WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:11.000 Vi skal nå se hvordan vi kan løse andre ordens lineære homogene differenslikninger. 00:00:11.000 --> 00:00:25.100 Det er likninger på formen xn+2, pluss et tall ganger xn+1, pluss et tall ganger xn = 0. 00:00:25.100 --> 00:00:32.400 Siden vi har samlet alt som har med tallfølgen vi skal finne å gjøre på venstre side, og det står 0 her, 00:00:32.400 --> 00:00:39.500 så har vi en homogen likning. b og c har vi da gitt, og de er reelle tall. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:39.500 --> 00:00:48.300 Nå skal vi finne følger der hvis vi vet de to foregående leddene, så kan vi da finne 00:00:48.300 --> 00:00:54.500 den neste ved hjelp av ligningen. Derfor har vi en andre ordens differenslikning, 00:00:54.500 --> 00:00:58.600 fordi vi trenger to foregående ledd for å finne det neste. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:58.600 --> 00:01:02.450 Hvordan løser vi da disse? NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:01:02.450 --> 00:01:09.600 Vi skal nå finne disse tallfølgene som passer inn her. Sammenhengen mellom leddene 00:01:09.600 --> 00:01:16.800 er gitt ved denne ligningen. Da prøver vi oss først på homogene første ordens differenslikninger. 00:01:16.800 --> 00:01:26.100 Hvis vi har en første ordens homogen ligning på denne formen, 00:01:26.100 --> 00:01:32.000 vet vi at løsningene er gitt på denne formen. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:01:32.000 --> 00:01:42.500 Da prøver vi å se om ikke disse løsningene også kunne passe inn i denne typen ligninger. 00:01:42.500 --> 00:01:55.900 Vi prøver at r^n passer inn i den andre ordens ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:01:55.900 --> 00:02:06.500 Hva må skje da? Hvis vi setter inn følgen r^n, så blir xn+2 = r^n+2. 00:02:06.500 --> 00:02:18.800 Det n+1-leddet blir br^n+1. Det n-te leddet blir cr^n. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:02:19.700 --> 00:02:33.500 Da kan vi faktorisere ut r^n. Så står vi igjen med r^2+br+c er lik 0. Da har vi et produkt 00:02:33.500 --> 00:02:42.400 som skal være 0. Da må minst en av faktorene være 0, og r^n er forskjellig fra 0 00:02:42.400 --> 00:02:48.500 fordi r (dette tallet vi ganger med), antar vi er forskjellig fra 0, eller så får vi bare nullfølgen. 00:02:48.500 --> 00:02:49.850 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:02:49.850 --> 00:02:54.900 Det betyr at dette uttrykket skal være 0. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:02:58.400 --> 00:03:06.750 Da får vi plutselig redusert denne andre ordens differenslikningen til en andregradslikning. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:03:06.750 --> 00:03:12.950 Det betyr at vi må løse andregradslikninger for å løse differenslikninger. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:03:12.950 --> 00:03:20.200 Denne ligningen kalles den karakteristiske ligningen til differenslikningen. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:03:30.100 --> 00:03:42.600 Da vet vi at en andregradslikning, da har vi tre muligheter for de løsningene. 00:03:42.600 --> 00:04:01.500 Vi kan ha to reelle løsninger, vi kan ha en reell løsning, eller vi kan ha to komplekse løsninger. 00:04:01.500 --> 00:04:11.200 I hvert tilfelle får vi da inn at røttene i denne andregradslikningen i n-te, skal passe inn 00:04:11.200 --> 00:04:17.600 i denne andre ordens differenslikningen. Det vil gi oss løsningsformler i hvert av de tre tilfellene 00:04:17.600 --> 00:04:21.299 som vi skal se litt nærmere på nå. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:04:21.299 --> 00:04:29.800 Vi har nå sett at når vi skal løse andre ordens lineære homogene differenslikninger, 00:04:29.800 --> 00:04:41.000 så handler det om å løse andregradslikninger. Denne andregradslikningen er på formen r^2+br+c = 0, 00:04:41.000 --> 00:04:50.200 der b og c kommer fra differenslikningen. Røttene vi finner i denne ligningen, vil gi oss løsninger til differenslikningen. 00:04:50.200 --> 00:04:59.700 r^n, altså roten i n-te, vil være en løsning i den andre ordens differenslikningen. 00:04:59.700 --> 00:05:06.200 Det er sånn vi har satt opp dette opplegget, der vi gjettet først at r^n var en løsning, 00:05:06.200 --> 00:05:11.850 og da fant vi at den måtte passe inn i denne karakteristiske ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:05:11.850 --> 00:05:25.700 Et tilfelle er at denne ligningen har to reelle løsninger. Hvis vi da kaller dem r1 og r2, NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:05:25.700 --> 00:05:37.800 da får vi at r1^n skal være løsninger og r2^n skal også være løsninger, 00:05:37.800 --> 00:05:45.600 for det var sånn vi hadde satt opp dette med den karakteristiske ligningen. I tillegg kan vi gange disse følgene 00:05:45.600 --> 00:05:49.250 med konstanter, og det kan vi med disse også. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:05:49.250 --> 00:05:57.600 Det viser seg at hvis vi tar summer av disse, så får vi også løsninger. Det viser seg 00:05:57.600 --> 00:06:06.200 at dette faktisk er alle løsningene til differensligningen i tilfellet at den karakteristiske ligningen 00:06:06.200 --> 00:06:15.200 har to reelle løsninger. Nå har vi fått to konstanter C og D som skal bestemmes. Det er fordi 00:06:15.200 --> 00:06:22.750 vi har en andre ordens differenslikning. Da får vi to konstanter. Et eksempel nå NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:06:22.750 --> 00:06:35.350 kan være differenslikningen xn+2 + 3/2xn+1 - xn = 0. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:06:35.350 --> 00:06:44.300 Hvilke følger er det som er sånn, at vi kan finne det n+2-leddet ved å ta 3/2 ganger det foregående 00:06:44.300 --> 00:06:51.700 og trekke fra det foregående der igjen, og alltid få 0? Nå begynner det å bli ganske 00:06:51.700 --> 00:06:58.500 kompliserte tallfølger vi snakker om, og da er det fint å ha en metode for å kunne finne løsningene til disse. 00:06:58.500 --> 00:07:07.600 Metoden er å skrive opp andregradslikningen vi får ved å plukke ut koeffisientene 00:07:07.600 --> 00:07:15.250 i differenslikningen. Her står det 1*xn. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:07:15.250 --> 00:07:26.600 Så løser vi den. Da kan vi godt bruke abc-formelen for å minne om den. 00:07:26.600 --> 00:07:43.600 -b +/- (roten av b)^2 som er 9/4, -4ac som blir 4, delt på 2. Da får vi 9/4 + 16/4 = 25/4, 00:07:43.600 --> 00:07:56.050 og roten av det er 5/2. Da får vi (-3/2 +/- 5/2) / 2. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:56.050 --> 00:08:07.500 Vi har da -3/2 + 5/2, det er 2/2 som er 1, delt på 2. Det blir 1/2. 00:08:07.500 --> 00:08:16.000 Så får vi -3/2 - 5/2, det er -8/2, som er -4 / 2 = -2. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:08:16.000 --> 00:08:24.500 Da har vi to reelle løsninger av den karakteristiske ligningen. Vi setter inn i løsningsformelen. 00:08:24.500 --> 00:08:42.200 Tallfølgene vi ser etter her er konstanter ganger (1/2)^n, pluss konstanter ganger (-2)^n, 00:08:42.200 --> 00:08:56.500 der C og D kan være alle mulige reelle tall. For eksempel kan D=0 og C=1. 00:08:56.500 --> 00:09:06.300 Følgen (1/2)^n-- 1/2, 1/4, 1/8 osv, det er en følge som vil passe inn i denne differenslikningen. 00:09:06.300 --> 00:09:13.600 Alle løsningene er da på denne formen, ved å velge forskjellige verdier for C og D, 00:09:13.600 --> 00:09:16.700 uendelig mange løsninger. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:09:16.700 --> 00:09:25.200 Dette er den generelle løsningen. Det neste vi nå skal gjøre, er å se på tilfellet der den karakteristiske ligningen 00:09:25.200 --> 00:09:39.300 til en andre ordens differenslikning har en reell rot, for eksempel ligningen xn+2 - 2xn+1 + xn = 0. 00:09:39.300 --> 00:09:49.600 Den karakteristiske ligningen til denne andre ordens differenslikningen er r^2-2r. 00:09:49.600 --> 00:09:56.300 Vi plukker ut koeffisientene og her står det da 1, lik 0. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:09:56.300 --> 00:10:00.550 Dette kjenner vi igjen som et fullstendig kvadrat. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:10:00.550 --> 00:10:13.100 Det er (r-1)^2. Eventuelt kan vi også bruke abc-formelen og se at vi får roten 1. 00:10:13.100 --> 00:10:20.500 Hvis vi kaller roten for r1. I dette tilfellet så får vi 1. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:10:20.500 --> 00:10:30.600 Når vi har kun en rot i den karakteristiske ligningen, så viser det seg at den generelle formelen 00:10:30.600 --> 00:10:44.800 for løsningene til en sånn type ligning er på formen et lineært ledd ganger r^n, NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:10:44.800 --> 00:10:54.000 der r1 er denne roten som vi bare har én av i den karakteristiske ligningen. Istedenfor å ha 00:10:54.000 --> 00:11:04.150 bare konstanter ganger r1, så får vi da også et ledd der vi har gått opp en grad, nemlig til n ganger en konstant, NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:11:04.150 --> 00:11:14.400 som vi kan skrive ut på formen Cr1^n + nDr1^n. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:11:16.300 --> 00:11:29.600 Hvis vi bruker det i dette tilfellet, så ser vi at vi får 1 for r1, for 1^n = 1. 00:11:29.600 --> 00:11:42.300 Vi får løsninger på formen konstanter pluss n ganger D, der C og D kan være hva som helst. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:11:42.500 --> 00:11:52.500 For eksempel kan D=0. Da har vi konstante løsninger. Vi ser at konstante følger passer inn her. 00:11:52.500 --> 00:12:01.800 Hvis vi har en konstant, -2 ganger denne konstanten, pluss konstanten igjen så får vi alltid 0. 00:12:01.800 --> 00:12:05.000 Konstante følger oppfyller denne. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:12:05.000 --> 00:12:14.700 Hvis C=0 og kanskje D=1, så får vi følgen n. Hvis vi starter med 1, så vil det være følgen 1, 2, 3, 4, osv, 00:12:14.700 --> 00:12:29.900 så de naturlige tallene. Denne følgen av tall vil også passe inn her. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:12:29.900 --> 00:12:39.300 Har dere tenkt på det? At naturlige tall kan karakteriseres ved at, hvis vi tar et naturlig tall og trekker fra 00:12:39.300 --> 00:12:47.200 2 ganger det foregående tallet, og plusser på det foregående der igjen, så får vi alltid 0. 00:12:47.200 --> 00:12:59.500 F.eks. 3 - (2*2) = -4. Så 3-4 = -1+1 = 0. Det gjelder for alle naturlige tall av tre etterfølgende naturlige tall, 00:12:59.500 --> 00:13:05.500 så vil denne sammenhengen alltid være oppfylt. 00:13:05.500 --> 00:13:13.849 En differenslikning er en måte å karakterisere tallfølger på, for det er tallfølgen som er den ukjente. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:13:13.849 --> 00:13:22.000 Bare legg merke til det, at når vi har det generelle tilfellet der vi har en reell rot 00:13:22.000 --> 00:13:30.300 i den karakteristiske ligningen, så kan vi få med r^n i tillegg. I dette tilfellet så er r=1, så da får vi ikke r^n. 00:13:30.300 --> 00:13:34.150 Men generelt så vil r^n følge med NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:13:34.150 --> 00:13:44.500 i begge disse leddene når den karakteristiske ligningen har en reell rot. 00:13:44.500 --> 00:13:50.300 Da er det et tilfelle som gjenstår, nemlig når vi har komplekse løsninger av den andregradslikningen som er 00:13:50.300 --> 00:13:52.349 den karakteristiske ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:13:52.349 --> 00:14:01.700 Vi ser fortsatt på andre ordens lineære homogene differenslikninger, som altså er på formen 00:14:01.700 --> 00:14:15.600 xn+2 + bxn+1 + cxn = 0. Vi løser disse ved å sette opp den karakteristiske ligningen. 00:14:15.600 --> 00:14:21.300 Nå har vi kommet til det tredje og siste tilfellet vi kan ha for løsninger til denne andregradslikningen, 00:14:21.300 --> 00:14:35.800 nemlig at vi får to komplekse løsninger. Det kan jo bli litt interessant, fordi nå starter vi altså 00:14:35.800 --> 00:14:40.200 med en differenslikning der b og c er reelle tall. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:14:40.200 --> 00:14:49.200 Så begynner vi å løse denne, og så dukker det opp komplekse tall. Vi kan kalle røttene vi får 00:14:49.200 --> 00:14:57.900 for r1 og r1 konjugert, fordi disse røttene som opptrer i dette tilfellet vil være konjugerte av 00:14:57.900 --> 00:14:59.500 hverandre. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:14:59.600 --> 00:15:08.900 Da viser det seg at det faktisk finnes en reell form for løsningene til denne ligningen. Selv om vi trenger 00:15:08.900 --> 00:15:15.200 komplekse tall underveis, så finnes det en reell form på løsningene. For å finne det, så trenger vi polarformen 00:15:15.200 --> 00:15:27.200 til disse røttene. Vi kan godt bruke r1, og da finner vi polarformen til dette tallet, 00:15:27.200 --> 00:15:35.400 nemlig modulusen, og et argument for dette komplekse tallet. Når vi har funnet det, 00:15:35.400 --> 00:15:44.900 så viser det seg at den reelle formen til løsningene til differenslikningen er konstanter ganger modulusen i n-te. 00:15:44.900 --> 00:16:00.300 cosinus til n ganger argumentet, pluss konstanter ganger et sinusledd. C og D er reelle tall. NOTE Treffsikkerhet: 72% (MEDIUM) 00:16:00.300 --> 00:16:08.700 Det er derfor vi sier at dette er den reelle formen for løsningene. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:16:08.700 --> 00:16:15.500 Denne formelen skal vi i første rekke bruke, men vi ser at nå blir det jo veldig interessante tallfølger vi får ut. 00:16:15.500 --> 00:16:22.900 Vi starter med denne sammenhengen, og i det tilfellet når denne karakteristiske ligningen 00:16:22.900 --> 00:16:32.000 har komplekse røtter, så får vi inn cosinus og sinus i tallfølgen. La oss se et eksempel 00:16:32.000 --> 00:16:33.550 på hvordan vi bruker denne formelen. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:16:33.550 --> 00:16:46.700 Vi kan se på ligningen xn+2 - 2xn+1 + 2xn = 0. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:16:46.700 --> 00:16:54.099 Den har karakteristisk likning r^2-2r+2=0. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:16:54.099 --> 00:17:07.700 Vi kan løse denne ved abc-formelen. (-b +/- (roten av b^2 - 4ac)) / 2a, 00:17:07.700 --> 00:17:17.200 som er (2 +/- roten av -4) / 2. Vi vet at når vi får noe negativt under rottegnet, 00:17:17.200 --> 00:17:22.750 så erstatter vi dette nå med i*roten av 4. Roten av 4, det er 2. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:17:22.750 --> 00:17:35.000 Vi får (2 +/- i*2) / 2. Da kan vi faktorisere ut 2 og forkorte 2, så vi får igjen 00:17:35.000 --> 00:17:40.100 løsningene 1 +/- i. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:17:40.100 --> 00:17:46.000 Da ser vi også at vi får kompleks konjugerte løsninger. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:17:46.000 --> 00:17:53.600 For å bruke løsningsformelen for å løse differenslikningen som er det vi skal løse, 00:17:53.600 --> 00:18:03.000 så må vi finne polarformen til dette tallet. Da finner vi ro (modulusen) ved å ta realdelen i annen 00:18:03.000 --> 00:18:12.100 pluss imaginærdelen i annen og ta kvadratroten av det. Det er Pythagoras, så det blir (roten av 1 + 1) 00:18:12.100 --> 00:18:13.500 som er roten av 2. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:18:15.100 --> 00:18:26.600 For å finne argumentet, så tar vi realdelen og deler på modulusen. 00:18:26.600 --> 00:18:39.700 cos theta er 1 / roten av 2. sinus, da bruker vi imaginærdelen, som også blir 1 / roten av 2, 00:18:39.700 --> 00:18:47.100 som vi for øvrig vet er roten av 2 / 2, ved å gange med roten av 2 både oppe og nede. NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:18:49.100 --> 00:18:54.449 Fra dette så kan vi da finne theta. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:18:54.449 --> 00:19:02.500 Både cosinus og sinus er positive, så vi er i 1. kvadrant. I tillegg er cosinus og sinus like, 00:19:02.500 --> 00:19:07.400 og da er det vinkelen pi/4 vi er ute etter. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:19:10.500 --> 00:19:20.200 Da ser vi at vi har fått skaffet oss ro og theta. Da kan vi sette inn i formelen 00:19:20.200 --> 00:19:29.200 og finne løsningene til denne differenslikningen. Da kan vi skrive opp løsningene under her. 00:19:29.200 --> 00:19:41.800 Vi setter inn roten av 2 for ro, og så får vi cos (n*pi/4). Det tilsvarende leddet for sinus. 00:19:41.800 --> 00:19:51.949 (roten av 2)^n * sin (n*pi/4). NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:19:51.949 --> 00:20:00.900 Nå fikk vi akkurat plass. C og D er fortsatt reelle tall. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:20:01.000 --> 00:20:09.900 Vi får cosinuser og sinuser, og de går litt opp og ned. I dette tilfellet får vi da tallfølger 00:20:09.900 --> 00:20:17.800 der leddene vil hoppe litt opp og ned. Det viser seg å være ganske spennende tallfølger. 00:20:17.800 --> 00:20:24.400 Så vi er ganske glad i dette tilfellet her, når vi får komplekse løsninger av den karakteristiske 00:20:24.400 --> 00:20:26.200 ligningen.