WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:06.300 I denne snutten her skal vi snakke om kompletthetsprinsippet. Det er det teoretiske prinsippet som 00:00:06.300 --> 00:00:10.300 ligger under all teori for kalkulus eller matematisk analyse. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:00:10.400 --> 00:00:16.700 Du har hatt litt av dette stoffet tidligere i videregående skole med derivasjon og integrasjon osv. 00:00:16.700 --> 00:00:21.000 Så du lurer kanskje på hvordan et slikt underliggende prinsipp ikke har kommet til syne der. 00:00:21.000 --> 00:00:26.700 Men det er fordi det er kommet inn forkledd gjennom begrepet tallinjen. Hvis vi ser litt på det: NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:27.300 --> 00:00:35.800 tallinjen er jo bare en linje bortover, og man har satt av punkter. Et nullpunkt for å vise hvor man 00:00:35.800 --> 00:00:47.300 starter, og så etterhvert flere tall. 1, 2 osv på den siden. -1, -2 på den andre siden. Men i tillegg 00:00:47.300 --> 00:00:55.500 til disse heltallene, har vi brøker og andre tall. Jeg har 1/2 her, jeg har -1/2 her borte. 00:00:55.500 --> 00:01:02.800 Jeg har tall som roten av 2, som da er et irrasjonalt tall som ikke kan skrives som en brøk. 00:01:02.800 --> 00:01:07.750 Jeg har pi her et sted osv. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:01:07.750 --> 00:01:14.200 Dette er du sannsynligvis så vant til at du ikke tenker noe på det, men under dette her ligger 00:01:14.200 --> 00:01:21.800 det faktisk noe som er litt dypt. For det vi gjør her er jo på en måte å identifisere to ting. 00:01:21.800 --> 00:01:28.400 På den ene siden, den geometriske linjen som er et helt geometrisk objekt. Og så har vi disse tallene som 00:01:28.400 --> 00:01:34.200 vi vanligvis tenker på en og en, som ting vi kan regne med. Så hva er egentlig sammenhengen 00:01:34.200 --> 00:01:41.000 mellom dette geometriske kontinuum som man av og til sier, altså en enhetlig rett linje, og disse 00:01:41.000 --> 00:01:47.500 tallene som kommer inn og som på en måte er adresser til punkter på denne linjen. Dette er ikke noe 00:01:47.500 --> 00:01:53.000 selvfølgelighet. For at dette her skal fungere, så viser det seg at det tallsystemet vi bruker må ha 00:01:53.000 --> 00:01:56.449 visse egenskaper. Jeg skal prøve å forklare hva disse egenskapene er. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:01:56.449 --> 00:02:03.200 Da kan vi kanskje begynne med å se på andre tallsystemer som vi muligens kunne ha brukt til å gi 00:02:03.200 --> 00:02:11.000 adresser til punkter på en linje. Det aller enkleste, er det tallsystemet som vi kaller Z, 00:02:11.000 --> 00:02:19.500 som da består av alle hele tall, positive og negative. Det består av 0 og de positive tallene 0,1, 2 osv. bortover, 00:02:19.500 --> 00:02:29.700 og så på den andre siden de negative hele tallene. Dette er tallsystemet Z. Hvis vi tegner opp det 00:02:29.700 --> 00:02:36.500 på samme måte som vi tegnet opp tallene her oppe, ser vi på noe som ser sånn ut. Jeg ville hatt 0 der, 00:02:36.500 --> 00:02:44.100 så ville jeg hatt 1 her borte, og så ville jeg hatt 2, og på den andre siden ville jeg hatt -1, 00:02:44.100 --> 00:02:48.350 -2, -3 osv. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:02:48.350 --> 00:02:56.000 Det er klart at det jeg nå har her, det er ikke noe rimelig tallinje. Kan ikke si at disse punktene her kan 00:02:56.000 --> 00:03:02.500 identifisere med alle punktene på en linje. For det er en del egenskaper punkter på en linje som disse 00:03:02.500 --> 00:03:08.100 ikke har. For eksempel er det slik at mellom to punkter på en linje så ligger det alltid et punkt 00:03:08.100 --> 00:03:14.400 midt imellom, men det gjør det ikke her. Midt imellom 0 og 1 skulle 1/2 vært, men 1/2 er ikke her 00:03:14.400 --> 00:03:21.700 for 1/2 er ikke noe helt tall. Så det å bruke Z som en slags modell for linjen og si at alle 00:03:21.700 --> 00:03:27.200 punktene på en rett linje (vi kan tenke på mer eller mindre som alle tallene Z), det er åpenbart 00:03:27.200 --> 00:03:33.500 helt håpløst. Det er altfor få punkter her, og de geometriske egenskapene til punktene på en linje 00:03:33.500 --> 00:03:39.400 gjenspeiles ikke med egenskapene disse tallene her sånn. Det er rett og slett for få av dem, 00:03:39.400 --> 00:03:46.000 og de gjenspeiler ikke de geometriske egenskapene som punkter på en linje har. Vi kunne prøvd å være litt mer 00:03:46.000 --> 00:03:48.900 ambisiøse. Det neste tallsystemet vi kunne brukt, NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:03:48.900 --> 00:03:56.600 det er tallsystemet Q av rasjonale tall, som består av alle brøker av heltall. Det er alle uttrykk av 00:03:56.600 --> 00:04:04.900 den typen her. Et helt tall m delt på et annet helt tall n. Her kan m være hvilket som helst positivt eller 00:04:04.900 --> 00:04:11.400 negativt tall, mens den n-en bør helst ikke være 0. Siden jeg tillater minuser der oppe, kan jeg 00:04:11.400 --> 00:04:17.500 bare ha positive tall her nede. Så n bør da være med i de naturlige tallene, altså 1, 2, 3 osv. 00:04:17.500 --> 00:04:24.700 Alle slike brøker utgjør mengden av alle rasjonale tall. Hvis vi setter av disse tallene her 00:04:24.700 --> 00:04:31.900 bortover på en tallinje, så får vi noe som blir ganske mye mer fornuftig og som vi med det blotte øyet ikke kan 00:04:31.900 --> 00:04:41.600 skille fra den tallinjen vi hadde der oppe. Her vil vi også ha 0, 1, 2, 00:04:41.600 --> 00:04:48.850 -1, -2. Men nå er jo også alle brøkene kommet inn. Så mellom 0 og 1 NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:04:48.850 --> 00:04:58.000 vil jeg ha 1/2. Litt lenger borte her vil jeg ha 1/3, og jeg vil ha masse tall tett i tett. 00:04:58.000 --> 00:05:04.100 Etterhvert som jeg fyller på med brøker med større og større tellere og nevnere, så fyller jeg opp hele denne 00:05:04.100 --> 00:05:09.000 tallinjen her, ihvertfall slik at det ikke går an å se at det er noen hull. Tallene blir liggende 00:05:09.000 --> 00:05:16.500 tett i tett. På denne tallinjen så har vi fikset problemet vi hadde her borte, at mellom 00:05:16.500 --> 00:05:22.800 to punkter så lå det ikke noe midtpunkt i Z. Slike problemer vil vi ikke ha her. 00:05:22.800 --> 00:05:29.400 Hvis jeg plukker ut to punkter på denne tallinjen her, er det alltid mulig å finne et midtpunkt, 00:05:29.400 --> 00:05:35.300 fordi midtpunktet mellom to rasjonale tall, middelverdien, det er også et rasjonalt tall. 00:05:35.300 --> 00:05:41.400 På denne tallinjen her har vi hvertfall ikke det problemet. Men vi har en del andre problemer som viser seg 00:05:41.400 --> 00:05:45.150 når vi tenker litt dypere på hva en tallinje skal være. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:05:45.150 --> 00:05:51.200 Det første problemet dukker opp hvis vi tenker oss at vi vil bruke denne tallinjen som en slags linjal. 00:05:51.200 --> 00:06:01.000 En slags målestokk for å måle hvor lange forskjellige geometriske enheter er. Hvis vi da for eksempel 00:06:01.000 --> 00:06:12.500 gjør noe så enkelt som å starte med et kvadrat med side 1 og så ser på diagonalen i dette kvadratet, 00:06:12.500 --> 00:06:19.600 så kan vi bruke Pytagoras til å regne ut den. Den viser seg da å være roten av 2. Roten av 2, 00:06:19.600 --> 00:06:24.500 det visste allerede de gamle grekerne: det er ikke et rasjonalt tall. Det er et irrasjonalt tall. Det er et tall som 00:06:24.500 --> 00:06:30.300 ikke kan skrives som en brøk. Hva betyr det? Hvis jeg vil bruke den tallinjen der nede 00:06:30.300 --> 00:06:37.200 til å måle hvor stor den diagonalen er, da kan jeg ta hele dette kvadratet, flytte det ned, 00:06:37.200 --> 00:06:43.600 ta diagonalen og flytte den ned slik at den starter i 0. Da får jeg et endepunkt som 00:06:43.600 --> 00:06:45.100 ligger der et sted. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:06:45.100 --> 00:06:52.100 Det skulle jo da være roten av 2, men roten av 2 er som sagt ikke et rasjonalt tall. Det punktet 00:06:52.100 --> 00:06:58.800 finnes ikke på den tallinjen som bare består av rasjonale tall. Tallet er rett og slett ikke til stede. 00:06:58.800 --> 00:07:05.500 Hvis vi insisterer på bare å arbeide med rasjonale tall, så kan vi ikke måle 00:07:05.500 --> 00:07:11.500 lengden av diagonalen i et kvadrat. Vi har rett og slett ikke noe tallstørrelse som tilsvarer den lengden. 00:07:11.500 --> 00:07:17.600 Det er et av problemene vi får dersom vi velger å bruke en tallinje som er basert på rasjonale tall. 00:07:17.600 --> 00:07:25.200 Kan vise et annet tilsvarende problem. En av de tingene vi bruker tallinjer til, er jo 00:07:25.200 --> 00:07:31.900 å lage koordinatsystemer. Da tar jeg en tallinje i hver retning. Jeg baserer 00:07:31.900 --> 00:07:37.300 det koordinatsystemet på de rasjonale tallene, slik at bortover i begge retninger her, har jeg da 00:07:37.300 --> 00:07:43.900 tallinjer som ikke er fulle, består av alle reelle tall, men som bare består av rasjonale tall. På vanlig måte 00:07:43.900 --> 00:07:45.600 lager jeg geometriske figurer her. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:07:45.600 --> 00:07:54.000 Jeg lager en sirkel med radius 1 om origo. Så kan jeg tegne inn linjen 00:07:54.000 --> 00:08:04.200 som halverer første kvadrant. Det er linjen y = x. Da går jo denne linjen fra inni sirkelen til utsiden. 00:08:04.200 --> 00:08:11.800 Vi ville tro at her må det være et skjæringspunkt mellom de to geometriske objektene. 00:08:11.800 --> 00:08:19.700 Men hvis jeg regner ut koordinatene til det punktet der, forutsetter at sirkelen har radius 1 her, så vil 00:08:19.700 --> 00:08:27.600 det punktet ha koordinater (√2/2, √2/2). Akkurat som roten av 2, så er 00:08:27.600 --> 00:08:34.000 √2/2 et irrasjonalt tall. Så lenge vi har rasjonale tall satt opp på aksen her, så finnes 00:08:34.000 --> 00:08:40.299 ikke det tallet. Det betyr at i dette tilfellet så vil denne linjen snike seg fra innsiden av sirkelen 00:08:40.299 --> 00:08:45.600 til utsiden uten å passere et punkt som ligger på sirkelen. Det er et hull NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:08:45.600 --> 00:08:54.100 i sirkellinjen her som denne linjen sniker seg ut av. Det virker veldig unaturlig geometrisk, men hadde vi 00:08:54.100 --> 00:09:01.500 altså basert tallinjen på rasjonale tall, så ville slike fenomener oppstått. At linjer kunne snike seg 00:09:01.500 --> 00:09:07.300 fra en side av en kurve til den andre ved å gå gjennom hull der det ikke finnes punkter, ikke finnes tall. 00:09:07.300 --> 00:09:14.500 Dette er noen av de problemene som dukker opp dersom vi har et gift forhold til en tallinje, 00:09:14.500 --> 00:09:18.950 og tror at vi kan bruke et hvilket som helst tallsystem. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:09:18.950 --> 00:09:26.000 Det som gjør at det en tallinjen vi er vant til, som har alle reelle tall fungerer, det er fordi 00:09:26.000 --> 00:09:34.100 vi har dette berømte kompletthetsprinsippet. I en fei viser det at vi aldri får 00:09:34.100 --> 00:09:41.000 problemer av denne typen med å måle lengden av geometriske objekter, og som samtidig sørger for at vi 00:09:41.000 --> 00:09:47.600 ikke får problemer av denne typen: nemlig at kurver bytter side uten å ha noe skjæringspunkt. 00:09:47.600 --> 00:09:57.800 Men hva dette kompletthetsprinsippet egentlig sier, det skal vi nå ta opp i en egen sekvens. 00:09:57.800 --> 00:10:05.200 Hva sier kompletthetsprinsippet? Vel, jeg kan kanskje prøve å tegne aller først. Hvis vi har tallinjen bortover her. 00:10:05.200 --> 00:10:13.200 Så har jeg en mengde tall som jeg markerer ved å lage tallinje litt tjukkere der den mengden ligger. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:10:13.200 --> 00:10:19.900 Så er det en mengden begrenset oppad, som man sier. Det vil si at det finnes et tall her borte M, 00:10:19.900 --> 00:10:27.300 som er større enn alle tallene i denne mengden. Det er utgangspunktet. Da sier kompletthetsprinsippet 00:10:27.300 --> 00:10:35.600 rett og slett at det finnes en minste sånn øvre skranke for denne mengden, altså et punkt som markerer her 00:10:35.600 --> 00:10:44.800 akkurat hvor mengden slutter. Så det tallet a er større enn eller lik alle elementene i mengden, men det 00:10:44.800 --> 00:10:50.100 finnes ikke noe annet tall som er mindre enn a, som har denne egenskapen å være større enn alle 00:10:50.100 --> 00:10:57.400 tallene i mengden. Så den sier altså at enhver mengde som har en øvre skranke, en øvre begrensning M, har også en 00:10:57.400 --> 00:11:03.400 minste slik øvre skranke. Hvis vi skriver det ned med ord, så blir det seende slik ut. 00:11:03.400 --> 00:11:13.000 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:11:13.000 --> 00:11:20.500 Det sier at hvis jeg har denne mengden her, jeg kan sette navn på den. Hvis vi kaller den for A. 00:11:20.500 --> 00:11:32.600 Så sier den da at enhver -- ja, den mengden må være ikke-tom, det må være noen elementer der i det hele tatt. 00:11:32.600 --> 00:11:59.000 Enhver ikke-tom -- og så må den være begrenset oventil, altså oppad begrenset delmengde A av de reelle tall, 00:11:59.000 --> 00:12:04.950 har en minste øvre skranke. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:12:04.950 --> 00:12:14.400 En øvre skranke er et tall som er større enn alle tallene i mengden. Så M her er en øvre skranke. 00:12:14.400 --> 00:12:21.100 Men prinsippet sier at det finnes den minste blant disse øvre skrankene, altså den a-en her 00:12:21.100 --> 00:12:24.599 som markerer hvor denne mengden slutter. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:12:24.599 --> 00:12:32.500 Nå kan dere jo lure på hva dette har å gjøre med de eksemplene jeg hadde istad. Da jeg arbeidet 00:12:32.500 --> 00:12:38.900 med de rasjonale tallene, da viste jeg jo at det var hull i den rasjonale tallinjen. Det var ikke 00:12:38.900 --> 00:12:44.500 noe tall der roten av 2 skulle vært. Det var hull som gjorde at linjer kunne snike seg gjennom sirkler 00:12:44.500 --> 00:12:49.100 uten at det var noe skjæringspunkt. Så kommer jeg da med dette veldig abstrakte utsagnet her, 00:12:49.100 --> 00:12:55.700 og påstår at dette vil løse alle disse problemene en gang for alle. Det er kanskje litt rart, 00:12:55.700 --> 00:13:03.000 at et såpass abstrakt prinsipp kan løse mange problemer med en gang. Men slik er det nå en gang. 00:13:03.000 --> 00:13:10.100 Jeg skal prøve å vise det gjennom å se på dette problemet med roten av 2. Hvordan kan dette prinsippet 00:13:10.100 --> 00:13:17.100 brukes til å vise at blant de reelle tallene, så finnes det tall som er en kvadratrot av 2, 00:13:17.100 --> 00:13:24.900 og som har den egenskapen at hvis vi oppfyller tallet i annen så får vi 2. Det er det vi skal se på. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:13:24.900 --> 00:13:36.500 La oss først bli enige om hva er kvadratrot er. Kvadratrot av 2, det er et tall som opphøyd i annen gir oss 2. 00:13:36.500 --> 00:13:42.200 Nå finnes det to slike tall, hvis det først finnes noen. Et på hver side av origo, et positivt og 00:13:42.200 --> 00:13:49.300 et negativt. La oss satse på det positive her. Så dette er altså et tall a som er større enn 0, og som har den 00:13:49.300 --> 00:13:58.000 egenskapen at a^2 = 2. Det er en kvadratrot av 2. Vi vet at blant de rasjonale tallene så finnes det 00:13:58.000 --> 00:14:04.500 ikke en slik kvadratrot. Det jeg nå påstår, er at ved hjelp av kompletthetsprinsippet så kan vi vise at det må 00:14:04.500 --> 00:14:07.650 finnes en slik kvadratrot blant de reelle tallene. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:14:07.650 --> 00:14:13.900 Hvordan gjør jeg det? For å bruke kompletthetsprinsippet, så trenger jeg en mengde som jeg kan 00:14:13.900 --> 00:14:19.700 finne den minste øvre skranken til. Den mengden jeg ser på her, det er rett og slett mengden som 00:14:19.700 --> 00:14:33.500 består av alle de reelle tallene, slik at x^2 er mindre enn 2. Det er en ikke-tom mengde. 00:14:33.500 --> 00:14:40.200 1 ligger for eksempel der. 1^2 = 1, som er mindre enn 2. Så denne mengden har elementer, 00:14:40.200 --> 00:14:47.600 men den er opptil begrenset. Blir x stor nok, vil x^2 være større enn 2. Hvis x for eksempel er 2, 00:14:47.600 --> 00:14:56.100 så blir 2^2 = 4, og det er jo ikke mindre enn 2. Så alle tilstrekkelig store tall ligger på utsiden av denne mengden. 00:14:56.100 --> 00:15:03.100 Vi får et bilde her som ser sånn ut. Her har jeg 0 i midten, og så har jeg en del tall 00:15:03.100 --> 00:15:08.150 på begge sider her som hører med til A. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:15:08.150 --> 00:15:13.600 De tallene som ikke er for store, de tallene som er så små at når de opphøyes i annen så er de mindre enn 2, 00:15:13.600 --> 00:15:18.900 de hører med til den mengden. Så dette er en ikke-tom, oppad begrenset mengde. Ifølge kompletthetsprinsippet 00:15:18.900 --> 00:15:29.200 har denne mengden en minste øvre skranke. Den ligger kanskje der, akkurat i slutten av mengden der. 00:15:29.200 --> 00:15:35.400 Jeg vet det finnes et tall som er en minste øvre skranke for den mengden. Det man nå kan vise, 00:15:35.400 --> 00:15:44.000 ved å jobbe littegranne, er at hvis jeg tar det tallet, den minste øvre skranken i annen, så vil a^2 være nøyaktig 2. 00:15:44.000 --> 00:15:53.600 Jeg skal ikke gjennomgå det argumentet, men det er ganske lett å innse at det må være sånn, 00:15:53.600 --> 00:16:00.900 fordi de tallene som har en kvadratrot som er mindre enn 2, de ligger inni den mengden et eller annet sted. 00:16:00.900 --> 00:16:06.700 De tallene som ligger på utsiden av mengden, de burde ha en kvadratrot som er større enn 2. Så akkurat i skillet, 00:16:06.700 --> 00:16:08.200 når de går over fra NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:16:08.200 --> 00:16:15.000 å være mindre enn 2 til å være større enn 2, så er det nesten opplagt at det tallet 00:16:15.000 --> 00:16:23.300 opphøyd i annen må være nøyaktig lik 2. Dette viser at ved hjelp av kompletthetsprinsippet, 00:16:23.300 --> 00:16:31.500 kan man trylle frem lengdemål og den størrelsen her. Kvadratroten av 2 var jo lengden av diagonalen i et kvadrat. 00:16:31.500 --> 00:16:37.200 Det tallet finnes ikke i det rasjonale tallsystemet, men ved å bruke kompletthetsprinsippet 00:16:37.200 --> 00:16:42.550 kan jeg vise at et slikt tall finnes i det reelle tallsystemet. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:16:42.550 --> 00:16:50.900 Den andre problemstillingen vi så på istad, hvor de rasjonale tallene kom til kort: det var denne 00:16:50.900 --> 00:16:58.600 problemstillingen hvor jeg hadde en sirkel og en linje, og det viste seg at så lenge jeg arbeidet med 00:16:58.600 --> 00:17:08.599 de rasjonale tallene, så fantes det ikke noe punkt hvor det var skjæring mellom disse to geometriske objektene. 00:17:08.599 --> 00:17:14.300 Via kompletthetsprinsippet kan man igjen vise at slik er det ikke når vi bruker de reelle tallene. Da vil det 00:17:14.300 --> 00:17:20.400 alltid være skjæring mellom kontinuerlige kurver som krysser hverandre. Jeg skal ikke se noe på det her, 00:17:20.400 --> 00:17:26.500 for det skal vi se på i neste videosnutt om skjæringssetningen. Jeg bare forbereder dere på at der kommer 00:17:26.500 --> 00:17:32.200 også kompletthetsprinsippet inn og viser at dette problemet med at ting sniker seg gjennom hull, 00:17:32.200 --> 00:17:37.600 det forekommer ikke når vi arbeider med de reelle tallene. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:17:38.700 --> 00:17:46.500 Dette viser hva kompletthetsprinsippet er. Litt hvordan det brukes på en typisk måte. Det som gjenstår 00:17:46.500 --> 00:17:52.400 å si noen ord om, er hvorfor kompletthetsprinsippet er sant. Hvis vi tenker på de reelle tallene som mengden 00:17:52.400 --> 00:17:59.400 av alle desimaltall, så burde det være et eller annet argument som fortalte oss 00:17:59.400 --> 00:18:04.600 at kompletthetsprinsippet er rimelig å vente. Det er det argumentet som viser at 00:18:04.600 --> 00:18:09.300 kompletthetsprinsippet gjelder for desimaltallene, som jeg skal gjennomgå til slutt i denne snutten. 00:18:09.300 --> 00:18:17.100 Helt til slutt skal vi altså se på hvorfor kompletthetsprinsippet er riktig. Hvis vi tenker på de reelle 00:18:17.100 --> 00:18:22.500 tallene slik vi er vant til, som mengden av alle desimaltall, så må det være en måte å begrunne 00:18:22.500 --> 00:18:30.600 at dette kompletthetsprinsippet er riktig. La meg prøve å gjøre dette gjennom et slags eksempel. 00:18:30.600 --> 00:18:37.900 La oss tenke oss at vi har tallinjen her. Så har jeg mengden jeg ser på her oppe. Det er altså en ikke-tom, 00:18:37.900 --> 00:18:39.500 oppad begrenset mengde. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:18:39.500 --> 00:18:46.600 Oppad begrenset betyr altså at det finnes en skranke her borte, et tall som er større enn alle tallene i A. 00:18:46.600 --> 00:18:53.400 For å være konkrete, setter vi et navn på den her. La oss si at den grensen der går på -- 00:18:53.400 --> 00:18:57.400 eller den øvre skranken der er 12,16. NOTE Treffsikkerhet: 29% (LAV) 00:18:57.400 --> 00:19:00.500 NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:19:01.200 --> 00:19:07.900 Så er jeg interessert i å vise at denne mengden har en minste øvre skranke. 00:19:07.900 --> 00:19:14.100 Jeg begynner med å se på alle tallene som ligger i A. Så gidder jeg ikke å se på hele tallet, jeg ser bare 00:19:14.100 --> 00:19:20.300 på heltallsdelen, den delen som ligger foran komma. Her er det kanskje noen tall som har en 5 00:19:20.300 --> 00:19:26.100 foran komma, kanskje noen som har en 4 foran komma, en 7 foran komma osv. 00:19:26.100 --> 00:19:33.300 Jeg ser på det største tallet jeg har foran komma i tall som ligger i A. 12,16 er en øvre skranke, 00:19:33.300 --> 00:19:39.800 så jeg vet at ingen av disse tallene kan ha en heltallsdel som er større enn 12. Men jeg vet ikke hvor mye 00:19:39.800 --> 00:19:44.600 for stor den øvre skranken er, så det kan godt tenkes at det ikke er tall i mengden som begynner på 00:19:44.600 --> 00:19:52.200 12, eller begynner på 11. Kanskje 7 er den største heltallsdelen som tall i den mengden har. 00:19:52.200 --> 00:20:00.600 Da skriver jeg opp 7 her borte. Da må jo 7 på tallinjen ligge et sted før slutten, så kanskje 7 ligger der et sted. 00:20:00.600 --> 00:20:01.850 NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:20:01.850 --> 00:20:10.700 Det neste jeg gjør, er å se på de tallene i A som starter med 7, og så ser jeg på den første desimalen de har. 00:20:10.700 --> 00:20:18.300 Ikke sant, hvis 7,13 ligger der, er det klart at førstedesimalen 1 er med. Kanskje er 7,36 med i mengden. 00:20:18.300 --> 00:20:25.300 Da vet jeg at jeg har et tall her som har førstedesimal 3 osv. Så ser jeg på den 00:20:25.300 --> 00:20:32.300 største førstedesimalen som forekommer blant de tallene i mengden som starter med 7. Det må være en 00:20:32.300 --> 00:20:39.200 største slik førstedesimal, det kan jo ikke gå lenger opp enn 9. I verste fall er den 9. La oss gå gjennom og se, 00:20:39.200 --> 00:20:45.300 hva er den største førstedesimalen blant de tallene som starter med 7. La oss si at vi finner ut at den er 8. 00:20:45.300 --> 00:20:53.700 Da skriver jeg opp 8 der borte. Så fortsetter jeg prosedyren. Nå ser jeg på alle tallene i denne mengden 00:20:53.700 --> 00:21:02.000 som starter med 7 og har førstedesimal 8, ser på annendesimal til de tallene. Igjen, det må være en største blant dem, 00:21:02.000 --> 00:21:02.300 NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:21:02.300 --> 00:21:08.100 den kan ikke bli større enn 9. Kanskje den ikke blir større enn 4, det er den største andredesimalen blant de 00:21:08.100 --> 00:21:15.200 som starter på 7,8. Da skriver jeg opp 4 her. Nå begynner vel mønsteret å bli klart. Nå ser jeg på alle de tallene 00:21:15.200 --> 00:21:22.300 i mengden som starter med 7,84. Så ser jeg på den største tredjedesimalen blant dem. Den kan ikke være 00:21:22.300 --> 00:21:28.600 større enn 9, kanskje den faktisk er 9 denne gangen. Da skriver jeg opp 9 her. Så fortsetter jeg på den måten, 00:21:28.600 --> 00:21:36.200 da vil det etterhvert vokse frem et desimaltall her med uendelig mange desimaler bak komma. 00:21:36.200 --> 00:21:45.000 Det tallet som fremkom på denne måten, hvis jeg kaller det for a. Så vil det være den minste øvre skranken 00:21:45.000 --> 00:21:52.900 til den mengden jeg ser på. Så lenge vi tenker på tallene som desimaltall, så kan jeg da fremtrylle 00:21:52.900 --> 00:21:59.700 en minste øvre skranke for a, rett og slett ved å følge denne prosedyren. Det forklarer da at 00:21:59.700 --> 00:22:02.250 innenfor mengden av desimaltall, så vil NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:22:02.250 --> 00:22:08.500 enhver ikke-tom, begrenset mengde på denne måten her ha en minste øvre skranke. Desimalene får jeg frem 00:22:08.500 --> 00:22:14.700 ved denne prosedyren. Det er måten vi kan argumentere for at vi alltid har en minstre øvre skranke 00:22:14.700 --> 00:22:21.600 innenfor desimaltallene. La meg, helt til slutt, ta med litt notasjon som kan være grei å ha med seg 00:22:21.600 --> 00:22:28.700 til de neste videoene. Denne minste øvre skranken til en mengde, den kalles også supremum. 00:22:28.700 --> 00:22:35.700 Derfor bruker man gjerne denne beskrivelsen her, man skriver supremum til A. Det er den minste øvre skranken 00:22:35.700 --> 00:22:43.200 til mengden A. I dette tilfellet, hvor den minste øvre skranken faktisk heter a, så vil vi ha 00:22:43.200 --> 00:22:49.200 denne notasjonen her. Det er greit å ta med seg, for minste øvre skranke er et langt ord. 00:22:49.200 --> 00:22:54.050 Sup er mye kortere og det gjør det mye greiere å uttrykke ting, litt kort og konsist. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:22:54.050 --> 00:23:00.500 Så det vi nå skal gjøre i de neste snuttene fremover, er å se hvordan dette kompletthetsprinsippet 00:23:00.500 --> 00:23:08.300 kommer inn og løser en god rekke problemer for oss. Det første vi skal se på, i den neste snutten, 00:23:08.300 --> 00:23:13.500 den som handler om skjæringssetningen, er problemet jeg fortalte om tidligere i denne snutten, 00:23:13.500 --> 00:23:20.700 nemlig om kurver som skjærer hverandre. Hvis vi da bruker dette kompletthetsprinsippet 00:23:20.700 --> 00:23:28.700 til å vise at kontinuerlige kurver som bytter side, de må nødvendigvis ha et skjæringspunkt. 00:23:28.700 --> 00:23:34.800 Senere skal vi se hvordan dette kommer inn i drøftingen av ekstremal- og minimalpunkter og en del andre 00:23:34.800 --> 00:23:40.900 problemstillinger i matematisk analyse. Men budskapet er altså at kompletthetsprinsippet er et 00:23:40.900 --> 00:23:47.300 underliggende prinsipp av ganske stor kraft, til tross for at det har et uskyldig utseende.