WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:07.000 I denne snutten skal vi regne ganske mye. Vi skal rett og slett regne ut dette ubestemte integralet. 00:00:07.000 --> 00:00:13.200 Her har vi da en rasjonal funksjon som integrand. Det betyr at vi kommer til, først og fremst, 00:00:13.200 --> 00:00:18.500 å se på teknikken delbrøksoppspalting, men vi kommer også til å se noen andre 00:00:18.500 --> 00:00:24.700 integrasjonsteknikker underveis. Jeg skal prate gjennom alle utregningene, så dette blir en god og lang 00:00:24.700 --> 00:00:26.500 regneteknisk snutt. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:26.500 --> 00:00:34.600 Hvilke funksjoner er det som er sånn, at når vi deriverer disse funksjonene, så får vi dette 00:00:34.600 --> 00:00:41.100 uttrykket her? Det er det vi skal finne ut. Vi har alltid mulighet underveis til å sjekke 00:00:41.100 --> 00:00:46.200 at vi har regnet riktig. Når vi kommer fram til det endelige svaret, så har vi også faktisk mulighet til 00:00:46.200 --> 00:00:52.900 å regne oss tilbake, ved å derivere svaret og prøve å få tilbake det vi starta med. Men dette er jo et ganske 00:00:52.900 --> 00:00:57.900 stort uttrykk. Her må vi gjøre noe for å komme videre. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:57.900 --> 00:01:06.200 Vi har en polynomfunksjon i telleren, og en polynomfunksjon som er ferdig faktorisert i nevneren. 00:01:06.200 --> 00:01:16.400 Telleren er av grad 3. 3 er da den høyeste eksponenten av x som forekommer. I nevneren har vi 00:01:16.400 --> 00:01:24.800 grad 1 i den første faktoren, og så har vi grad 2^2. Her blir det grad 4+1=5 i nevneren. 00:01:24.800 --> 00:01:32.300 Det betyr at graden til telleren er ekte mindre enn graden til nevneren, så da slipper vi å 00:01:32.300 --> 00:01:34.300 polynomdividere. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:01:34.400 --> 00:01:40.800 Videre så er altså nevneren faktisk ferdig faktorisert. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:40.800 --> 00:01:51.100 Her har vi et andregradsuttrykk, men røttene til dette andregradsuttrykket er da komplekse. 00:01:51.100 --> 00:02:00.000 Vi kan godt se kort på det. x^2+3 kan faktoriseres, hvis vi bruker de komplekse tallene som 00:02:00.000 --> 00:02:11.800 (x-i*roten av 3)(x+i*roten av 3). Nå ser vi bruk av algebraens fundamentalteorem, fordi den sier at 00:02:11.800 --> 00:02:20.600 vi kan alltid da få et polynom faktorisert i lineære faktorer og andregradsfaktorer. Det er disse 00:02:20.600 --> 00:02:27.700 andregradsfaktorene som kan hende vil være kompleks konjugerte faktorer slått sammen. Så her er 00:02:27.700 --> 00:02:34.900 faktisk den reelle faktoriseringen ferdig for nevneren. Hvis ikke vi har denne faktoriseren, 00:02:34.900 --> 00:02:38.750 må vi faktorisere nevneren før vi går videre. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:02:38.750 --> 00:02:47.300 Når vi har kommet så langt, ferdig med å polynomdividere og faktorisere nevneren, 00:02:47.300 --> 00:02:53.200 kan vi prøve å spalte opp dette uttrykket. Det betyr at vi egentlig går motsatt vei av det vi 00:02:53.200 --> 00:02:59.300 vanligvis gjør når vi skal sette ting på fellesnevner, prøve å forkorte og gjøre ting så kompakt som mulig. 00:02:59.300 --> 00:03:07.500 Nå skal vi egentlig dra dette litt ut igjen, men i enklere biter. Så vi vil prøve å dele opp, 00:03:07.500 --> 00:03:24.500 eller spalte opp, integranden. Da har vi uttrykket vårt. Nå kommer da følgende oppspalting som jeg 00:03:24.500 --> 00:03:33.800 skriver opp først, så skal jeg forklare litt etterpå. Dette uttrykket kan spaltes opp i en bit hvor vi 00:03:33.800 --> 00:03:34.649 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:03:34.649 --> 00:03:47.300 tar ut den ene faktoren, 1-2x som nevner. Så får vi med oss den andre faktoren, men siden den er 00:03:47.300 --> 00:04:02.350 i andre, så kan vi da faktisk utnytte dette her og få et ledd av denne typen og et ledd der vi har med NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:04:02.350 --> 00:04:05.500 den andregradsfaktoren i annen. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:04:05.500 --> 00:04:15.600 Dette her er regelen for delbrøksoppspalting. Vi får med konstanter i telleren 00:04:15.600 --> 00:04:24.800 for de lineære leddene, og så får vi da lineære ledd i telleren for andregradsleddene. Og selv om 00:04:24.800 --> 00:04:32.700 andregradsleddet her er i annen, så vil det fortsatt bare være et lineært ledd. Denne teknikken vil gjøre 00:04:32.700 --> 00:04:42.300 at vi får muligheten til å finne disse bokstavene, tallene som skal stå på plassen til A, B, C, D og E. 00:04:42.300 --> 00:04:49.500 Det er det vi nå ønsker. For hvis vi da finner disse tallene, har vi spaltet opp integranden 00:04:49.500 --> 00:04:54.250 i mindre biter, og så kan vi integrere disse hver for seg. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:04:54.250 --> 00:05:01.100 Dere kan gjerne sjekke; hvis vi for eksempel tar vekk den biten her og bare prøver å spalte opp denne 00:05:01.100 --> 00:05:10.300 ved hjelp av denne delen og denne delen, så vil vi ikke få nok opplysninger. Vi får faktisk et likningssystem 00:05:10.300 --> 00:05:16.600 som ikke har noen løsning. Vi klarer ikke å løse ut hva A, D og E er. Så vi må ha med 00:05:16.600 --> 00:05:25.100 dette leddet her. I tillegg så kunne man også tenke seg at her, siden vi har et fjerdegradspolynom 00:05:25.100 --> 00:05:30.850 i nevneren her, så kunne man kanskje gått opp til tredjegradspolynom her oppe. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:05:30.850 --> 00:05:41.200 Det kan man faktisk gjøre, men da skal man ikke ha med dette her. Regelen er altså at dette her funker, 00:05:41.200 --> 00:05:49.400 og vil gi oss de enkleste bitene vi kan få, sånn at vi faktisk har mulighet til 00:05:49.400 --> 00:05:51.000 å integrere. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:05:51.200 --> 00:05:59.100 Vi gjentar en gang til. Konstanter over lineære ledd-- selv om det lineære leddet er opphøyd 00:05:59.100 --> 00:06:05.600 i annen eller i tredje osv, så er det fortsatt bare konstanter. Får vi de andregradspolynomene, så er det 00:06:05.600 --> 00:06:13.900 lineære ledd som skal i telleren. Selv om vi da har flere, høyere eksponenter av disse leddene, 00:06:13.900 --> 00:06:21.300 så skal vi fortsatt bare ha lineære ledd. Da vil vi kunne få ut et likningssystem, hvor vi faktisk 00:06:21.300 --> 00:06:31.600 får en løsning. Den løsningen skal vi da prøve å regne på nå. Så hva er A, B, C, D og E? NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:06:31.600 --> 00:06:38.350 Da setter vi dette her på fellesnevner, og så sammenligner vi disse to brøkene. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:06:38.350 --> 00:06:47.700 Det betyr at vi, ved å få fellesnevner, skal sammenligne tellerne. Uttrykkene i tellerne 00:06:47.700 --> 00:06:49.100 må bli like. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:06:49.600 --> 00:06:58.600 På venstresiden har vi telleren. Hvis vi setter disse her nå på samme nevner som her borte, 00:06:58.600 --> 00:07:05.000 får vi da A ganger-- da mangler vi (x^2+3)^2. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:07:08.300 --> 00:07:21.600 Her i midten mangler vi både det leddet og en kopi av x^2+3. Da får vi 00:07:21.600 --> 00:07:25.700 (Bx+C)(1-2x)(x^2+3). NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:07:26.200 --> 00:07:41.500 I det siste leddet mangler vi bare faktoren 1-2x, så da får vi (Dx+E)(1-2x). 00:07:41.500 --> 00:07:48.400 Da ser vi at det fort blir en del ting å holde styr på. Nå må vi regne ut dette uttrykket på høyresiden, 00:07:48.400 --> 00:07:56.000 og så sammenligne med det vi har på venstresiden. Vi fortsetter, det er bare å regne i vei. 00:07:56.000 --> 00:08:02.050 Vi ganger ut. Her bruker vi første kvadratsetning. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:08:02.050 --> 00:08:21.700 Så ganger vi inn A i hvert av leddene. Da får vi Ax^4, og så får vi 6x^2 med en A. Så får vi 9A. 00:08:21.700 --> 00:08:26.900 Så må vi gange sammen disse tre parantesene. Det kan hende det er lurt å gjøre det i to omganger, det er 00:08:26.900 --> 00:08:32.500 fort gjort å regne en liten feil, og det er litt synd når det er mye å holde styr på. Vi ganger ut to av gangen. 00:08:32.500 --> 00:08:40.350 Bx-2Bx^2+C-2Cx. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:08:40.350 --> 00:08:56.100 Så skal da dette ganges etterpå med x^2+3. Så skal vi gange ut de to 00:08:56.100 --> 00:08:57.600 siste parentesene. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:08:57.600 --> 00:09:08.300 Da får vi Dx-2Dx^2+E-2Ex. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:09:11.200 --> 00:09:16.500 Så fortsetter vi regningen, og da skal vi bare ha litt mer tavleplass først. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:09:16.500 --> 00:09:24.200 Da har vi flyttet regnestykket vårt opp hit, og så fortsetter vi regningen. Vi skal nå sammenligne 00:09:24.200 --> 00:09:36.600 fortsatt disse to uttrykkene. Da får vi fortsatt Ax^4+6Ax^2+9A. Så var det da 00:09:36.600 --> 00:09:50.700 å gange ut disse to parentesene, så da ganger vi inn x^2 først. Da får vi Bx^3-2Bx^4+Cx^2-2Cx^3. 00:09:50.700 --> 00:10:10.300 Så må vi gange inn 3 i parentesen. Da får vi 3Bx-6Bx^2+3C-6Cx. Så har vi med 00:10:10.300 --> 00:10:17.100 en linje til. Dx-2Dx^2+E-2Ex. NOTE Treffsikkerhet: 56% (MEDIUM) 00:10:17.100 --> 00:10:19.750 NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:10:19.750 --> 00:10:26.800 Hele dette lange uttrykket, hvor vi da har A-er, B-er, C-er, D-er og E-er, skal være lik 00:10:26.800 --> 00:10:29.150 dette uttrykket her. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:10:29.150 --> 00:10:38.100 Da sammenligner vi koeffisienter foran de ulike potensene av x. Da er den høyeste potensen 00:10:38.100 --> 00:10:47.800 som forekommer av x, lik 4. Foran x^4 har vi en A og vi har -2B, og så har vi ingen 00:10:47.800 --> 00:10:56.800 flere x^4-ledd. På venstresiden av dette likhetstegnet, så har vi heller ingen x^4-ledd. Det betyr at 00:10:56.800 --> 00:11:05.950 vi får A-2B=0, når vi sammenlikner koeffisientene for x^4. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:11:05.950 --> 00:11:17.700 Så tar vi koeffisientene foran x^3. Da har vi et ledd her, og her, og ingen fler. Det gir B-2C. 00:11:17.700 --> 00:11:28.400 Foran x^3, på venstresiden av likningen, står det 3. Da får vi likningen 00:11:28.400 --> 00:11:31.000 B-2C=3. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:11:31.000 --> 00:11:33.200 Så var det x^2. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:11:33.200 --> 00:11:46.599 Da har vi 6A der, og så har vi en C her. Så har vi -6B der og -2D her. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:11:46.599 --> 00:12:04.800 Da får vi 6A-6B+C-2D. Foran x^2 står det da på venstresiden -3. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:12:04.800 --> 00:12:07.349 Det var den tredje likningen. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:12:07.349 --> 00:12:21.300 Så må vi ta x-leddene. Da får vi-- her har vi ett, 3B. Så har vi ett her, -6C, 00:12:21.300 --> 00:12:35.100 og her har vi også en. Ja, vi har ett til, her også. -2E skal også være med. 00:12:35.100 --> 00:12:52.200 Får 3B-6C+D-2E. Foran x-en står det 7. Da får vi en likning til. Vi har 5 ukjente, 00:12:52.200 --> 00:12:58.400 A, B, C, D, E. Da passer det fint at vi har en likning til, og det er meningen med hele 00:12:58.400 --> 00:13:00.300 teknikken for delbrøksoppspalting. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:13:00.300 --> 00:13:18.100 Det står 18 på venstresiden. Av konstanter på høyresiden står det 9A, 3C, E. Da får vi 00:13:18.100 --> 00:13:30.150 9A+3C+E=18. Da har vi et likningssystem med fem likninger og fem ukjente. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:13:30.150 --> 00:13:40.700 Så må vi finne A, B, C, D og E som oppfyller alle disse ligningene samtidig. Da er det bare å 00:13:40.700 --> 00:13:57.800 fortsette å regne. Første likningen gir oss at A=2B. Andre likningen gir oss B=3+2C, og det betyr igjen 00:13:57.800 --> 00:14:04.600 at A også kan skrives som 6+4C. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:14:04.600 --> 00:14:14.300 Da bruker vi de to forholdsvis enkle, første likningene, og finner et uttrykk for A og B ved hjelp av C. 00:14:14.300 --> 00:14:22.900 Så setter vi det inn i de tre likningene. Vi setter inn uttrykket for C her, her, her og her. 00:14:22.900 --> 00:14:30.000 Så får vi da tre likninger med tre ukjente. Da bruker vi substitusjonsmetoden for å redusere 00:14:30.000 --> 00:14:42.000 antall likninger og antall ukjente. Da får vi, i disse likningene, 6-- så setter vi inn for A. 00:14:42.000 --> 00:14:42.600 NOTE Treffsikkerhet: 71% (MEDIUM) 00:14:42.600 --> 00:14:47.650 Det blir da 6+4C. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:14:47.650 --> 00:15:00.750 Så setter vi inn for B=3+2C, og så har vi C-2D=-3. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:15:00.750 --> 00:15:15.300 I neste likning setter vi inn for B, og så beholder vi resten av likningen. I den siste likningen 00:15:15.300 --> 00:15:31.400 setter vi inn for A. 6+4C+3C+E=18. Da har vi kommet så langt, med tre likninger 00:15:31.400 --> 00:15:34.100 og tre ukjente. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:15:35.500 --> 00:15:49.000 Da regner vi videre, og skal rydde opp i dette systemet. Vi ganger inn 6 med 6+4C=36+24C. 00:15:49.000 --> 00:16:03.500 Så får vi -18-12C+C-2D skal være lik -3. Det er første likning. 00:16:03.500 --> 00:16:15.300 I andre likning skal vi gange inn 3-tallet her. Da får vi 9+6C-6C. Da ser det ut som C-ene 00:16:15.300 --> 00:16:26.300 faller bort i den likningen. D-2E=7. Så var det den tredje likningen, da skal vi gange inn 9. 00:16:26.300 --> 00:16:36.349 54+36C+3C+E=18. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:16:36.349 --> 00:16:43.150 Det er da tre likninger som skal være oppfylt samtidig. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:16:43.150 --> 00:16:46.400 Fortsatt så må vi rydde litt til. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:16:46.400 --> 00:16:54.800 Vi får nå 24C-12C=12C+1C=13C. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:16:54.800 --> 00:17:06.700 Så får vi minus 2D. Av konstanter får vi 36-18=18. Hvis vi flytter 18 over, 00:17:06.700 --> 00:17:15.900 da får vi -18-3=-21. I den neste likningen faller C-ene bort, så da får vi bare 00:17:15.900 --> 00:17:30.400 en likning i D og E, og den heter D-2E=7-9=-2. Så har vi den siste likningen, 00:17:30.400 --> 00:17:42.500 36C+3C = 39C+E = 18-54 = -36. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:17:42.500 --> 00:17:50.200 Der har vi da tre likninger, fortsatt med tre ukjente. NOTE Treffsikkerhet: 72% (MEDIUM) 00:17:50.300 --> 00:17:56.150 For å løse dette settet nå, så prøver vi å redusere det enda mer. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:17:56.150 --> 00:18:12.000 Så for eksempel likning to. Den sier at D=-2+2E. Så kan vi da sette det inn 00:18:12.000 --> 00:18:12.900 i den første likningen. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:18:12.900 --> 00:18:28.900 Det gir 13C-2(-2+2E)=-21. Så har vi da brukt den andre likningen. Men den tredje likningen, 00:18:28.900 --> 00:18:41.600 den må vi da skrive opp. Da har vi brukt likning nummer to til å substituere inn for D 00:18:41.600 --> 00:18:50.700 i likning en, så vi står igjen med to likninger og to ukjente, C og E. Her må vi rydde 00:18:50.700 --> 00:18:51.900 enda littegranne til. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:18:51.900 --> 00:19:10.400 Hvis vi ganger ut, så får vi 13C-4E, og så får vi -21. Her står det +4, 00:19:10.400 --> 00:19:16.100 som blir til -4. Det blir -25. NOTE Treffsikkerhet: 71% (MEDIUM) 00:19:16.100 --> 00:19:19.600 Så har vi den andre likningen. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:19:23.200 --> 00:19:32.000 Så kan vi da løse dette systemet. To likninger og to ukjente, da ser det ut som det enkleste nå 00:19:32.000 --> 00:19:39.900 vil være å addere disse sammen. Hvis vi ganger likning to med 4, så får vi -4E+4E. Så blir vi kvitt E, 00:19:39.900 --> 00:19:44.800 og står igjen, forhåpentligvis, med hva C skal være for noe. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:19:45.300 --> 00:19:57.150 Da ganger vi likning to med 4. Da får vi 13C-4E=-25. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:19:57.150 --> 00:20:09.200 Så får vi da gange 4. Kan ha en sånn liten regning borti hjørnet her. 39*4. Det er da 156. 00:20:09.200 --> 00:20:26.550 156C+4E. Så har vi 36*4=144, det blir -144. NOTE Treffsikkerhet: 65% (MEDIUM) 00:20:26.550 --> 00:20:29.200 Når vi legger sammen dette nå, NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:20:29.200 --> 00:20:38.200 så får vi 169C. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:20:38.200 --> 00:20:51.000 Så forsvinner E-ene, og så får vi -169 her også. Da blir vi jo veldig glade. Når vi regner masse, og så 00:20:51.000 --> 00:21:00.600 får vi faktisk ut et veldig pent svar. For dette gir jo at C=-1. Da er vi på god vei til å finne 00:21:00.600 --> 00:21:01.850 de andre bokstavene også. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:21:01.850 --> 00:21:11.300 Hvis C=-1, da kan vi prøve å nøste oss tilbake. Kan kanskje gå helt opp hit. 00:21:11.300 --> 00:21:19.700 Hvis C=-1, så får vi 2 her og vi flytter over. Det gir B=1. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:21:21.100 --> 00:21:25.450 Hvis B=1, NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:21:25.450 --> 00:21:31.500 så får vi -2 her, det betyr at A=2. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:21:31.600 --> 00:21:49.300 Så må vi da finne D og E også. Da kan vi gå kanskje gå opp dit. C=-1 her oppe, det gir -13. 00:21:49.300 --> 00:22:03.600 Da får vi -21+13=8. Så får vi -(-8)/-2, som gir D=4. 00:22:03.600 --> 00:22:07.000 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:22:07.000 --> 00:22:22.700 Hvis D=4, så får vi -6=-2E, det gir E=3. Da har vi faktisk funnet alle verdiene 00:22:22.700 --> 00:22:31.600 for A, B, C, D og E. Så kan vi sette dette inn i uttrykket som vi skulle spalte opp. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:22:31.600 --> 00:22:38.500 Det er disse verdiene som passer inn i dette likningssystemet her. Så kan vi fortsette å regne ut 00:22:38.500 --> 00:22:40.949 det integralet som vi skulle regne ut. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:22:40.949 --> 00:22:48.300 Da fortsetter vi å regne ut dette uttrykket, som vi skal sammenligne med telleren i vår rasjonale funksjon 00:22:48.300 --> 00:22:54.800 som vi skal integrere. Da handler det om å regne ut disse to parentesene før vi da 00:22:54.800 --> 00:23:12.200 endelig kan prøve å finne A, B, C, D og E. Da får vi nå Ax^4+6Ax^2+9A. Og så kommer utregningen 00:23:12.200 --> 00:23:30.500 av parentesene. Da ganger vi inn x^2. Så får vi Bx^3-2Bx^4+Cx^2-2Cx^3. 00:23:30.500 --> 00:23:38.300 Så ganger vi inn 3. Da får vi en ny linje. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:23:38.300 --> 00:23:54.500 3Bx-6Bx^2+3C-6Cx. Så får vi med den siste linjen også. 00:23:54.500 --> 00:23:59.800 Dx-2Dx^2+E-2Ex. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:24:00.400 --> 00:24:04.950 Vi skal finne A, B, C, D og E. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:24:04.950 --> 00:24:13.500 Dette lange uttrykket her skal da være lik 3x^3-3x^2+7x+18. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:24:13.500 --> 00:24:21.900 Da sammenligner vi koeffisientene foran de ulike potensene av x. Vi ser et x^4-ledd. 00:24:21.900 --> 00:24:32.300 Det ser ut til å være den høyeste potensen av x som forekommer. 00:24:32.300 --> 00:24:42.400 Koeffisientene foran x^4 er A-2B. På venstresiden så står det 0x^4. 00:24:42.400 --> 00:24:48.000 Det betyr at vi får likningen A-2B=0. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:24:48.900 --> 00:25:00.200 Så går vi til x^3-leddene. Da har vi et ledd der, og vi har et ledd her og ingen fler. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:25:00.200 --> 00:25:11.600 Det gir koeffisienten B-2C. Foran x^3 på venstresiden så står det 3. Dermed må de to 00:25:11.600 --> 00:25:16.350 koeffisientene være like, siden disse uttrykkene skal være like. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:25:16.350 --> 00:25:24.150 Så var det x-leddene. x^2-leddene først, kanskje. Der har vi et x^2-ledd. NOTE Treffsikkerhet: 70% (MEDIUM) 00:25:24.150 --> 00:25:27.450 Her har vi et, her og der også. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:25:27.450 --> 00:25:32.600 NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:25:32.800 --> 00:25:50.300 Det blir til sammen 6A-6B-C-2D. Foran x^2 står det -3 på venstresiden. 00:25:50.300 --> 00:25:53.100 Så var det x-leddene. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:25:53.100 --> 00:25:56.000 Da har vi et her, NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:25:56.000 --> 00:26:01.250 og her, her og her også. NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:26:01.250 --> 00:26:07.700 Da får vi 3B-6C+D-2E. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:26:07.700 --> 00:26:21.300 Foran x på venstresiden, så står det 7. Så det gir da denne ligningen. Til slutt 00:26:21.300 --> 00:26:23.050 har vi konstantleddene. NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:26:23.050 --> 00:26:29.449 Da har vi 9A, 3C og E. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:26:29.449 --> 00:26:45.700 Det gir likningen 9A+3C+E. Det skal være konstantleddet på venstresiden, 18. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:26:45.700 --> 00:26:55.200 Nå ser vi at vi har fem ukjente: A, B, C, D og E. Ut fra den delbrøksoppspaltingen 00:26:55.200 --> 00:27:04.400 vi startet med, så får vi oss nå fem likninger, som da skal være oppfylt samtidig, og gi oss løsningene på hva 00:27:04.400 --> 00:27:07.750 A, B, C, D og E er. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:27:07.750 --> 00:27:15.300 For å løse et sånt system, så er det litt forskjellige måter å gjøre det på. Nå har vi 00:27:15.300 --> 00:27:20.500 for eksempel disse to likningene på begynnelsen her, kan vi bruke til å substituere inn i de andre 00:27:20.500 --> 00:27:28.400 og prøve å få færre og færre variabler, og til slutt stå igjen med hva de forskjellige 00:27:28.400 --> 00:27:38.500 bokstavene egentlig står for. Vi kan begynne øverst. Den likningen sier at A=2B, NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:27:38.500 --> 00:27:46.650 og likning nr. to sier at B=3+2C. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:27:46.650 --> 00:28:00.900 Det betyr for øvrig at A kan uttrykkes ved 6+4C også. Så putter vi det da inn 00:28:00.900 --> 00:28:03.300 i de tre resterende ligningene. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:28:03.300 --> 00:28:16.100 Da putter vi inn for A og B her, og så putter vi inn for B her og for A der nede. Vi regner videre. 00:28:16.100 --> 00:28:35.300 Da får vi likningene 6(6+4C) for A, -6(3+2C) for B. -C-2D=-3. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:28:35.300 --> 00:28:53.150 I den fjerde likningen får vi da inn for B: 3(3+2C)-6C+D-2E=7. Så er det den siste likningen. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:28:53.150 --> 00:29:08.500 Inn for A setter vi da uttrykket 6+4C, og så har vi 3C+E=18. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:29:09.600 --> 00:29:18.700 Så nå har vi tre likninger med tre ukjente. Vi har substituert inn for A og B, brukte de to første likningene 00:29:18.700 --> 00:29:24.400 til å gjøre det. Nå står vi plutselig igjen med tre likninger og tre ukjente. 00:29:24.400 --> 00:29:30.100 Det handler om å jobbe videre og vi må bare ha litt mere tavleplass igjen. Da har vi endelig klart 00:29:30.100 --> 00:29:38.500 å delbrøksoppspalte dette uttrykket her. Vi satte det opp som tre ledd, og så har vi 00:29:38.500 --> 00:29:48.700 regnet ut koeffisientene A=2, B=1, C=-1, D=4 og E=3. Poenget med dette her er jo nå at 00:29:48.700 --> 00:29:59.100 nå vi skal regne ut integralet av denne rasjonale funksjonen, altså integralet av 3x^3-3x^2+7x+18 00:29:59.100 --> 00:30:10.500 delt på (1-2x)(x^2+3)^2, kan vi da dele opp dette integralet NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:30:10.500 --> 00:30:19.800 ved hjelp av denne oppspaltingen. Da får vi først integralet av A=2-- integralet av 2/1-2x. 00:30:19.800 --> 00:30:29.600 Nå bruker vi altså at integralet av en sum er summen av integralene. Så får vi 00:30:29.600 --> 00:30:41.300 det neste integralet, hvor B=1 og C=-1. Det gir x-1/x^2+3. Så har vi 00:30:41.300 --> 00:30:55.200 det tredje integralet, hvor D=4 og E=3. Vi får integralet av 4x+3/(x^2+3)^2. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:30:55.800 --> 00:31:07.900 Da har vi fått oss tre integraler. Vi kan kalle dem en, to og tre. Så integrerer vi dem nå, hver for seg. 00:31:07.900 --> 00:31:10.250 Da starter vi med den første. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:31:10.250 --> 00:31:18.300 Det er altså integralet 2/1-2x. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:31:18.700 --> 00:31:25.100 Når vi generelt skal integrere alle disse her, så tenker vi derivasjon baklengs. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:31:25.100 --> 00:31:38.100 I dette tilfellet her så gjenkjenner vi nå at vi ønsker å bruke at integralet av 1/x=ln x + C. 00:31:38.100 --> 00:31:50.500 Men nå står det ikke x nede i nevneren, det står 1-2x. Hvis vi deriverer 1-2x, 00:31:50.500 --> 00:31:57.800 får vi -2. Det betyr at når vi integrerer, så må vi da ha med faktoren -1/2. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:31:57.800 --> 00:32:14.100 Vi får -1/2, og så får vi 2*ln 1-2x. Skal vi da rydde litt. -ln 1-2x + C. 00:32:14.100 --> 00:32:16.750 NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:32:16.750 --> 00:32:23.150 Det er det første integralet. Da merker vi oss at kjernen NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:32:23.150 --> 00:32:31.900 i uttrykket 1/x er nå 1-2x, og den deriverte er bare en konstant. Den kan vi klare 00:32:31.900 --> 00:32:38.800 å få med, bare ved å ta 1 delt på denne konstanten når vi integrerer. Evt. kan vi sette opp en liten 00:32:38.800 --> 00:32:44.350 substitusjon hvis vi ønsker. Det skal vi gjøre når vi skal regne ut integralene to og tre. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:32:44.350 --> 00:32:52.100 Vi er i ferd med å regne ut dette integralet, og vi har delt opp i tre ledd. Nå har vi tatt 00:32:52.100 --> 00:33:03.400 det første integralet. La oss se på nr. to. Det andre integralet heter integralet av x-1/x^2+3. 00:33:03.400 --> 00:33:05.300 NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:33:05.500 --> 00:33:13.600 Nå er det fortsatt en grad i forskjell mellom teller og nevner. Telleren har grad 1, og nevneren har grad 2. 00:33:13.600 --> 00:33:22.000 Det sier oss at vi kanskje fortsatt kan bruke regelen om at når vi integrer 1/x, får vi ln x. 00:33:22.000 --> 00:33:37.900 Nå står det ikke x i nevneren, det står altså x^2+3. Hvis vi substituerer denne nevneren, x^2+3, 00:33:37.900 --> 00:33:47.700 er den deriverte lik 2x. Det hadde vært veldig fint hvis 2x hadde stått i telleren. 00:33:47.700 --> 00:33:54.400 Nå står det heldigvis en x, som gjør at vi kan utføre denne substitusjonen og få ln x^2+3, 00:33:54.400 --> 00:34:03.300 bare vi sørger for at vi får 2x opp i telleren. Å få 2x opp hit, det kan vi gjøre ved 00:34:03.300 --> 00:34:06.150 å dele på 1/2 og gange med 2, NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:34:06.150 --> 00:34:16.100 og så kan vi spalte av -1 som et eget integral, -1/x^2+3. Da gjør vi det. 00:34:16.100 --> 00:34:30.400 Vi får 1/2, 2x/x^2+3 minus integralet av 1/x^2+3. Ved å gjøre denne substitusjonen, 00:34:30.400 --> 00:34:42.800 har vi altså løst dette integralet. Det integralet blir en 1/2 ln x^2+3 uten absoluttverditegn, 00:34:42.800 --> 00:34:52.199 fordi x^2+3 er alltid positivt. Så må vi ta oss av integralet av 1/x^2+3. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:34:54.400 --> 00:35:03.800 Dette integralet har nå en konstant i telleren og et andregradsledd i nevneren. Da tenker vi 00:35:03.800 --> 00:35:18.900 arcus tangens. Når vi integrerer 1/x^2+1, får vi nettopp arcus tangens. Den deriverte av arcus tangens er 1/x^2+1. 00:35:18.900 --> 00:35:29.400 Den ønsker vi nå å bruke, men nå står det altså ikke 1 her, det står 3. 00:35:29.400 --> 00:35:32.600 Da må vi først skaffe oss 1 her. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:35:32.600 --> 00:35:38.450 Da regner vi litt på dette uttrykket. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:35:38.450 --> 00:35:49.750 For å få 1 der, så faktoriserer vi ut 3 i nevneren. Da får vi (x^2/3)+1. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:35:49.750 --> 00:36:00.100 Så ønsker vi at dette her også skal stå inni en andre potens. Det får vi til, ved å sette roten av 3 00:36:00.100 --> 00:36:11.500 istedenfor 3. Alt opphøyes da i andre potens. Da setter vi inn det her. Vi kan godt ta med oss 00:36:11.500 --> 00:36:21.700 det integralet vi allerede har regnet ut. Så skal vi altså integrere dette uttrykket. Da får vi 1/3, 00:36:21.700 --> 00:36:34.750 som vi kan sette utenfor. Så får vi integralet av 1 / (x/roten av 3)^2 + 1. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:36:34.750 --> 00:36:44.100 Nå er vi ganske nære her. Nå har vi i hvert fall 1 der, men så står det altså ikke x. Men det står 00:36:44.100 --> 00:36:46.100 x/roten av 3. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:36:46.100 --> 00:37:01.500 Hvis vi substituerer u=x/roten av 3, så får vi at du=1/roten av 3 dx. Det betyr at vi må ha 00:37:01.500 --> 00:37:05.000 med oss en faktor roten av 3 når vi integrerer. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:37:05.700 --> 00:37:14.000 Dermed får vi 1/2 ln x^2+3. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:37:14.000 --> 00:37:25.300 Så blir dette arcus tangens, men med en faktor roten av 3. Da får vi (roten av 3)/3, arcus tangens 00:37:25.300 --> 00:37:31.300 til x/(roten av 3) + C. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:37:33.700 --> 00:37:42.300 Når vi deriverer tilbake, så får vi (1/x) / (roten av 3)^2 + 1. 00:37:42.300 --> 00:37:49.400 Så må vi gange med 1/roten av 3, som da forkortes mot roten av 3. Så får vi 1/3 her. 00:37:49.400 --> 00:37:52.450 Da har vi nå løst det andre integralet. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:37:52.450 --> 00:38:00.700 Etter all denne regningen, så er vi fortsatt ikke helt ferdig med å regne ut dette integralet. 00:38:00.700 --> 00:38:09.300 Vi har nå tatt for oss førsteleddet og det neste integralet. Så har vi fortsatt dette integralet igjen. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:38:09.300 --> 00:38:23.400 Det tredje integralet har da som integrand 4x+3/(x^2+3)^2. Fram til nå har vi brukt 00:38:23.400 --> 00:38:32.500 ln og arcus tangens. Nå ser vi at vi har grad 1 i teller, så har vi et andregradsledd 00:38:32.500 --> 00:38:41.800 opphøyd i annen i nevner. Da kan vi tenke en ny regel, nemlig at når 00:38:41.800 --> 00:38:57.100 vi integrerer 1/x^2, så får vi -1/x. Da står det nå ikke x, men x^2+3 inne i en andre potens. 00:38:57.100 --> 00:38:58.000 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:38:58.000 --> 00:39:09.600 Hvis vi nå vil sette u=x^2+3 og bruke denne regelen, så ser vi da at du=2x dx. 00:39:09.600 --> 00:39:21.900 For å bruke denne med x^2+3 som kjerne, må vi få 2x opp i telleren. Da spalter vi av 2x 00:39:21.900 --> 00:39:31.200 ved å sette et 2-tall utenfor. Så får vi med oss 3/(x^2+3)^2 som et nytt ledd. 00:39:31.200 --> 00:39:47.399 Da får vi 2 * 2x/(x^2+3)^2 og så får vi pluss integralet 3/(x^2+3)^2. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:39:47.399 --> 00:39:56.700 Når vi har gjort dette, kan vi bruke denne regelen med x^2+3 inn for x. 00:39:56.700 --> 00:40:11.000 Da får vi 2, og så får vi -1/x^2+3. Så har vi fortsatt dette integralet, som ikke er ferdig 00:40:11.000 --> 00:40:23.400 regnet ut ennå. Så enda en linje til gir altså -2/x^2+3 pluss 3 ganger 00:40:23.400 --> 00:40:29.400 integralet av 1/(x^2+3)^2. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:40:29.400 --> 00:40:36.350 Da handler det nå om hvordan vi skal takle dette integralet. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:40:36.350 --> 00:40:48.000 Da viser det seg at vi har en rekursiv formel for integralet av 1/x^2+1 opphøyd 00:40:48.000 --> 00:40:54.000 i en hvilken som helst potens. Nå skal vi ikke bruke denne formelen akkurat her, men vi skal heller se 00:40:54.000 --> 00:41:00.800 en måte som vi kan regne ut akkurat dette integralet på. Det første vi må gjøre, er å skaffe oss 00:41:00.800 --> 00:41:08.400 en 1 her. Da kan vi gjøre det her borte. 00:41:08.400 --> 00:41:14.600 (Problemer med lyden, samme del spilles igjen og igjen. Varer i ca. 5 min) 00:41:14.600 --> 00:41:21.600 00:41:21.600 --> 00:41:28.100 00:41:28.100 --> 00:41:32.350 NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:41:32.350 --> 00:41:38.700 00:41:38.700 --> 00:41:49.100 00:41:49.100 --> 00:41:58.500 00:41:58.500 --> 00:42:04.300 00:42:04.300 --> 00:42:14.900 00:42:14.900 --> 00:42:23.200 00:42:23.200 --> 00:42:31.100 00:42:31.100 --> 00:42:32.600 NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:42:32.600 --> 00:42:40.800 00:42:40.800 --> 00:42:49.000 00:42:49.000 --> 00:43:01.300 00:43:01.300 --> 00:43:12.000 00:43:12.000 --> 00:43:27.300 00:43:27.300 --> 00:43:32.450 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:43:32.450 --> 00:43:46.400 00:43:46.400 --> 00:43:58.700 00:43:58.700 --> 00:44:11.100 00:44:11.100 --> 00:44:24.000 00:44:24.000 --> 00:44:30.800 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:44:31.600 --> 00:44:41.500 00:44:41.500 --> 00:44:57.800 00:44:57.800 --> 00:45:15.800 00:45:15.800 --> 00:45:30.300 00:45:30.300 --> 00:45:31.750 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:45:31.750 --> 00:45:48.900 00:45:48.900 --> 00:46:08.100 00:46:08.100 --> 00:46:23.600 00:46:23.600 --> 00:46:31.900 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:46:31.900 --> 00:46:50.800 00:46:50.800 --> 00:47:18.700 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:47:31.500 --> 00:47:58.800 1/(u^2+1)^2 er lik 2 minus en kopi av dette her, så da får vi integralet av 1/u^2+1. Så har vi 00:47:58.800 --> 00:48:03.600 pluss u/u^2+1. NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:48:03.700 --> 00:48:08.200 Ikke + C enda, fordi vi ikke er helt ferdig med å integrere. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:48:08.200 --> 00:48:21.900 Det betyr at vi har følgende uttrykk for integralet vi er interessert i, som 1/2. Nå kan vi 00:48:21.900 --> 00:48:34.600 bruke arcus tangens pluss 1/2 * u/u^2+1 + C. NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:48:34.600 --> 00:48:40.500 Denne formelen kan vi nå bruke for å regne oss videre. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:48:40.500 --> 00:48:49.500 Vi har nå regnet ut dette integralet, 1/(u^2+1)^2 er altså 1/2*arcus tangens u 00:48:49.500 --> 00:48:56.050 + 1/2 * u/u^+1, og så pluss konstanter. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:48:56.050 --> 00:49:01.700 La oss nå først sette inn at u er x/roten av 3. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:49:01.700 --> 00:49:15.100 Da får vi 1/2*arcus tangens til x/roten av 3. Så må vi sette inn x/roten av 3 for u. 00:49:15.100 --> 00:49:28.700 Da får vi 1/2 * (x/roten av 3) / (x/roten ax 3)^2+1 + C. NOTE Treffsikkerhet: 44% (LAV) 00:49:29.800 --> 00:49:33.100 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:49:33.100 --> 00:49:40.100 Hvis vi rydder litt i dette uttrykket her, så ser vi at denne roten av 3 kommer ned hit. 00:49:40.100 --> 00:49:47.100 Her står det nå, hvis vi ganger ut denne parantesen, så får vi x^2/3. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:49:47.100 --> 00:49:56.900 Hvis vi da setter et 3-tall opp hit, så får vi ut x^2+3 her nede, for da har vi 00:49:56.900 --> 00:50:07.700 faktorisert ut 1/3 hit, og så flytter vi 3 helt opp. Vi får 1/2 * arcus tangens til 00:50:07.700 --> 00:50:20.100 (x/roten av 3), pluss 1/(1/3) som blir 3 oppe i teller. Så får vi 2*roten av 3, 00:50:20.100 --> 00:50:28.300 der denne roten av 3 kommer derfra. Så har vi x/x^2+3. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:50:31.600 --> 00:50:34.800 Da har vi satt inn x. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:50:34.800 --> 00:50:44.600 Da kan vi sette dette rett inn her, og så gange med (roten av 3)/3. Nå får vi da at 00:50:44.600 --> 00:50:54.300 integral nummer tre er lik -2/x^2+3 + roten av 3/3 ganger-- NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:50:54.300 --> 00:51:09.450 så skal også dette uttrykket inn. 1/2*arcus tangens (x/roten av 3), NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:51:09.450 --> 00:51:24.200 + 3/2*roten av 3 * x/x^2+3. Så kan vi godt sette denne konstanten helt utenfor. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:51:24.200 --> 00:51:31.200 Da kan vi rydde til slutt, og så får vi at roten av 3/3, den forkortes mot 3/roten av 3. 00:51:31.200 --> 00:51:45.300 Så står vi igjen med at det tredje integralet er -2/x^2+3 pluss ganger inn roten av 3/3. 00:51:45.300 --> 00:51:57.300 Da får vi (roten av 3)/6*arcus tangens(x/roten av 3) pluss-- 00:51:57.300 --> 00:52:09.200 her, når vi ganger inn roten av 3/3, står det 1/2 igjen. Da kan vi sette x/2x^2+3 + C. 00:52:09.200 --> 00:52:10.800 NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:52:10.800 --> 00:52:19.100 Da har vi endelig regnet ut det tredje integralet her også. Da er det på høy tid med en 00:52:19.100 --> 00:52:20.500 oppsummering. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:52:20.500 --> 00:52:31.250 (Problemer med lyden, samme del spilles igjen og igjen. Varer ut videoen) NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:52:31.250 --> 00:52:41.000 00:52:41.000 --> 00:52:43.550 NOTE Treffsikkerhet: 70% (MEDIUM) 00:52:43.550 --> 00:52:54.450 NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:52:54.450 --> 00:53:05.400 NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:53:05.400 --> 00:53:16.300 NOTE Treffsikkerhet: 72% (MEDIUM) 00:53:16.300 --> 00:53:25.850 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:53:25.850 --> 00:53:35.400 NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:53:35.400 --> 00:53:44.950 NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:53:44.950 --> 00:53:54.700 NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:53:54.700 --> 00:54:05.550 NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:54:05.550 --> 00:54:16.450 NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:54:16.450 --> 00:54:26.500 00:54:26.500 --> 00:54:27.450 NOTE Treffsikkerhet: 72% (MEDIUM) 00:54:27.450 --> 00:54:33.500