WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:11.400 Vi skal nå ta for oss noen antiderivasjonsteknikker. Det betyr at vi skal derivere baklengs. 00:00:11.400 --> 00:00:18.500 Utgangspunktet vårt er at vi har en funksjon, og vi ønsker å finne en funksjon 00:00:18.500 --> 00:00:29.650 slik at når vi deriverer, så får vi denne funksjonen tilbake. Vi ønsker oss F-er, slik at den deriverte er lik f. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:29.650 --> 00:00:39.000 Det kan vi da skrive ved hjelp av integrasjonstegn. Vi skal integrere f. Hvis vi finner en F, 00:00:39.000 --> 00:00:48.100 kan vi legge på konstanter og få alle de antideriverte funksjonene til f. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:48.100 --> 00:00:56.900 Vi skal nå utnytte noen av derivasjonsreglene for å finne teknikker for å antiderivere. 00:00:56.900 --> 00:01:04.599 En derivasjonsregel som er veldig fin, er kjerneregelen. Det handler om sammensatte funksjoner. 00:01:04.599 --> 00:01:15.100 Hvis jeg har en sammensatt funksjon. Hvis jeg tenker meg at F har g som variabel, 00:01:15.100 --> 00:01:18.050 og deriverer den. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:01:18.050 --> 00:01:28.200 Så sier kjerneregelen at det blir da f, fordi f skal være funksjonen slik at når vi deriverer F 00:01:28.200 --> 00:01:39.200 så får vi f. Vi får f(g(x)), vi beholder g som variabel. Så må vi huske å derivere kjernen, 00:01:39.200 --> 00:01:46.900 som er g. Vi må gange med den deriverte av g. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:01:47.100 --> 00:02:06.200 Dette kan vi utnytte baklengs. Hvis vi nå skal regne ut integralet av f(g(x)) * g'(x), 00:02:06.200 --> 00:02:14.500 så vil det bli F(g(x)), pluss konstanter som vi alltid får. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:02:15.600 --> 00:02:24.500 Da handler det mye om å kunne gjenkjenne integranden som f sammensatt av en funksjon, 00:02:24.500 --> 00:02:28.100 der vi i tillegg har den deriverte av kjernen. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:02:28.100 --> 00:02:36.200 Hvis denne funksjonen bare er lineær, så vil den deriverte her bare bli et tall, og da kan vi klare 00:02:36.200 --> 00:02:41.700 å manipulere dette tallet, kanskje til og med i hodet etterhvert når vi blir gode på å regne med antiderivering. 00:02:41.700 --> 00:02:50.800 Hvis denne kjernen er litt mer avansert enn bare en lineær funksjon, så må vi bruke 00:02:50.800 --> 00:03:03.400 teknikken som kalles substitusjon. Det skal vi da se på nå. Substitusjon utnytter da kjerneregelen baklengs, 00:03:03.400 --> 00:03:15.600 og er en teknikk for å antiderivere en god del uttrykk. For eksempel, hvis vi ønsker 00:03:15.600 --> 00:03:20.000 å integrere funksjonen xe^(x^2). NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:03:20.000 --> 00:03:28.300 Det første vi gjør når vi skal antiderivere eller integrere en funksjon, er å tenke hva slags funksjon er dette. 00:03:28.300 --> 00:03:34.900 Da tenker jeg på, er det en sammensatt funksjon, er det produkt, osv. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:03:34.900 --> 00:03:42.300 Særlig produkt og sammensatt funksjon er viktig. Her har vi begge deler. Her har vi et produkt av x 00:03:42.300 --> 00:03:52.950 og e^(x^2). I tillegg så er e^(x^2) en sammensatt funksjon av e^x og funksjonen x^2. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:03:52.950 --> 00:04:04.600 Da er det at vi kan ta en titt på denne regelen. Vi har en sammensatt funksjonen f(g(x)), 00:04:04.600 --> 00:04:15.800 g er x^2 og f er e^x. I tillegg så har vi nesten den deriverte til kjernen. 00:04:15.800 --> 00:04:24.100 Den deriverte til g, som er x^2, er 2x. x-en står her, og det er x-en som er viktig. 00:04:24.100 --> 00:04:27.950 Det 2-tallet kan vi alltid manipulere oss fram til. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:04:27.950 --> 00:04:39.700 Teknikken går nå ut på å substituere kjernen. Vi innfører en ny variabel for kjernen g. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:04:39.800 --> 00:04:44.299 I dette tilfellet så er g da x^2. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:04:44.299 --> 00:04:51.600 Så deriverer vi denne, fordi vi ønsker å finne differensialet til u, fordi vi skal nå gå 00:04:51.600 --> 00:04:59.100 over fra variabelen x til variabelen u. Det betyr at vi må få differensialet til u, så vi skal integrere 00:04:59.100 --> 00:05:10.850 med hensyn på u. Dette gir nå at differensialet til u blir 2x dx ved å derivere på begge sider. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:05:10.850 --> 00:05:23.100 Da har vi denne lille boksen. Det betyr at x dx som står her i integralet vårt-- ved å dele på 2 00:05:23.100 --> 00:05:29.600 på begge sider, skal erstattes med 1/2 du. 1/2 du = x dx. 00:05:29.600 --> 00:05:46.500 Vi substituerer inn i integralet. 1/2, som vi godt kan sette helt utenfor integraltegnet 00:05:46.500 --> 00:06:00.000 hvis vi ønsker. x^2=u, e^u. x dx skal erstattes med 1/2 du. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:06:00.500 --> 00:06:09.500 Da ser vi at vi har fått et enklere integral. Det er poenget med denne teknikken, at vi får 00:06:09.500 --> 00:06:19.850 et integral som vi kjenner igjen og kan løse. Integralet av e^u er e^u, pluss konstanter. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:06:19.850 --> 00:06:26.500 Så må vi bare huske på å bytte tilbake til variabelen x, for det er den vi startet med. 00:06:26.500 --> 00:06:35.200 Så da setter vi inn igjen. e^(x^2) + C, og så er vi ferdig. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:06:36.700 --> 00:06:44.700 Når vi deriverer tilbake igjen, det kan vi alltid gjøre som en sjekk, 00:06:44.700 --> 00:06:48.200 da skal vi få tilbake xe^(x^2). NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:06:48.200 --> 00:06:55.800 Det var litt om teknikken substitusjon. Så skal vi se litt på noen andre teknikker. 00:06:55.800 --> 00:07:03.200 Vi skal nå utnytte produktregelen for derivasjon baklengs for å få en ny antiderivasjonsteknikk 00:07:03.200 --> 00:07:11.300 som kalles delvis integrasjon. Utgangspunktet er at vi skal derivere et produkt. Bare for å minne om produktregelen. 00:07:11.300 --> 00:07:20.300 Da beholder vi første funksjon, og så deriverer vi den andre. Så deriverer vi 00:07:20.300 --> 00:07:23.300 den første funksjonen, og beholder den andre. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:07:23.300 --> 00:07:31.700 Hvis vi integrerer på begge sider, så integrerer vi på venstre side. 00:07:31.700 --> 00:07:39.400 Da vil derivasjonstegnet forsvinne, og vi står igjen med uv. Så får vi integralet av uv' 00:07:39.400 --> 00:07:47.700 pluss integralet av u'v. Nå har vi brukt en veldig forkortet skrivemåte. u og v er funksjoner 00:07:47.700 --> 00:07:54.700 som avhenger av x, og her står det differensialet til x. Dette er integraler med hensyn på 00:07:54.700 --> 00:07:56.500 variabelen x. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:07:56.500 --> 00:08:04.900 Men nå kan vi da få en formel for et av disse integralene. Vi kan velge oss ut dette. 00:08:04.900 --> 00:08:14.000 Hvis vi flytter det andre integralet over hit, så får vi en formel ved å snu sidene. 00:08:14.000 --> 00:08:27.300 Integralet av uv' er lik uv minus integralet av u'v. 00:08:27.300 --> 00:08:30.400 Dette er formelen for delvis integrasjon. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:08:30.800 --> 00:08:40.400 Denne fungerer veldig fint når vi skal integrere et produkt. Så må vi da tenke oss litt om hva 00:08:40.400 --> 00:08:47.400 vi skal kalle for u og v'. Så setter vi altså inn i denne formen. Poenget bør være 00:08:47.400 --> 00:08:54.800 at dette integralet blir enklere å løse enn dette integralet her. Hvis u og v' 00:08:54.800 --> 00:09:01.500 blir erstattet av u' og v, så får vi et enklere integral forhåpentligvis. La oss se på et eksempel. 00:09:01.500 --> 00:09:08.600 Vi vil integrere xe^2x. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:09:08.700 --> 00:09:20.400 Her har vi et produkt av to funksjoner, x og e^2x. Funksjonen e^2x er sammensatt, men kjernen er lineær, 00:09:20.400 --> 00:09:28.500 som betyr at den deriverte er et tall. I denne situasjonen vil det være veldig fint 00:09:28.500 --> 00:09:37.000 å bruke delvis integrasjon, som vi nå skal se. Da må vi bestemme oss hva skal være u og hva skal være v'. 00:09:37.000 --> 00:09:38.350 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:09:38.350 --> 00:09:47.400 Hvis vi velger u=x, så ser vi at da blir u'=1, noe enklere. Hvis vi velger u=e^2x, 00:09:47.400 --> 00:09:56.700 så får vi forsåvidt ikke noe nytt. Vi får fortsatt e^2x. Poenget er at hvis vi velger v'=x, 00:09:56.700 --> 00:10:04.600 så vil v=1/2x^2, som er noe mer avansert. Vi vil helst forenkle mest mulig. 00:10:04.600 --> 00:10:16.600 Derfor velger vi u=x og v'=e^2x. Så regner vi ut u'=1. 00:10:16.600 --> 00:10:24.200 v skal være en antiderivert til e^2x. Siden kjernen er lineær og har derivert lik 2, 00:10:24.200 --> 00:10:35.100 får vi en antiderivert ved å dele på 2 (den deriverte av kjernen), ganger e^2x siden den integrerte av e^x er e^x. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:10:36.200 --> 00:10:44.400 Da kan vi sette inn i formelen for delvis integrasjon. Når vi har satt opp på denne måten med u og v' 00:10:44.400 --> 00:10:53.600 under hverandre, og u' og v under hverandre, så får vi alltid at produktet uv blir x * 1/2e^2x, 00:10:53.600 --> 00:11:04.900 på en måte diagonalen i denne boksen. Det blir 1/2xe^2x. 00:11:04.900 --> 00:11:13.300 Så skal vi trekke fra produktet av disse funksjonene som står i denne kolonnen, 1*1/2e^2x. 00:11:13.300 --> 00:11:19.100 Det blir minus integralet av 1/2e^2x. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:11:20.000 --> 00:11:28.500 Da har vi delvis integrert. Det betyr at vi er ikke ferdig, for vi har fortsatt et integral igjen. 00:11:28.500 --> 00:11:31.800 Men dette er enklere enn det vi startet med. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:11:31.800 --> 00:11:39.500 Når vi antideriverer dette, så ser vi at vi har 1/2 som vi får med oss. Så har vi en kjerne 2x 00:11:39.500 --> 00:11:46.300 med derivert lik 2, så vi må dele på 2 en gang til når vi antideriverer. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:11:46.700 --> 00:11:59.400 Da får vi 1/2xe^2x, og så antideriverer vi. Det blir 1/2*1/2 = 1/4e^2x + C. 00:11:59.400 --> 00:12:11.400 Da er vi ferdig, så da setter vi på integrasjonskonstanter. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:12:11.400 --> 00:12:21.000 Hvis vi har tid, så kan vi nå derivere dette uttrykket tilbake. Da skal vi få igjen xe^2x. 00:12:21.000 --> 00:12:28.450 Nå har vi sett hvordan vi kan utnytte produktregelen baklengs for å regne ut en del integraler. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:12:28.450 --> 00:12:34.900 Vi skal nå se på en teknikk som kalles delbrøksoppspalting. Det er en teknikk som kanskje ikke 00:12:34.900 --> 00:12:40.700 kommer direkte fra å ta en derivasjonsregel baklengs, men vi skal bruke teknikkene baklengs for det. 00:12:40.700 --> 00:12:52.700 Denne teknikken handler om å løse følgende integraler, det er noen brøker involvert. 00:12:52.700 --> 00:13:06.600 Vi skal se på følgende integral. 1 delt på et produkt av to lineære faktorer. Hvordan kan vi løse slike integraler? 00:13:06.600 --> 00:13:21.900 Det skal jeg gjøre på et eksempel. Vi ser på integralet 1 / (2x+3)(1-x). 00:13:21.900 --> 00:13:23.500 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:13:24.300 --> 00:13:34.800 Teknikken delbrøksoppspalting går ut på å spalte opp denne brøken. Nå jobber vi baklengs, 00:13:34.800 --> 00:13:41.400 for nå har vi allerede satt brøken på en fellesnevner. Nå tar vi hver av faktorene 00:13:41.400 --> 00:13:46.599 og lager en brøk der hver av faktorene er en nevner. Nå jobber vi oss tilbake i brøkregning. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:13:46.599 --> 00:13:58.600 Vi lager en kladdeboks her borte. Vi vil nå skrive brøken ved hjelp av hver av faktorene 00:13:58.600 --> 00:14:14.200 i nevnerne, som nevnere hver for seg. Da ønsker vi å finne tall A og B, slik at vi kan spalte opp 00:14:14.200 --> 00:14:16.950 brøken på denne måten. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:14:16.950 --> 00:14:29.400 For å finne A og B, så setter vi denne tilbake på fellesnevner. Da må vi gange A med (1-x) 00:14:29.400 --> 00:14:42.300 og B må ganges med den andre nevneren. Så får vi tilbake fellesnevneren. For at disse to bøkene skal være like, 00:14:42.300 --> 00:14:59.000 så må tellerne være like. Så ganger vi ut. 1 = A*1 - Ax + 2Bx + 3B. 00:14:59.000 --> 00:15:00.500 NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:15:00.500 --> 00:15:04.400 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:15:04.400 --> 00:15:14.800 Da har vi noen konstantledd her, A og 3B. Så har vi noen x-ledd, -Ax og 2Bx. På andre sida har vi ingen x-ledd, 00:15:14.800 --> 00:15:22.300 bare et konstantledd. Det betyr at koeffisientene som står foran x, som er -A+2B, må være 0. 00:15:22.300 --> 00:15:38.500 Så må konstantleddene A og 3B være lik konstantleddene på venstre side. 00:15:38.500 --> 00:15:42.550 Da får vi et lite likningssystem. NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:15:42.550 --> 00:15:53.100 Siden det står -A og A der, så legger vi rett og slett disse ligningene sammen og får 5B=1, 00:15:53.100 --> 00:15:58.900 som betyr at B=1/5. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:16:01.200 --> 00:16:12.200 Hvis B=1/5, så får vi 2/5 her. Det betyr at -A=-2/5. 00:16:12.200 --> 00:16:16.200 Så A=2/5. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:16:16.200 --> 00:16:25.200 Da har vi funnet A og B, sånn at vi klarer å spalte opp den brøken som vi ønsker å integrere. 00:16:25.200 --> 00:16:28.500 Vi setter det inn i integralet vårt. NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:16:29.900 --> 00:16:47.200 Da får vi A, som er 2/5. Vi får 2/5 delt på den første faktoren. Så får vi B, 00:16:47.200 --> 00:16:51.100 som er 1/5, delt på den andre faktoren. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:16:57.800 --> 00:17:08.700 Da har vi kommet et veldig godt stykke på vei, fordi nå kjenner vi igjen disse her som da sammensatt funksjon. 00:17:08.700 --> 00:17:14.900 Vi har et tall, men vi kan tenke oss at det er funksjonen 1/x, der vi har satt inn 00:17:14.900 --> 00:17:24.400 funksjonen 2x+3 for x som jo er lineær. Denne her skal vi da klare å integrere, 00:17:24.400 --> 00:17:30.200 sammen med den også, ved hjelp av ln. Da trenger vi bare litt mer tavleplass først. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:17:30.400 --> 00:17:40.900 Da har vi spaltet opp integranden, og gått fra et produkt i nevner til en sum av brøker. 00:17:40.900 --> 00:17:52.500 Vi kan fortsette å sette disse tallene som står i telleren utenfor, og integrere leddvis. 00:17:52.500 --> 00:18:04.500 Vi får 2/5 integralet av (1 / 2x+3) + 1/5 integralet av (1 / 1-x). NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:18:05.300 --> 00:18:19.600 Integralet av 1 / 2x+3 kan vi da integrere som 1/x, og så da sette inn kjernen 2x+3. 00:18:19.600 --> 00:18:27.200 Den deriverte av 2x+3 er 2, og det betyr at vi får en faktor 1/2 når vi antideriverer dette her som 1/x 00:18:27.200 --> 00:18:42.300 og bruker ln. Vi får 2/5*1/2*ln(2x+3). Når vi deriverer tilbake, 00:18:42.300 --> 00:18:51.500 får vi 1 / 2x+3, og så ganger den deriverte av kjernen 2, som da forsvinner mot det 2-tallet. 00:18:51.500 --> 00:18:55.750 Vi står igjen med 2/5 som vi skal ha med oss. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:18:55.750 --> 00:19:08.300 Så gjør vi tilsvarende her. 1/5 beholder vi. Så antideriverer vi 1 / 1-x. Den er satt sammen av 1/x 00:19:08.300 --> 00:19:18.900 og kjernen 1-x. Den deriverte av denne kjernen er -1, som står foran x. 00:19:18.900 --> 00:19:27.500 Vi får ganget -1 og ln(1-x), pluss konstanter. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:19:27.900 --> 00:19:45.100 Da kan vi bare rydde littegrann. Da får vi 1/5 både her og her, med minus foran. 00:19:45.100 --> 00:19:50.699 -1/5*ln(1-x) + C. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:19:50.699 --> 00:19:57.900 Til slutt kan vi bruke regneregler for ln til å få dette til å se enda penere ut. Vi kan sette 1/5 helt foran. 00:19:57.900 --> 00:20:10.900 Da står det igjen ln(2x+3) - ln(1-x). Ved hjelp av regneregler 00:20:10.900 --> 00:20:19.700 for logaritmer, så er det ln til brøken 2x+3 / 1-x. NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:20:20.700 --> 00:20:26.400 Det blir et pent svar. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:20:26.800 --> 00:20:35.900 Hvis man har lyst, så kan man nå derivere dette tilbake igjen. Da skal du faktisk få brøken 00:20:35.900 --> 00:20:40.800 1 / (2x+3)(1-x). NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:20:41.700 --> 00:20:57.200 Da skal vi til slutt se på et eksempel til. Vi skal nå integrere funksjonen x*ln(x^2). 00:20:57.200 --> 00:21:05.500 Da kan det være greit å se litt ekstra på integranden først. Hva slags funksjon er dette? Det er et produkt 00:21:05.500 --> 00:21:13.400 av x og ln(x^2). I tillegg er også ln(x^2) sammensatt. Den er satt sammen av x^2 og ln(x). 00:21:13.400 --> 00:21:20.150 Det som er kanskje enda viktigere, er at kjernen er ikke lineær. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:21:20.150 --> 00:21:27.400 Når kjernen ikke er lineær, så tenker vi substitusjon. Vi ønsker å substituere kjernen. 00:21:27.400 --> 00:21:35.300 Da må vi bare sjekke at den deriverte til kjernen, hvertfall opp til en konstant, finnes i integranden. 00:21:35.300 --> 00:21:43.650 Det gjør den i dette tilfellet, fordi den deriverte av x^2 er 2x, og x står her. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:21:43.650 --> 00:21:48.500 Da prøver vi oss med å substituere kjernen x^2. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:21:48.900 --> 00:21:59.300 Så deriverer vi for å få differensialet til u. Det betyr altså at denne x-en dukker opp, som sto her. 00:21:59.300 --> 00:22:11.900 x dx skal da erstattes av 1/2 du. Så kan vi da substituere inn dette og få et integral i u. 00:22:11.900 --> 00:22:24.600 Da får vi 1/2. x dx skal erstattes av 1/2 du. Så får vi integralet av ln(u) du. 00:22:24.600 --> 00:22:26.450 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:22:26.450 --> 00:22:32.400 u vil nå være positiv, fordi u er x^2, som er noe positivt. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:22:32.400 --> 00:22:39.300 Da har vi kommet et lite stykke videre. Så må vi integrere ln(u). NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:22:39.300 --> 00:22:46.900 Det betyr at vi skal finne en funksjon, som er sånn at når vi deriverer den funksjonen, så får vi ln(u). NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:22:46.900 --> 00:22:55.200 Det vet vi ikke helt umiddelbart, hvilken funksjon som gjør det. Det betyr at vi må gjøre noe. 00:22:55.200 --> 00:23:03.400 Vi må bruke en teknikk for å komme videre nå. Da kan vi jo kanskje prøve substitusjon en gang til... 00:23:03.400 --> 00:23:12.200 det går kanskje ikke. Delvis integrasjon er en mulighet, 00:23:12.200 --> 00:23:14.050 men da trenger vi et produkt. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:23:14.050 --> 00:23:22.850 Her står det bare ln(u), så kanskje vi ikke har et produkt. Eller kanskje vi har det allikevel. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:23:22.850 --> 00:23:35.600 Fordi vi kan alltid gange med 1. 1*ln(u) står det her. 1*ln(u) er ln(u), og da har vi 00:23:35.600 --> 00:23:43.200 fått oss et produkt. Da kan vi bruke delvis integrasjon og komme videre. Da kan vi nå kalle 00:23:43.200 --> 00:23:52.400 funksjonene i delvis integrasjonsformelen for s og t, siden vi har brukt u. Vi må velge noe for s, 00:23:52.400 --> 00:23:54.750 og noe for t'. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:23:54.750 --> 00:23:58.100 Hvis vi velger s=1, NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:23:58.100 --> 00:24:06.800 da blir t'=ln(u). Det betyr at da skal vi integrere ln(u), og det er det vi prøver å gjøre. 00:24:06.800 --> 00:24:16.000 Da bør vi helst velge s=ln(u), for da kan vi derivere ln(u). Da blir t'=1. NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:24:16.000 --> 00:24:27.900 Da får vi s' = 1/u. t blir da lik antiderivert av 1 med hensyn på u, blir u. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:24:28.600 --> 00:24:39.400 Da kan vi sette inn i formelen for delvis integrasjon. Da har vi 1/2 helt utenfor. 00:24:39.400 --> 00:24:54.000 Så har vi produktet av s og t, det er u*ln(u). Så skal vi ta minus integralet av dette produktet, u*1/u, som blir 1. 00:24:54.000 --> 00:24:57.700 Da får vi integralet av 1. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:24:58.000 --> 00:25:08.100 Da har vi delvis integrert og fått et enklere integral enn det vi startet med. Vi får nå 1/2(u*ln(u)) 00:25:08.100 --> 00:25:19.600 minus integralet av 1, det er u. Så blir det +C, fordi nå er vi ferdig med å integrere. 00:25:19.600 --> 00:25:22.250 Da kommer integrasjonskonstanten med. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:25:22.250 --> 00:25:36.500 Da kan vi gange inn 1/2. -1/2u, og så får vi 1/2C men det kaller vi bare fortsatt for C. 00:25:36.500 --> 00:25:43.500 C skal bare være en vilkårlig konstant. Hvis vi ganger den med 1/2, så får vi 00:25:43.500 --> 00:25:49.100 fortsatt en vilkårlig konstant. Vi pleier gjerne å kalle den for det samme. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:25:49.300 --> 00:25:58.900 Så må vi bare huske helt til slutt å putte inn x^2 for u igjen, fordi det er x vi ønsker 00:25:58.900 --> 00:26:01.150 å integrere med hensyn på. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:26:01.150 --> 00:26:12.800 Da får vi 1/2x^2*ln(x^2) - 1/2x^2 + C. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:26:15.500 --> 00:26:26.900 Da kan vi sjekke at vi har regnet riktig ved å derivere tilbake. Da skal vi få igjen x*ln(x^2). 00:26:26.900 --> 00:26:35.100 Nå ser vi at det er ofte vi må kombinere integrasjonteknikker eller antiderivasjonsteknikker 00:26:35.100 --> 00:26:39.600 når vi skal løse ulike integraler. Da gjelder det å være litt kreativ.