WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:08.700 I denne snutten skal vi snakke om ekstremalverdisetningen. Det handler om maksimum og minimum for funksjoner 00:00:08.700 --> 00:00:13.900 på en ganske teoretisk måte. Vi skal ikke prøve å finne disse punktene, vi skal bare vise at de 00:00:13.900 --> 00:00:19.700 eksisterer under passende betingelser. Det er flere begreper å se på her som vi skal prøve 00:00:19.700 --> 00:00:30.400 å holde fra hverandre. Det ene er at en funksjon er begrenset, og det andre er dette med maksimum- og minimumspunkter. 00:00:30.400 --> 00:00:41.100 Disse tingene henger sammen, men de dukker opp på litt forskjellige måter. Så la meg lage 00:00:41.100 --> 00:00:48.800 noen figurer for å illustrere dette her. For det første, dette med begrenset betyr rett og slett 00:00:48.800 --> 00:00:57.700 at hvis jeg har en funksjon definert på en mengde: hvis det finnes et tall her oppe, M, og et 00:00:57.700 --> 00:00:59.599 tall her nede, N, slik at funksjonen NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:00:59.599 --> 00:01:06.900 ikke kan gå utenfor de grensene som disse tallene setter. Hvis jeg tegner 00:01:06.900 --> 00:01:14.400 vannrette linjer her, så vil aldri funksjonsgrafen gå over den øverste og under den nederste. 00:01:14.400 --> 00:01:19.100 Da er funksjonen begrenset. Den kan da f.eks. se noe sånt ut, får ikke lov til å komme høyere opp enn det, 00:01:19.100 --> 00:01:25.200 ikke lenger ned enn det osv. Så det er en begrenset funksjon. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:01:25.200 --> 00:01:33.200 Så det er det ene punktet. Det andre punktet er dette med maks.- og min.punkter. Et maksimumspunkt for funksjonen 00:01:33.200 --> 00:01:41.300 er rett og slett et punkt der funksjonen har større verdi enn i alle andre punkter 00:01:41.300 --> 00:01:48.800 og et minimumspunkt er et punkt der den har mindre verdi enn i alle andre punkter. Det kan jo tenkes at vi har to 00:01:48.800 --> 00:01:56.200 topper som er like store og der regnes begge to som maksimumspunkter, og to daler som er like dype 00:01:56.200 --> 00:02:03.800 og som går nedenfor alt det andre på grafen. De regnes også som minimumspunkter. Men det er altså begrensethet og 00:02:03.800 --> 00:02:04.850 maks. og min. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:02:04.850 --> 00:02:10.600 Nå er det sammenhengen mellom disse begrepene vi skal være litt interessert i. En ting som er 00:02:10.600 --> 00:02:17.800 forholdsvis grei å forstå, det er at hvis en funksjon har et maksimumspunkt og et minimumspunkt, så må 00:02:17.800 --> 00:02:23.600 den være begrenset. Fordi jeg kan bruke maksimumsverdien som en slags øvre skranke på funksjonen og 00:02:23.600 --> 00:02:32.000 minimumsverdien som en nedre skranke. Har jeg maks.- og min.punkter, så er funksjonen begrenset. Men jeg kan godt 00:02:32.000 --> 00:02:38.900 ha begrensede funksjoner som ikke har maks.- og min.punkter. Hvis jeg f.eks. tenker meg en funksjon 00:02:38.900 --> 00:02:47.100 som er definert over hele tallinjen, og som har asymptoter (linjer som funksjonsgrafen 00:02:47.100 --> 00:02:55.900 nærmer seg oppe og nede). Hvis jeg har en funksjon som ser noe sånt ut f.eks, så er den begrenset 00:02:55.900 --> 00:03:01.100 fordi den er begrenset av disse asymptotene her, men den har ikke noe maksimums- eller minimumsverdi noe sted 00:03:01.100 --> 00:03:05.500 fordi jeg får stadig høyere verdier bortover her NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:03:05.500 --> 00:03:11.200 uten å nå opp til et maksimum; og jeg får stadig mindre verdier bortover her uten noen gang å 00:03:11.200 --> 00:03:19.600 nå ned til et minimum. Så det går an å være begrenset uten å ha maks.- og min.punkter. Nå skjedde dette her 00:03:19.600 --> 00:03:24.800 på et ubegrenset intervall, men det kan skje akkurat det samme på et begrenset intervall. Hvis jeg 00:03:24.800 --> 00:03:34.050 har en sammenheng som ser sånn ut. En funksjon som er definert på dette intervallet her sånn. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:03:34.050 --> 00:03:41.000 Hvis jeg f.eks. bare har en rett linje som går opp på den måten, og hvis dette er et åpent intervall 00:03:41.000 --> 00:03:46.400 slik at endepunktene ikke er inkludert, så er dette en funksjon som er begrenset. 00:03:46.400 --> 00:03:51.700 Den kommer aldri høyere opp enn hit og aldri lenger ned enn dit. Men det er ikke noe maks.- eller min.punkt. 00:03:51.700 --> 00:03:58.800 Fordi disse maks.- og min.punktene skulle ligget på kanten her, i enden av intervallet, men endepunktene er ikke med. 00:03:58.800 --> 00:04:07.250 Igjen, du kan godt være begrenset uten at det er noe maksimumspunkter og noe minimumspunkter. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:04:07.250 --> 00:04:15.300 Det finnes også ubegrensede funksjoner, selv om intervallet de er definert over er endelig. 00:04:15.300 --> 00:04:23.800 F.eks. kan jeg ta intervallet fra 0 til 1. Hvis jeg nå ser på funksjonen f(x) = 1/x, 00:04:23.800 --> 00:04:33.400 så er den definert på et begrenset intervall. Men funksjonsgrafen er ubegrenset. 00:04:33.400 --> 00:04:42.100 For når x går mot 0, går f(x) mot uendelig. Så den funksjonen går opp mot uendelig, til tross for at 00:04:42.100 --> 00:04:50.000 definisjonsområdet er begrenset. For å oppsummere litt: har funksjonen maks.- og min.punkter så er 00:04:50.000 --> 00:04:58.100 den nødvendigvis begrenset. Begrensede funksjoner behøver ikke å ha maks./min.punkter, og selv på 00:04:58.100 --> 00:05:07.500 begrensede områder kan funksjoner godt være ubegrenset. Det vi nå skal prøve å få litt tak på, er når vi kan 00:05:07.500 --> 00:05:08.200 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:05:08.200 --> 00:05:14.500 være sikre på at funksjoner har maks/min.punkter og er begrenset. Det er dette 00:05:14.500 --> 00:05:17.500 ekstremalverdisetningen handler om. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:05:17.500 --> 00:05:24.200 Da er vi klare til å se på ekstremalverdisetningen, som sier at når vi konsentrerer oss om kontinuerlige 00:05:24.200 --> 00:05:30.300 funksjoner definert på et lukket og begrenset intervall, så slipper vi mange av de vanskelighetene vi 00:05:30.300 --> 00:05:32.150 så på eksemplene tidligere. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:05:32.150 --> 00:05:41.300 La meg prøve å tegne opp hva som foregår først. Hvis jeg nå har et vanlig koordinatsystem her. 00:05:41.300 --> 00:05:47.500 Jeg legger inn et lukket og begrenset intervall fra a til b. Så har jeg en kontinuerlig funksjon definert på 00:05:47.500 --> 00:05:54.100 dette intervallet. Da er jo a og b (endepunktene) med i intervallet. Jeg må ha en funksjonsverdi f(a) på denne siden, 00:05:54.100 --> 00:06:01.600 en funksjonsverdi f(b) på den siden. Siden funksjonen er kontinuerlig, så går grafen ut fra 00:06:01.600 --> 00:06:07.000 disse punktene. Hvis det nå skulle få det for seg at den vil prøve å stikke mot uendelig, 00:06:07.000 --> 00:06:14.000 gå oppover her, så har vi en følelse av at den før eller senere må snu for å forbinde seg med 00:06:14.000 --> 00:06:19.200 den grenen der nede. Den er jo kontinuerlig, så grafen skal henge sammen. Tilsvarende hvis den delen 00:06:19.200 --> 00:06:24.600 prøver å stikke av minus uendelig, så må den før eller senere snu og prøve å forbinde seg med 00:06:24.600 --> 00:06:32.400 den grenen her oppe. Fordi vi skal få en kontinuerlig graf til slutt. Så det er vanskelig å forestille seg en sånn 00:06:32.400 --> 00:06:32.750 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:06:32.750 --> 00:06:37.900 kontinuerlig funksjon på et lukket, begrenset intervall som ikke er begrenset. Vi har en følelse av at 00:06:37.900 --> 00:06:44.800 den før eller senere må den snu her oppe. Før eller senere må den snu der nede, og da blir den begrenset. 00:06:44.800 --> 00:06:50.700 I tillegg har vi en følelse av at det må være maksimumspunkt. Et sted snur den for godt her oppe, så da bør det 00:06:50.700 --> 00:06:55.800 være et maksimumspunkt. Et eller annet sted snur den for godt her nede, og der bør det være et minimumspunkt. 00:06:55.800 --> 00:07:04.300 Kanskje er det slik at kontinuerlige funksjoner definert på et lukket og begrenset intervall faktisk har 00:07:04.300 --> 00:07:11.300 maksimum- og minimumspunkter. Det er faktisk det ekstremalverdisetningen sier. Hvis vi nå skriver den opp, 00:07:11.300 --> 00:07:27.700 ekstremalverdisetningen altså, så gjelder den for kontinuerlige funksjoner så vi må legge inn det. 00:07:27.700 --> 00:07:31.600 Hvis f fra [a, b] inni R NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:31.800 --> 00:07:47.500 er en kontinuerlig funksjon. Men det er ikke nok, det må også være definert på et lukket og 00:07:47.500 --> 00:07:52.500 begrenset intervall. Det er på en måte sagt her oppe allerede, men det er så viktig at jeg tar det med 00:07:52.500 --> 00:08:25.700 en gang til i klartekst. Definert på et lukket, begrenset intervall, så har f maksimums- og minimumspunkter 00:08:25.700 --> 00:08:32.750 og som vi så istad så er alle funksjoner med NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:08:32.750 --> 00:08:49.200 maksimums- og minimumspunkter, de er begrenset. Vi kan henge på det her også: og er følgelig begrenset. Så det er 00:08:49.200 --> 00:08:55.400 ekstremalverdisetningen. Dersom funksjonen er kontinuerlig og den er definert på et lukket, begrenset 00:08:55.400 --> 00:09:01.100 intervall så er den fortøyet i endepunktene. Siden den er kontinuerlig, må funksjonsgraf være sammenhengende 00:09:01.100 --> 00:09:07.700 og da kan den ikke stikke av. Før eller senere må den snu og gå tilbake igjen til disse endepunktene. 00:09:07.700 --> 00:09:15.500 Så det er intuisjonen bak ekstremalverdisetningen. Så den sier noe om kontinuerlige funksjoner, 00:09:15.500 --> 00:09:22.500 at de ikke kan stikke av, men de sier også noe om tallsystemet. For det viser seg at det er viktig her 00:09:22.500 --> 00:09:29.300 at vi arbeider med de reelle tallene slik at intervallet [a, b] består av alle reelle tall 00:09:29.300 --> 00:09:32.500 mellom a og b. Hvis vi hadde arbeidet med NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:09:32.500 --> 00:09:39.500 rasjonale tall, hadde vi hatt moteksempler mot denne setningen. Jeg kan vise dere veldig raskt 00:09:39.500 --> 00:09:54.000 et slikt moteksempel. Hvis vi ser på funksjonen f(x) = 6x - x^3. Hvis vi 00:09:54.000 --> 00:10:00.000 ser på den på intervallet fra 0 til 2 for å kunne holde ting litt fast. Den starter da, jeg setter inn 00:10:00.000 --> 00:10:09.000 x=0 så får jeg 0 ut, så den går ut her. Når jeg setter inn x=2 så får jeg 6*2 som er 12 minus 2^3 som er 8, 00:10:09.000 --> 00:10:15.500 jeg får 12 - 8 = 4. Den går gjennom det endepunktet der. Hvis vi tegner grafen 00:10:15.500 --> 00:10:20.500 så viser det seg at den ser noe sånt noe ut. Den går opp der og så ned igjen. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:10:20.500 --> 00:10:28.500 Så det ser ut som jeg har et maksimumspunkt her borte. Men hvis dere deriverer og setter den deriverte 00:10:28.500 --> 00:10:36.400 lik 0, vil det si at det maksimumspunktet, det ligger i punktet √2 som er et irrasjonalt tall. 00:10:36.400 --> 00:10:44.600 Så lenge vi arbeider med reelle tall så er dette et eksempel på at ekstremalverdisetningen gjelder. 00:10:44.600 --> 00:10:51.300 Vi har virkelig et maksimumspunkt i dette intervallet fra 0 til 2. Men hvis vi bare hadde arbeidet med 00:10:51.300 --> 00:10:58.500 rasjonale tall, så hadde ikke √2 vært med i tallsystemet vårt. Da vi hatt et eksempel på en 00:10:58.500 --> 00:11:03.700 funksjon definert på et lukket, begrenset intervall, kontinuerlig som bare det, som ikke hadde hatt 00:11:03.700 --> 00:11:11.700 noe maksimumspunkt i det intervallet. Igjen er tallsystemet vi arbeider med viktig, for at denne 00:11:11.700 --> 00:11:18.000 intuitivt riktige setningen skal gjelde, må vi faktisk ha et tallsystem hvor det ikke er hull innimellom, 00:11:18.000 --> 00:11:21.150 slik som √2 er et hull NOTE Treffsikkerhet: 47% (MEDIUM) 00:11:21.150 --> 00:11:23.250 i det rasjonale systemet. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:11:23.250 --> 00:11:30.600 Så ekstremalverdisetningen forteller oss både litt om kontinuerlige funksjoner, og om tallsystemene. 00:11:30.600 --> 00:11:37.700 Når vi nå skal se på beviset for setningen, så skal jeg også prøve å understreke hvordan vi 00:11:37.700 --> 00:11:42.800 bruker kompletthetsprinsippet, som er det eneste som skiller reelle tallene fra de rasjonale, 00:11:42.800 --> 00:11:48.450 for å få et bevis for denne setningen. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:11:48.450 --> 00:11:57.400 Da skal vi se på beviset for ekstremalverdisetningen. Begynner med en figur som vanlig. 00:11:57.400 --> 00:12:03.400 Dette gjaldt altså funksjoner som er definert på et lukket, begrenset intervallet fra a til b, og som var kontinuerlig. 00:12:03.400 --> 00:12:09.300 De er hengt opp i hvert sitt endepunkt. Og så skulle vi vise at det var en maksimalverdi her, kanskje funksjonen 00:12:09.300 --> 00:12:17.500 forsvinner opp der, uten at vi kan se den innenfor tavlen, går ned der osv. Så må jeg vise 00:12:17.500 --> 00:12:23.700 at denne funksjonen har et maksimumspunkt. Egentlig skal jeg vise at den både har et maksimum og et 00:12:23.700 --> 00:12:30.700 minimumspunkt men de to argumentene er helt like, så jeg nøyer meg med å bevise at den har et maksimumspunkt. 00:12:30.700 --> 00:12:36.000 Dette er altså et bevis for eksistensen av maks.punkt. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:12:39.000 --> 00:12:46.400 Det jeg begynner med da, er å sette et navn på hvor stor denne funksjonen kan være. Jeg ser på 00:12:46.400 --> 00:12:56.500 mengden av alle mulige funksjonsverdier f(x), hvor x er med i dette intervallet vi er interessert i. 00:12:56.500 --> 00:13:02.900 Så ser jeg på supremum over hele den mengden. Jeg vet ikke at den mengden er begrenset, så det kan 00:13:02.900 --> 00:13:07.700 tenkes at dette supremum er uendelig. Det er noe jeg må ta stilling til underveis, hva som skjer her. 00:13:07.700 --> 00:13:13.500 Men jeg setter et navn på det, kaller rett og slett det supremum for M. Så det er ikke sikkert det er 00:13:13.500 --> 00:13:18.800 noe punkt her som har verdi M i utgangspunktet. Men de når i hvertfall helt opp til M, 00:13:18.800 --> 00:13:22.300 disse verdiene til funksjonen over intervallet her. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:13:22.300 --> 00:13:29.900 Det er utgangspunktet mitt. Så ser jeg på intervallet fra a til b. Så deler jeg det på to i midten her og så ser jeg 00:13:29.900 --> 00:13:36.900 på de to delintervallene jeg nå får fra a til midten, og fra midten og ut til b. Det som er lett å innse, 00:13:36.900 --> 00:13:42.900 er at hvis jeg nå ser på supremum til funksjonen over hvert av disse delintervallene, så må minst ett 00:13:42.900 --> 00:13:48.800 av disse supremumene være lik M. Hvis jeg har supremum mindre enn både på den første delen og på 00:13:48.800 --> 00:13:55.400 den andre delen, da må supremum over hele intervallet også være mindre enn M. Jeg vet altså at over 00:13:55.400 --> 00:14:01.900 ett av disse to delintervallene, så er supremum lik M. På den figuren her, er det klart at 00:14:01.900 --> 00:14:08.200 sup=M må jeg ha på første halvdel. Da sier jeg at den første halvdelen av dette intervallet 00:14:08.200 --> 00:14:16.500 fra a og ut dit, det intervallet setter jeg et navn på og kaller [a1, b1]. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:14:16.500 --> 00:14:24.000 Det jeg dermed har, er det opprinnelige intervallet fra a til b, og inni det ligger det et kortere intervall, 00:14:24.000 --> 00:14:31.800 nøyaktig halvparten så langt, som heter [a1, b1]. Over begge disse to intervallene så er 00:14:31.800 --> 00:14:35.000 supremumsverdien til funksjonen lik M. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:14:35.000 --> 00:14:41.000 Så fortsetter jeg etter samme strategi. Det jeg nå gjør er å dele dette nye intervallet i to biter 00:14:41.000 --> 00:14:48.400 så gjør jeg akkurat det samme som istad. Enten over den første eller den andre halvdelen må 00:14:48.400 --> 00:14:55.350 sup=M. Ellers kunne ikke supremum over hele [a1, b1] vært lik M. På den figuren vi ser her, NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:14:55.350 --> 00:15:02.900 så er det klart at her må det være det andre intervallet der sup=M. Dette andre intervallet her 00:15:02.900 --> 00:15:11.500 kaller jeg [a2, b2]. Så det er et delintervall av [a1, b1] igjen. Halvparten så langt 00:15:11.500 --> 00:15:17.500 som det foregående, og også på dette intervallet er supremumsverdien til funksjonen lik M. 00:15:17.500 --> 00:15:26.900 Slik kan jeg fortsette. Jeg kan dele [a2, b2] i to biter igjen. Over den ene biten så må sup=M, 00:15:26.900 --> 00:15:35.000 og det kaller jeg [a3, b3], og så får jeg en uendelig følge av intervaller på den måten. Hvis jeg nå ser på 00:15:35.000 --> 00:15:42.100 første punkt i hvert intervall, altså venstre endepunkt i disse intervallene. Ser på følgen som består 00:15:42.100 --> 00:15:43.900 av an-er, NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:15:43.900 --> 00:15:52.300 så er det en ikke-avtagende følge. Det er ikke slik at hver a nødvendigvis er større enn den foregående, 00:15:52.300 --> 00:15:57.700 men den kan hvertfall ikke være mindre, fordi disse intervallene ligger inni hverandre. Så dette er en 00:15:57.700 --> 00:16:07.700 ikke-avtagende følge, og den er også begrenset fordi alle disse intervallene ligger inne i det 00:16:07.700 --> 00:16:13.600 opprinnelige intervallet fra a til b. Alle disse an-ene må være mindre enn det. Det er en ikke-avtagende, 00:16:13.600 --> 00:16:16.600 begrenset følge. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:16:16.600 --> 00:16:25.600 Nå er det en konsekvens av kompletthetsprinsippet at ikke-avtagende, begrensede følger må konvergere. 00:16:25.600 --> 00:16:32.100 Det er rett og slett fordi vi kan ta supremum av mengden av alle disse punktene, og da får vi en 00:16:32.100 --> 00:16:41.800 grense for denne følgen. Så følgen av an-er, en følge av tall altså (ett for hver n), må konvergere mot 00:16:41.800 --> 00:16:49.200 en verdi som vi kaller c. Siden intervallet er lukket, så må den c-en høre med til intervallet. 00:16:49.200 --> 00:16:58.700 Så c er med i det opprinnelige intervallet [a, b]. På figuren vår ville kanskje c-en ligget 00:16:58.700 --> 00:17:01.650 her et sted, der er c. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:17:01.650 --> 00:17:11.500 Vi vet ikke noe om funksjonsverdiene i hver av disse punktene an, men jeg vet jo at i intervallet 00:17:11.500 --> 00:17:21.700 fra [a1, b1], så er supremumsverdien til alle funksjonsverdier lik M. Så det betyr at inne i intervallet [a1, b1], 00:17:21.700 --> 00:17:31.600 så kan jeg plukke ut punkter som ligger så nær M jeg måtte ønske. Uansett om M skulle være 00:17:31.600 --> 00:17:36.100 uendelig eller endelig, så kan jeg komme så nær M som overhodet mulig innenfor hvert enkelt intervall. 00:17:36.100 --> 00:17:40.400 Jeg kan ikke nødvendigvis komme helt opp til M, for det er ikke sikkert det er noe funksjonsverdi 00:17:40.400 --> 00:17:45.400 som er nøyaktig lik M, men jeg kan komme så nær jeg måtte ønske. Det betyr at jeg kan 00:17:45.400 --> 00:17:53.500 plukke ut en følge cn, en cn fra hvert intervall, slik at disse punktene, eller disse verdiene, 00:17:53.500 --> 00:18:01.600 kommer nærmere og nærmere M. Slik at følgen f(cn) konvergerer mot M når cn går mot uendelig. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:18:01.800 --> 00:18:12.200 Hva vet jeg om cn selv? Vel, hver cn ligger i intervallet [an, bn], an konvergerer mot c og disse intervallene 00:18:12.200 --> 00:18:17.200 blir trangere og trangere. Hvert intervall er halvparten så langt som det foregående. 00:18:17.200 --> 00:18:26.100 Det betyr at vi hvis an-ene konvergerer mot c, så blir cn-ene også tvunget til å konvergere mot c. Så jeg vet da 00:18:26.100 --> 00:18:34.700 at cn også konvergerer mot c. Rett og slett fordi an gjør det, og an og cn er tvunget til å ligge tettere og 00:18:34.700 --> 00:18:36.000 tettere sammen. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:18:36.000 --> 00:18:45.000 Men hvis cn går mot c, og f er en kontinuerlig funksjon (det ligger jo i antagelsen vår), så må 00:18:45.000 --> 00:18:53.600 f(cn) konvergere mot f(c). Det er en egenskap som kontinuerlige funksjoner har, at hvis argumentene cn 00:18:53.600 --> 00:19:01.800 nærmer seg c, så vil f(cn) nærme seg f(c). Men da har jeg jo to verdier for grenseverdiene f(cn). 00:19:01.800 --> 00:19:08.200 Her oppe har jeg vist at den må være lik M, her har jeg vist at den må være lik f(c). En følge kan ikke 00:19:08.200 --> 00:19:14.400 konvergere mot to forskjellige verdier, så disse to tingene her medfører at f(c) 00:19:14.400 --> 00:19:17.550 nødvendigvis er lik M. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:19:17.550 --> 00:19:26.900 Hva betyr det? Vel, M er supremum av alle mulige verdier. Her har jeg et punkt hvor verdien faktisk er lik M. 00:19:26.900 --> 00:19:34.000 Det betyr at f(c) må være større enn eller lik alle andre mulige funksjonsverdier. Det betyr at c er et 00:19:34.000 --> 00:19:36.550 maksimumspunkt for funksjonen. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:19:36.550 --> 00:19:45.900 Så dermed har jeg også funnet ut at c er et maksimumspunkt for funksjonen. f(c)=M, det betyr at M må 00:19:45.900 --> 00:19:52.500 være endelig. Fordi en funksjonsverdi får ikke lov til å være uendelig. Så M er endelig. Jeg har vist at funksjonen er 00:19:52.500 --> 00:20:00.250 begrenset av en endelig M, og at jeg har et maksimumspunkt c der maksimumsverdien er oppfylt. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:20:00.250 --> 00:20:06.100 Som jeg sa istad, kan vi føre et akkurat tilsvarende argument for minimumspunkt og dermed har vi 00:20:06.100 --> 00:20:07.800 bevist ekstremalverdisetningen.