WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:10.900 Vi skal nå se hvordan vi kan løse andre ordens lineære inhomogene differenslikninger. 00:00:10.900 --> 00:00:13.200 Det skal vi gjøre ved et eksempel. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:13.200 --> 00:00:20.800 Her har vi en slik ligning. Den er av andre orden, fordi vi kan regne ut leddene i følgen 00:00:20.800 --> 00:00:29.400 ved å bruke to foregående ledd. Den er inhomogen, fordi når vi flytter alt som har med leddene i følgen å gjøre 00:00:29.400 --> 00:00:35.400 over på venstre side i ligningen, så står det noe som er forskjellig fra 0 her. 00:00:35.400 --> 00:00:43.400 Den er også lineær, fordi vi har lineære ledd i forbindelse med tallfølgens ledd. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:00:43.400 --> 00:00:53.700 I tillegg så har vi gitt betingelser x0 og x1. x0 er -5/7, 00:00:53.700 --> 00:00:59.700 og det første leddet er 9/7. Hvordan fortsetter denne tallfølgen? NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:00:59.700 --> 00:01:12.900 x2 kan vi regne ut ved å sette n=0. Da får vi at x2 = 3x1, som vi vet, +3x0 som vi vet. 00:01:12.900 --> 00:01:20.600 Det skal da være lik 0 faktisk, fordi vi setter inn n=0. Da kan vi finne x2, og så kan vi bruke 00:01:20.600 --> 00:01:24.150 x1 og x2 til å finne x3 osv. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:01:24.150 --> 00:01:31.100 Men vi vil nå løse denne ligningen, sånn at vi får et uttrykk for xn. Da kan vi bare sette inn 00:01:31.100 --> 00:01:38.300 en verdi for n, hvis vi skulle ønske å finne leddene i denne tallfølgen. Det er altså bare 00:01:38.300 --> 00:01:45.750 en eneste tallfølge i verden som oppfyller dette som står her nå. Den skal vi finne. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:01:45.750 --> 00:01:55.100 Siden den er inhomogen, så begynner vi med å finne de homogene løsningene. Vi ser på den 00:01:55.100 --> 00:02:08.900 homogene versjonen av denne ligningen. Det betyr at vi setter 0 her. Så setter vi da på en h, 00:02:08.900 --> 00:02:12.600 for å markere at vi ser på den homogene versjonen. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:02:14.400 --> 00:02:20.200 For å løse disse, så vet vi at vi skal se på den karakteristiske ligningen, der vi trekker ut 00:02:20.200 --> 00:02:31.200 koeffisientene fra differenslikningen. Det gir andregradslikningen r^2+3r+3=0. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:02:31.200 --> 00:02:34.050 Da må vi løse denne. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:02:34.050 --> 00:02:47.600 Hvis vi gjør det, så kan vi da bruke abc-formelen. (-b +/- (roten av b^2 - 4ac)) / 2 00:02:47.600 --> 00:03:00.900 gir oss løsninger (-3 +/- roten av -3) / 2. -3 erstatter vi med i*roten av 3. 00:03:00.900 --> 00:03:11.100 Vi får komplekse løsninger (-3 +/ i*roten av 3) / 2. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:03:11.200 --> 00:03:20.600 For å finne løsningene til denne homogene ligningen, så trenger vi da polarformen 00:03:20.600 --> 00:03:26.600 til dette komplekse tallet. Vi velger pluss, (-3 + i*roten av 3) / 2. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:03:27.000 --> 00:03:39.900 Så da ser vi på tallet r1. Det er den ene roten. Den andre roten er 00:03:39.900 --> 00:03:44.900 den kompleks konjugerte, så vi pleier å velge oss den som har pluss. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:03:44.900 --> 00:03:52.400 Polarformen, da trenger vi å regne ut modulusen og argumentet til dette tallet. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:03:52.400 --> 00:04:06.400 Modulusen får vi ved å bruke Pythagoras. Da har vi (-3/2)^2 + (roten av 3/2)^2, 00:04:06.400 --> 00:04:11.350 og så tar vi roten av det. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:04:11.350 --> 00:04:25.400 Da blir det litt regning. 9/4 + 3/4, roten av det blir roten av 12/4, som er roten av 3. 00:04:25.400 --> 00:04:37.200 Avstanden fra origo ut til dette komplekse tallet er roten av 3. Og så trenger vi vinkelen, 00:04:37.200 --> 00:04:44.900 som da ligger i første omløp. Vinkelen som dette tallet danner med den positive førsteaksen. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:04:44.900 --> 00:04:55.400 Denne vinkelen finner vi ved å bruke realdelen og imaginærdelen hver for seg, 00:04:55.400 --> 00:05:08.800 og finner cosinus og sinus først. cosinus er realdelen, som er -3/2, delt på modulusen. 00:05:08.800 --> 00:05:10.750 Skal rydde littegrann opp i dette her. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:05:10.750 --> 00:05:17.400 Hvis vi ganger med roten av 3 oppe og nede, NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:05:17.400 --> 00:05:26.300 så får vi 3 nede i nevneren. Så har vi et 3-tall oppe, da kan det 3-tallet forkortes mot 3 der. 00:05:26.300 --> 00:05:42.000 Så står vi igjen med -roten av 3/2. sinus er imaginærdelen. Roten av 3/2 delt på modulusen. 00:05:42.000 --> 00:05:52.100 Da kan vi forkorte roten av 3, og så står vi igjen med 1/2, fordi det står alltid 1 her når vi forkorter. 00:05:52.100 --> 00:05:53.300 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:05:55.200 --> 00:06:04.300 Vinkelen i første omløp som har cosinus -roten av 3/2 og sinus 1/2, den kan vi da finne. 00:06:04.300 --> 00:06:05.250 NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:06:05.250 --> 00:06:12.450 En mulig måte å gjøre det på, er å tenke hvilken vinkel er det som er i 1. kvadrant, NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:06:12.450 --> 00:06:16.950 som har disse verdiene roten av 3/2 og 1/2? NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:06:16.950 --> 00:06:22.100 Jo, cosinus roten av 3/2 og sinus 1/2, det er pi/6. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:06:22.100 --> 00:06:32.600 cosinus har blitt negativ, så vi har speilet dette punktet om y-aksen. Vi tegner en bitteliten 00:06:32.600 --> 00:06:34.000 figur her nede. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:06:34.000 --> 00:06:48.300 Hvis pi/6 ligger her, så leser vi av cosinus til vinkelen på x-aksen og sinus på y-aksen. 00:06:48.300 --> 00:06:55.100 Så skal cosinus være negativ. Det betyr at vi skal se på vinkelen her borte. Og sinus skal være den samme. 00:06:55.100 --> 00:07:07.200 Da får vi denne vinkelen vi er ute etter. Dette er pi - pi/6, fordi vi har speilet pi/6. 00:07:07.200 --> 00:07:17.700 Uansett hvordan vi tenker på det, så får vi vinkelen 5pi/6. Da har vi det vi trenger 00:07:17.700 --> 00:07:24.600 for å sette opp de homogene løsningene til ligningen vi holder på med. Da kan vi gjøre det 00:07:24.600 --> 00:07:34.250 helt nederst her. De homogene løsningene blir da, ved å bruke løsningsformelen, NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:34.250 --> 00:07:48.100 konstanter ganger (roten av 3)^n. cos til n ganger vinkelen, 5pi/6. Så får vi et tilsvarende sinusledd. 00:07:48.100 --> 00:08:04.800 Modulusen i n-te, og sin til n*5pi/6. C og D er reelle tall. 00:08:04.800 --> 00:08:13.000 Dette er den reelle formen til løsningene til denne ligningen. Det neste nå blir å finne en spesiell løsning, 00:08:13.000 --> 00:08:18.100 for det er den inhomogene ligningen vi holder på med å løse. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:08:18.100 --> 00:08:28.900 Vi er i ferd med å finne den eneste løsningen av dette problemet. Ligningen som står her, 00:08:28.900 --> 00:08:39.299 xn+2 + 3xn+1 + 3xn = 7n. I tillegg så skal x0 være -5/7 og x1 være 9/7. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:08:39.299 --> 00:08:49.100 Hvis vi setter 0 inn her, så får vi da løsningene av den homogene ligningen, gitt i form av 00:08:49.100 --> 00:08:59.800 cosinuser og sinuser. Vi trenger nå en spesiell løsning for å finne alle løsningene til den inhomogene ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:08:59.800 --> 00:09:08.100 Da gjetter vi at denne spesielle løsningen er på samme form som dette uttrykket vi har her. 00:09:08.100 --> 00:09:22.900 Det er er lineært ledd, så vi gjetter at en spesiell løsning er på formen An+B. Dette er et generelt lineært ledd, 00:09:22.900 --> 00:09:26.050 og dette er et lineært ledd. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:09:26.050 --> 00:09:34.700 Så setter vi inn i ligningen, og ser om vi kan da finne A og B, sånn at dette her er en følge 00:09:34.700 --> 00:09:36.400 som passer inn i ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:09:36.400 --> 00:09:55.600 Da setter vi opp ligningen. Vi setter inn An+B for leddene. Det n+2-leddet blir 00:09:55.600 --> 00:10:11.300 A(n+2)+B. Så skal vi ha 3 ganger det n+1-leddet, og det er A(n+1)+B. 00:10:11.300 --> 00:10:19.150 Så skal vi ha det n-te leddet 3(An+B). NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:10:19.150 --> 00:10:29.200 Da har vi satt inn An+B i ligningen, og så skal dette her da være lik 7n. Vi rydder opp 00:10:29.200 --> 00:10:31.900 i dette før vi setter lik 7n. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:10:31.900 --> 00:10:55.500 Vi får nå An + 2A + B + 3An + 3A + 3B + 3An + 3B. 00:10:55.500 --> 00:11:00.500 NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:11:02.400 --> 00:11:16.400 Så samler vi leddene littegrann også. An + 3An + 3An = 7An. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:11:16.400 --> 00:11:34.950 Så har vi 2A + 3A = 5A. Så er det B + 3B + 3B = 7B. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:11:34.950 --> 00:11:45.600 Det er uttrykket vi får hvis An+B skal passe inn på venstre side i ligningen. Dette skal da være lik 7n, 00:11:45.600 --> 00:11:49.900 hvis det skal passe inn i ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:11:50.700 --> 00:12:01.300 Da skal dette uttrykket være lik uttrykket 7n. Da sammenligner vi n-leddene og konstantleddene. 00:12:01.300 --> 00:12:13.400 Konstantleddene her er 0. Det gir at 7A, som står foran n her borte, skal være lik 7. 00:12:13.400 --> 00:12:22.800 7A skal være lik 7. 5A+7B skal være lik 0. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:12:24.500 --> 00:12:30.700 Da får vi et lite ligningssystem i A og B. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:12:30.700 --> 00:12:43.200 Ut fra dette, ser vi først at A=1. Hvis vi setter inn her, så får vi da 5. 00:12:43.200 --> 00:12:51.800 Det betyr at 7B er -5, så B=-5/7. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:12:52.300 --> 00:13:07.600 Det betyr at en spesiell løsning er følgen som heter 1 for A, det blir 1*n, -5/7. 00:13:07.600 --> 00:13:12.950 Denne følgen passer inn i ligningen vår. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:13:12.950 --> 00:13:22.800 Alle løsninger til denne ligningen får vi ved å ta denne løsningen og plusse på alle de homogene, 00:13:22.800 --> 00:13:29.400 som vil gi oss en generell løsning. Så kan vi finne en spesiell ved å sette inn disse betingelsene. 00:13:29.400 --> 00:13:37.900 Det skal vi også gjøre. Da er vi i gang med å løse denne inhomogene ligningen. 00:13:37.900 --> 00:13:45.400 Vi har funnet de homogene løsningene og nettopp funnet en spesiell løsning. Da får vi generell løsning 00:13:45.400 --> 00:14:02.900 av likningen vår ved å plusse sammen disse to løsningene. Da setter vi opp det først. Da får vi 00:14:02.900 --> 00:14:06.000 de homogene løsningene, NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:14:06.500 --> 00:14:18.300 (og en n der), pluss en spesiell løsning. C og D kan fortsatt være hva som helst, som betyr at vi har 00:14:18.300 --> 00:14:25.100 funnet uendelig mange løsninger. Men vi har funnet de tallfølgene som oppfyller ligningen her oppe. 00:14:25.100 --> 00:14:34.400 Nå skal vi, blant alle disse, plukke ut den eneste tallfølgen som da starter med x0=-5/7 00:14:34.400 --> 00:14:44.800 og x1=9/7. Da får vi finne verdier for C og D, og da har vi ikke noe valg lenger. 00:14:44.800 --> 00:14:49.600 Da står vi igjen med en eneste tallfølge. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:14:49.600 --> 00:15:00.500 Da setter vi inn x0 først. Da ser vi at vi skal ha cosinus til 0 når vi setter inn n=0. 00:15:00.500 --> 00:15:08.800 cos 0 = 1. (Roten av 3)^0 er 1, det betyr at dette leddet bare blir C. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:15:08.800 --> 00:15:19.100 Her skal vi ha sin 0 = 0, så dette leddet faller bort. n=0 blir 0. Så står vi igjen med -5/7. 00:15:19.100 --> 00:15:22.599 NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:15:22.599 --> 00:15:31.100 Dette leddet skal være -5/7, som betyr at C=0. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:15:33.300 --> 00:15:45.600 Da har vi funnet C. Så bruker vi x1 for å finne D. Da skal vi sette inn 1 for n. Da får vi cos 5pi/6, 00:15:45.600 --> 00:15:59.400 det er -roten av 3/2. Her har vi roten av 3-- men C=0, NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:16:00.800 --> 00:16:04.099 så vi trenger ikke å ta med det leddet. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:16:04.099 --> 00:16:13.800 Da kan vi gå hit, så slipper vi å ta med disse tingene som står her. Da får vi sin 5pi/6 = 1/2. 00:16:13.800 --> 00:16:24.400 Så har vi (roten av 3)^1, og så har vi en D. Vi har D*roten av 3*1/2. 00:16:24.400 --> 00:16:32.600 Så har vi 1, og så har vi -5/7. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:16:32.600 --> 00:16:37.300 Dette skal være lik 9/7. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:16:39.100 --> 00:16:50.400 Da må vi rydde litt. Her står det 7/7 - 5/7, det er 2/7. Flytter vi det over, 00:16:50.400 --> 00:17:00.700 får vi 9/7 - 2/7 = 1. Da får vi roten av 3/2D = 1. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:17:00.700 --> 00:17:09.900 Vi ganger opp med 2 og deler på roten av 3. D = 2/roten av 3. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:17:10.000 --> 00:17:21.099 Da har vi funnet C=0 og D=2/roten av 3. Da kan vi sette inn her, og så finner vi 00:17:21.099 --> 00:17:24.550 endelig løsningen på dette problemet. NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:17:24.550 --> 00:17:43.200 C=0, D=2/roten av 3. (Roten av 3)^n. sin (5pi/6*n) + n-5/7. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:17:43.400 --> 00:17:54.100 Så står den roten av 3 her nede som vi kan godt ta inn her. Det betyr at vi får n-1*roten av 3. 00:17:54.100 --> 00:18:05.000 Vi forkorter 1*roten av 3. Da slipper vi brøk. Så får vi 2*roten av 3^n-1. 00:18:05.000 --> 00:18:24.200 sin (5pi/6*n) + n-5/7. Da er vi i mål. Da har vi løst en andre ordens 00:18:24.200 --> 00:18:34.300 lineær inhomogen differenslikning med initialbetingelser. Husk også at når vi da får komplekse løsninger 00:18:34.300 --> 00:18:43.200 i den karakteristiske ligningen, så trenger vi polarformen til det komplekse tallet for å sette inn 00:18:43.200 --> 00:18:44.300 i løsningsformelen til NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:18:44.300 --> 00:18:51.900 de homogene løsningene. Men her er løsningen av den inhomogene ligningen.