfellet her nå Vi får komplekse løsninger av den karakteristiske ligningen