WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:06.200 I denne snutten skal vi se litt på middelverdisetningen, som er et av de viktigste verktøyene 00:00:06.200 --> 00:00:13.000 i matematisk analyse. Mange synes at denne setningen er litt vanskelig å forstå seg på; ikke fordi det er 00:00:13.000 --> 00:00:19.100 så vanskelig å se hva den sier for noe, men den er litt vanskelig å bruke. Man trenger litt trening, 00:00:19.100 --> 00:00:24.700 og litt intuisjon for å kjenne igjen situasjonene og de formlene der den dukker opp. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:00:24.700 --> 00:00:33.300 La oss begynne med setningen selv. La meg prøve å illustrere den gjennom en figur. Jeg har en 00:00:33.300 --> 00:00:38.100 funksjon definert på et intervall fra a til b. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:00:38.100 --> 00:00:44.700 Denne funksjonen er ikke bare kontinuerlig, vi antar også at den er deriverbar, ihvertfall i alle indre 00:00:44.700 --> 00:00:54.200 punkter i intervallet. Så går den kanskje noe sånt, fra et startpunkt her nede til et endepunkt her oppe. 00:00:54.200 --> 00:00:57.900 Så trekker jeg den rette linjen gjennom endepunktene her. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:00:57.900 --> 00:01:06.400 Det er det som ofte kalles sekanten, den treffer der oppe. Så regner jeg ut stigningstallet til den 00:01:06.400 --> 00:01:17.900 rette linjen. Da må jeg ta økningen i y-verdi og dele på økningen i x-verdi. Økningen i y-verdi her 00:01:17.900 --> 00:01:27.000 er jo der jeg ender opp i f(b), minus der jeg startet, nemlig f(a). Så det er økningen i y-verdi. 00:01:27.000 --> 00:01:33.050 I x-retning går jeg jo fra a til b, så jeg får lengden av dette intervallet, som er b-a. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:33.050 --> 00:01:42.700 Så det betyr at stigningstallet for den rette linjen, hvis vi kaller den k, så får jeg f(b)-f(a)/b-a. 00:01:42.700 --> 00:01:53.200 Det middelverdisetningen sier, er at inni intervallet så finnes det 00:01:53.200 --> 00:02:02.600 minst et punkt der tangenten er parallell med denne sekanten. Så det punktet ligger kanskje her. 00:02:02.600 --> 00:02:10.600 Og jeg da har en tangent som er parallell med sekanten. Det betyr jo at den deriverte til funksjonen 00:02:10.600 --> 00:02:17.600 i dette punktet må være lik stigningstallet til denne sekanten. Her ligger det et punkt c, 00:02:17.600 --> 00:02:32.400 slik at f'(c) er lik det stigningstallet der borte, altså f(b)-f(a)/b-a. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:02:32.400 --> 00:02:40.100 Setningen gir oss ikke noe informasjon om hvilket punkt det er. Det eneste vi vet er at det ligger 00:02:40.100 --> 00:02:45.900 mellom a og b. Det kan godt tenkes at det er flere slike punkter. På denne figuren her for eksempel, 00:02:45.900 --> 00:02:55.100 vil det også finnes et punkt nedi her et sted, hvor tangenten er parallell med sekanten. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:02:55.100 --> 00:03:01.300 Det eneste setningen sier, er at et eller annet sted i det indre intervallet, finnes det et punkt 00:03:01.300 --> 00:03:05.600 der den deriverte er lik denne brøken. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:03:06.000 --> 00:03:13.800 Det er geometrisk et ganske opplagt bilde. Selvfølgelig mindre opplagt hvis jeg lager en funksjon som 00:03:13.800 --> 00:03:19.400 svinger veldig mye opp og ned. Så dette er en setning som må bevises, men beviset er ikke så fryktelig vanskelig 00:03:19.400 --> 00:03:22.600 og jeg har lyst til å skissere det for dere. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:03:22.600 --> 00:03:28.700 Men før vi går løs på selve beviset for middelverdisetningen, så trenger vi en liten hjelpesetning 00:03:28.700 --> 00:03:36.700 som gjerne kalles Rolles teorem, etter en fransk matematiker som levde på slutten av 1600-tallet. 00:03:36.700 --> 00:03:42.900 Den tar for seg et spesialtilfelle. Hvis jeg tar intervallet fra a til b, men antar at jeg har en funksjon 00:03:42.900 --> 00:03:50.400 som har samme verdi i begge endepunkter. Jeg kan til og med anta at den begynner og slutter på 0. 00:03:50.400 --> 00:03:57.700 Så den har da begynnerpunkt og endepunkt nede på x-aksen. Og så gjør den et eller annet innimellom. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:03:57.700 --> 00:04:05.400 Det er altså en deriverbar funksjon i det indre området. Da er det forholdsvis lett å se at et eller annet 00:04:05.400 --> 00:04:11.650 sted underveis på intervallet her, så må denne funksjonen ha et punkt der den deriverte er 0. NOTE Treffsikkerhet: 67% (MEDIUM) 00:04:11.650 --> 00:04:15.650 Det følger rett og slett fra ekstremalverdisetningen. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:04:15.650 --> 00:04:22.700 Fordi hvis denne funksjonen er noe annet enn det rette linjestykket der den deriverte er 0 overalt, 00:04:22.700 --> 00:04:30.700 så må den enten ha et maks.punkt som ligger over 0, slik som her, eller den må ha et min.punkt 00:04:30.700 --> 00:04:40.200 som ligger under 0, slik som her. I dette eventuelle maks.- eller min.punktet, så må den deriverte være 0. 00:04:40.200 --> 00:04:46.500 Det er forholdsvis lett å se at det i et maksimumspunkt og et minimumspunkt, hvor funksjonen er deriverbar, 00:04:46.500 --> 00:04:54.300 da må den deriverte være lik 0. Så hvis jeg har en slik deriverbar funksjon, der verdien 00:04:54.300 --> 00:05:07.300 i begge endepunktene er lik 0. Ja, så finnes det et punkt c i det indre området, der h'(c)=0. 00:05:07.300 --> 00:05:09.850 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:05:09.850 --> 00:05:15.500 Dette er et spesialtilfelle av middelverdisetningen, for det tilfellet hvor verdien i endepunktene er 00:05:15.500 --> 00:05:22.300 akkurat det samme. Men det vi nå skal se, er at denne spesialutgaven faktisk kan brukes til å bevise 00:05:22.300 --> 00:05:24.250 den fulle setningen. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:05:24.250 --> 00:05:31.500 Da skal vi se på hvordan vi kan bruke Rolles teorem til å bevise middelverdisetningen. 00:05:31.500 --> 00:05:39.900 La meg begynne med å tegne opp situasjonen en gang til. Jeg hadde altså intervallet fra a til b, så det er en 00:05:39.900 --> 00:05:47.700 funksjon definert over det intervallet. Lager en litt enklere figur nå enn istad. Så hadde vi 00:05:47.700 --> 00:05:54.400 sekanten som forbandt de to endepunktene på grafen. Så sa setningen, rett og slett, at et eller annet sted 00:05:54.400 --> 00:06:01.000 i intervallet så finnes det et punkt (kan tenke seg det er flere, men i denne situasjonen er det bare ett), 00:06:01.000 --> 00:06:09.100 her oppe et punkt c, der denne tangenten er parallell med sekanten. Eller med andre ord, 00:06:09.100 --> 00:06:15.700 stigningstallet til tangenten, altså den deriverte punktet i punktet c, er det samme som stigningstallet til 00:06:15.700 --> 00:06:24.450 denne linjen her. Vi så jo hvilken formel det tilsvarte istad. Det betyr at f'(c)=f(b)-f(a)/b-a. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:06:24.450 --> 00:06:34.300 Så middelverdisetningen sier at det alltid vil finnes 00:06:34.300 --> 00:06:40.600 et punkt c i det indre her, slik at dette holder, gitt visse forutsetninger. For å holde helt styr på 00:06:40.600 --> 00:06:48.600 de forutsetningene, så skriver jeg opp middelverdisetningen i klartekst her nede, slik at vi får med oss alt. 00:06:48.600 --> 00:06:50.400 Her har vi da middelverdisetningen. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:06:56.700 --> 00:07:13.100 La oss først se på forutsetningene. Vi antar at f fra det lukkede intervallet [a,b] inni R: for det første er 00:07:13.100 --> 00:07:23.800 en kontinuerlig funksjon, men i tillegg må den være deriverbar. Men det er ikke nødvendig at den er deriverbar 00:07:23.800 --> 00:07:28.700 i endepunktene, der er det nok at den er kontinuerlig. Men i alle indre punkter må den være deriverbar. 00:07:28.700 --> 00:07:40.800 Så denne funksjonen er altså kontinuerlig og deriverbar i det åpne intervallet fra a til b. 00:07:40.800 --> 00:07:46.900 Det er ikke nødvendig være deriverbar i endepunktene, og det er av og til litt nyttig å vite. 00:07:46.900 --> 00:07:57.200 Så sier setningen: da finnes det NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:57.200 --> 00:08:15.300 et punkt c i det indre intervallet, der denne formelen her oppe holder. Altså at f'(c)=f(b)-f(a)/b-a. 00:08:15.300 --> 00:08:27.200 Så det er altså middelverdisetningen som står her nede med alle forutsetningene puttet inn. 00:08:27.200 --> 00:08:33.750 Vår oppgave er nå å bevise at denne setningen er sann. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:08:33.750 --> 00:08:41.100 Det jeg da gjør, er å bruke Rolles teorem som jeg viste istad, til å vise denne setningen. 00:08:41.100 --> 00:08:50.600 Rolles teorem gjelder bare for funksjoner som er 0 i endepunktene av intervallet. For å bruke den, 00:08:50.600 --> 00:08:59.400 må jeg få inn en funksjon som er 0 både i a og i b. Den funksjonen jeg skal bruke, er avstanden mellom 00:08:59.400 --> 00:09:07.300 funksjonsgrafen og sekanten. Så hvis jeg putter inn en x her, og går opp funksjonsgrafen, er det 00:09:07.300 --> 00:09:18.200 den differansen her, mellom de to grafene, som vil være h-funksjonen min. Så dette er h(x). Vi ser at når x 00:09:18.200 --> 00:09:24.000 endrer seg, så vil det linjestykket også endre seg, så h er en funksjon av x. Vi ser også at i endepunktene, 00:09:24.000 --> 00:09:31.000 så vil h=0, for i a faller grafen og sekanten sammen, og i b faller grafen og sekanten sammen. 00:09:31.000 --> 00:09:34.450 Så dette er en funksjon som tilfredstiller NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:09:34.450 --> 00:09:41.500 denne grunnleggende betingelsen i Rolles teorem. For å bruke denne h-en, må jeg ha 00:09:41.500 --> 00:09:48.000 et uttrykk for den. Det ser litt komplisert ut, for det blir 00:09:48.000 --> 00:09:53.900 et litt stygt algebraisk uttrykk. Det jeg aller først trenger, er en likning for denne sekantlinjen 00:09:53.900 --> 00:09:57.349 som forbinder de to endepunktene. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:09:57.349 --> 00:10:03.300 Da bruker jeg det som gjerne kalles ettpunktsformelen for en rett linje. Jeg vet at den rette linjen 00:10:03.300 --> 00:10:10.400 går gjennom det punktet der, og jeg kjenner stigningstallet, som er den brøken som står der nede. 00:10:10.400 --> 00:10:17.800 Da sier formelen at en generell y-verdi på linjen-- hvis jeg tar den og trekker fra y-verdien 00:10:17.800 --> 00:10:24.600 i det punktet jeg vet om, det er y-f(a), så er det lik stigningstallet for linjen, og det var jo den brøken der 00:10:24.600 --> 00:10:37.500 hadde vi regnet ut. f(b)-f(a)/b-a. Det er k-en, det er stigningstallet. 00:10:37.500 --> 00:10:46.300 Så skal jeg gange med (x-a). x er den generelle x-koordinaten på linjen, a er x-koordinatet i det punktet vi vet om. 00:10:46.300 --> 00:10:48.300 Sånn. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:10:48.300 --> 00:10:58.500 Det er denne ettpunktsformelen for linjen gjennom punktet (a, f(a)), og med dette her som stigningstall. 00:10:58.500 --> 00:11:05.500 Det betyr at jeg rett og slett får y-en ved å ta -f(a) og flytter den over 00:11:05.500 --> 00:11:13.700 på den siden der. Når vi har det uttrykket, så kan jeg regne ut hva h(x) er. La oss ha den for seg der. 00:11:13.700 --> 00:11:16.800 Så ser vi på hva h(x) er. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:11:16.800 --> 00:11:25.500 h(x) er altså differansen fra funksjonsgrafen og ned til linjen. Det vil si at jeg må ta uttrykket 00:11:25.500 --> 00:11:32.600 for funksjonen her oppe og trekke fra uttrykket for y-verdien på linjen her nede. Funksjonen er jo f selv. 00:11:32.600 --> 00:11:40.600 Her oppe har jeg f(x), så må jeg trekke fra verdien for den y-en der. Så jeg må trekke fra uttrykket 00:11:40.600 --> 00:11:46.100 for den y-en som står her borte. Da får jeg dette uttrykket, og så må jeg flytte den f(a) over 00:11:46.100 --> 00:11:58.300 på den andre siden. Så det blir -(f(b)-f(a)/b-a)*(x-a). Jeg skal trekke fra hele uttrykket, 00:11:58.300 --> 00:12:08.700 så flytter jeg den f(a)-en over her. Da får jeg +f(a). Sånn ser dette uttrykket 00:12:08.700 --> 00:12:17.000 for h(x) ut. Det ser jo fryktelig ut, men det aller meste som står her er konstanter. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:12:17.000 --> 00:12:24.300 f(b), f(a), b og a. Alt er bare konstanter. f(a) er en konstant. Det eneste i dette svære uttrykket 00:12:24.300 --> 00:12:28.650 som avhenger av x, det er den x-en som står der inne. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:12:28.650 --> 00:12:34.800 Når vi skal derivere dette uttrykket, er det egentlig ganske enkelt selv om uttrykket ser stygt ut. 00:12:34.800 --> 00:12:42.700 Hvis jeg nå deriverer her, så får jeg at h'(x) er lik-- da må jeg først derivere det leddet, 00:12:42.700 --> 00:12:46.250 men det er jo bare f'(x). NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:12:46.250 --> 00:12:53.100 Så er det dette svære uttrykket jeg skal derivere. Den f(a)-en blir bare borte, den er en konstant. 00:12:53.100 --> 00:12:58.400 Den blir borte når jeg deriverer. Dette er bare en konstant som står der, så den blir bare stående 00:12:58.400 --> 00:13:05.600 foran her. Når jeg deriverer her, så får jeg 1 derfra og 0 derfra. Det eneste jeg blir stående igjen med 00:13:05.600 --> 00:13:11.600 når jeg deriverer hele dette stygge uttrykket, er faktisk den brøken der. Den har en minus foran seg 00:13:11.600 --> 00:13:21.350 som jeg må ha med. Det er -f(b)-f(a)/b-a. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:13:21.350 --> 00:13:29.700 Så der har jeg den deriverte av h. Det jeg sa om h, var at det var en funksjon som tilfredsstilte 00:13:29.700 --> 00:13:37.100 Rolles teorem. Fordi f er kontinuerlig på hele intervallet, deriverbar i det indre, 00:13:37.100 --> 00:13:51.800 og den er 0 i begge endepunktene. Ved Rolles teorem, finnes det et punkt der den deriverte til h=0. 00:13:51.800 --> 00:14:02.800 Jeg kan finne en c, slik at h'(c)=0. Men det at h'(c)=0 må jo bety at hele dette uttrykket her 00:14:02.800 --> 00:14:11.000 er lik 0, så jeg må sette inn x=c der. Der står det f'(c) - f(b)-f(a)/b-a. Det uttrykket er lik 0. 00:14:11.000 --> 00:14:20.100 Men hvis dette uttrykket er 0, 00:14:20.100 --> 00:14:21.950 så må jo de to leddene være like store. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:14:21.950 --> 00:14:27.900 Det betyr at det leddet må være lik det der borte. Det var jo akkurat det vi skulle bevise, 00:14:27.900 --> 00:14:31.200 nemlig at disse to tingene er like. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:14:31.200 --> 00:14:39.100 Dermed er beviset for middelverdisetningen ferdig. Vi har vist, ved hjelp av Rolles teorem, 00:14:39.100 --> 00:14:45.300 at det finnes et punkt c som oppfyller denne ligningen. Poenget var at h var en funksjon som 00:14:45.300 --> 00:14:51.700 tilfredsstilte Rolles teorem. Da vet jeg at det finnes en c som gjør h'(x)=0. Men h'(x) er 00:14:51.700 --> 00:14:57.400 bare dette uttrykket der. Det betyr at vi finner en c slik at dette er lik 0. Det betyr jo 00:14:57.400 --> 00:15:01.900 at det leddet nødvendigvis er lik det. Dermed er middelverdisetningen bevist. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:15:01.900 --> 00:15:06.600 Som vi har sett, er ikke middelverdisetningen så veldig vanskelig å forstå. I hvert fall ikke 00:15:06.600 --> 00:15:12.600 det grafiske bildet. Beviset er heller ikke blant de vanskeligste. Men, som jeg sa innledningsvis; det som ofte 00:15:12.600 --> 00:15:18.600 skaper problemer for studenter, det er at setningen kan være litt vrien å bruke. Litt vanskelig å 00:15:18.600 --> 00:15:23.600 gjenkjenne situasjonene hvor den skal brukes. Det kreves ofte litt fingerferdighet med formler 00:15:23.600 --> 00:15:30.600 og en evne til å kjenne igjen uttrykk, som igjen da kanskje krever en god del trening. La meg vise noen 00:15:30.600 --> 00:15:40.700 eksempler, noen veldig enkle. Den første er den situasjonen der. Vi vet at dersom en funksjon f(x) 00:15:40.700 --> 00:15:54.100 er konstant, så er den deriverte lik 0. Men spørsmålet er, gjelder det omvendte? Er det slik at hvis 00:15:54.100 --> 00:16:01.800 f'(x)=0, så er nødvendigvis funksjonen en konstant? NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:16:05.500 --> 00:16:15.700 Det første her er helt trivielt å vise, for vi har jo en formel for den deriverte. Setter vi konstanten inn der, 00:16:15.700 --> 00:16:23.400 popper 0 ut. Men det omvendte spørsmålet, det her nede, det er slett ikke så enkelt. 00:16:23.400 --> 00:16:28.800 Her kan vi ikke bare sette inn noe i et uttrykk. Vi vet jo ikke hva jeg f(x) er. Vi vet bare at 00:16:28.800 --> 00:16:29.900 den deriverte er lik 0. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:16:30.200 --> 00:16:36.800 Det er ikke så lett å besvare dette spørsmålet uten å bruke middelverdisetningen. Men med det, er det faktisk 00:16:36.800 --> 00:16:38.150 ganske enkelt. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:16:38.150 --> 00:16:49.600 La oss tenke oss at vi har tallinjen bortover her. Så velger jeg ut et punkt, la meg si a. 00:16:49.600 --> 00:16:56.000 Der har jeg selvfølgelig en funksjonsverdi, f(a). Her ligger funksjonen. Den går gjennom det punktet der. 00:16:56.000 --> 00:16:56.849 NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:16:56.849 --> 00:17:03.200 Så kan jeg plukke ut et hvilket som helst annet punkt, x her borte. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:17:03.200 --> 00:17:09.200 Det jeg skal gjøre, ut fra antagelsen om at den deriverte er 0, er å vise at funksjonen er konstant. 00:17:09.200 --> 00:17:16.000 Det jeg da må vise, er at hvis jeg tar et hvilket som helst annet punkt x her, så er f(x)=f(a). 00:17:16.000 --> 00:17:22.200 f(x) skal egentlig helst ligge her oppe og ha samme verdi som f(a). 00:17:22.200 --> 00:17:30.700 Hvordan viser jeg at f(x)=f(a)? Vel, jeg bruker middelverdisetningen på dette intervallet her. 00:17:30.700 --> 00:17:39.100 Hva får jeg da? x-en spiller nå den rollen som b har spilt tidligere. Jeg får at f(x)-f(a)/x-a 00:17:39.100 --> 00:17:49.300 er f'(c). Jeg vet ikke hva c er, men det er et eller annet 00:17:49.300 --> 00:17:51.449 punkt i det indre intervallet her. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:17:51.449 --> 00:17:59.800 Hva c er, spiller jo ikke noe rolle her. Jeg vet at f'(x)=0 i alle punkter. Så den der 00:17:59.800 --> 00:18:01.850 er nødvendigvis lik 0. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:18:01.850 --> 00:18:08.300 Da er denne brøken her borte lik null. Den eneste måten en brøk kan bli 0 på, er at telleren er 0. 00:18:08.300 --> 00:18:18.900 Så f(x)-f(a) må være lik 0. Det vil si at f(x)=f(a). Dette gjelder for en hvilken som helst x 00:18:18.900 --> 00:18:26.200 forskjellig fra a. Det viser da at funksjonen må være konstant, fordi verdien i et hvilket som helst punkt 00:18:26.200 --> 00:18:30.600 er den samme som verdien i punktet a. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:18:31.700 --> 00:18:37.900 Dette er et veldig enkelt eksempel, men det viser kanskje hvorfor bruk av middelverdisetningen kan være 00:18:37.900 --> 00:18:42.800 litt vanskelig innimellom. Det er veldig lite som i utgangspunktet her peker på middelverdisetningen. 00:18:42.800 --> 00:18:49.200 Vi har ikke noe intervall vi er interessert i å undersøke ting over. Vi har ikke noe geometrisk bilde som 00:18:49.200 --> 00:18:55.000 ligner det geometriske bildet i middelverdisetningen. Vi må selv finne på at den opplysningen vi har, 00:18:55.000 --> 00:19:00.300 nemlig om at den deriverte er 0 i alle punkter, det er nok til å koble oss til 00:19:00.300 --> 00:19:06.200 middelverdisetningen. Vi finner en brøk vi kan sette opp, og så ror middelverdisetningen oss i land. 00:19:06.200 --> 00:19:12.500 Det er ganske typisk for bruken. Det står liksom ikke og flasher et signal om at "her skal du 00:19:12.500 --> 00:19:17.500 bruke middelverdisetningen". Du må bruke littegranne fantasi selv, for å se hvordan den kommer inn i bildet. 00:19:17.500 --> 00:19:18.150 NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:19:18.150 --> 00:19:23.300 La meg bare ta med en ting til, i forbindelse med dette, som vi skal få bruk for når vi kommer til 00:19:23.300 --> 00:19:30.400 integrasjon. Hvis det nå er slik at jeg har to funksjoner, f(x) og g(x), som har samme derivert. 00:19:30.400 --> 00:19:41.400 f'(x) og g'(x) er like i alle punkter. Hva kan vi da si om sammenhengen mellom f og g? 00:19:41.400 --> 00:19:49.700 Det vi kan gjøre i dette tilfellet: hvis jeg nå ser på differansfunksjonen her, differansen mellom f og g, 00:19:49.700 --> 00:19:59.900 og lager en funksjon h(x) som er f(x)-g(x), og så deriverer den funksjonen, så får jeg jo at 00:19:59.900 --> 00:20:09.800 h'(x) er f(x)-g(x). Og så var jo forutsetningen at disse to 00:20:09.800 --> 00:20:16.200 deriverte var de samme overalt, så da får jeg jo samme på begge sider her. Jeg får rett og 00:20:16.200 --> 00:20:18.550 slett 0. Så det betyr at h'(x)=0, NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:20:18.550 --> 00:20:25.800 men så vet jeg jo at hvis en funksjon er 0 i alle punkter, så er den funksjonen en konstant. 00:20:25.800 --> 00:20:37.200 Så dette her medfører at h(x) er lik en konstant c. Hvis jeg går tilbake her, 00:20:37.200 --> 00:20:46.400 betyr det at f(x)-g(x) er lik denne konstanten c. Flytter jeg g(x) over på den siden, så står det jo da her at 00:20:46.400 --> 00:20:57.300 f(x)=g(x)+c. Det betyr altså at hvis jeg har to funksjoner som har samme derivert funksjon, 00:20:57.300 --> 00:21:04.800 altså de to deriverte er de samme i alle punkter; ja, da må den ene funksjonen være den andre funksjonen 00:21:04.800 --> 00:21:12.400 + en c. Dette er viktig integrasjon, for dette forklarer på en måte de c-ene som dukker opp når vi regner ut 00:21:12.400 --> 00:21:14.600 ubestemte integraler.