WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:11.400 Vi skal nå snakke om begrepet antiderivasjon. Det handler om å derivere baklengs. 00:00:11.400 --> 00:00:19.100 Vi starter med forandringene til en funksjon, og så prøver vi å finne funksjonen. Hvis vi er gitt 00:00:19.100 --> 00:00:26.900 en funksjon f, kan vi tenke på at dette da forteller oss noen forandringer til en annen funksjon 00:00:26.900 --> 00:00:37.200 som vi ønsker å finne. Med andre ord ønsker vi å finne F, slik at når vi deriverer F så får vi 00:00:37.200 --> 00:00:40.800 funksjonsuttrykket for f. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:00:40.800 --> 00:00:47.200 Da må vi etterhvert ta utgangspunkt i derivasjonsreglene og prøve å utnytte de baklengs. 00:00:47.200 --> 00:00:51.400 Da er det veldig greit å være veldig god på å derivere. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:00:51.900 --> 00:01:04.800 For det første så vet vi at vi har konstante funksjoner. Når vi deriverer dem, så får vi 0. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:01:04.800 --> 00:01:11.900 Vi vet også at når vi deriverer en sum, så kan vi derivere ledd for ledd. 00:01:11.900 --> 00:01:13.950 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:13.950 --> 00:01:23.000 Det kan vi nå utnytte. Når vi har funnet en sånn F som er slik at når vi deriverer, så får vi f. 00:01:23.000 --> 00:01:34.000 Så kan vi faktisk ta F og så kan vi plusse på konstanter. Hvis vi deriverer 00:01:34.000 --> 00:01:44.700 denne nye funksjonen nå, så deriverer vi leddvis. Så vet vi altså at konstante funksjoner 00:01:44.700 --> 00:01:51.100 er akkurat de funksjonene som har den deriverte lik 0. Dette er bare F'(x) 00:01:51.100 --> 00:01:55.700 som skal være f. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:01:56.100 --> 00:02:03.400 Det betyr at hvis vi har funnet en F som er sånn at når vi deriverer så får vi f, 00:02:03.400 --> 00:02:09.400 så kan vi få uendelig mange funksjoner som er sånn at når vi deriverer så får vi f, 00:02:09.400 --> 00:02:13.200 bare ved å ta F og legge til konstante funksjoner. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:02:13.300 --> 00:02:26.400 F kalles en antiderivert til f. F(x)+C er en generell antiderivert til f. 00:02:26.400 --> 00:02:27.300 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:02:27.300 --> 00:02:33.600 Dette kan vi skrive med matematikksymboler. Da skriver jeg opp symbolene først, og så skal jeg 00:02:33.600 --> 00:02:53.100 forklare etterpå. Her står det nå integralet av f(x) er lik F(x) + C. 00:02:53.100 --> 00:03:02.300 Dette er et integraltegn. Her er det et funksjonsuttrykk. Dette kalles differensialet til x, og dette er altså lik 00:03:02.300 --> 00:03:20.000 en generell antiderivert til f. Dette er det ubestemte integralet av f. Her kalles f en integrand. 00:03:20.000 --> 00:03:25.000 Dette er da en generell antiderivert til f. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:03:26.800 --> 00:03:40.000 Det at integralet er det samme som å antiderivere, at vi kan løse ut integralet 00:03:40.000 --> 00:03:46.200 ved å antiderivere, det er et dypt matematisk resultat som kalles analysens fundamentalteorem. 00:03:46.200 --> 00:03:53.500 Det skal vi bruke i første rekke ved å konsentrere oss om skrivemåten. 00:03:53.500 --> 00:03:59.700 Vi trekker ut skrivemåten fra dette resultatet, og så konsentrerer vi oss om operasjonen å antiderivere. 00:03:59.700 --> 00:04:07.800 Vi bruker integraltegnet når vi jobber med antiderivasjon. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:04:08.100 --> 00:04:19.100 Da kan vi starte å finne antideriverte til ulike funksjoner. Vi kan begynne med potensfunksjonene. 00:04:19.100 --> 00:04:30.600 x^r og så ser vi på integralet av slike funksjoner, når r er forskjellig fra -1. 00:04:30.600 --> 00:04:34.700 NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:04:36.200 --> 00:04:45.000 Når vi deriverer slike funksjoner, så flytter vi jo eksponenten ned foran og så trekker vi fra 1 i eksponenten. 00:04:45.000 --> 00:04:46.500 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:04:46.500 --> 00:04:53.600 Hvis vi skal tenke baklengs, fordi vi skal få en funksjon som er sånn at når vi deriverer, 00:04:53.600 --> 00:05:04.700 så får vi tilbake en potensfunksjon med r i eksponenten. Da må vi gå 1 opp i eksponenten. 00:05:04.700 --> 00:05:12.900 Når vi deriverer tilbake, så vil jo den her flyttes fram hit. Det betyr at det må stå 1/r+1 foran. 00:05:12.900 --> 00:05:20.000 Når vi deriverer nå, så kommer r+1 ned hit som vi kan forkorte mot r+1, da står det 1 igjen. 00:05:20.000 --> 00:05:28.750 Så går vi 1 ned i eksponenten, og da får vi x^r. Så kan vi plusse på C. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:05:28.750 --> 00:05:40.300 Da ser vi hvordan vi kan antiderivere potensfunksjoner. Da kan vi jo ta et eksempel. 00:05:40.300 --> 00:05:45.500 Vi kan starte med å integrere differensialet til x. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:05:45.500 --> 00:05:50.800 Da står det 1 her. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:05:51.000 --> 00:06:02.400 1 er det samme som x^0. Da kan vi godt bruke denne regelen her. Da skal vi gå 1 opp i eksponenten, 00:06:02.400 --> 00:06:19.600 og så kommer det da 1 ned foran. Dette blir nå x + C. Hvis vi deriverer tilbake, 00:06:19.600 --> 00:06:27.800 vi deriverer x, så får vi 1 (stigningstallet til denne lineære funksjonen), og konstantene forsvinner. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:06:28.900 --> 00:06:42.700 Så kan vi integrere tredjeroten av x ved hjelp av denne regelen. Tredjeroten av x har vi da skrivemåten 00:06:42.700 --> 00:06:48.900 at det er x^1/3, for den skrivemåten passer veldig godt med potensregler. 00:06:48.900 --> 00:07:02.600 Da kan vi bruke denne regelen her igjen. Vi går 1 opp i eksponenten, så vi får x^1/3+1, 00:07:02.600 --> 00:07:07.500 det er 4/3. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:07:07.500 --> 00:07:18.900 Foran her skal det stå 1 / 4/3. Det er 3/4. Da snur vi bare brøken. 00:07:18.900 --> 00:07:26.100 Når vi da deriverer tilbake, så kommer 4/3 ned. Vi kan forkorte 4/3 mot 3/4 og få 1. 00:07:26.100 --> 00:07:38.600 Så står det 1*x^1/3 når vi går 1 ned i eksponenten. 00:07:38.600 --> 00:07:46.700 Da ser vi hvordan vi kan bruke regelen for potensfunksjoner. Så kan vi ta med helt nederst i hjørnet. 00:07:46.700 --> 00:07:54.100 Hva skjer når r=-1? Her har vi antatt at r er forskjellig fra -1. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:54.500 --> 00:08:05.600 Integralet av x^-1 er altså integralet av 1/x. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:08:06.300 --> 00:08:16.600 Det skal vi da kjenne igjen som den deriverte til ln(x), og vi må sette på absoluttverdi 00:08:16.600 --> 00:08:24.800 fordi ln kun er definert for positive x. I tillegg så er x forskjellig fra 0, så x er ekte positiv. 00:08:24.800 --> 00:08:29.000 Og så pluss konstanter. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:08:29.000 --> 00:08:38.200 Da har vi integrert x^-1. Så skal vi se på enda flere derivasjonsregler 00:08:38.200 --> 00:08:42.100 for å få enda flere regler for antiderivering. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:08:42.400 --> 00:08:54.600 Vi er i ferd med å antiderivere. Vi har gitt f(x) og er på jakt etter F(x)-er slik at F'(x) = f(x). 00:08:54.600 --> 00:09:02.900 Det kan vi skrive ved at vi er i ferd med å integrere f(x). 00:09:02.900 --> 00:09:14.000 Det er en F(x) som er slik at F'(x) er f(x), pluss konstante funksjoner. 00:09:14.000 --> 00:09:20.900 Dette her er utgangspunktet vårt. Dette gjør at vi skal utnytte derivasjonsregler baklengs 00:09:20.900 --> 00:09:33.000 for å finne integralet av ulike funksjoner. For eksempel kan vi ta med integralet av e^x. 00:09:33.000 --> 00:09:41.150 Hvilke funksjoner er det som er slik, at når vi deriverer funksjonene, så får vi e^x? NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:09:41.150 --> 00:09:51.600 Jo, vi vet at når vi deriverer e^x, så får vi e^x. Vi kan bare ta e^x og plusse på C. 00:09:51.600 --> 00:09:54.900 Det er alle de antideriverte funksjonene til e^x. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:09:56.200 --> 00:10:11.500 Så tar vi med integralet til sinus. Det vil være -cos x + C. 00:10:11.500 --> 00:10:16.000 Integralet av cosinus er sin x. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:10:18.100 --> 00:10:25.750 Dette er da fordi når vi deriverer cosinus, så får vi -sinus. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:10:25.750 --> 00:10:29.250 NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:10:29.250 --> 00:10:39.700 Hvis vi tegner en tegning, bare i området fra 0 til pi/2, så starter cosinus i 1 00:10:39.700 --> 00:10:42.000 og så går den nedover til pi/2, NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:10:42.000 --> 00:10:55.300 og så fortsetter den. sinus starter nede, og så går oppover. Her er sinus. I dette området 00:10:55.300 --> 00:11:02.200 er både sinus og cosinus positive. Utgangspunktet vårt er at de skal være deriverte av hverandre 00:11:02.200 --> 00:11:10.800 med pluss eller minus. Siden cosinus avtar først, så vil den deriverte være negativ. 00:11:10.800 --> 00:11:18.700 Den deriverte av cosinus blir -sinus. Det er derfor vi får minus her. Når vi deriverer tilbake, 00:11:18.700 --> 00:11:27.800 så får vi -cosinus. Mens den deriverte av sinus-- sinus øker først, hvor cosinus er positiv. 00:11:27.800 --> 00:11:31.300 Den deriverte av sinus er cosinus. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:11:35.300 --> 00:11:42.700 Ved hjelp av disse reglene og noen av de andre som vi skrev opp, så kan vi nå antiderivere mange funksjoner. 00:11:42.700 --> 00:11:51.100 I tillegg har vi regler at når vi antideriverer en sum eller en differanse, så er det det samme som 00:11:51.100 --> 00:11:58.900 å antiderivere ledd for ledd. Når vi deriverer en funksjon som er ganget med et tall, 00:11:58.900 --> 00:12:02.900 så kan vi sette dette tallet utenfor og antiderivere funksjonen. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:12:02.900 --> 00:12:19.700 Da går vi et lite skritt videre og ser på funksjoner som er sammensatte, der vi da begynner 00:12:19.700 --> 00:12:29.200 å sette inn en lineær funksjon istedenfor bare variabelen x. Nå setter vi sammen funksjonen vår 00:12:29.200 --> 00:12:39.700 med en lineær funksjon. Hva skjer når vi deriverer F med hensyn på ax+b, hvis F'(x) = f(x)? NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:12:39.700 --> 00:12:52.800 Da har vi kjerneregelen som sier at det vil være f med hensyn på den samme variabelen, ax+b, 00:12:52.800 --> 00:13:00.600 ganget den deriverte av kjernen. Siden vi har noe lineært her, så er den deriverte av kjernen a. 00:13:00.600 --> 00:13:04.400 Vi må gange med a. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:13:04.900 --> 00:13:18.000 Dette kan vi da igjen utnytte når vi skal integrere funksjoner som er sammensatt der kjernen er 00:13:18.000 --> 00:13:26.550 en lineær funksjon, siden integralet av f er F. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:13:26.550 --> 00:13:37.200 F' = f. Da vil dette her blir 1/a, siden vi har ganget med a her oppe. 00:13:37.200 --> 00:13:49.500 Ganger F(ax+b), og så pluss konstanter. Når vi deriverer tilbake igjen nå, så skal vi derivere F 00:13:49.500 --> 00:13:59.400 med hensyn på ax+b, og da får vi a*f. Da vil a forkortes mot 1/a, og vi står igjen 00:13:59.400 --> 00:14:04.750 med det vi ønsket å integrere, f(ax+b). NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:14:04.750 --> 00:14:16.400 Nå har vi utnyttet kjerneregelen baklengs i det tilfellet hvor variabelen er lineær. 00:14:16.400 --> 00:14:25.950 La oss se på noen eksempler. Denne regelen kan vi for eksempel bruke i dette tilfellet. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:14:25.950 --> 00:14:36.700 Nå har vi en funksjon som er sammensatt av en eksponentialfunksjon e^x, og en lineær funksjon 2x. 00:14:36.700 --> 00:14:41.750 Det står ikke x i variabelen, men det står 2x. Den er en sammensatt funksjon. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:14:41.750 --> 00:14:54.100 Da er kjernen 2x, den deriverte av kjernen er 2. Det betyr at når vi integrerer så får vi 1/2, 00:14:54.100 --> 00:15:03.400 og så får vi e^2x. Når vi integrerer e^x, så er det fortsatt e^x. Vi skal beholde 00:15:03.400 --> 00:15:06.100 variabelen i funksjonen. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:15:06.100 --> 00:15:17.000 Vi ser når vi deriverer tilbake, så får vi 1/2*e^2x ganger den deriverte av kjernen som er 2, 00:15:17.000 --> 00:15:21.850 som vil forkortelse mot 1/2. Så står vi igjen med det vi ville integrere. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:15:21.850 --> 00:15:27.400 Da har vi funnet de antideriverte til e^2x. NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:15:27.600 --> 00:15:36.700 Vi tar et eksempel til. Integrere cos(x+2). NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:15:37.300 --> 00:15:46.800 Det er også en sammensatt funksjon av cos x, og funksjonen x+2 som er lineær. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:15:47.600 --> 00:15:57.800 Denne lineære funksjonen har derivert lik 1, fordi det står 1 foran x-en. Når vi skal integrere denne, 00:15:57.800 --> 00:16:06.200 vil det være å integrere cos med hensyn på denne variabelen x+2. Integrerte av cos er sin. 00:16:06.200 --> 00:16:15.800 Dette blir sin(x+2). Så må vi huske på kjernen og ta 1 delt på den deriverte av kjernen. 00:16:15.800 --> 00:16:24.450 Men den var jo 1, så det blir bare 1 her. Når vi har plusset på konstanter, så er vi ferdig. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:16:24.450 --> 00:16:30.000 Her står de antideriverte til cos(x+2). NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:16:30.200 --> 00:16:45.800 Så tar vi enda et eksempel. Hvis vi ønsker å antiderivere 3 / 4x+1, så kan vi tenke på det 00:16:45.800 --> 00:16:54.600 som den sammensatte funksjonen av 1/x. Dette 3-tallet kan vi godt sette helt utenfor. 00:16:54.600 --> 00:17:03.900 Det er funksjonen 1/x. Så er det 4x+1 som er en variabel i funksjonen 1/x. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:17:04.200 --> 00:17:16.099 Den integrerte av 1/x, det var ln(x). Det betyr at når vi setter 3-tallet bare utenfor, 00:17:16.099 --> 00:17:25.949 får vi ln til variabelen 4x+1, og så har vi en kjerne 4x+1. NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:17:25.949 --> 00:17:32.700 Den deriverte til den er 4, så vi må dele på 4 NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:17:32.800 --> 00:17:46.800 og plusse på C. Vi skal bare skrive det bittelitt penere. 3/4*ln(4x+1) + C. 00:17:46.800 --> 00:17:53.300 Husk alltid å sette på absoluttverdi når vi integrerer og får ln, fordi ln bare er definert 00:17:53.300 --> 00:17:55.800 for positive verdier. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:17:57.200 --> 00:18:06.900 Da har vi sett hvordan vi kan utnytte denne regelen. Det betyr at når kjernen er en lineær funksjon, 00:18:06.900 --> 00:18:13.100 så vil den deriverte bare være et ekstra tall. Det klarer vi å forholde oss til 00:18:13.100 --> 00:18:20.100 ved å bare huske å dele på dette tallet. I disse tilfellene så er det lurt å bare dobbeltsjekke at man har regnet riktig 00:18:20.100 --> 00:18:26.500 ved å derivere tilbake. Da skal man få integranden som står her borte. 00:18:26.500 --> 00:18:27.800