WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:10.400 Vi skal nå se litt hvordan vi kan løse separable difflikninger. Separable difflikninger er 00:00:10.400 --> 00:00:21.100 likninger på formen en funksjon i den ukjente funksjonen som vi skal finne ganger y', 00:00:21.100 --> 00:00:31.150 lik en eller annen kjent funksjon i x. y er den ukjente funksjonen som varierer med x, og p og q er kjente funksjoner. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:31.150 --> 00:00:41.000 I tillegg har vi ofte gitt en betingelse i form av at vi vet et punkt som denne funksjonen går 00:00:41.000 --> 00:00:42.099 gjennom. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:00:42.099 --> 00:00:49.000 Vi ser også at separable difflikninger er automatisk første ordens, fordi vi bare har med 00:00:49.000 --> 00:00:50.500 den førstederiverte. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:50.800 --> 00:00:58.000 I tillegg ligger det litt i ordet separable likninger, 00:00:58.000 --> 00:01:04.000 at vi skal kunne separere alt som har med den ukjente funksjonen y å gjøre på venstresiden 00:01:04.000 --> 00:01:07.400 og alt som har med variabelen x å gjøre på høyresiden. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:01:07.400 --> 00:01:15.300 Når vi har gjort det, så ser vi at her har vi et produkt. Vi ønsker å finne y, og så har vi y' her. 00:01:15.300 --> 00:01:21.900 Da prøver vi å kvitte oss med den deriverte ved å integrere. Vi integrerer på begge sider. 00:01:21.900 --> 00:01:31.500 Da må vi integrere i utgangspunktet med hensyn på samme variabel. Da integrerer vi 00:01:31.500 --> 00:01:35.300 med hensyn på x på begge sider. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:37.200 --> 00:01:43.500 Så har vi da y-er på venstre side. På høyre side er det greit, for der har vi en funksjon i x 00:01:43.500 --> 00:01:52.500 og som skal integreres med hensyn på x. Her har vi jo en funksjon i y og y' dx. 00:01:52.500 --> 00:02:02.700 Da ser vi på uttrykket y' dx. Vi vet at y'(x), det er en annen skrivemåte for det. 00:02:02.700 --> 00:02:12.000 Nemlig dy/dx. Hvis vi erstatter y' med dy/dx, så kan vi tenke oss at vi forkorter symbolene dx, 00:02:12.000 --> 00:02:20.400 og står igjen med at dette her er dy. Her får vi at y' ganger differensialet til x, 00:02:20.400 --> 00:02:37.600 det er differensialet til y. Her får vi differensialet til y lik integralet av q(x) dx. 00:02:37.600 --> 00:02:37.950 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:02:37.950 --> 00:02:45.400 For å løse den ligningen, så har vi redusert det til å integrere denne funksjonen p(y) 00:02:45.400 --> 00:02:52.100 som sto foran y' med hensyn på y. Så integrerer vi funksjonen q(x) med hensyn på x. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:02:53.900 --> 00:03:08.400 Det er teknikken. Da kan vi vise den på et eksempel. Vi vil løse nå ligningen y'=y(1-y), 00:03:08.400 --> 00:03:18.250 og så vil vi gjerne at funksjonen går gjennom punktet (0, 1/2). Så y(0)=1/2. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:03:18.250 --> 00:03:26.900 Hvilke funksjoner passer inn her? Hvilken av disse funksjonene passer også inn der? NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:03:27.100 --> 00:03:35.000 Da ser vi at vi har en del y-ledd på høyresiden. Når vi ganger ut, så ser vi også at vi kommer til å få y^2. 00:03:35.000 --> 00:03:41.800 Dette er ikke lineære funksjoner, så det er noe separabelt over dette her. 00:03:41.800 --> 00:03:52.700 For å separere, så deler vi på y(1-y) på begge sider og står igjen med 1 på høyresiden. 00:03:52.700 --> 00:03:58.300 Når vi gjør det, så er det littegrann å passe på når vi løser separable likninger. Her deler vi altså på y(1-y), 00:03:58.300 --> 00:04:10.500 så da antar vi at y er forskjellig fra 0, og y er forskjellig fra 1. Vi ser ikke på 00:04:10.500 --> 00:04:16.399 den konstante funksjonen 0 eller den konstante funksjonen 1. Det er en grei antagelse 00:04:16.399 --> 00:04:22.900 fordi betingelsen vår sier at funksjonen skal gå gjennom 1/2 i punktet 0, og ingen av disse funksjonene 00:04:22.900 --> 00:04:24.850 oppfyller dette her. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:04:24.850 --> 00:04:30.650 Da antar vi dette. Da har vi ikke delt på 0, og så kan vi regne videre. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:04:30.650 --> 00:04:34.650 Da sier teknikken NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:04:34.650 --> 00:04:48.600 at vi skal integrere funksjonen som står foran y' og det er 1 / y(1-y) dy. 00:04:48.600 --> 00:04:52.100 På høyresiden skal vi da integrere med hensyn på x. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:04:54.300 --> 00:05:04.500 Da har vi redusert difflikningen til å løse to integraler. Dette integralet blir x pluss konstanter. 00:05:04.500 --> 00:05:12.200 Så var det dette integralet. Her har vi en rasjonal funksjon og vi har et produkt av to lineære funksjoner 00:05:12.200 --> 00:05:17.300 i nevneren. Da kan vi bruke delbrøksoppspalting. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:05:17.800 --> 00:05:31.000 Da skriver vi integranden som en sum ved å bruke hver av faktorene i denne fellesnevneren. 00:05:31.000 --> 00:05:41.900 Vi ønsker å skrive da 1 / y(1-y) som et tall delt på y, pluss en annen brøk 00:05:41.900 --> 00:05:43.200 med 1-y i nevneren. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:05:43.200 --> 00:05:51.900 Hva er A og B? Hvis vi finner A og B, så får vi redusert det å integrere 00:05:51.900 --> 00:05:58.400 dette uttrykket til å integrere hvert av disse. De er enklere å integrere. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:05:58.400 --> 00:06:13.000 For å finne A og B, så setter vi høyresiden igjen på fellesnevner. Da får vi A*1 - yA. 00:06:13.000 --> 00:06:18.049 Så ganger vi opp y med B og får yB. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:06:18.049 --> 00:06:35.900 Dette her er nå delbrøksoppspaltingsboksen vår. Disse to brøkene skal være like. Vi har samme nevner, 00:06:35.900 --> 00:06:42.400 så da kan vi sammenligne tellerne. I telleren er det en konstant på venstresiden, og på høyresiden 00:06:42.400 --> 00:06:52.600 så er det konstantledd og y-ledd. Da sammenligner vi konstantleddene som gir 1=A. 00:06:52.600 --> 00:06:59.300 Så sammenligner vi y-leddene. Her er det ingen y-ledd, så her blir det 0. Foran y på denne sida så står det -A+B. 00:06:59.300 --> 00:07:05.500 Da får vi et lite ligningssystem NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:07:05.500 --> 00:07:12.300 som sier at A=1. Hvis A=1, må B=1 for at denne ligningen skal være oppfylt. 00:07:12.300 --> 00:07:13.500 NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:07:16.900 --> 00:07:25.700 Da har vi funnet A og B, begge skal være 1. Da kan vi sette dette inn her for å løse integralet videre. 00:07:25.700 --> 00:07:26.700 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:26.700 --> 00:07:34.200 Vi er nå i ferd med å løse den separable ligningen som står der oppe, som faktisk er et typisk eksempel 00:07:34.200 --> 00:07:41.200 på logistisk vekst for øvrig. Vi har kommet til at vi har separert ligningen, 00:07:41.200 --> 00:07:46.800 og vi holder på å regne ut integralene med hensyn på y på den ene sida og med hensyn på x på den andre siden. 00:07:46.800 --> 00:07:56.300 Nå har vi fått spaltet opp dette rasjonale uttrykket og funnet A=B=1, så da setter vi inn det. 00:07:56.300 --> 00:07:56.799 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:07:56.799 --> 00:08:11.700 Det betyr at integralet på venstresiden nå blir 1/y + 1/1-y. Det skal integreres med hensyn på y. 00:08:11.700 --> 00:08:19.900 Så skal vi integrere 1 med hensyn på x. Da har vi fått spaltet opp sånn at vi kan 00:08:19.900 --> 00:08:27.700 fortsette integreringen. Da kan vi integrere leddvis og vi tar 1/y først. Det blir ln til 00:08:27.700 --> 00:08:34.700 absoluttverdien til y. Setter på absoluttverdi for å sørge for at dette uttrykket er positivt. 00:08:34.700 --> 00:08:42.049 y er forskjellig fra 0, det antar vi. Så skal vi integrere 1/1-y. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:08:42.049 --> 00:08:50.700 Da har vi nesten 1/y, bare at vi da har satt inn 1-y i denne variabelen. 00:08:50.700 --> 00:08:58.200 Den deriverte av 1-y, det er -1. Det betyr at vi får et minustegn når vi integrerer. Så får vi ln(1-y). 00:08:58.200 --> 00:09:07.800 Da er vi ferdig med venstresiden og så tar vi høyre. Vi deriverer 1 med hensyn på x, og får x. 00:09:07.800 --> 00:09:16.200 Så slår vi sammen alle integrasjonskonstantene på høyre side. Igjen, veldig viktig å huske på disse, 00:09:16.200 --> 00:09:20.250 for det er de som gjør at vi får uendelig mange løsninger. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:09:20.250 --> 00:09:28.300 Nå har vi ikke noe derivert lenger. Nå har vi bare y-er som vi skal løse ut. Da blir det bare å bruke 00:09:28.300 --> 00:09:40.400 litt regneregler for ln osv. For det første kan vi sette y/1-y på en brøk 00:09:40.400 --> 00:09:51.100 ved bruke regneregelen for logaritme. Så må vi da løse ut for y. Da starter vi ytterst og så må vi 00:09:51.100 --> 00:09:58.900 kvitte oss med ln. Da tar vi e opphøyd i på begge sider. Da må vi foreløpig beholde absoluttverditegnet, 00:09:58.900 --> 00:10:04.200 og så tar vi e^x+C. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:10:06.400 --> 00:10:21.300 Da kan vi bruke potensregler for det første og skrive høyresiden ut som e^C * e^x. 00:10:21.300 --> 00:10:27.400 Så må vi da fortsette å løse ut for y. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:10:28.500 --> 00:10:36.600 Vi skal nå løse ut y fra dette uttrykket her for å finne denne y-en som da passer inni 00:10:36.600 --> 00:10:43.800 ligningen vi ønsket å løse. Nå har vi bakt inn y inni et absoluttverditegn. Det neste som skjer nå, 00:10:43.800 --> 00:10:52.200 er at vi fjerner det. Da får vi y/1-y. Når vi fjerner et absoluttverditegn, 00:10:52.200 --> 00:10:57.800 så betyr det at vi får inn igjen et fortegn. Når vi setter på absoluttverdier, så skal jo alt være postivt. 00:10:57.800 --> 00:11:06.200 Nå er høyresiden positiv, fordi e opphøyd i noe er alltid positivt. Vi fjerner dette 00:11:06.200 --> 00:11:15.100 ved at vi setter inn en C som også kan være negativ, istedenfor da konstanten e^C. 00:11:15.100 --> 00:11:23.100 Vi kaller alle konstanter for C. Konstanter skal bare være vilkårlige, reelle tall. 00:11:23.100 --> 00:11:29.400 Vi kan forsåvidt merke oss at C vil være forskjellig fra 0 her, fordi vi har antatt NOTE Treffsikkerhet: 54% (MEDIUM) 00:11:29.400 --> 00:11:33.000 at y er forskjellig fra 0. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:11:33.100 --> 00:11:41.900 Da har vi kommet så langt. y/1-y er en eller annen konstant ganger e^x. 00:11:41.900 --> 00:11:43.800 Konstanten kan nå plutselig være negativ. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:11:43.800 --> 00:11:54.900 For å løse ut for y, så ganger vi opp med 1-y. Så ganger vi ut. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:11:58.700 --> 00:12:06.100 Så skal vi finne y, så da samler vi alle y-ene på venstre side sånn at vi kan faktorisere ut y. 00:12:06.100 --> 00:12:20.700 Da får vi y + yCe^x lik Ce^x. Hvis vi faktoriserer ut y, så står vi igjen med 1+Ce^x 00:12:20.700 --> 00:12:31.900 fortsatt lik Ce^x. Da kan vi skrive opp det endelige uttrykket for funksjonene 00:12:31.900 --> 00:12:42.599 som passer inn i denne ligningen vår, nemlig Ce^x / 1+Ce^x. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:12:42.599 --> 00:12:51.000 Så er vi ikke helt framme, for vi skal bruke initialbetingelsen for å løse dette initialverdiproblemet. 00:12:51.000 --> 00:12:57.900 Da setter vi inn y(0) i dette uttrykket. NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:12:58.000 --> 00:13:11.800 e^0=1, så dette blir C/1+C. Det skal være lik 1/2. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:13:13.400 --> 00:13:24.200 Da har vi en likning i C. Så må vi finne C. Da kan vi nå gange opp 1+C og flytte C-leddene over 00:13:24.200 --> 00:13:31.700 og faktorisere ut C og stå igjen med hva C er, akkurat tilsvarende regning som her. 00:13:31.700 --> 00:13:42.600 Ellers kan det hende at vi ser at C=1. Hvis C=1, får vi 1/1+1 som er 2. 00:13:42.600 --> 00:13:53.800 C=1 gir at dette uttrykket blir 1/2. Da kan vi til slutt sette inn C=1 i dette generelle uttrykket. 00:13:53.800 --> 00:14:09.000 Så får vi funksjonen e^x / 1+e^x. Eksponentialfunksjon delt på 1 pluss 00:14:09.000 --> 00:14:14.250 eksponentialfunksjonen e^x. Det er den funksjonen NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:14:14.250 --> 00:14:24.600 som passer inn her. y' av denne oppfyller y(1-y). 00:14:24.600 --> 00:14:28.600 I tillegg går denne funksjonen gjennom punktet (0, 1/2).