WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:12.000 Vi skal nå snakke litt om første ordens lineære difflikninger, eller differensiallikninger, 00:00:12.000 --> 00:00:19.300 der den ukjente er en kontinuerlig funksjon, i motsetning til differenslikninger, der den ukjente 00:00:19.300 --> 00:00:27.300 er en tallfølge, en diskret funksjon. Men nå skal vi fokusere på difflikninger, og vi skal starte med likninger 00:00:27.300 --> 00:00:41.500 på formen y' + f(x)y = g(x). Her er da den ukjente funksjonen y 00:00:41.500 --> 00:00:51.000 som varierer med x. Så har vi to kjente funksjoner, f og g. I tillegg har vi ofte oppgitt et punkt 00:00:51.000 --> 00:00:59.400 som vi ønsker at den ukjente funksjonen skal gå gjennom. Dette er da en første ordens difflikning 00:00:59.400 --> 00:00:59.900 NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:00:59.900 --> 00:01:05.099 fordi vi har kun den førstederiverte og ikke høyere ordens deriverte. Så har vi en sammenheng 00:01:05.099 --> 00:01:15.600 mellom den førstederiverte og funksjonen. Sammenhengen er gitt ved at y' + (det er viktig), f(x)y skal være lik 00:01:15.600 --> 00:01:17.949 en annen gitt funksjon. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:01:17.949 --> 00:01:22.550 Spørsmålet er nå, hvordan løser vi disse? NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:01:22.550 --> 00:01:30.100 Det betyr at vi skal finne y. Da må vi, på en eller annen måte, kvitte oss med y'. Vi skal stå igjen med y er lik. 00:01:30.100 --> 00:01:37.500 Men siden det står pluss her, så kan vi ikke bare integrere umiddelbart på denne siden. 00:01:37.500 --> 00:01:45.000 Hvis f er forskjellig fra 0, så står det y'+y. Da blir vi ikke kvitt y' 00:01:45.000 --> 00:01:51.200 hvis vi prøver å integrere middelbart. Vi må gjøre noe med ligningen for å komme videre mot 00:01:51.200 --> 00:01:52.100 en løsning. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:01:52.100 --> 00:02:01.000 Det vi da gjør, er at vi tar tak i denne funksjonen som står foran y og jobber videre med den. 00:02:01.000 --> 00:02:12.500 La oss ta et eksempel hvor vi bruker denne teknikken. Vi ønsker å løse 2y'+y=x. 00:02:12.500 --> 00:02:20.700 Så ønsker vi at denne funksjonen skal gå gjennom origo, så y(0)=0. 00:02:20.700 --> 00:02:24.200 Hvilken funksjon er det som er sånn? NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:02:24.200 --> 00:02:28.649 Det første vi gjør, er å få den over på denne formen. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:02:28.649 --> 00:02:35.200 Det betyr at vi må dele med 2, fordi vi ønsker at det skal stå 1 foran y'. 00:02:35.200 --> 00:02:40.000 Da får vi y'+1/2y=1/2x. NOTE Treffsikkerhet: 63% (MEDIUM) 00:02:40.100 --> 00:02:50.900 I dette tilfellet så er f lik 1/2, og g er 1/2x. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:02:51.000 --> 00:03:00.400 Teknikken for å løse likninger på denne formen går ut på å antiderivere f. 00:03:00.400 --> 00:03:08.900 Da gjør vi det. Vi finner en antiderivert, 1/2x. Vi vet at vi også kan plusse på C-er 00:03:08.900 --> 00:03:14.900 og få flere antideriverte, men vi trenger kun en antiderivert. Vi tar den der konstanten er 0. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:03:15.500 --> 00:03:24.300 Vi må gjøre noe med ligningen. Det vi gjør, er at vi multipliserer hele ligningen med en funksjon 00:03:24.300 --> 00:03:36.700 som kalles den integrerende faktoren. Denne faktoren er e, grunntall i den naturlige logaritmen, 00:03:36.700 --> 00:03:43.500 opphøyd i 1/2x. Vi ganger ligningen med en eksponentialfunksjon. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:03:43.700 --> 00:03:56.500 Da gjør vi det. Da har vi ligningen vi jobber med, og ganger hele ligningen med e^1/2x. 00:03:56.500 --> 00:04:08.800 Vi får e^(1/2x)*y' + 1/2e^(1/2*x)*y = 1/2xe^1/2x. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:04:10.700 --> 00:04:18.500 Nå har vi ikke gjort noe galt med ligningen, vi har bare ganget med e^1/2x. 00:04:18.500 --> 00:04:25.100 Så kommer poenget, hvorfor har vi gjort det? For det første så ligger det litt i ordet integrerende faktor. 00:04:25.100 --> 00:04:32.300 Denne faktoren som vi ganger med, gjør oss faktisk i stand til å integrere som vi ønsker, 00:04:32.300 --> 00:04:34.500 for bli kvitt y'. NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:04:34.500 --> 00:04:36.800 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:04:36.800 --> 00:04:46.100 Nå har vi konstruert dette sånn, at vi kan kjenne igjen venstresiden som den deriverte av et produkt. 00:04:46.100 --> 00:04:57.200 Venstresiden er nå den deriverte av produktet av den integrerende faktoren og den ukjente funksjonen. 00:04:57.200 --> 00:05:03.500 Hvis vi deriverer tilbake, så skal vi beholde den første funksjonen og derivere den andre. 00:05:03.500 --> 00:05:10.200 Da får vi det første leddet på venstre side. Så skal vi derivere den første, da får vi 1/2e^1/2x 00:05:10.200 --> 00:05:17.500 ganger y som vi beholder, og da får vi det andre leddet. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:05:17.500 --> 00:05:24.600 Hvis vi tenker tilbake, så ser vi nå hvorfor vi tok utgangspunkt i f, 1/2. 00:05:24.600 --> 00:05:32.900 Det var for å kunne få gjenkjent venstresiden som dette produktet. Det vil skje hver gang. 00:05:32.900 --> 00:05:39.300 Teknikken for å løse denne type ligninger følger samme oppskrift. Vi gjenkjenner f, antideriverer den, 00:05:39.300 --> 00:05:47.400 integrerende faktor e opphøyd i denne antideriverte, multipliserer ligningen med denne, 00:05:47.400 --> 00:05:54.950 og gjenkjenner venstresiden som den deriverte av produktet mellom integrerende faktor og den ukjente funksjonen. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:05:54.950 --> 00:06:11.000 Så beholder vi bare høyresiden. Da har vi fått y i et produkt inni den deriverte, og da kan vi 00:06:11.000 --> 00:06:18.700 integrere på begge sider for å kvitte oss med derivasjonstegnet. Så klarer vi å finne hva y er til slutt. 00:06:18.700 --> 00:06:24.600 Hvis vi nå integrerer på begge sider, så betyr det at vi også må integrere denne siden. 00:06:24.600 --> 00:06:43.500 Da må vi kunne integrere dette uttrykket. Da har vi kommet så langt. Vi må nå integrere 1/2xe^1/2x. 00:06:43.500 --> 00:06:53.300 Dette er et produkt av funksjonen 1/2x og funksjonen e^1/2x. 00:06:53.300 --> 00:06:55.750 Funksjonen e^1/2x NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:06:55.750 --> 00:07:04.400 er en sammensatt funksjon. Den er satt sammen av e^x og den lineære funksjonen 1/2x. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:07:04.400 --> 00:07:11.600 Den deriverte av denne lineære funksjonen er da et tall, 1/2. 1/2 kan vi klare å få med oss 00:07:11.600 --> 00:07:17.400 når vi skal etterhvert antiderivere denne, ved å dele på 1/2. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:07:17.700 --> 00:07:25.100 Siden vi da bare har et tall som derivert i kjernen og vi har et produkt av to funksjoner, 00:07:25.100 --> 00:07:28.600 så prøver vi å løse dette her ved hjelp av delvis integrasjon. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:07:28.600 --> 00:07:39.900 Da setter vi opp u og v' i delvis integrasjonsformelen. Så må vi kalle den ene funksjonen 00:07:39.900 --> 00:07:44.500 for det ene, og den andre for det andre. Hvem skal være hva? NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:07:44.600 --> 00:07:54.500 u kan enten være 1/2x eller e^1/2x. Men siden vi skal derivere u, så passer det fint at 00:07:54.500 --> 00:08:01.600 vi kaller den for 1/2x, for da forsvinner x når vi deriverer u. Så får vi u'=1/2. 00:08:01.600 --> 00:08:13.600 Da blir v' e^1/2x. Det betyr at v er lik 1 / 1/2, som jeg nettopp sa. 00:08:13.600 --> 00:08:24.000 Det blir 2e^1/2x. Hver gang vi har en lineær kjerne, så kan vi ta oss av dette tallet 00:08:24.000 --> 00:08:30.100 som blir den deriverte, ved å få faktoren 1 delt på dette tallet foran. Når vi deriverer tilbake, 00:08:30.100 --> 00:08:33.599 så får vi e^1/2x. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:08:33.599 --> 00:08:46.200 Da setter vi dette inn i delvis integrasjonsformelen for å løse dette integralet. Da kan vi lage 00:08:46.200 --> 00:08:58.900 en sånn liten boks her nede, hvor vi prøver å regne ut integralet 1/2xe^1/2x. Ved å sette inn 00:08:58.900 --> 00:09:04.900 i formelen for delvis integrasjon får vi uv. Det blir 1/2 der og 2 der som går mot hverandre. 00:09:04.900 --> 00:09:14.200 Vi får xe^1/2x. Så blir det minus-- produktet av disse to skal vi integrere. 00:09:14.200 --> 00:09:20.100 1/2*2 forsvinner mot hverandre, og vi får integralet av e^1/2x. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:09:20.700 --> 00:09:30.300 Da har vi delvis integrert. Vi har redusert dette integralet til et enklere integral. Da må vi bare 00:09:30.300 --> 00:09:38.000 få litt bedre plass. Vi er nå i ferd med å løse dette integralet for å løse ligningen vår. 00:09:38.000 --> 00:09:45.300 Vi har da brukt delvis integrasjon og kommet ned til et delvis svar. Vi fortsetter regningene våre. 00:09:45.300 --> 00:09:55.300 Vi står igjen med xe^1/2x. Så skal vi integrere e^1/2x. 00:09:55.300 --> 00:10:05.000 Det blir 2e^1/2x, og så får vi +C. Vi legger på alle konstantene til slutt, 00:10:05.000 --> 00:10:08.450 fordi nå er vi ferdig med å integrere. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:10:08.450 --> 00:10:17.200 Da kan vi sette en liten slutt på denne rammen, og så går vi tilbake til ligningen vår. 00:10:17.200 --> 00:10:24.300 Nå kan vi sette inn dette integralet vi har regnet ut inn på høyre side i ligningen. 00:10:24.300 --> 00:10:36.800 Da er ligningen e^(1/2x)*y skal være lik integralet som vi regnet ut, xe^1/2x - 2e^1/2x + C. 00:10:36.800 --> 00:10:46.000 Disse konstantene som kommer fra integreringen gjør at vi kommer til å få 00:10:46.000 --> 00:10:52.500 uendelig mange løsninger. Hvis vi glemmer konstanten, så mister vi veldig mange løsninger. 00:10:52.500 --> 00:10:55.100 Den er veldig viktig å ha med. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:10:55.900 --> 00:11:06.700 Da kan vi finne y, det er y som er den ukjente i funksjonen vår. Et uttrykk for y får vi nå ved å dele på e^1/2x 00:11:06.700 --> 00:11:14.800 på høyresiden. Hvis vi deler på e^1/2x, står vi igjen med x. 00:11:14.800 --> 00:11:27.500 Her står vi igjen med -2. Så får vi da disse konstantene delt på e^1/2x. 00:11:27.500 --> 00:11:29.000 C er et hvilket som helst reelt tall. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:11:29.000 --> 00:11:38.800 Vi kan godt skrive dette ut en gang til og få det på en linje, ved å bruke skrivemåten e^-1/2x. 00:11:38.800 --> 00:11:52.500 Her er alle funksjoner som oppfyller denne ligningen, 2y'+y=x 00:11:52.500 --> 00:12:02.500 for disse funksjonene. Spesielt hvis C=0, så ser vi at funksjonen x-2, linjen gjennom -2 00:12:02.500 --> 00:12:08.800 og stigningstall 1, det er en funksjon som oppfyller denne ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:12:08.800 --> 00:12:17.800 Blant alle disse nå, så finnes det en eneste funksjon som går gjennom origo. Disse funksjonene her 00:12:17.800 --> 00:12:24.100 vil fylle planet når vi tar grafene til disse funksjonene. En av disse grafene vil gå gjennom origo, 00:12:24.100 --> 00:12:35.700 og den kan vi finne ved å sette inn i ligningen. Da setter vi inn y(0). 00:12:35.700 --> 00:12:51.300 Vi får 0 for x og vi får -2. y(0)=-2, og e^0=1 så der får vi C. Dette skal være lik 0. Det betyr at C=2. 00:12:51.300 --> 00:13:03.500 Dermed kan vi skrive løsningen på initialverdiproblemet vårt. Det er funksjonen x-2, 00:13:03.500 --> 00:13:09.150 og så var det 2 for C. Det blir +2e^-1/2x. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:13:09.150 --> 00:13:20.100 Altså en lineær funksjon pluss en eksponentialfunksjon er den funksjonen 00:13:20.100 --> 00:13:22.800 som oppfyller dette problemet.