WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:05.900 Denne snutten vi nå skal ta fatt på, den handler om skjæringssetningen. Skjæringssetningen er en 00:00:05.900 --> 00:00:11.800 konsekvens av kompletthetsprinsippet som vi så på i den aller første snutten, og nå skal vi da se 00:00:11.800 --> 00:00:19.600 hvordan kompletthetsprinsippet kommer til uttrykk når vi ønsker å bevise en setning. 00:00:19.600 --> 00:00:27.800 Utgangspunktet for skjæringssetningen er veldig enkel. Jeg kan tegne den opp i en figur. Jeg har da et koordinatsystem. 00:00:27.800 --> 00:00:36.000 og så har jeg et intervall fra a til b. Og så har jeg en funksjon som er definert for alle 00:00:36.000 --> 00:00:44.300 punktene i dette intervallet, da går fra a til b, mens funksjonsverdiene i de to endepunktene har motsatt 00:00:44.300 --> 00:00:52.300 fortegn. Så i det ene endepunktet har funksjonen positivt fortegn, i den andre negativt. For å være konkrete, kan vi si at 00:00:52.300 --> 00:00:58.200 vi begynner her nede. Dette er f(a), en negativ verdi, og så ender vi her borte i f(b), som er en positiv verdi. 00:00:58.200 --> 00:00:59.150 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:59.150 --> 00:01:06.500 Hvis jeg nå tegner funksjonsgrafen, så får jeg noe som ser noe sånt ut kanskje, som flytter seg fra 00:01:06.500 --> 00:01:13.400 f(a) til f(b). Det som virker forholdsvis opplagt, er at innimellom her så må funksjonen 00:01:13.400 --> 00:01:23.300 ha nullpunkter. Den her ser ut til å ha tre nullpunkter; ett her, ett her og ett der borte. Men selv om den ikke hadde hatt bølger 00:01:23.300 --> 00:01:29.800 og daler, slik som denne her, så er det naturlig å tro at en funksjon som flytter seg fra noe negativt til 00:01:29.800 --> 00:01:34.850 noe positivt må ha et nullpunkt. Så man kan jo lure på om dette er et generelt prinsipp. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:34.850 --> 00:01:42.700 Men hvis vi tenker oss littegrann om, så er det klart at så enkel er ikke verden. Fordi hvis jeg nå 00:01:42.700 --> 00:01:48.600 tegner en funksjon litt annerledes, hvis jeg fortsatt har intervallet fra a til b. 00:01:48.600 --> 00:01:55.800 Starter negativt og ender positivt, men har en funksjon som ser noe sånt noe ut. Den går opp til et punkt her. 00:01:55.800 --> 00:02:03.000 Her har den en verdi, og så gjør den et hopp, så neste verdi kommer her oppe og så fortsetter den opp til f(b). 00:02:03.000 --> 00:02:10.300 Så har jeg laget en funksjonsgraf som går fra noe negativt til noe positivt, men uten at det 00:02:10.300 --> 00:02:12.500 er noe nullpunkt imellom. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:02:12.500 --> 00:02:18.400 Men dette kan jo kanskje regnes som juks, da. At jeg glemte å si noe istad: at det der borte bare 00:02:18.400 --> 00:02:22.900 gjelder kontinuerlige funksjoner. Hvis jeg har diskontinuerlige funksjoner med sprang, så er det klart 00:02:22.900 --> 00:02:30.000 at da kan jeg hoppe over x-aksen fra negative verdier til positive verdier uten å ha noe nullpunkt innimellom. 00:02:30.000 --> 00:02:36.500 Så kanskje vi kan reformulere det opprinnelige utsagnet og si at for alle kontinuerlige funksjoner, 00:02:36.500 --> 00:02:42.500 så er det slik at hvis jeg starter negativt og ender positivt (eller omvendt) 00:02:42.500 --> 00:02:43.600 så finnes det et nullpunkt innimellom. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:02:43.600 --> 00:02:52.100 Det er kanskje ikke helt opplagt, det heller, for det er jo enda en mulighet som kunne opptre her. 00:02:52.100 --> 00:02:59.400 Det var at jeg hadde et bilde som så noe slikt ut. Jeg starter i a, ender i b som før. Negativ verdi her, 00:02:59.400 --> 00:03:05.700 positiv verdi her. Men hvis jeg nå har en tallinje med hull i, kanskje det finnes noe gap i denne 00:03:05.700 --> 00:03:13.000 tallinjen min, så kanskje her er det et lite gap hvor det ikke finnes noe punkt. Så kunne det kanskje tenkes at 00:03:13.000 --> 00:03:20.800 funksjonen min kom nedenfra, snek seg gjennom tallinjen akkurat der hvor dette gapet var, og så 00:03:20.800 --> 00:03:26.400 fortsatte opp til den positive funksjonsverdien. Så da ville jeg ikke hatt noe nullpunkt, for riktignok 00:03:26.400 --> 00:03:33.150 passerer grafen gjennom x-aksen, men den gjør det et sted hvor det er et hull i den aksen. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:03:33.150 --> 00:03:41.600 Så hvis vi har en tallinje med hull i, så kunne det tenke seg at man kunne gå fra negative 00:03:41.600 --> 00:03:44.650 til positive verdier uten at det var noe nullpunkt innimellom. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:03:44.650 --> 00:03:52.000 Det virker kanskje usannsynlig, men dette har å gjøre med tallsystemet vårt. 00:03:52.000 --> 00:03:58.500 Om vi har et tallsystem som beskriver hele tallinjen, eller som etterlater hull. I den første videoen 00:03:58.500 --> 00:04:05.100 om kompletthetsaksiomet, så vi jo at den rasjonale tallinjen, den som består av bare rasjonale tall, 00:04:05.100 --> 00:04:12.300 har hull der det burde vært tall. Så hvis jeg hadde prøvd å gjøre dette eksperimentet her med den rasjonale tallinjen, 00:04:12.300 --> 00:04:18.700 og så nå lager vi akser her hvor det bare er de rasjonale tallene som står. Og så tegner jeg inn grafen 00:04:18.700 --> 00:04:27.100 til en veldig enkel funksjon. Jeg kan bruke denne funksjonen her, f(x) = x^2 - 2. 00:04:27.100 --> 00:04:35.300 Hvordan ser den funksjonsgrafen ut? Hvis jeg sier at jeg skal gå fra 0 og ut til 2 her ute. 00:04:35.300 --> 00:04:42.500 Hvis jeg setter inn x=0, så får jeg 0^2 - 2, det er -2. Så den funksjonsgrafen starter her 00:04:42.500 --> 00:04:45.350 her nede i -2. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:04:45.350 --> 00:04:54.600 Setter jeg inn x=2, så får jeg 2^2 (som er 4) - 2, det blir 2. Så denne funksjonen ender her oppe i 2. 00:04:54.600 --> 00:05:01.800 Og så er det lett å se at dette her er en parabel, slik at den kurven jeg får starter her nede og oppover noe sånt 00:05:01.800 --> 00:05:09.800 noe, og så ender den i punktet der oppe. Så her ser det ut som jeg har en skjæring, at denne kurver passerer 00:05:09.800 --> 00:05:17.600 gjennom aksen min. Det er lett å regne ut i dette tilfellet hva skjæringspunktet er. Dette er et punkt der f(x)=0, 00:05:17.600 --> 00:05:26.300 altså et punkt hvor x^2 - 2 = 0. Det er det samme som at x^2 = 2. Da vil jo det 00:05:26.300 --> 00:05:33.400 positive skjæringspunktet her komme i √2. Så denne kurven passerer gjennom x-aksen i √2. 00:05:33.400 --> 00:05:41.200 Men der er det jo ikke noe punkt, for jeg arbeidet jo med rasjonale tall blant aksene her. √2 er ikke 00:05:41.200 --> 00:05:45.200 noe rasjonalt tall. Så i det tilfellet vil denne kurven faktisk NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:05:45.200 --> 00:05:51.299 snike seg gjennom der det er et hull i denne rasjonale tallaksen, akkurat som jeg viste her oppe. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:05:51.299 --> 00:05:59.100 Så dette viser at det er litt problematisk dette her med hull. Hvis jeg har et tallsystem som ikke 00:05:59.100 --> 00:06:05.900 fanger opp alt som er av punkter, så risikerer jeg faktisk å få dette problemet på alvor, slik som det viser seg her nede. 00:06:05.900 --> 00:06:12.600 Nå viser det seg at dette skjer ikke når vi arbeider med de reelle tallene. Grunnen til det, 00:06:12.600 --> 00:06:20.100 er at med de reelle tallene, så har vi kompletthetsaksiomet og vi bruker aksiomet til å vise at dette her aldri skjer. 00:06:20.100 --> 00:06:27.100 Så det jeg nå skal gjøre, er å skrive opp en presis formulering av den setningen som 00:06:27.100 --> 00:06:32.000 ligger bak her som heter skjæringssetningen. Så skal jeg etterpå bruke kompletthetsaksiomet 00:06:32.000 --> 00:06:35.400 til å skissere et bevis for denne setningen. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:06:35.600 --> 00:06:43.100 Da er det kanskje på tide å formulere denne skjæringssetningen, så vi ser nøyaktig hva den sier. 00:06:43.100 --> 00:06:51.300 Kan kanskje ta standardfiguren igjen, så vi vet hva vi snakker om. Så jeg har da intervallet fra a til b, 00:06:51.300 --> 00:06:57.500 så har jeg en funksjon som skifter fortegn. I tegningene mine så har den alltid startet nede og sluttet oppe. 00:06:57.500 --> 00:07:04.000 Kanskje jeg nå kan gjøre det omvendt, så den starter her oppe og ender der nede. Og så beveger den seg på 00:07:04.000 --> 00:07:11.700 en eller annen måte. Så er da poenget her at når den går fra et fortegn til et annet, så må det være 00:07:11.700 --> 00:07:17.500 et nullpunkt innimellom hvis dette er en kontinuerlig funksjon som ikke får lov til å hoppe. Hvis jeg prøver å 00:07:17.500 --> 00:07:29.700 formulere dette skriftlig, så blir det seende noe slikt ut. Dette heter altså skjæringssetningen. 00:07:29.700 --> 00:07:36.550 Vi må få en forutsetning her, nemlig at jeg har en funksjon som er kontinuerlig. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:07:36.550 --> 00:07:47.800 Hvis f, som da er en funksjon fra intervallet a til b, inni R er kontinuerlig (den får ikke lov til å ha 00:07:47.800 --> 00:07:53.900 noen sprang slik som den ene funksjonen istad hadde, den som hoppet fra den ene siden til den andre), 00:07:53.900 --> 00:08:15.700 hvis den funksjonen er kontinuerlig og har motsatt fortegn i de to endepunktene, altså i a og b. Ja, da finnes det 00:08:15.700 --> 00:08:33.200 et slikt punkt innimellom som vi da kan kalle c, i intervallet fra a til b. Hvis vi sier at den har 00:08:33.200 --> 00:08:36.600 forskjellige fortegn i a og b så er den ikke 0 der, så da må det nullpunktet NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:08:36.600 --> 00:08:45.000 ligge i det indre intervallet. Så det finnes en c i det åpne intervallet fra a til b, der funksjonen har 00:08:45.000 --> 00:08:49.250 verdien 0, altså der f(c)=0. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:08:49.250 --> 00:08:55.600 Så det er det denne setningen sier. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:08:55.600 --> 00:09:02.300 Det er to ting å legge merke til her. For det første, denne forutsetningen om at funksjonen er 00:09:02.300 --> 00:09:08.600 kontinuerlig; den har ikke noe sprang. Det er åpenbart viktig. Og så er det en ting som kanskje ikke 00:09:08.600 --> 00:09:17.000 synes så godt her, og det er at under dette så har vi valgt hvilken tallinje vi arbeider med. 00:09:17.000 --> 00:09:23.800 Vi arbeider med den reelle tallinjen. Så dette intervallet fra a til b består altså av alle de reelle tallene 00:09:23.800 --> 00:09:29.400 mellom a og b. Vi så istad at hvis jeg bare hadde tatt med de rasjonale tallene, så hadde det vært hull 00:09:29.400 --> 00:09:35.300 der funksjonsgrafen kunne snike seg gjennom. Så det er viktig forutsetninger for å få 00:09:35.300 --> 00:09:38.300 denne setningen til å fungere. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:09:38.300 --> 00:09:47.800 Setningen kan være vanskelig å oppfatte. Erfaringen viser at studentene ofte strever litt med å forstå 00:09:47.800 --> 00:09:52.300 hva den sier. Men når de først har forstått hva den sier, har de kanskje et problem med å skjønne at det er en 00:09:52.300 --> 00:09:57.700 setning i det hele tatt og ikke er en selvfølgelighet. Det er bare å se på en tegning av den typen der 00:09:57.700 --> 00:10:02.700 og tenke at "ja men selvfølgelig, hvis dette her er en sammenhengende funksjonsgraf som går fra 00:10:02.700 --> 00:10:09.100 det ene fortegnet til det andre, så må det være et nullpunkt innimellom". Men det er to ting som gjør at dette her 00:10:09.100 --> 00:10:18.700 ikke er helt selvfølgelig. Det ligger i at gjennom setningen, så sjekker vi to ting. Den ene tingen vi sjekker, 00:10:18.700 --> 00:10:25.900 er ideen om en tallinje, at det ikke er noen hull i en tallinje. Vi sjekker altså 00:10:25.900 --> 00:10:31.400 at når vi bruker den riktige tallinjen her, de reelle tallene, så er det ikke noe hull 00:10:31.400 --> 00:10:37.100 der funksjonen kan snike seg gjennom. Hadde vi hatt de rasjonale tallene som jeg viste istad, så hadde det faktisk vært 00:10:37.100 --> 00:10:39.200 mulig for funksjonsgrafen å snike seg gjennom i et hull i tallinjen. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:10:39.200 --> 00:10:47.300 Vi tester altså at vår intuisjon om tallinjen er riktig. Den andre intuisjonen vi tester, 00:10:47.300 --> 00:10:54.500 er intuisjonen om kontinuerlige funksjoner. Kontinuitet er definert på en litt abstrakt måte 00:10:54.500 --> 00:11:00.200 med epsilon og delta. Vi har et slags intuitivt bilde om at det betyr at funksjonsgrafen skal 00:11:00.200 --> 00:11:06.300 være sammenhengende. Her får vi testet det intuitive bildet, ved at vi beviser at for en kontinuerlig funksjon, 00:11:06.300 --> 00:11:12.600 så er grafen faktisk så sammenhengende at den ikke kan hoppe fra den ene siden av x-aksen 00:11:12.600 --> 00:11:21.500 til den andre uten å ha et skjæringspunkt. Skjæringssetningen kan se geometrisk opplagt ut, men den tester altså 00:11:21.500 --> 00:11:30.800 to viktige intuisjoner, nemlig intuisjonen om en tallinje og intuisjonen om kontinuitet. Det som nå gjenstår, 00:11:30.800 --> 00:11:37.600 er å bevise at denne skjæringssetningen er riktig. Da skal vi bruke kompletthetsaksiomet 00:11:37.600 --> 00:11:39.100 på en helt avgjørende måte for å finne dette skjæringspunktet c. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:11:39.100 --> 00:11:48.100 Det viser seg at hvis vi arbeider innenfor en lengde der kompletthetsaksiomet ikke gjelder, for eksempel 00:11:48.100 --> 00:11:55.400 innenfor de rasjonale tallene, så får vi ikke argumentet til å fungere. Så neste er altså beviset for skjæringssetningen. 00:11:55.400 --> 00:11:56.500 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:11:57.300 --> 00:12:07.000 Så da var det beviset for skjæringssetningen. Vi får jeg begynne med figuren vår, som vanlig. 00:12:07.000 --> 00:12:15.000 Fra a til b, en funksjon som skifter fortegn. Den kan gjøre det flere ganger underveis, på den måten der. 00:12:15.000 --> 00:12:23.100 Dette er en kontinuerlig funksjon og jeg skal bevise at den må ha et nullpunkt underveis 00:12:23.100 --> 00:12:26.700 når den da skifter fra her, en negativ til en positiv verdi. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:12:26.700 --> 00:12:32.800 For å bevise at den er et nullpunkt, må jeg nesten prøve å lokalisere ett av disse nullpunktene. 00:12:32.800 --> 00:12:38.700 Her er det flere av dem, og jeg skal prøve å lokalisere det siste punktet der borte. Så jeg skal vise 00:12:38.700 --> 00:12:44.700 at det punktet virkelig finnes, at det ikke er en glipe i tallinjen der denne funksjonsgrafen sniker seg gjennom. 00:12:44.700 --> 00:12:51.100 Jeg skal, som sagt, bruke kompletthetsprinsippet til å gjøre dette her. 00:12:51.100 --> 00:12:56.900 Kompletthetsprinsippet snakker om mengder og supremum til mengder. Så jeg må få inn en mengde her. 00:12:56.900 --> 00:13:05.100 Den mengden jeg skal se på, er den mengden der funksjonen har negative verdier. Det skjer flere steder her. 00:13:05.100 --> 00:13:13.000 Her har jeg et stykke hvor jeg har negativ f-verdi. Har har jeg et stykke med negativ f-verdi, og der borte. 00:13:13.000 --> 00:13:16.600 Det kan selvfølgelig være mye mer komplisert, hvis jeg har en funksjon som går veldig mye opp og ned, 00:13:16.600 --> 00:13:27.350 men uansett så kan jeg skrive opp en mengde A, som består av alle de x-ene i det intervallet vi ser på, NOTE Treffsikkerhet: 75% (MEDIUM) 00:13:27.350 --> 00:13:32.300 der f(x) har en negativ verdi. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:13:32.300 --> 00:13:40.200 Det er en ikke-tom mengde, for jeg vet jo at f(a) er negativ her, så a er i hvertfall med i den mengden. 00:13:40.200 --> 00:13:47.500 Den er åpenbar oppad begrenset, fordi det får ikke lov til å være med noen tall som er større enn b 00:13:47.500 --> 00:13:55.700 i denne mengden. Så dette er en ikke-tom, oppad begrenset mengde. Ifølge kompletthetsprinsippet 00:13:55.700 --> 00:14:03.100 har den da et supremum, og det supremumet kan jeg sette et navn på. La meg si at jeg kaller det supremumet for c. 00:14:03.100 --> 00:14:10.600 Hvis vi ser på figuren her borte, så er det vel ganske åpenbart hvor det punktet måtte ligge hen. 00:14:10.600 --> 00:14:20.100 Det skal være på en måte det største tallet som er i mengden, eller det tallet som markerer slutten på mengden, 00:14:20.100 --> 00:14:25.700 og det burde ligge her borte et sted. Vi ser det, at hva slags verdi skulle f ha i det punktet der, 00:14:25.700 --> 00:14:32.500 er akkurat der denne mengden, der f har negative verdier, slutter. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:14:32.500 --> 00:14:43.600 Så den eneste rimelige hypotesen å se på, eller å stille opp, det er jo at f(c) i det punktet er lik 0. 00:14:43.600 --> 00:14:48.500 Hvis det er tilfellet, så har vi jo kommet frem til det vi skulle, nemlig at vi har et nullpunkt inni her. 00:14:48.500 --> 00:14:55.500 Så hvordan beviser jeg at f(c)=0? Vel, jeg skal ikke gå igjennom 00:14:55.500 --> 00:15:02.700 det beviset i detalj, jeg skal bare vise dere ideen i det. Det er et tosidig argument. Første del av argumentet 00:15:02.700 --> 00:15:10.000 viser at f(c) må være mindre enn eller lik 0. Andre del av argumentet viser at f(c) må være 00:15:10.000 --> 00:15:15.300 større enn eller lik 0. Når du kombinerer de to delene, så er det bare en mulighet som står igjen, 00:15:15.300 --> 00:15:23.100 nemlig at f(c)=0. Så hvordan argumenterer jeg for at f(c) er mindre enn eller lik 0? 00:15:23.100 --> 00:15:24.600 NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:15:24.600 --> 00:15:34.100 Jo, jeg plukker ut en følge av elementer som ligger i mengden A, og som nærmer seg c nedenfra. 00:15:34.100 --> 00:15:41.200 Det må alltid finnes, for uansett hvor nær opp til c jeg kommer fra nedsiden, så må det være et punkt i mengden 00:15:41.200 --> 00:15:48.300 som er større enn det punktet jeg peker på. Fordi c er supremum over a. Så jeg kan finne en følge fra A, 00:15:48.300 --> 00:15:55.000 kanskje begynner jeg her nede, plukker ut elementer men jeg lager dem hele tiden større. 00:15:55.000 --> 00:16:03.700 Til slutt så nærmer den seg c. Så jeg har altså en følge av xn-verdier som nærmer seg c nedenfra, 00:16:03.700 --> 00:16:15.900 og slik at hver eneste xn er med i mengden A. Det betyr jo at siden xn er med i mengden A, 00:16:15.900 --> 00:16:22.800 så må f(xn) hele tiden være mindre enn null. Fordi punktene som ligger i A har jo f-verdi mindre enn 0. 00:16:22.800 --> 00:16:25.100 Så hver eneste f(xn) er mindre enn 0. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:16:25.100 --> 00:16:33.100 Samtidig er det slik at hvis xn går mot c, og f er en kontinuerlig funksjon, 00:16:33.100 --> 00:16:41.300 så må f(xn) gå mot f(c). Det er en av egenskapene ved kontinuerlige funksjoner. 00:16:41.300 --> 00:16:49.400 Men hvis alle disse xn-ene er negative og f(xn) nærmer seg f(c), så kan ihvertfall ikke f(c) være positiv. 00:16:49.400 --> 00:16:58.900 Så det at alle disse her er negative, det medfører at denne her må være mindre enn eller lik 0. 00:16:58.900 --> 00:17:06.400 Så det argumentet viser altså at f(c) er mindre enn eller lik 0. Så kan jeg gjøre et tilsvarende argument 00:17:06.400 --> 00:17:12.900 for å vise at f(c) er større enn eller lik 0. Da gjør jeg det bare omvendt. 00:17:12.900 --> 00:17:19.599 Jeg kommer ovenfra. Jeg velger en følge av elementer som kommer fra oversiden og nærmer seg c. 00:17:19.599 --> 00:17:25.050 Alle f-verdiene her må være positive. Det medfører at f(c)-grensen også må være positiv, NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:17:25.050 --> 00:17:32.100 akkurat tilsvarende type argument som istad. Så må vi gjøre samme argument, bare bruke 00:17:32.100 --> 00:17:38.000 en følge fra oversiden. Så får jeg frem at f(c) er større enn eller lik 0. Men da sitter jeg igjen med at 00:17:38.000 --> 00:17:44.500 f(c) både må være mindre enn eller lik 0 og større enn eller lik 0. 00:17:44.500 --> 00:17:55.500 Den eneste muligheten å få til det på, er ved at f(c) er lik 0. Først brukte jeg kompletthetsaksiomet 00:17:55.500 --> 00:18:01.500 til å vise at denne mengden A hadde et supremum. Satte et navn på det supremumet, kalte det c. Etterpå viste jeg at 00:18:01.500 --> 00:18:08.600 funksjonsverdien i c måtte være 0. Dermed har jeg bevist skjæringssetningen, som sier at mellom a og b må det 00:18:08.600 --> 00:18:13.050 alltid finnes et punkt der verdien er 0. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:18:13.050 --> 00:18:21.000 Det var altså, litt kort og skissemessig, beviset for skjæringssetningen. Dette er en setning som brukes 00:18:21.000 --> 00:18:28.000 mange steder i praksis, men hovedbetydningen er kanskje litt filosofisk og det jeg sa istad, 00:18:28.000 --> 00:18:34.600 nemlig at skjæringssetningen viser at vår intuisjon er riktig på to punkter. For det første at vi med de 00:18:34.600 --> 00:18:40.900 reelle tall har fanget opp en tallinje uten hull, der ting ikke kan snike seg igjennom, og for det andre 00:18:40.900 --> 00:18:48.100 at vår definisjon av kontinuitet er riktig. En kontinuerlig funksjon har en graf som er sammenhengende 00:18:48.100 --> 00:18:52.400 og som ikke kan hoppe fra en side av en linje til en annen.