WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:05.800 I denne snutten her skal vi snakke mer om integrasjon. I den egentlige integrasjonsnutten, så viste jeg 00:00:05.800 --> 00:00:11.200 hvordan man definerer integralet ved hjelp av øvre og nedre trappesummer. Vi definerte integrerbare funksjoner, 00:00:11.200 --> 00:00:16.400 de som hadde et fornuftig integral, men vi sa veldig lite om hvordan man regner ut 00:00:16.400 --> 00:00:22.500 integraler i praksis. Det kjenner du sikkert til fra før av, at man finner en antiderivert 00:00:22.500 --> 00:00:30.700 og setter inn grensen. Men hva er egentlig sammenhengen mellom disse trappesummene våre, og dette med 00:00:30.700 --> 00:00:39.400 å derivere baklengs? Det skal vi se på. Forrige gang, disse trappesummene: vi hadde en funksjon fra a til b, 00:00:39.400 --> 00:00:49.100 gitt på en eller annen måte. Så definerte jeg da øvre og nedre integral, og også integralet når disse to var like. 00:00:49.100 --> 00:00:56.400 Spørsmålet er, hvordan regner man det ut? I nesten to tusen år så brukte man nærmeste trappesum 00:00:56.400 --> 00:00:59.750 til å regne ut integraler. Kanskje man prøvde noe som var litt smartere, NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:59.750 --> 00:01:06.000 men stort sett tilnærmet man arealer og volumer fra innsiden og utsiden, hadde en grenseovergang, og fant 00:01:06.000 --> 00:01:11.100 en felles verdi. Men det var veldig tungvint, og mange av de integralene som enhver elev i 00:01:11.100 --> 00:01:17.400 videregående skole kan regne ut i dag, var store vitenskapelig bragder i den perioden. 00:01:17.400 --> 00:01:23.400 Det store gjennombruddet var når man begynte å tenke på integrasjon som antiderivasjon. For å få inn det bildet, 00:01:23.400 --> 00:01:29.800 så er det et lite skritt du må gjøre først; det er å begynne å tenke dynamisk, 00:01:29.800 --> 00:01:36.300 istedenfor å bare tenke på integralet fra a opp til b. Da skal vi tenke på integralet fra a opp til en hvilken som helst x 00:01:36.300 --> 00:01:44.200 som ligger i dette intervallet her, slik at vi får et dynamisk areal som går fra a til b. 00:01:44.200 --> 00:01:45.449 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:45.449 --> 00:01:55.600 Hvis jeg nå sier at A(x) er integralet, eller arealet av denne flaten når jeg går fra a til x, så har vi 00:01:55.600 --> 00:02:12.100 noe å begynne med. Så A(x) er areal under grafen fra a til x. Eller, hvis vi bruker notasjonen vi 00:02:12.100 --> 00:02:23.900 hadde forrige gang, så burde det da være-- hvis f er integrerbar, være integralet fra a til x av f. 00:02:23.900 --> 00:02:29.400 Så kaller jeg variabelen inni her for t, for jeg kan ikke ha samme variabel oppi grensen her som inne i intervallet, 00:02:29.400 --> 00:02:33.000 for da blir det bare tull. Så dette er altså utgangspunktet. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:02:33.000 --> 00:02:39.700 Når jeg har en sånn dynamisk x, kan jeg selvfølgelig se på hvordan dette arealet endrer seg. 00:02:39.700 --> 00:02:48.300 Hvis jeg nå øker x-en littegrann for et nytt punkt som heter x + delta x, ja så øker 00:02:48.300 --> 00:02:56.000 selvfølgelig arealet med denne stripen som ligger under her. Hva er arealet til denne stripen? 00:02:56.000 --> 00:03:07.900 Jo, det må jo være hele arealet fra a opp til x + delta x. Det er hele arealet fra a og hit opp, og så minus 00:03:07.900 --> 00:03:17.550 arealet jeg har fra a opp til x. Det burde være arealet, den tilveksten, av den stripen jeg har skravert der. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:03:17.550 --> 00:03:25.300 Men nå går det an å tilnærme dette arealet på en annen måte. Arealet er jo en liten søyle her. 00:03:25.300 --> 00:03:34.500 Søylen har en grunnlinje som er delta x, og så har den en høyde som er den høyden der, som er f(x). 00:03:34.500 --> 00:03:41.000 Hvis funksjonsgrafen hadde vært helt flat, så hadde arealet til denne tilveksten her vært et rektangel 00:03:41.000 --> 00:03:48.700 med grunnflate delta x og høyde f(x). Den ville hatt et areal som var f(x)*delta x. 00:03:48.700 --> 00:03:55.900 Men selv om grafen ikke er helt plan, helt vannrett, så vil det var en god tilnærmelse. Det er ikke mye 00:03:55.900 --> 00:04:04.200 grafen rekker å variere over et lite intervall. Så dette arealet her, tilveksten, det må være 00:04:04.200 --> 00:04:13.600 tilnærmet lik f(x)/delta x. Den tilnærmingen blir bedre og bedre dess mindre delta x er. Hvis jeg nå deler 00:04:13.600 --> 00:04:17.850 delta x over på den andre siden, så ser dette her ut som NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:04:17.850 --> 00:04:31.200 (A(x + delta x) - A(x))/delta x, som da er tilnærmet lik f(x). NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:04:31.200 --> 00:04:39.300 Men det som står her, det minner oss om definisjonen på den deriverte. Grenseverdien av dette her når 00:04:39.300 --> 00:04:46.700 delta x går mot 0, det er jo den deriverte av A. Så lar vi delta x bli mindre og mindre her, så burde dette her 00:04:46.700 --> 00:04:55.000 gå mot at A'(x) på den siden, og feilen jeg gjør blir mindre og mindre dess mindre delta x er, så jeg burde få 00:04:55.000 --> 00:05:00.050 likhet her til slutt, nemlig at A'(x)=f(x). NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:05:00.050 --> 00:05:07.700 Dette argumentet antyder at hvis vi tenker på dette arealet dynamisk som en funksjon av x, så vil den 00:05:07.700 --> 00:05:15.500 deriverte arealfunksjonen være lik f(x). Så det er en indikasjon på hvorfor areal er antiderivasjon. 00:05:15.500 --> 00:05:17.350 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:05:17.350 --> 00:05:24.000 Denne arealfunksjonen vil være en funksjon som har f som derivert, altså A er en antiderivert til f. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:05:24.700 --> 00:05:32.700 Det er ideen som ligger bak. Men dette er ikke noe matematisk bevis, av flere grunner. For det første, 00:05:32.700 --> 00:05:40.300 så vet vi jo ikke helt når en arealfunksjon eksisterer. Vi så et eksempel på en ikke-integrerbar funksjon 00:05:40.300 --> 00:05:46.600 i integrasjonsnutten. Det er ikke alle funksjoner som gir opphav til en fornuftig arealfunksjon. 00:05:46.600 --> 00:05:52.700 Og så har vi slurvet litt her, da. Det var noe sånn cirka lik og noe cirka lik osv, og så ble det 00:05:52.700 --> 00:05:59.200 liksom nærmere og nærmere og delta x ble liten, og så fikk vi en likhet til slutt. 00:05:59.200 --> 00:06:03.650 Dette er indikasjonen på at ting må være riktig, men det er ikke noe skikkelig bevis. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:06:03.650 --> 00:06:12.200 Jeg skal ikke gi et fullstendig bevis for at dette virkelig holder, men jeg skal gi skissen til 00:06:12.200 --> 00:06:17.400 det helt grunnleggende teoremet når det gjelder sammenhengen mellom integrasjon og antiderivasjon, 00:06:17.400 --> 00:06:20.400 nemlig det som kalles analysens fundamentalteorem. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:06:20.400 --> 00:06:26.500 Teoremet vi skal se på, som oppsummerer sammenhengen mellom integrasjon og derivasjon, det kalles 00:06:26.500 --> 00:06:31.100 gjerne analysens fundamentalteorem. La oss tegne opp NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:06:31.100 --> 00:06:39.900 grunntegningen først. Vi hadde altså denne funksjonen fra a til b, vi hadde arealet under den. Vi skal 00:06:39.900 --> 00:06:46.200 innskrenke oss til å se på kontinuerlige funksjoner, så det er en kontinuerlig funksjon. Hver gang vi plukker ut 00:06:46.200 --> 00:06:47.700 NOTE Treffsikkerhet: 71% (MEDIUM) 00:06:47.700 --> 00:06:53.850 en funksjon x, er vi da interessert i arealet fra a opp til x. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:06:53.850 --> 00:07:09.900 Da sier analysens fundamentalteorem følgende; den handler altså om en kontinuerlig funksjon 00:07:09.900 --> 00:07:40.100 på dette lukkede intervallet fra a til b. Den sier "Anta at f fra a til b inni R, er en kontinuerlig funksjon." 00:07:40.100 --> 00:07:48.200 Det er to konklusjoner vi kan trekke. Den første er at f er integrerbar. "Da er f integrerbar--" NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:07:48.200 --> 00:07:59.600 den er ikke bare integrerbar over hele intervallet fra a til b, den er integrerbar over 00:07:59.600 --> 00:08:06.000 ethvert intervall fra a til en eller annen x som ligger inni intervallet her. Det er litt viktig, siden vi da kan 00:08:06.000 --> 00:08:21.500 skrive opp integralet for alle x-er og ikke bare for b-en. Så da er f integrerbar "over ethvert intervall fra a til x, 00:08:21.500 --> 00:08:23.500 NOTE Treffsikkerhet: 60% (MEDIUM) 00:08:23.500 --> 00:08:33.900 der x-en ligger inni det opprinnelige intervallet." Sånn. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:08:34.100 --> 00:08:49.900 Ble litt stygg den der, skal vi gjøre den ordentlig. Siden f er integrerbar over dette intervallet, 00:08:49.900 --> 00:08:59.300 kan jeg selvfølgelig da skrive opp integralet. Jeg kan skrive opp integralet fra a til x, f(t) dt. 00:08:59.300 --> 00:09:04.600 Det er en funksjon. Det er arealfunksjonen jeg har tenkt på hele tiden, men istedenfor å kalle den A, 00:09:04.600 --> 00:09:10.700 la meg kalle den F som er litt mer vanlig i denne sammenhengen. Det teoremet sier at denne integralfunksjonen 00:09:10.700 --> 00:09:26.900 jeg får frem på den måten, "er en antiderivert til f." Det betyr at denne funksjonen her 00:09:26.900 --> 00:09:33.600 er deriverbar på alle punkter i det indre intervallet fra a til b, og når jeg deriverer F, 00:09:33.600 --> 00:09:34.950 så får jeg f tilbake. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:09:34.950 --> 00:09:43.100 Dette er altså analysens fundamentalteorem. Det er kanskje en litt uvanlig variant, 00:09:43.100 --> 00:09:50.700 fordi jeg har slått sammen to ting i en setning; nemlig både dette med integrerbarhet, og at 00:09:50.700 --> 00:09:53.000 integralet er en antiderivert. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:09:53.300 --> 00:10:00.900 Vi skal ikke grave oss ned fullstendig i beviset her, fordi det er ganske vanskelig. Men ideen bygger på 00:10:00.900 --> 00:10:08.200 den intuisjonen jeg viste istad, nemlig at når jeg gir en liten tilvekst fra x+delta x, så kan jeg 00:10:08.200 --> 00:10:15.600 uttrykke arealet på to måter; delvis som en differanse av integralfunksjonen, og delvis som nesten som arealet 00:10:15.600 --> 00:10:21.300 av et lite rektangel som går fra x til x+delta x. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:10:21.300 --> 00:10:29.300 Jeg skal vise hovedideen i det beviset, uten å grave meg ned i de tekniske viderverdighetene som 00:10:29.300 --> 00:10:30.300 ligger under. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:10:30.300 --> 00:10:37.600 Da skal vi se litt på bevisideen bak analysens fundamentalteorem. Da får vi starte med den 00:10:37.600 --> 00:10:44.400 vanlige tegningen vår, som da ligger under det hele. Denne funksjonen fra a til b. Så går jeg inn 00:10:44.400 --> 00:10:55.500 i en x her inne. I bevisideen trakk jeg frem arealfunksjonen A(x), og arbeidet med den. Men strengt tatt 00:10:55.500 --> 00:11:00.900 har vi jo ikke noe arealfunksjon her, for vi vet ikke om denne funksjonen er integrerbar, det er del 00:11:00.900 --> 00:11:06.500 av det vi skal vise. Det vi alltid vet, så lenge funksjonen vår er begrenset, er at jeg har 00:11:06.500 --> 00:11:12.600 øvre og nedre trappesummer. Denne funksjonen må være begrenset, for den er kontinuerlig over et 00:11:12.600 --> 00:11:18.200 lukket og begrenset intervall, og da sier ekstremalverdisetningen at dette er en begrenset funksjon. 00:11:18.200 --> 00:11:25.300 Jeg kan snakke om øvre og nedre integralet her. Da setter jeg navn på dem. Jeg lar G(x) rett og slett være 00:11:25.300 --> 00:11:30.050 øvre integralet fra a til x, NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:11:30.050 --> 00:11:45.200 f(t) dt. Jeg innfører en annen funksjon, H(x), som er nedre integralet fra a til x, av f(t) dt. 00:11:45.200 --> 00:11:49.200 De to funksjonene vet vi alltid eksisterer. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:11:49.200 --> 00:11:55.300 Jeg skal vise at funksjonen er integrerbar på ethvert intervall fra a til x, det er det første jeg skal vise, 00:11:55.300 --> 00:12:02.000 og da er det nok å vise at disse to funksjonene er like. Da er øvre integralet og nedre integralet like, 00:12:02.000 --> 00:12:09.400 og det er definisjonen av integrerbarhet. Jeg må også vise at disse funksjonene er like, da er jeg kommet 00:12:09.400 --> 00:12:16.000 et godt stykke på vei. Hvordan viser jeg at disse her er like? Jo, det er det argumentet jeg 00:12:16.000 --> 00:12:20.800 ikke skal gjennomgå, for det er litt teknisk. Det jeg viser, er at dersom jeg deriverer denne funksjonen, 00:12:20.800 --> 00:12:26.100 setter opp definisjonen av den deriverte og argumenterer litt, så kommer jeg fram til G'(x), 00:12:26.100 --> 00:12:30.900 det er faktisk f(x). NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:12:30.900 --> 00:12:38.700 Så gjør jeg akkurat samme type argument med H(x). Setter inn definisjonen av den deriverte, 00:12:38.700 --> 00:12:46.600 regner og estimerer litt. Så får jeg ut at H'(x), den er også f(x). Det jeg har kommet fram til, 00:12:46.600 --> 00:12:54.500 er at G og H har samme derivert. Men da vet vi noe 00:12:54.500 --> 00:13:00.900 fra snutten om middelverdisetningen: dersom G og G har samme derivert, så er den ene funksjonen 00:13:00.900 --> 00:13:11.600 en konstant pluss den andre. Dette betyr at G(x) må være H(x) pluss en eller annen konstant. 00:13:11.600 --> 00:13:18.200 Fordi funksjoner som har samme derivert, kan bare skille seg på en konstant. Men hva er den C-en der borte? 00:13:18.200 --> 00:13:25.100 Hvis vi nå lar x være a, får vi jo så å si det tomme intervallet fra a til a, og da er det lett å se 00:13:25.100 --> 00:13:31.099 at da må både øvre og nedre summen være lik 0. Slik at G(a) og H(a), NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:13:31.099 --> 00:13:40.400 de er begge to lik 0, for vi måler da dette tomme arealet nærmest, fra a til a 00:13:40.400 --> 00:13:49.200 på to forskjellige måter og får 0. Men hvis G(a)=H(a), så må den C-en være 0. Den er en konstant, 00:13:49.200 --> 00:13:58.300 x er en variabel. Setter jeg inn a her, så er de to like, og da må C være lik 0. Dette her medfører at C=0, 00:13:58.300 --> 00:14:09.400 og da sitter jeg igjen med at det G(x)=H(x), altså øvre integralet på intervallet fra a til x 00:14:09.400 --> 00:14:15.900 er lik nedre integralet. Nedre integralet, det er definisjonen av integrerbarhet, så dette medfører at 00:14:15.900 --> 00:14:27.300 f er integrerbar på det intervallet vi nå ser på, som går fra a til x. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:14:29.000 --> 00:14:36.100 Så der har jeg integrerbarheten. Hvis funksjonen er integrerbar, så kan jeg selvfølgelig definere integralet, 00:14:36.100 --> 00:14:49.100 som da er fellesverdien av det øvre og det nedre integralet. Integralet ser slik ut, og den er da 00:14:49.100 --> 00:14:58.000 selvfølgelig lik både nedre integralet H(x), og øvre integralet G(x). Det er definisjonen 00:14:58.000 --> 00:15:05.300 av integralet når integralet eksisterer. Men vi har allerede sett at både G'(x) og H'(x) har f som derivert. 00:15:05.300 --> 00:15:11.300 Det betyr selvfølgelig at den F-en, som da er lik dem begge to, 00:15:11.300 --> 00:15:19.850 den må også ha f som derivert. Så F'(x)=f(x). NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:15:19.850 --> 00:15:27.900 Dermed har vi bevist akkurat det vi skulle, nemlig først at f er integrerbar. Eneste betingelsen er at 00:15:27.900 --> 00:15:34.000 f er kontinuerlig. Vi har vist at enhver kontinuerlig funksjon er integrerbar. Så har vi 00:15:34.000 --> 00:15:40.700 etterpå vist at integralfunksjonen faktisk er en antiderivert til f-en vi startet med. Det er 00:15:40.700 --> 00:15:42.300 analysens fundamentalteorem. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:15:43.400 --> 00:15:50.700 Analysens fundamentalteorem oppsummerer sammenhengen mellom integrasjon og antiderivasjon, men den 00:15:50.700 --> 00:15:56.700 gjør det på en litt teoretisk måte, og litt forskjellig fra det vi gjør i praksis. Så la oss nå se på 00:15:56.700 --> 00:16:01.750 forbindelseslinjen mellom teoremet og det vi pleier å gjøre når vi regner ut integraler. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:16:01.750 --> 00:16:14.100 Har jeg et integral fra a til b av en funksjon f(t) dt, så er det vi gjør i praksis å finne 00:16:14.100 --> 00:16:21.000 en antiderivert til den f-en. Det er mange måter å gjøre det på. Av og til kan vi se det direkte fra uttrykket, 00:16:21.000 --> 00:16:28.300 noen ganger må vi bruker teknikker som substitusjon og delvis integrasjon. Uansett så kommer 00:16:28.300 --> 00:16:37.400 vi da fram til en antiderivert av K(t) av denne funksjonen her. Når jeg har funnet 00:16:37.400 --> 00:16:46.800 den antideriverte, så setter jeg rett og slett inn grenseverdiene. Jeg tar K(b)-K(a), altså verdien til K 00:16:46.800 --> 00:16:55.200 i ytterpunktene av intervallet. Det er slik vi går frem når vi skal løse et integral i praksis. Det er jo ikke akkurat det 00:16:55.200 --> 00:17:02.200 analysens fundamentalteorem sier. Analysens fundamentalteorem sier at hvis jeg tar integralet NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:17:02.200 --> 00:17:13.400 fra a til x, av f(t) dt og ser på den funksjonen jeg da får, så vil den funksjonen være en antiderivert til f-en. 00:17:13.400 --> 00:17:21.900 Dette er en spesiell antiderivert som vi får gjennom integralet, men her trekker vi bare fram 00:17:21.900 --> 00:17:27.599 en hvilken som helst antiderivert fra en hatt, og så setter vi inn grenseverdiene. Spørsmålet er, hva er 00:17:27.599 --> 00:17:32.800 sammenhengen mellom det uttrykket her (som vi vet gjelder, det vi får fra analysens 00:17:32.800 --> 00:17:37.900 fundamentalteorem), og dette uttrykket her oppe, som er det vi bruker i praksis? NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:17:37.900 --> 00:17:47.000 Den sammenhengen er veldig enkel. Den knytter seg til at K og F hører til samme familie av funksjoner. 00:17:47.000 --> 00:17:59.100 Begge to er antideriverte til f. Jeg vet jo da at F'(x) og K'(x), 00:17:59.100 --> 00:18:07.400 de må være like, for de er begge to lik f(x). Og så vet vi fra snutten om middelverdisetningen, 00:18:07.400 --> 00:18:17.600 at dersom to funksjoner har samme derivert, så skiller de seg på en konstant, slik at F(x) må være 00:18:17.600 --> 00:18:20.900 K(x) pluss en konstant C. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:18:20.900 --> 00:18:27.200 Nå kan vi bruke dette til å se forbindelsen mellom det uttrykket her oppe, som er det vi som regel 00:18:27.200 --> 00:18:33.700 bruker i praksis, og det her nede som analysens fundamentalteorem gir oss. La oss begynne med dette her. 00:18:33.700 --> 00:18:45.600 Det er det vi har bevist, og vet er riktig. Hvis jeg nå ser på integralet her fra a til b, av f(t) dt, 00:18:45.600 --> 00:18:53.600 så vet jeg jo fra det her oppe, hvis jeg bare setter inn x=b, at dette integralet må være lik F(b). 00:18:53.600 --> 00:18:56.050 NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:18:56.050 --> 00:19:02.700 Det er det jeg vet fra analysens fundamentalteorem, og det er dette jeg ønsker å komme fram til. Det som er 00:19:02.700 --> 00:19:08.200 litt skummelt her oppe, er at riktignok har jeg en K(b), og den vet jeg er knyttet til F(b), men hva med 00:19:08.200 --> 00:19:15.600 det K(a)-uttrykket da? Det har jeg ikke noe parallell til her nede. Men, hva ville det vært for noe hvis jeg hadde 00:19:15.600 --> 00:19:22.700 hatt en F(a) her, hva ville den vært? Jo, den ville vært integralet fra a til a, og integralet fra a til a, det er 00:19:22.700 --> 00:19:29.700 alltid 0, for vi har ikke noe areal å regne ut. Så jeg kan rett og slett smugle inn denne a-en ved å si at 00:19:29.700 --> 00:19:38.500 F(b) er F(b)-F(a), rett og slett fordi F(a)=0. Det er det tomme arealet fra a til a. 00:19:38.500 --> 00:19:47.100 Når jeg har gjort det, så kan jeg få forbindelsen over mot K, for jeg vet at F(x)=K(x)+C. Da må 00:19:47.100 --> 00:19:56.800 F(b)=K(b)+C, og F(a), den må være K(a)+C. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:19:56.800 --> 00:20:07.000 Så skulle jeg trekke den F(a)-en fra her, så jeg får en minus mellom de to. Da har jeg en positiv C 00:20:07.000 --> 00:20:16.300 og en negativ C på grunn av den minusen der borte. Og så sitter jeg igjen med K(b)-K(a). 00:20:16.300 --> 00:20:23.800 Så det lille regnestykket viste at vi kan komme fra det som analysens fundamentalteorem gir oss, 00:20:23.800 --> 00:20:32.100 nemlig at integralet fra a til x er en antiderivert av f, og til det vi bruker i praksis, som er at 00:20:32.100 --> 00:20:38.000 vi kan plukke frem en hvilken som helst antiderivert til K. Bør ikke være den som kommer fra 00:20:38.000 --> 00:20:43.800 integrasjon opprinnelig, bare en vi finner. Så kan vi sette inn integrasjonsgrensen i den, 00:20:43.800 --> 00:20:51.300 trekke fra, og så har vi funnet integralet. Denne metoden her bruker vi i praksis når vi skal løse integrasjon, 00:20:51.300 --> 00:20:55.100 og det er akkurat den metoden du lærte på videregående skole.