WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:11.900 Nå skal vi se litt på andre ordens lineære homogene difflikninger med konstante koeffisienter. 00:00:11.900 --> 00:00:28.800 Det er noen spesielle likninger som er på formen y''+py'+qy=0. y er en ukjent funksjon 00:00:28.800 --> 00:00:36.300 og vi har en sammenheng mellom y, y' og y''. Derav ordet andre orden, siden vi har med y''. 00:00:36.300 --> 00:00:45.100 I tillegg har vi homogene likninger siden vi har 0 på høyresiden. p og q er reelle tall. 00:00:45.100 --> 00:00:53.650 Derfor heter ligningene med konstante koeffisienter. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:53.650 --> 00:01:03.000 Hva slags funksjoner er det som oppfyller denne type ligninger? y'' skal vi ha med nå, 00:01:03.000 --> 00:01:10.400 så nå må vi integrere to ganger for å komme fram til hva y er for noe. Vi skal da bli kvitt y'', 00:01:10.400 --> 00:01:12.500 ikke bare y'. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:01:12.700 --> 00:01:21.200 Da tar vi utgangspunkt i det vi kan om første ordens lineære homogene difflikninger. 00:01:21.200 --> 00:01:32.700 De er på formen y' lik et tall * y. Da har vi konstante koeffisienter her. 00:01:32.700 --> 00:01:39.400 Hvilke funksjoner er det som oppfyller denne ligningen, at den deriverte og funksjonen er proporsjonale? 00:01:39.400 --> 00:01:49.300 Denne ligningen er både separabel og lineær. Man kan velge om man vil løse den som en separabel ligning 00:01:49.300 --> 00:01:56.500 eller som en lineær ligning med integrerende faktor. Uansett vil man få at 00:01:56.500 --> 00:02:09.500 løsningene på denne ligningen er konstanter * e^rx. Dette vil være alle funksjoner som oppfyller dette her. 00:02:09.500 --> 00:02:13.700 Legg merke til at det er eksponentialfunksjonene NOTE Treffsikkerhet: 71% (MEDIUM) 00:02:13.700 --> 00:02:18.500 som er slik at y' og y er proporsjonale. NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:02:19.400 --> 00:02:28.700 Da gjetter vi at kanskje eksponentialfunksjoner også passer inn i denne type likninger, 00:02:28.700 --> 00:02:30.000 når vi går en orden opp. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:02:30.000 --> 00:02:48.900 Da prøver vi oss med at e opphøyd i et tall * x er en løsning her. Hva må da være oppfylt? 00:02:48.900 --> 00:02:54.900 Da skal den passe inn i ligningen, så da må vi derivere og dobbeltderivere for å sette inn og se hva som skjer. 00:02:54.900 --> 00:03:04.000 Hvis vi deriverer e^rx får vi re^rx. Hvis vi dobbeltderiverer, 00:03:04.000 --> 00:03:10.500 så får vi en r til ned. Vi får r^2e^rx. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:03:10.500 --> 00:03:13.950 Så setter vi dette inn i ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:03:13.950 --> 00:03:31.500 Da får vi r^2e^rx for y''. Så skal vi ha py'. Så skal vi ha qy. 00:03:31.500 --> 00:03:35.399 Da får vi q^rx, og dette skal da være lik 0. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:03:35.399 --> 00:03:46.300 Da har vi et uttrykk her. Ved å bruke litt algebra, så kan vi faktorise ut e^rx. 00:03:46.300 --> 00:03:52.500 Da står det igjen r^2+pr+q=0. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:03:52.500 --> 00:04:01.600 Da har vi et produkt som skal være 0. e^rx blir aldri 0, så dermed må dette uttrykket være 0. 00:04:01.600 --> 00:04:16.399 Det betyr at vi får en andregradslikning der den ukjente er denne r-en her. 00:04:16.399 --> 00:04:23.200 Hvis e^rx skal være en løsning, så må den passe inn i denne andregradslikningen. 00:04:23.200 --> 00:04:29.800 Det er denne andregradslikningen som faktisk styrer hva slags løsninger vi får her. 00:04:29.800 --> 00:04:37.600 Dette er den karakteristiske ligningen til difflikninger. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:04:39.200 --> 00:04:47.400 Dermed skal vi løse en andregradslikning. Da vet vi at vi får tre tilfeller: vi kan ha to reelle røtter, 00:04:47.400 --> 00:04:54.900 vi kan en reell rot eller to komplekse røtter. For hver av de tilfellene så får vi 00:04:54.900 --> 00:04:59.800 ulike typer funksjoner som da passer inn i den opprinnelige difflikningen. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:05:00.200 --> 00:05:20.700 Da kan vi starte med å se litt på to reelle røtter. Vi kan kalle dem r1 og r2. Da viser det seg at alle løsningene 00:05:20.700 --> 00:05:34.700 til denne ligningen i dette tilfellet er på formen en konstant * e^r1x, 00:05:34.700 --> 00:05:45.200 fordi r1 passer inn i den karakteristiske ligningen. e^r1x vil være en løsning. Vi får en konstant * e^r2x. 00:05:45.200 --> 00:05:57.000 C og D er reelle tall. Vi får to konstanter vi skal bestemme når vi har 00:05:57.000 --> 00:05:58.350 andre ordens difflikninger. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:05:58.350 --> 00:06:07.600 Det er et lite resultat å vise, men dette her er alle løsningene til denne ligningen i det tilfellet 00:06:07.600 --> 00:06:15.000 der den karakteristiske ligningen har to reelle røtter. Nå skal vi se litt videre på eksempler 00:06:15.000 --> 00:06:22.000 og ta for oss de to neste tilfellene. Vi skal nå se på noen eksempler på andre ordens 00:06:22.000 --> 00:06:34.300 lineære homogene difflikninger. Vi starter med ligningen y''-4y'+3y=0. 00:06:34.300 --> 00:06:41.400 Spørsmålet er nå, hva slags funksjoner er det som passer inn i denne ligningen? NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:06:41.400 --> 00:06:48.800 Da setter vi opp den karakteristiske ligningen. Vi tar ut koeffisientene fra difflikningen. 00:06:48.800 --> 00:07:02.300 Vi får altså ligningen r^2-4r+3=0. Den har løsninger som vi kan finne for eksempel 00:07:02.300 --> 00:07:12.400 ved hjelp av abc-formelen, 1 og 3. Det betyr at vi er i tilfellet to reelle røtter. 00:07:12.400 --> 00:07:26.500 Vi får løsninger på formen (C * e opphøyd i den ene roten * x) + (D * e opphøyd i den andre roten * x). 00:07:26.500 --> 00:07:40.400 Det gir oss Ce^1x + De^3x. C og D er altså vilkårlige, reelle tall. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:07:40.400 --> 00:07:49.300 Da ser vi spesielt at vi kan velge D=0 og C=1. Da får vi funksjonen e^x. 00:07:49.300 --> 00:07:58.100 Den passer inn, og det kan vi sjekke. Når vi deriverer e^x, får vi e^x. Når vi dobbeltderiverer får vi også e^x. 00:07:58.100 --> 00:08:09.500 Da får vi e^x-4e^x+3e^x=0. Den passer inn. I tillegg kan vi gange e^x 00:08:09.500 --> 00:08:16.400 med konstanter. Vi kan legge til konstanter * e^3x. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:08:18.200 --> 00:08:26.000 La oss ta et eksempel der vi har initialbetingelser, og beveger oss i det neste tilfellet 00:08:26.000 --> 00:08:42.900 for den karakteristiske ligningen. Vi ser på ligningen y''-4y'+4y=0. 00:08:42.900 --> 00:08:50.600 Vi skifter bare fra 3y til 4y. Det vil da gjøre en forskjell i løsningene. Vi setter opp 00:08:50.600 --> 00:08:56.700 den karakteristiske ligningen, r^2-4r+4=0. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:08:57.600 --> 00:09:05.100 Så må vi finne løsningene til denne. Da kan vi observere at dette her er et fullstendig kvadrat, 00:09:05.100 --> 00:09:18.100 nemlig (r-2)^2, som gir at r=2 er den eneste løsningen. Vi har en reell rot i dette tilfellet. 00:09:18.100 --> 00:09:24.849 Alternativt kan man også bruke abc-formelen for å finne roten 2. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:09:24.849 --> 00:09:33.500 I dette tilfellet så viser det seg at løsningene nå blir litt annerledes enn disse. Vi får fortsatt e^2 00:09:33.500 --> 00:09:41.900 i dette tilfellet x, så vi skal bruke roten 2 i en eksponentialfunksjon. 00:09:41.900 --> 00:10:00.700 I tillegg får vi lineære funksjoner * e^2x. C og D er reelle tall. Dette er et resultat 00:10:00.700 --> 00:10:07.900 som vi har lov til å bruke. Det viser seg at alle løsninger til denne ligningen er gitt på denne formen. 00:10:07.900 --> 00:10:14.700 I tilfellet der vi har en reell rot i den karakteristiske ligningen, så vil de være på denne formen 00:10:14.700 --> 00:10:21.650 der det tallet erstattes med denne roten til den karakteristiske ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:10:21.650 --> 00:10:28.800 Dette er den generelle løsningen. Så skal vi sette inn noen initialbetingelser som vi ikke har fått oppgitt ennå, 00:10:28.800 --> 00:10:33.850 men det skal jeg ta oppgi på neste tavle. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:10:33.850 --> 00:10:42.200 Vi har kommet til den generelle løsningen på denne difflikningen. Vi kan skrive den ut 00:10:42.200 --> 00:10:55.900 hvis vi regner ut parantesen. Det er Ce^2x + Dxe^2x. Det er den generelle løsningen. 00:10:55.900 --> 00:11:05.400 Vi setter nå inn noen initialbetingelser. Vi ønsker oss den spesielle funksjonen som er slik at y(0)=3 00:11:05.400 --> 00:11:16.400 og y'(0)=4. Dette her er en veldig grei betingelse for andre ordens lineære homogene difflikninger. 00:11:16.400 --> 00:11:23.700 Hvis vi kjenner funksjonsverdien i et punkt og den deriverte i det samme punktet, 00:11:23.700 --> 00:11:25.849 så vil vi alltid finne en løsning. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:11:25.849 --> 00:11:37.600 Det vil vi finne nå også. Vi setter inn y(0). Da får vi e^0 er 1. Her får vi 0 00:11:37.600 --> 00:11:47.200 fordi det står en x der. Dette blir bare C*1=C. Det betyr at C=3. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:11:47.400 --> 00:12:01.500 Da har vi allerede funnet den, og så setter vi inn D. y(x) heter nå foreløpig 3e^2x + Dxe^2x. 00:12:01.500 --> 00:12:03.650 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:12:03.650 --> 00:12:08.950 For å sette inn den andre betingelsen, så må vi derivere. NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:12:08.950 --> 00:12:20.500 Hvis vi deriverer det første leddet, så får vi et 2-tall ned som gir oss 6e^2x. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:12:20.500 --> 00:12:31.700 Så har vi et produkt. Vi har en D, og så skal vi derivere xe^2x. Vi beholder x 00:12:31.700 --> 00:12:44.800 og deriverer e^2x, da får vi et 2-tall ned. Så skal vi derivere x som er 1, og beholde e^2x. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:12:46.700 --> 00:12:56.950 Da har vi derivert. Så kan vi sette inn 0 i dette uttrykket. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:12:56.950 --> 00:13:10.000 Her får vi 6e^0 som er 1, det blir 6. Det første leddet faller bort fordi x=0 gir 0. 00:13:10.000 --> 00:13:22.700 Så får vi De^0 som er D. Dette skal være 4. Det betyr at D=-2. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:13:23.500 --> 00:13:33.800 Da har vi funnet at C=3 og D=-2. Da kan vi sette det inn i dette uttrykket her. 00:13:33.800 --> 00:13:45.200 Vi kan gjøre det helt nederst. Vi får denne spesielle løsningen som gir oss 3ex^2x - 2xe^2x. 00:13:45.200 --> 00:13:59.800 Da har vi altså eksponentialfunksjonen e^2x * den lineære funksjonen 3-2x. 00:13:59.800 --> 00:14:09.600 Da er dette stigningstallet -2 til denne linja og gjennom punktet (0, 3). 00:14:09.600 --> 00:14:17.400 Denne funksjonen * e^2x er akkurat den funksjonen som da passer inn i den ligningen vi startet med som er her. 00:14:17.400 --> 00:14:24.200 y''-4y'+4y=0 NOTE Treffsikkerhet: 70% (MEDIUM) 00:14:24.200 --> 00:14:30.150 og y(0)=3 og y'(0)=4 for denne funksjonen. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:14:30.150 --> 00:14:38.000 Vi må også huske å ta med oss det siste tilfellet for andre ordens lineære homogene difflikninger 00:14:38.000 --> 00:14:46.400 med konstante koeffisienter. Det er når den karakteristiske ligningen til difflikningen 00:14:46.400 --> 00:15:03.500 har to komplekse røtter. Da får vi bruk for mye matematikk. Vi har to komplekse røtter. 00:15:03.500 --> 00:15:12.600 Dette vil være kompleks konjugerte tall. Vi får a +/- ib som løsninger i dette tilfellet. 00:15:12.600 --> 00:15:13.400 NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:15:13.400 --> 00:15:22.000 Da viser det seg at vi har en reell form av løsningene til denne ligningen, selv om vi må bruke 00:15:22.000 --> 00:15:29.000 komplekse tall underveis. For å skrive opp den løsningen bruker vi den kartesiske formen, 00:15:29.000 --> 00:15:36.800 altså a (realdelen) og b (imaginærdelen) til det komplekse tallet. Det spiller ingen rolle hvilken 00:15:36.800 --> 00:15:43.700 av disse to vi bruker, for begge har samme realdel og imaginærdel med pluss- og minustegn. 00:15:43.700 --> 00:15:54.100 Vi bruker pluss. Det viser seg nemlig at den generelle løsningen til difflikningen i dette tilfellet 00:15:54.100 --> 00:16:09.500 blir på formen (konstanter * e^realdelen*x) * (cos til imaginærdelen*x) + et tilsvarende sinusledd, 00:16:09.500 --> 00:16:13.350 De^ax*sin(bx). NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:16:13.350 --> 00:16:24.700 Det viktige er at C og D er reelle tall. Dette er den reelle formen på løsningene. 00:16:24.700 --> 00:16:26.300 NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:16:26.300 --> 00:16:30.900 Så la oss se på et eksempel. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:16:30.900 --> 00:16:47.200 Vi vil løse y''+2y'+3y=0. Vi vil gjerne at denne spesielle løsningen er slik 00:16:47.200 --> 00:16:54.500 at y(0)=0 og y'(0)=1. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:16:55.100 --> 00:17:06.599 Hvilken funksjon er det som oppfyller denne ligningen og disse to betingelsene? Da setter vi opp 00:17:06.599 --> 00:17:08.700 den karakteristiske ligningen. NOTE Treffsikkerhet: 66% (MEDIUM) 00:17:13.400 --> 00:17:18.099 Vi løser denne. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:17:18.300 --> 00:17:28.300 Hvis vi bruker abc-formelen, kan vi sette opp hva vi får. (-b +/- (roten av b^2-4ac)) / 2a. 00:17:28.300 --> 00:17:43.900 Det blir (-2 +/- (roten av 8)) / 2. -8 erstatter vi med i*roten av 8. 00:17:43.900 --> 00:17:50.850 Roten av 8 er 2*roten av 2. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:17:50.850 --> 00:18:05.000 Så forkorter vi 2-tallene ved å faktorisere ut 2 i teller og forkorte mot nevneren. 00:18:05.000 --> 00:18:18.800 Da får vi løsninger -1 +/- i*roten av 2, et konjugert par av løsninger. Da kan vi sette inn 00:18:18.800 --> 00:18:21.500 i løsningsformelen. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:18:21.600 --> 00:18:36.900 Vi får nå konstanter * e^a, som er -1. *cos b (som er roten av 2)*x 00:18:36.900 --> 00:18:53.700 + et tilsvarende sinusledd, De^-x*sin(roten av 2)*x. C og D er reelle tall. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:18:54.500 --> 00:19:01.900 La oss bare påpeke en liten ting. Vi ser en analogi til differenslikninger 00:19:01.900 --> 00:19:08.900 og hvordan vi løser dem. For differenslikninger, når vi har to komplekse røtter i den karakteristiske ligningen, 00:19:08.900 --> 00:19:16.300 må vi huske å bruke polarformen til tallet. Når vi holder på med difflikninger, 00:19:16.300 --> 00:19:21.600 så bruker vi den kartesiske formen. Da sparer vi littegrann regning, fordi vi trenger ikke 00:19:21.600 --> 00:19:30.600 å regne ut polarformen. Husk at vi bruker realdelen og imaginærdelen a og b i løsningsformelen 00:19:30.600 --> 00:19:37.800 når vi regner ut løsningene til difflikninger. Nå skal vi da sette inn disse initialbetingelsene til slutt. 00:19:37.800 --> 00:19:46.000 Da har vi flyttet dette pene funksjonsuttrykket vi fant her opp hit. 00:19:46.000 --> 00:19:54.000 Dette er altså den generelle løsningen til denne difflikningen. Vi skal nå finne en spesiell løsning 00:19:54.000 --> 00:19:55.100 blant alle disse, NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:19:55.100 --> 00:20:03.500 nemlig den som går gjennom origo og har da momentan forandring i punktet 0 lik 1. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:20:03.500 --> 00:20:15.600 Da setter vi først inn y(0). 0 inn for x gir Ce^0 som er 1 og cos 0 = 1, det blir C. 00:20:15.600 --> 00:20:26.199 I dette leddet har vi sin 0 = 0. y(0)=C, som jo skal være lik 0. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:20:26.199 --> 00:20:33.500 Det betyr at C=0, så dette leddet i funksjonsuttrykket faller bort. Det betyr at funksjonen vår 00:20:33.500 --> 00:20:47.800 foreløpig heter De^-x*sin(roten av 2)*x. Så må vi bestemme D. Da bruker vi at y'(0)=1. 00:20:47.800 --> 00:20:53.750 Det betyr at vi må derivere uttrykket. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:20:53.750 --> 00:21:07.900 Da har vi et produkt som skal deriveres. Vi kan sette D utenfor. Først beholder vi den første funksjonen, 00:21:07.900 --> 00:21:19.200 og så deriverer vi sinus, det er cosinus. Den har en kjerne som må deriveres, 00:21:19.200 --> 00:21:20.800 det blir roten av 2. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:21:21.400 --> 00:21:33.500 Så deriverer vi e^-x, det blir (-1)e^-x, fordi den deriverte av -x er -1. 00:21:33.500 --> 00:21:41.700 Så beholder vi sinus. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:21:41.900 --> 00:21:55.200 Da skal vi sette inn 0 i den deriverte funksjonen. Da gjør vi det. x=0 vil gi e^0=1 00:21:55.200 --> 00:22:03.600 cos 0 = 1. Her står det roten av 2. Det første leddet (roten av 2)*D. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:22:03.600 --> 00:22:12.300 I det andre leddet har vi igjen sin 0 = 0, så dette faller bort. y'(0)=(roten av 2)*D 00:22:12.300 --> 00:22:16.000 som skal være 1. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:22:16.100 --> 00:22:29.400 Da får vi at D=1/roten av 2. Vi er ikke så glad i rottegn i nevner. 00:22:29.400 --> 00:22:37.200 Vi ganger med roten av 2 oppe og nede og får at D=roten av 2/2. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:22:39.100 --> 00:22:54.900 Da kan vi sette inn D i funksjonsuttrykket vårt og får at løsningen er (roten av 2/2)*e^-x 00:22:54.900 --> 00:23:07.000 * sin(roten av 2)*x. Nå har vi fått produktet av en eksponentialfunksjon og en sinusfunksjon. 00:23:07.000 --> 00:23:15.500 Sinusfunksjonen beveger seg opp og ned periodisk, en harmonisk svingning. 00:23:15.500 --> 00:23:21.800 Eksponentialleddet vil gjøre at disse utslagene blir mindre og mindre. Da ser vi at vi kanskje får 00:23:21.800 --> 00:23:30.200 litt ekstra interessante funksjoner som løsninger av en sånn type difflikning, når den karakteristiske ligningen 00:23:30.200 --> 00:23:32.500 har komplekse løsninger.