WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:06.900 I denne snutten her skal vi se litt på integrasjon, som historisk sett er en måte å regne ut arealer og volumer på, 00:00:06.900 --> 00:00:13.100 selv om vi i dag bruker den til ganske mye annet. De teknikkene vi har i dag, de er bare moderne versjoner 00:00:13.100 --> 00:00:20.500 av gamle problemstillinger. Så la oss begynne med det aller mest grunnleggende. Det vi har, 00:00:20.500 --> 00:00:29.000 er en funksjon definert over et intervall fra a til b. Vi tenker oss, for enkelhets skyld, at denne funksjonen 00:00:29.000 --> 00:00:34.700 er positiv, selv om den ikke behøver å være det. Så er vi interessert i å regne ut arealet 00:00:34.700 --> 00:00:42.800 under denne funksjongrafen, altså til det området jeg skraverer her. Men når jeg sier det, 00:00:42.800 --> 00:00:48.300 så jukser jeg litt, fordi vi kan ikke regne ut noe som ikke er definert, og det er ingen som har definert 00:00:48.300 --> 00:00:55.200 arealer for oss. Før vi setter i gang med å regne ut dette arealet, må vi bestemme oss for hva vi skal mene 00:00:55.200 --> 00:01:00.200 med arealet under en graf. Det eneste vi egentlig har som redskap da, NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:00.200 --> 00:01:08.700 er det alle er enig om når det gjelder arealer, nemlig at hvis jeg har en boks med grunnlinje og høyde, 00:01:08.700 --> 00:01:17.600 så er arealet til den boksen lik grunnlinje ganget med høyde. Det vi skal prøve å få til, er å bruke 00:01:17.600 --> 00:01:26.100 denne formelen for arealet av et rektangel til å komme frem til et arealbegrep for mer uregelmessige områder 00:01:26.100 --> 00:01:34.000 av den typen vi ser her oppe. Den grunnleggende idéen er å prøve å tilnærme disse områdene 00:01:34.000 --> 00:01:40.500 ved hjelp av rektangler. Det jeg først kan tenke meg å gjøre, er å putte små rektangulære bokser 00:01:40.500 --> 00:01:42.949 på innsiden av dette arealet her. NOTE Treffsikkerhet: 73% (MEDIUM) 00:01:42.949 --> 00:01:49.500 Jeg får en figur som ser sånn ut. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:01:49.500 --> 00:01:58.500 Puttet rektangler på innsiden av arealet. Hvis jeg nå regner ut arealet til alle disse rektanglene og legger sammen, 00:01:58.500 --> 00:02:05.700 så burde jeg få noe som er mindre enn arealet til området, dersom dette området har noe areal. 00:02:05.700 --> 00:02:14.200 Det er en problemstilling i seg selv. Hvis jeg setter opp her, så får jeg at innskrevet areal, 00:02:14.200 --> 00:02:20.900 arealet av boksene jeg ser på, det burde være mindre enn eller lik det ekte arealet som jeg er på jakt etter. 00:02:20.900 --> 00:02:29.600 Da har jeg tilnærmet dette arealet fra den ene siden. Jeg kan regne ut noe som jeg vet er mindre enn 00:02:29.600 --> 00:02:35.100 det ekte arealet. Så kan jeg prøve tilsvarende triks fra den andre siden; jeg kan ta bokser som 00:02:35.100 --> 00:02:47.800 ligger på utsiden her. Tar bokser som går opp på utsiden av området til det området jeg ser på. 00:02:47.800 --> 00:02:50.350 Disse boksene går helt ned til x-aksen. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:02:50.350 --> 00:02:57.000 Så kan jeg regne ut arealet av disse boksene, og da får jeg et oppskrevet areal. 00:02:57.000 --> 00:03:07.600 Hvis det er noe rettferdighet, så bør det omskrevne arealet være større enn arealet vi er interessert 00:03:07.600 --> 00:03:10.950 i under grafen, som er større enn det innskrevne arealet. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:03:10.950 --> 00:03:17.700 Jeg må kanskje sette det der i anførselstegn inntil videre, for vi har jo ikke definert dette arealet i midten, 00:03:17.700 --> 00:03:24.800 vi har en forestilling om at det må være et areal til det området. Hvis det er slik, så bør det 00:03:24.800 --> 00:03:30.600 ligge mellom de to andre. Poenget er om vi kan komme nærmere og nærmere her, her er det jo blitt ganske 00:03:30.600 --> 00:03:37.400 store bokser. Hvis jeg bruker slankere bokser, så er det mindre områder som stikker på innsiden og utsiden, 00:03:37.400 --> 00:03:44.900 og da kommer jeg kanskje nærmere den eksakte verdien for hva dette arealet skal være. Når vi skal prøve 00:03:44.900 --> 00:03:50.500 å definere arealet under her, eller integralet til funksjonen, så kommer vi til å systematisere den ideen 00:03:50.500 --> 00:03:57.300 ved å bruke tynnere og tynnere bokser, finere og finere oppdelinger, for å få en bedre og bedre 00:03:57.300 --> 00:03:58.800 tilnærming. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:03:58.800 --> 00:04:05.900 For å få til det, så trenger vi noen begreper. Det aller første begrepet er partisjon. 00:04:05.900 --> 00:04:13.900 En partisjon av intervallet fra a til b, det er rett og slett en oppdeling av dette intervallet 00:04:13.900 --> 00:04:20.000 i mindre oppdelinger. Da tenker jeg at disse punktene i oppdelingene skal være disse delepunktene 00:04:20.000 --> 00:04:30.600 hvor jeg legger inn rektanglene. Jeg lager da en oppdeling. Punktet i oppdelingen heter x0, x1 og så videre. 00:04:30.600 --> 00:04:38.600 x0 er det samme som a. x1 er det neste punktet som ligger i oppdelingen her. x2 er et nytt punkt som ligger etter x1, 00:04:38.600 --> 00:04:41.700 og så videre bortover. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:04:41.700 --> 00:04:48.600 Hvis det er n punkter fra x1 og oppover i denne oppdelingen, så sier jeg at b er det siste punktet i oppdelingen. 00:04:48.600 --> 00:04:58.300 Samlingen av disse punktene, fra x0=a og opp til xn=b, kaller jeg en partisjon. En partisjon P 00:04:58.300 --> 00:05:10.500 er bare en mengde av punkter: x0, x1, opptil xn. Der x0=a, xn=b, og disse punktene da ligger i 00:05:10.500 --> 00:05:13.750 stigende rekkefølge bortover på arealet her. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:05:13.750 --> 00:05:20.200 Hver gang jeg har en slik oppdeling, så kan jeg lage det jeg kaller den tilhørende nedre og øvre trappesummen, 00:05:20.200 --> 00:05:26.000 det er akkurat det jeg har gjort her oppe. Nedre trappesummen, da tar jeg liksom rektangelet 00:05:26.000 --> 00:05:28.700 opp til grafen, NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:05:28.700 --> 00:05:35.500 over rektangelet jeg har. Ingenting stikker på oversiden, alt ligger på undersiden. Den øvre trappesummen 00:05:35.500 --> 00:05:43.300 får jeg ved å gå på oversiden av grafen hele tiden. For å formalisere dette her, så må jeg da 00:05:43.300 --> 00:05:51.700 beskrive hvor høyt opp jeg må gå for henholdsvis de indre og de ytre boksene. Hvis jeg tar 00:05:51.700 --> 00:06:00.600 de ytre boksene først, sier jeg at høyden av den i-te, ytre boksen (det er den ytre boksen som ligger over 00:06:00.600 --> 00:06:07.400 det i-te intervallet), og siden jeg begynner å telle på 0 her, så går det i-te intervallet fra xi-1 til xi. 00:06:07.400 --> 00:06:16.600 Så her ser jeg på alle funksjonsverdier f(x), der x-en ligger i det i-te intervallet. Det betyr at 00:06:16.600 --> 00:06:25.000 x-en ligger mellom xi-1 (som er startpunktet på det i-te intervallet), og xi, som er 00:06:25.000 --> 00:06:29.200 sluttpunktet på i-te intervallet. Her ser jeg på alle funksjonsverdiene, NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:06:29.200 --> 00:06:36.000 og så vil jeg gjøre dette her så stort at Mi er større enn alle disse funksjonsverdiene. 00:06:36.000 --> 00:06:39.600 Da tar jeg supremum over den mengden. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:06:39.600 --> 00:06:48.600 Hvis jeg tegner opp det i-te intervallet her nede, her har jeg inngangen xi-1. Her har jeg slutten 00:06:48.600 --> 00:06:58.000 på intervallet, xi, så ligger funksjonsgrafen over her, sånn kanskje. Hva er da Mi? 00:06:58.000 --> 00:07:06.900 Det er supremum til funksjonen over dette intervallet, og det er akkurat i overkant av funksjonsgrafen her. 00:07:06.900 --> 00:07:13.400 Så den høyden der, det er Mi. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:07:13.400 --> 00:07:21.900 Det tilsvarer altså høyden av boks nummer i her borte. Da mener jeg den ytre boksen, den som ligger på 00:07:21.900 --> 00:07:28.700 utsiden av grafen. Nå må jeg gjøre noe tilsvarende for de indre boksene. Jeg skal ha en boks på innsiden her, som går opp dit 00:07:28.700 --> 00:07:34.300 og så bort sånn. Der må jeg sørge for at den boksen hele tiden ligger på undersiden av grafen. 00:07:34.300 --> 00:07:42.700 Hva er høyden da? Jo, nå ser jeg igjen på alle funksjonsverdier som denne funksjonen har 00:07:42.700 --> 00:07:50.400 over dette intervallet. Sånn, akkurat samme mengden som istad, men nå er jeg ikke lenger interessert 00:07:50.400 --> 00:07:56.300 i å få den så stor som overhodet mulig. Nå må jeg komme under alle punktene, så da må jeg ta infimum i stedet. 00:07:56.300 --> 00:08:08.900 Altså største, nedre skranke til den mengden. Den kaller jeg mi. På tegningen her, er da mi 00:08:08.900 --> 00:08:10.250 den høyden der. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:08:10.250 --> 00:08:19.800 Og da kan jeg jo skrive opp hva dette innskrevne og hva dette omskrevne arealet er for noe. 00:08:19.800 --> 00:08:28.000 Hva er det innskrevne arealet? Jo, over hvert delintervall fra xi-1 til xi, så har jeg en boks med dette 00:08:28.000 --> 00:08:37.700 som grunnlinje, og med høyde mi. Hver boks i den nedre, det innskrevne arealet, det er bokser med høyde Mi, 00:08:37.700 --> 00:08:48.400 og lengde fra xi-1 til xi. Det blir xi minus xi-1. Det er størrelsen av arealet til 00:08:48.400 --> 00:08:58.500 den i-te boksen. Så må jeg summere oppover alle de boksene jeg har. De går da fra 1 til n 00:08:58.500 --> 00:08:59.550 på den måten der. NOTE Treffsikkerhet: 56% (MEDIUM) 00:08:59.550 --> 00:09:01.500 Går fra 1 til n, NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:09:01.500 --> 00:09:09.700 siden jeg må sørge for at jeg har 0 der borte og ikke -1. Tilsvarende her oppe, 00:09:09.700 --> 00:09:16.100 akkurat samme type bokser. Eneste forskjellen er nå at høyden er Mi. Hver boks har størrelse 00:09:16.100 --> 00:09:26.100 Mi(xi - xi-1), og så summert. i går fra 1 til n, på den måten der sånn. 00:09:26.100 --> 00:09:34.700 Det er henholdsvis det innskrevne arealet og det omskrevne arealet til disse boksene mine. Jeg må da se 00:09:34.700 --> 00:09:42.000 hva jeg kan gjøre med disse her, når jeg får oppdelinger som er finere og finere. Da er det greit å ha et navn 00:09:42.000 --> 00:09:47.100 på dem. Dette her er det jeg kaller den nedre trappesummen, det er størrelsen på de boksene som 00:09:47.100 --> 00:09:54.300 ligger på innsiden der. La meg kalle den N, for nedre. Og så knytte den til partisjonen jeg har valgt, 00:09:54.300 --> 00:10:01.950 så jeg kaller den for N(P). Det er nedre trappesum for partisjonen P. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:10:01.950 --> 00:10:09.750 Denne kaller jeg Ø(P) isteden, Ø for øvre. Dette er øvre trappesum til partisjonen P. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:10:09.750 --> 00:10:21.600 Nå er den grunnleggende idéen klar her. For hver partisjon, hver gang jeg har en oppdeling av intervallet, kan jeg lage 00:10:21.600 --> 00:10:29.000 to samlinger av bokser. De som ligger på nedsiden, de har et samlet areal lik N(P). Boksene som ligger på oversiden, 00:10:29.000 --> 00:10:37.400 har et samlet areal på Ø(P). Hvis området selv har et areal, så bør det ligge innimellom her for 00:10:37.400 --> 00:10:40.900 alle mulige valg av N(P) og Ø(P). NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:10:43.700 --> 00:10:52.500 Hva betyr det? Vi kan tenke oss at vi systematiserer litt. Hvis vi nå har tallinjen bortover her, 00:10:52.500 --> 00:11:00.700 0 her for å ha et sted å starte. Så tar jeg fram en partisjon, jeg trekker 00:11:00.700 --> 00:11:07.400 en partisjon opp av en hatt. Jeg får en inndeling av intervallet her, og en tilsvarende 00:11:07.400 --> 00:11:15.400 samling av bokser på innsiden, som da har det arealet her. Og en samling av bokser på utsiden, som har det arealet her. 00:11:15.400 --> 00:11:22.200 Det nedre arealet vil alltid være mindre enn det øvre arealet. Hvis jeg setter av dette her 00:11:22.200 --> 00:11:30.500 på tallinjen, så her har jeg kanskje N(P). Det er den nedre trappesummen for partisjonen jeg ser på. 00:11:30.500 --> 00:11:37.400 Så har jeg da den øvre trappesummen, kanskje jeg skal ta den i rødt. Denne her borte. 00:11:37.400 --> 00:11:44.300 Nå har jeg jo bare trukket en partisjon opp av en hatt. I tilfelle vi skal ha flere partisjoner, 00:11:44.300 --> 00:11:44.700 så kan jeg kalle NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:11:44.700 --> 00:11:51.150 dette her for P1, slik at det er N(P1) og Ø(P1). NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:11:51.150 --> 00:11:58.200 Så tar jeg en annen partisjon, trekker den opp av en hatt. Finner ut av at her var det veldig stor avstand mellom 00:11:58.200 --> 00:12:04.600 nedre og øvre. Hvis jeg lager en finere oppdeling, en partisjon med flere punkter og tynnere delintervaller, 00:12:04.600 --> 00:12:10.500 så kommer sannsynligvis nedre og øvre trappesum nærmere hverandre. Da får jeg kanskje en nedre trappesum 00:12:10.500 --> 00:12:16.800 som ligger der, det er nedre trappesum for partisjon nummer to. Så får jeg en øvre trappesum for 00:12:16.800 --> 00:12:25.200 partisjon nummer to, som kanskje ligger her oppe. Fortsatt var det ganske stor avstand mellom nedre og øvre. 00:12:25.200 --> 00:12:30.100 Så kanskje jeg har lyst til å gjøre dette flere ganger. Hvis jeg gjør det om igjen og om igjen, 00:12:30.100 --> 00:12:35.200 får jeg kanskje noen nedre trappesummer som ligger her, og så får jeg noen øvre trappesummer som ligger der. 00:12:35.200 --> 00:12:42.600 Så kan jeg se hvor langt opp kan jeg presse de nedre trappesummene, og hvor langt ned kan jeg 00:12:42.600 --> 00:12:50.500 presse de øvre trappesummene. Kanskje stopper dette her opp, kanskje her. Lenger opp kommer ikke de nedre 00:12:50.500 --> 00:12:51.200 trappesummene. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:12:51.200 --> 00:12:58.200 De øvre trappesummene kommer kanskje dit, og så stopper de opp. Der stopper de øvre trappesummene opp. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:12:58.200 --> 00:13:04.900 Det er et gap der, det vil jeg helst ikke ha. Det kan tenkes at jeg får et gap mellom hvor langt opp jeg kan presse 00:13:04.900 --> 00:13:09.450 de nedre trappesummene, og hvor langt ned jeg kan presse de øvre trappesummene. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:13:09.450 --> 00:13:17.300 Disse to størrelsene her, de vil vi sette et navn på. Dette vil jeg kalle nedre integral til funksjonen, 00:13:17.300 --> 00:13:24.300 og dette her vil jeg kalle øvre integral til funksjonen. Dette med nedre og øvre integral, 00:13:24.300 --> 00:13:30.100 det skal vi da ta videre, og så skal vi definere selve integralet etterhvert. Men selve integralet vil 00:13:30.100 --> 00:13:37.300 bare være definert i det tilfellet hvor disse to grensene her, for de nedre og de øvre trappesummene, 00:13:37.300 --> 00:13:42.600 stemmer overens. Hvis det er et gap mellom dem, slik jeg har vist her, så betyr det rett og slett 00:13:42.600 --> 00:13:48.500 at dette området er for uregelmessig til å ha et areal, i hvert fall når vi bruker dette som 00:13:48.500 --> 00:13:51.050 definisjonen av hva et areal skal være. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:13:51.050 --> 00:13:57.400 Da skal vi ta disse øvre og nedre trappesummene videre. Vi kom fram til at alle disse 00:13:57.400 --> 00:14:03.300 nedre trappesummene lå her nede på tallinjen når vi satte dem av. Så hadde vi noen 00:14:03.300 --> 00:14:12.100 øvre trappesummer, som lå her oppe. Så hadde vi den øvre skranken for disse nedre trappesummene. 00:14:12.100 --> 00:14:18.600 Jeg vil formalisere, sette et navn på den der. Det kaller jeg nedre integralet av funksjonen fra a til b, 00:14:18.600 --> 00:14:26.900 av funksjonen vår f(x) dx. Det er rett og slett så langt opp jeg kan presse disse nedre 00:14:26.900 --> 00:14:34.900 trappesummene. Så jeg ser på alle mulige nedre trappesummer for alle mulige partisjoner. For hver eneste 00:14:34.900 --> 00:14:43.100 partisjon av det intervallet vi ser på, så putter jeg inn den nedre trappesummen her. Så ser jeg hvor 00:14:43.100 --> 00:14:49.400 langt opp jeg kan presse disse her. Da tar jeg supremum over denne mengden. Det er den streken 00:14:49.400 --> 00:14:52.000 jeg satte her, som markerte den øvre enden på NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:14:52.000 --> 00:14:58.200 de hvite strekene. Så gjør jeg tilsvarende fra den andre enden. Her har jeg alle disse øvre trappesummene som 00:14:58.200 --> 00:15:04.200 jeg kanskje kan presse ned dit og ikke noe lenger. Så de går helt ned dit, og den streken der, kaller jeg da 00:15:04.200 --> 00:15:15.000 det øvre integralet fra a til b med strek over, av f(x) dx. Det er da infimum, for nå skal jeg 00:15:15.000 --> 00:15:21.500 presse så langt ned som mulig, så det er så langt ned som overhodet mulig jeg kan få disse øvre 00:15:21.500 --> 00:15:32.900 partisjonene, eller disse øvre trappesummene. Det er ikke bestandig at disse to tingene møtes. Det kan 00:15:32.900 --> 00:15:39.400 tenkes at den der ikke blir presset helt ned dit, slik at jeg har et gap innimellom. Skal vise 00:15:39.400 --> 00:15:45.200 et eksempel på det etterpå, men i de aller fleste situasjoner man kommer borti i praksis, så stemmer disse her underveis. 00:15:45.200 --> 00:15:51.600 Vi kan presse de øvre og de nedre sammen, slik at de møtes i samme punkt. I så fall sier vi at 00:15:51.600 --> 00:15:51.849 NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:15:51.849 --> 00:16:02.800 denne funksjonen er integrerbar. Hvis disse to, nedre integralet fra a til b 00:16:02.800 --> 00:16:10.300 (det skal stå f(x) dx inni der), hvis nedre integralet er lik øvre integralet, på denne måten der, 00:16:10.300 --> 00:16:16.800 så sier vi at f er integrerbar. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:16:19.700 --> 00:16:31.300 Vi definerer integralet av denne funksjonen. Vanlig integral uten noen streker oppe og nede, til å være 00:16:31.300 --> 00:16:38.400 den felles verdien, så det er da lik-- hvis jeg vil bruke det nedre integralet, 00:16:38.400 --> 00:16:45.800 så er det verdien av nedre integralet av f(x) dx, men det er også lik øvre integralet. For det er jo nå tilfellet 00:16:45.800 --> 00:16:54.600 hvor øvre og nedre integralet stemmer overens. Jeg definerer bare integralet, for funksjoner som er så snille 00:16:54.600 --> 00:17:01.300 at jeg greier å få presset øvre og nedre sammen. Og da er integralet lik denne felles verdien. 00:17:01.300 --> 00:17:02.550 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:17:02.550 --> 00:17:08.599 Det er jo et veldig fornuftig utgangspunkt, fordi vi var jo enige om at hvis dette området virkelig hadde 00:17:08.599 --> 00:17:14.300 et areal, så ville alle disse røde summene være større enn arealet, alle de hvite summene skulle være mindre. 00:17:14.300 --> 00:17:21.500 Når vi kan presse dem helt sammen til en felles grense, er det naturlig at det er arealet til området, 00:17:21.500 --> 00:17:28.300 eller integralet av funksjonen. Det tilfellet vi ser på her, er altså tilfellet som ser 00:17:28.300 --> 00:17:35.500 litt annerledes ut enn det der oppe. Dette er tilfellet hvor alle disse nedre trappesummene 00:17:35.500 --> 00:17:44.200 kommer opp til den skranken der, og alle de øvre trappesummene faktisk går helt ned til den samme verdien. 00:17:44.200 --> 00:17:51.900 Her faller den røde streken der, og den hvite streken sammen. Den sammenfallende verdien, det er da 00:17:51.900 --> 00:17:56.800 integralet fra a til b, f(x) dx. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:17:56.800 --> 00:18:04.800 På den måten får vi definert integralet for alle funksjoner som er så pene at disse strekene 00:18:04.800 --> 00:18:12.400 faller sammen slik som jeg viste der nede. Nå er det ikke alle funksjoner som er så snille, og det betyr 00:18:12.400 --> 00:18:19.600 bare at det finnes en god del funksjoner som faktisk ikke definerer et areal under grafen, 00:18:19.600 --> 00:18:25.400 i hvert fall ikke ved hjelp av de metodene her. Jeg tenkte jeg kunne vise frem en slik funksjon, som da ikke 00:18:25.400 --> 00:18:31.550 er integrerbar, hvor disse øvre og nedre trappesummene ikke stemmer overens. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:18:31.550 --> 00:18:38.300 Det er en litt rar funksjon, ut ifra de funksjonene dere er vant til fra videregående skole. 00:18:38.300 --> 00:18:44.200 Men det er en veldig enkel funksjon. Jeg kan definere den over intervallet fra 0 til 1, så vi har noe 00:18:44.200 --> 00:18:54.500 å holde oss til. f(x) er rett og slett gitt ved at f(x)=1 hvis x er et rasjonalt tall, 00:18:54.500 --> 00:19:09.600 altså er en brøk av heltall, og den er 0 hvis x ikke er rasjonal, altså er irrasjonal. Funksjonen er litt 00:19:09.600 --> 00:19:15.900 rar fordi den hele tiden veksler mellom verdiene 1 og 0. Det betyr at hvis jeg lager en partisjon her, 00:19:15.900 --> 00:19:24.000 lager en partisjon av intervallet fra 0 til 1. Hvordan vil den nedre trappefunksjonen se ut? 00:19:24.000 --> 00:19:31.500 Jo, de rasjonale tallene ligger tett på tallinjen, så uansett hvor lite intervall jeg har, 00:19:31.500 --> 00:19:32.400 så lenge det har positiv lengde, NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:19:32.400 --> 00:19:38.400 så er det alltid et rasjonalt tall inni der. Det betyr at i ethvert slikt intervall, ligger det et rasjonalt tall, 00:19:38.400 --> 00:19:45.300 og i det rasjonale punktet er funksjonsverdien lik 1. Det betyr at den øvre trappesum, 00:19:45.300 --> 00:19:51.200 den må alltid ha verdien 1, for det er alltid et punkt i det intervallet som er rasjonalt, og dermed har 00:19:51.200 --> 00:19:57.000 funksjonen verdien 1. Det skjer over alle intervallene bortover her. En sånn øvre trappesum, 00:19:57.000 --> 00:20:01.000 den er 1 overalt. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:20:01.600 --> 00:20:09.300 Kanskje jeg skulle tegnet dem rød, for å holde på systematikken her. Dette er de øvre trappesummene, 00:20:09.300 --> 00:20:17.500 som denne funksjonen har. Hva med de nedre trappesummene? Jo, de irrasjonale tallene ligger også tett. Det betyr 00:20:17.500 --> 00:20:23.200 at i hvilket som helst intervall, uansett hvor lite og bare lengden er positiv, så finnes det et irrasjonalt tall. 00:20:23.200 --> 00:20:30.200 Det betyr at i hvert eneste av disse intervallene, så ligger det et irrasjonalt punkt, og der er 00:20:30.200 --> 00:20:35.100 funksjonsverdien lik 0. Det betyr at den nedre trappesummen, for den ligger under funksjonsgrafen 00:20:35.100 --> 00:20:42.400 hele tiden, den må hele tiden være 0. Den nedre trappefunksjonen, den har funksjonen konstant lik 0. 00:20:42.400 --> 00:20:47.700 Da ser vi at alle øvre trappesummer, NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:20:47.700 --> 00:20:56.300 en hvilken som helst øvre trappesum, er lik 1. Rett og slett fordi det består jo av lengden bortover der som er 1, 00:20:56.300 --> 00:21:05.400 høyden er 1, så dette har areal 1. En hvilken som helst nedre trappefunksjon, den har trappesum 0, 00:21:05.400 --> 00:21:12.000 fordi det er jo konstant 0 her, og med lengde 1, blir det 0*1=0. 00:21:12.000 --> 00:21:18.300 Dette er et eksempel på en funksjon som ikke er integrerbar, fordi jeg ikke greier å presse 00:21:18.300 --> 00:21:23.449 de øvre trappesummene ned til de nedre. Det vil alltid være en sprik på 1 imellom dem. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:21:23.449 --> 00:21:30.400 Det er ikke helt trivielt å definere arealet under en funksjonsgraf, og må faktisk regne med at det 00:21:30.400 --> 00:21:35.900 finnes funksjoner som er så uregelmessig at du ikke greier å få det til, rett og slett fordi det vi prøver 00:21:35.900 --> 00:21:42.100 å presse ned ovenfra, og det vi prøver å presse opp nedenfra, det møtes ikke. Det er et gap 00:21:42.100 --> 00:21:47.100 mellom dem. Da får vi den slags typer funksjoner som ikke er integrerbare. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:21:47.100 --> 00:21:53.200 Det er ikke så mange slike funksjoner man møter i praksis. Det er ikke mange regnestykker man møter 00:21:53.200 --> 00:21:59.900 denne funksjonen her i. Jeg skal nå vise dere at en stor klasse av funksjoner, de funksjonene som er voksende 00:21:59.900 --> 00:22:03.300 eller avtagende, alltid vil være integrerbare. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:22:03.300 --> 00:22:10.900 Vi har sett et eksempel på en funksjon som ikke er integrerbar, men de fleste funksjoner man støter på 00:22:10.900 --> 00:22:17.400 i praksis er jo integrerbare. Jeg skal nå vise hvordan man kan bevise at funksjoner faktisk er integrerbare. 00:22:17.400 --> 00:22:25.100 Bare repetere littegrann hva vi gjorde her. Vi hadde alle disse nedre trappesummen som vi satte av, 00:22:25.100 --> 00:22:32.900 og så hadde vi alle disse øvre trappesummene. Integrerbarhet betyr jo at disse møtes i samme punkt, 00:22:32.900 --> 00:22:41.100 slik at det er en felles verdi der de nedre når opp, og de øvre kommer ned til den. Det betyr at for å bevise 00:22:41.100 --> 00:22:47.400 at en funksjon er integrerbar, så er det nok å vise at disse verdiene kommer så tett sammen 00:22:47.400 --> 00:22:53.600 som vi måtte ønske. Hvis vi kan finne noen partisjoner, slik at den øvre og nedre trappesummen kommer 00:22:53.600 --> 00:22:58.000 så nær vi måtte ønske, så betyr det at de møtes et eller annet sted, og da er funksjonen integrerbar. 00:22:58.000 --> 00:23:04.050 Det er idéen bak det beviset jeg nå skal presentere. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:23:04.050 --> 00:23:11.400 Det jeg skal vise, er rett og slett at en hvilken som helst voksende funksjon på et lukket, begrenset intervall, 00:23:11.400 --> 00:23:17.800 nødvendigvis er integrerbar. Det samme gjelder for avtagende funksjoner, men vi må ha noe å holde oss til, 00:23:17.800 --> 00:23:23.500 så vi tar de voksende. Her har jeg en funksjon som vokser på dette intervallet fra a til b. 00:23:23.500 --> 00:23:31.500 Jeg har et startpunkt her borte, og så har jeg et endepunkt der oppe. Den behøver ikke være kontinuerlig, 00:23:31.500 --> 00:23:36.000 den kan ha sprang, men da blir tegningen litt mer uryddig, så jeg velger 00:23:36.000 --> 00:23:42.700 å tegne en kontinuerlig funksjon. Nå skal jeg vise at jeg kan presse de øvre og nedre 00:23:42.700 --> 00:23:49.100 trappesummene så nær sammen jeg måtte ønske. Det jeg gjør, er å velge en oppdeling av intervallet her, 00:23:49.100 --> 00:23:59.300 hvor alle bitene er like lange. Så hvert eneste intervall, hvis jeg har delt inn i n deler, så har jeg 00:23:59.300 --> 00:24:04.050 hele intervallet b-a, så hvert eneste intervall her er (b-a)/n. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:24:04.050 --> 00:24:13.100 Så putter jeg inn de nedre og øvre trappesummene, slik jeg har vært vant til før. Jeg går opp 00:24:13.100 --> 00:24:20.700 til-- siden dette er en voksende funksjon, så når jo alltid disse nedre trappene til funksjonsgrafen 00:24:20.700 --> 00:24:28.800 i det venstre endepunktet. Jeg tror jeg tar med noen bortover her. 00:24:28.800 --> 00:24:33.050 Så kan vi gå opp til den siste, den ligger her borte. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:24:33.050 --> 00:24:38.100 Så er det noen innimellom som jeg ikke gidder å tegne opp. Dette er de nedre trappesummene som hører 00:24:38.100 --> 00:24:44.600 til denne partisjonen. Så kan jeg se på de tilhørende øvre trappesummene. Siden funksjon er voksende, 00:24:44.600 --> 00:24:50.000 vil jo høyden deres være avgjort av hva som skjer i det høyre endepunktet, for det er der funksjonsgrafen 00:24:50.000 --> 00:24:59.700 er høyest over hvert intervall. Disse øvre trappesummene, de blir gående slik oppover. 00:24:59.700 --> 00:25:02.700 Den siste blir liggende her borte. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:25:03.100 --> 00:25:11.100 Det jeg er interessert i, er å vise at vi kan få de øvre og nedre trappesummene så nær hverandre 00:25:11.100 --> 00:25:18.100 vi måtte ønske. Hvis jeg kan vise at differansen mellom øvre og nedre trappesum går mot null når 00:25:18.100 --> 00:25:23.800 jeg lager oppdelingen finere og finere, så vil jeg ha vist det. Det jeg er interessert i her, er å se på 00:25:23.800 --> 00:25:30.300 differansen mellom øvre og nedre trappesum. Hvis vi sier at den partisjonen vi har når jeg har delt inn 00:25:30.300 --> 00:25:37.900 i n deler, den partisjon heter Pn, så er jeg altså interessert i differansen mellom øvre trappesum 00:25:37.900 --> 00:25:46.100 og nedre trappesum for den inndelingen hvor jeg har n deler. Hvis jeg kan vise at den går mot null, 00:25:46.100 --> 00:25:52.600 betyr det at disse øvre og nedre trappesummene kommer nærmere og nærmere, og da må de møtes et sted. 00:25:52.600 --> 00:25:58.100 Dermed har jeg integrerbarhet. Det er nok for meg å vise at differansen mellom øvre og nedre 00:25:58.100 --> 00:26:02.500 trappesum går mot null, når jeg lager disse inndelingen finere og finere. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:26:02.600 --> 00:26:10.000 Det er ikke så veldig vanskelig å gjøre, fordi differansen mellom øvre og nedre trappesum, 00:26:10.000 --> 00:26:15.300 det som er med i den øvre summen men ikke i den nedre, det er jo disse boksene som ligger innimellom her, 00:26:15.300 --> 00:26:22.600 så disse boksene er med i den øvre trappesummen, men ikke i den nedre. Den samlede differansen 00:26:22.600 --> 00:26:29.850 mellom arealene, det må være summen av alle disse rød boksene som jeg nå tegnet inn. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:26:29.850 --> 00:26:36.200 Det samlede arealet der er ikke vanskelig å regne ut. Jeg kan stable om på dem. Hvis jeg nå tar 00:26:36.200 --> 00:26:42.800 de boksene, og så legger jeg dem ut her på siden og stabler dem oppå hverandre. Her er den første boksen 00:26:42.800 --> 00:26:49.900 som jeg legger ut. Det er den boksen der borte. Så tar jeg den boksen 00:26:49.900 --> 00:26:56.400 og legger oppå der igjen. De ligger jo kant i kant her borte, så jeg kan bare skyve dem til siden 00:26:56.400 --> 00:27:02.600 og legge dem oppå hverandre. Så får jeg den tredje boksen, den passer akkurat oppå der. Så fortsette jeg 00:27:02.600 --> 00:27:12.100 dette tårnet oppover. Den øverste biten av tårnet blir den der. Vi ser at den samlede summen 00:27:12.100 --> 00:27:17.900 av disse boksene, det blir dette tårnet her borte. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:27:17.900 --> 00:27:29.000 Det er alle disse skjøvet bort oppå hverandre. Dette er et rektangel. Den biten der, det er lengden 00:27:29.000 --> 00:27:35.200 av hvert intervall i partisjonen. Det var vi enige om var (b-a)/n deler. 00:27:35.200 --> 00:27:44.700 Hvor høy er denne? Jo, det er rett og slett høyden fra starten på funksjon til slutten. 00:27:44.700 --> 00:27:56.300 Vi ender i f(b), vi starter i f(a). Den høyden der den er f(b)-f(a). Det betyr at arealet av dette tårnet 00:27:56.300 --> 00:28:03.500 må være høyden ganger grunnlinjen. Det var jo da den differansen jeg var interessert i her oppe istad. 00:28:03.500 --> 00:28:12.300 Ø(Pn)-N(Pn), det var samlet sum av disse rød boksene som jeg skjøv bortover så jeg fikk det tårnet. 00:28:12.300 --> 00:28:18.200 Den hadde da et areal som var grunnlinje ganger høyde. (b-a)/n * (f(b)-f(a)). NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:28:18.200 --> 00:28:31.100 b, a, f(b), f(a), det er faste tall. Det eneste som varierer her er n. Så når n går mot uendelig, 00:28:31.100 --> 00:28:39.300 så må dette uttrykket gå mot 0, siden n står nedi nevneren. Dermed har jeg vist at når jeg tar 00:28:39.300 --> 00:28:45.100 slike inndelinger med lik lengde, og gjør dem finere og finere, så vil differansen mellom øvre og nedre 00:28:45.100 --> 00:28:51.900 trappesum gå mot 0. Det betyr at øvre og nedre trappesum skvises sammen og møtes i en felles verdi, 00:28:51.900 --> 00:29:01.600 og da er funksjon integrerbar. Dette argumentet viser at alle voksende funksjoner er integrerbare. 00:29:01.600 --> 00:29:07.100 Helt tilsvarende kan man vise at alle avtagende funksjoner er integrerbare. Da kan man også sette dem sammen, 00:29:07.100 --> 00:29:13.200 hvis man har en funksjon som går opp og ned på intervaller. Først er voksnde, og så avtagende og så voksende igjen. 00:29:13.200 --> 00:29:18.300 Så kan man bare dele dem opp i biter, og si at den er integrerbar her fordi NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:29:18.300 --> 00:29:24.500 den er voksende, integrerbar her fordi den er avtagende, og så videre bortover. Da får man at hele funksjonen 00:29:24.500 --> 00:29:29.500 er integrerbar. Ved hjelp av dette argumentet, kan man vise at de kontinuerlig funksjonene man treffer på 00:29:29.500 --> 00:29:36.500 i praksis, ofte er kontinuerlige. Nå viser det seg at det finnes kontinuerlige funksjoner som er 00:29:36.500 --> 00:29:42.500 mye mer komplisert enn dette her, og som ikke har sånne områder hvor de er delvis voksende og 00:29:42.500 --> 00:29:49.700 delvis avtagende. For slike funksjoner er det mye vanskeligere å vise at de er integrerbare, men det er 00:29:49.700 --> 00:29:55.800 et teorem som sier at alle kontinuerlige funksjoner på et lukket, begrenset intervall, er integrerbare. 00:29:55.800 --> 00:30:02.200 Det er del av det som heter analysens fundamentalteorem, og det skal vi se på i neste videosnutt.