WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:07.000 I denne snutten skal vi se på komplekse tall, hvor de kommer fra og hvorfor vi er interessert i dem. 00:00:07.000 --> 00:00:12.000 Det er en litt rar problemstilling, kanskje. I utgangspunktet er vi interessert i om det finnes kvadratrøtter 00:00:12.000 --> 00:00:18.500 til negative tall, for eksempel -1. Spørsmålet er jo da om det finnes et tall i, slik at i^2=-1. 00:00:18.500 --> 00:00:26.800 Hvis vi går tilbake til skolematematikken, vil man si at slike tall ikke finnes. 00:00:26.800 --> 00:00:33.100 Det er rett og slett fordi når vi er på tallinjen, så finnes det ikke slike kvadratrøtter. 00:00:33.100 --> 00:00:40.400 For uansett om vi starter med et positivt tall eller et negativt tall, og opphøyer det i annen, 00:00:40.400 --> 00:00:48.300 så får vi noe positivt. Pluss ganger pluss er pluss, så kvadratet av et positivt tall er positivt. Minus ganger minus 00:00:48.300 --> 00:00:55.400 er pluss, så kvadratet av et negativt tall er også positivt. På tallinjen finnes det ikke noen tall 00:00:55.400 --> 00:00:59.750 av denne typen her. Da kan man lure på, hva er vitsen med å NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:59.750 --> 00:01:07.700 lete videre? Kan det ikke rett og slett være slik at negative tall slipper å ha en kvadratrot? 00:01:07.700 --> 00:01:12.800 Det som viser seg, er at historisk sett har det dukket opp et behov for å regne med kvadratrøtter 00:01:12.800 --> 00:01:20.200 av negative tall flere ganger. Det aller første var i forbindelse med annengradsligninger. Hvis vi har 00:01:20.200 --> 00:01:27.900 en likning av denne typen her, altså en helt vanlig annengradsligning, så kjenner vi jo alle løsningsformelen 00:01:27.900 --> 00:01:41.200 abc-formelen. Hvis vi da er litt uheldig 00:01:41.200 --> 00:01:46.600 med den ligningen vi har fått delt ut, så risikerer vi at det som står inni kvadratroten her, 00:01:46.600 --> 00:01:50.900 er negativt. Da skal vi ta kvadratroten til et negativt tall. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:01:50.900 --> 00:01:56.600 I de aller fleste eksempler som dukker opp i skolen og andre steder, er ikke dette noe problem, fordi man 00:01:56.600 --> 00:02:02.200 sier rett og slett at ligningen ikke har noe løsning, og så er man lykkelig med det. Men det finnes en del 00:02:02.200 --> 00:02:08.600 eksempler hvor man faktisk er interessert i å regne videre med løsninger, også i de tilfellene hvor vi får 00:02:08.600 --> 00:02:11.150 noe negativt inni kvadratroten. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:02:11.150 --> 00:02:17.700 Det som imidlertid var enda viktigere for utviklingen av de komplekse tallene, det var tredjegradslikninger, 00:02:17.700 --> 00:02:27.400 som italienerne begynte å løse i renessansen på 1500-tallet. De så på 00:02:27.400 --> 00:02:33.800 forskjellige typer tredjegradslikninger. En type de var interessert i, var likninger på denne formen. 00:02:33.800 --> 00:02:41.450 x^3 = px+q, hvor p og q var positive tall. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:02:41.450 --> 00:02:47.600 På denne tiden her så var ikke de negative tallene allment akseptert, og derfor var man veldig opptatt 00:02:47.600 --> 00:02:55.000 av å skrive likninger slik at tallene ble positive. Så her er p og q positive tall. Det italienerne visste, 00:02:55.000 --> 00:03:02.500 var at disse likningene har nøyaktig en positiv rot, og det var jo bare de positive røttene de var 00:03:02.500 --> 00:03:08.700 interessert i. For oss er det lett å se at det bare kan være en positiv rot i en slik likning. 00:03:08.700 --> 00:03:17.400 Hvis vi tegner opp grafene på begge sider her, så vet vi jo at i = px+q, det er en rett linje 00:03:17.400 --> 00:03:25.500 med stigningstall p og y-koordinat q, der den skjærer y-aksen. Det betyr at vi har en likning på denne formen. 00:03:25.500 --> 00:03:34.900 Dette er y = px+q. y=x^3, den ser annerledes ut. Den starter ned i origo, og så vokser den oppover. 00:03:34.900 --> 00:03:41.500 x^3 vokser mye fortere enn x, så den vil kutte gjennom linja et eller annet sted på den måten. 00:03:41.500 --> 00:03:42.300 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:03:42.300 --> 00:03:54.500 Her har jeg da en x-verdi, hvor x^3 = px+q. Her ligger den eneste løsningen til den likningen. 00:03:54.500 --> 00:03:55.600 NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:03:55.600 --> 00:04:02.200 Men italienerne visste mer enn at det fantes en løsning til dette likningssystemet. De hadde også en 00:04:02.200 --> 00:04:11.600 formel for løsningen. Den kalles gjerne Cardanos formel. Cardanos formel ser slik ut. x, den positive løsningen 00:04:11.600 --> 00:04:18.300 av den ligningen der borte, er gitt ved et helt forferdelig uttrykk. Vi begynner med en tredjerot. 00:04:18.300 --> 00:04:26.000 Det er ikke så veldig rart når vi har en tredjegradslikning. Men inni her står det også en kvadratrot, 00:04:26.000 --> 00:04:34.800 og inni den kvadratroten så skal jeg først ta minus, og så skal jeg ta koeffisienten foran x (altså p), 00:04:34.800 --> 00:04:46.600 dele på 3 og opphøye svaret i tredje. Så skal jeg ta det andre tallet her q, dele på to og opphøye den brøken 00:04:46.600 --> 00:04:55.200 i annen. Da er jeg ferdig med kvadratroten. Men inni denne tredjeroten skal jeg da 00:04:55.200 --> 00:04:55.950 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:04:55.950 --> 00:05:05.000 til slutt legge til q/2. Jeg er ikke ferdig med det, jeg skal ha et uttrykk til av nesten 00:05:05.000 --> 00:05:13.900 akkurat samme form. Så jeg har en ny tredjerot som dukker opp her. Inni den er det en kvadratrot igjen. 00:05:13.900 --> 00:05:26.200 Den kvadratroten er akkurat det samme som denne. Så her står det da (-p/3)^3 + (q/2)^2. 00:05:26.200 --> 00:05:36.100 Der slutter kvadratroten. Nå skal jeg ikke plusse på q/2, nå skal jeg trekke fra det isteden. 00:05:36.100 --> 00:05:45.900 Jeg får -q/2. Dermed er jeg ferdig. Dette er Cardanos formel for løsning 00:05:45.900 --> 00:05:49.150 av tredjegradslikninger av den typen. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:05:49.150 --> 00:05:58.750 Den ser formidabel ut. Den er riktig, men den har noen uventede konsekvenser som vi nå skal se på. NOTE Treffsikkerhet: 72% (MEDIUM) 00:05:58.750 --> 00:06:04.000 La oss nå se hvordan Cardanos formel fungerer i et praktisk eksempel. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:06:04.400 --> 00:06:13.400 Jeg skal se på denne ligningen her, x^3 = 15x+4. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:06:13.400 --> 00:06:22.700 Det er lett å se hva løsningen er. Hvis vi nå setter x=4, så får jeg 4^3=64. Så får jeg 00:06:22.700 --> 00:06:32.200 15*4=60+4=64. Den positive løsningen av denne ligningen er rett og slett x=4. 00:06:32.200 --> 00:06:40.100 Hvis Cardanos formel er riktig, skal dette stemme med det vi har her nede. 00:06:40.100 --> 00:06:46.300 La oss se hva som skjer med Cardanos formel når vi bruker den på denne ligningen der. Da skal jeg først 00:06:46.300 --> 00:06:54.100 ha en tredjerot og så skal jeg ha en kvadratrot inni den igjen. Hva står inni kvadratroten? 00:06:54.100 --> 00:07:05.600 Jeg skal ha p/3. p=15, så her står det 15/3=5. 5^3=125, og så står det minus foran. 00:07:05.600 --> 00:07:13.900 Så dette er -125, som da svarer til -(p/3)^3. Så skal jeg ha pluss, NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:13.900 --> 00:07:23.800 og så skal jeg ha q/2. q=4, så q/2=2. q^2=4. 00:07:23.800 --> 00:07:32.400 Der står det -125+4, og så skal jeg ha pluss q/2. q=4, så q/2=2. 00:07:32.400 --> 00:07:41.400 Så det er første halvpart av formen. Andre halvpart, den her borte: igjen, en svært tredjerot. 00:07:41.400 --> 00:07:48.200 Inni den skal jeg ha en annen rot. Det som står i den første roten er jo akkurat det som sto i 00:07:48.200 --> 00:07:58.800 roten her i stad, så det må fortsatt være -125+4. Men nå skal jeg ha minus istedenfor pluss 00:07:58.800 --> 00:08:05.600 det siste. Istedenfor +2 skal jeg ha -2. Det får jeg når jeg bruker Cardanos formel. 00:08:05.600 --> 00:08:13.900 Så kan vi må rydde opp littegranne i størrelsene våre her. -125+4=-121. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:08:13.900 --> 00:08:30.100 Så jeg får tredjeroten her, og så får jeg roten av -121 + 2. Helt tilsvarende her borte, 00:08:30.100 --> 00:08:45.600 minus, og så er det tredjeroten av -121, men denne gangen -2. Så det sier Cardanos formel. 00:08:45.600 --> 00:08:49.750 Det skal da være det samme som det 4-tallet vi hadde i stad. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:08:49.750 --> 00:08:56.200 Vi ser jo det åpenbare problemet her. Her har jeg tatt kvadratroten av et negativt tall, 00:08:56.200 --> 00:09:05.600 og det samme her borte. Det virker jo som om denne Cardanos formel ikke fungerer i dette tilfellet. 00:09:05.600 --> 00:09:14.600 Men italienerne oppdaget at hvis de regnet videre, som om kvadratroten av -121 fantes, så kunne de 00:09:14.600 --> 00:09:21.700 gjøre noe manipulasjoner i dette uttrykket her, og så kom 4 ut av de manipulasjonene. Jeg tenkte å vise dere 00:09:21.700 --> 00:09:30.600 hva de gjorde for noe. Men før vi gjør det, så vil jeg bare rydde opp litt i uttrykket her. 00:09:30.600 --> 00:09:40.200 121, det er 11^2. Her står det faktisk -11^2 inni kvadratroten. Hvis vanlige regneregler holder, 00:09:40.200 --> 00:09:48.600 burde jeg kunne trekke det 11-tallet på utsiden. Det jeg da får, det er tredjeroten, og så 00:09:48.600 --> 00:09:50.400 trekker jeg 11 på utsiden. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:09:50.400 --> 00:09:57.900 Da får jeg 11. Så blir jeg stående igjen med kvadratroten av -1. La oss bare kalle det for i, 00:09:57.900 --> 00:10:07.000 for å gjøre det litt kortere. Så da får jeg 11i + 2 inni den første tredjeroten. I den andre skje akkurat det samme, 00:10:07.000 --> 00:10:16.200 bortsett fra at jeg har et minustegn istedenfor et plusstegn. Så jeg får tredjeroten av 11i - 2. 00:10:16.200 --> 00:10:30.600 Der i er en kvadratrot av -1. i er lik kvadratroten av -1. Så hvis vanlige regneregler holder, 00:10:30.600 --> 00:10:36.600 så burde vi kunne forenkle Cardanos formel til dette. Så er spørsmålet, kan vi på en eller annen måte 00:10:36.600 --> 00:10:44.000 greie å overbevise oss selv om at dette kompliserte uttrykket her faktisk er det samme som 4? NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:10:44.900 --> 00:10:58.400 Vi holdt på med arbeidet om tredjegradslikningen x^3=15x+4. Vi hadde funnet to løsninger av den. 00:10:58.400 --> 00:11:04.800 Vi hadde ved inspeksjon sett at x=4 var en løsning, men så hadde vi også brukt Cardanos formel. 00:11:04.800 --> 00:11:18.000 Da hadde vi funnet ut at da fikk vi denne løsningen. Tredjeroten av 11i + 2 minus nesten det samme uttrykket, 00:11:18.000 --> 00:11:27.800 nemlig tredjeroten av 11i - 2, der i er en kvadratrot av -1, hva nå det måtte bety. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:11:27.800 --> 00:11:35.500 Så spørsmålet er nå, er det likhet mellom de løsningene? Vi vet jo at denne ligningen bare har en 00:11:35.500 --> 00:11:42.800 positiv løsning. Cardanos formel utgir seg for å gi denne positive løsningen. Er det noen måte 00:11:42.800 --> 00:11:50.100 å omforme dette uttrykket på, slik at vi får 4? Det var det renessansematematikerne fant. Hvis man antar 00:11:50.100 --> 00:11:57.900 at denne i-en er et tall man kan regne med på samme måte som alle andre tall. i^2=-1, så kan man 00:11:57.900 --> 00:12:06.200 faktisk omforme dette uttrykket og vise at det er lik 4. Det er dette jeg nå skal prøve å vise dere. Det springende punktet 00:12:06.200 --> 00:12:15.400 er jo disse tredjerøttene. Hvordan finner jeg en tredjerot av 11i + 2 og 11i - 2? 00:12:15.400 --> 00:12:21.400 Det de gjorde, var at de antok at en slik tredjerot måtte ha samme form som det uttrykket inni her, 00:12:21.400 --> 00:12:28.099 altså et reellt tall pluss et tall ganget med i. De tenkte seg at de måtte ha et tall på formen a+bi, NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:12:28.099 --> 00:12:40.600 slik at når de opphøyde dette tallet i tredje, så fikk de 11i + 2. Et slikt tall som opphøyd i tredje som gir dette, 00:12:40.600 --> 00:12:49.200 vil jo nettopp være en slik tredjerot. Da kunne jeg erstatte den tredjeroten med a + bi. Hvordan kan vi 00:12:49.200 --> 00:12:54.600 finne ut om det finnes noen a og b, slik at disse uttrykkene er like? Det vi må gjøre, er jo først og fremst 00:12:54.600 --> 00:13:02.100 å regne ut den parentesen der. Hvis vi bruker binomialformelen, så får vi først a^3 + 3a^2 00:13:02.100 --> 00:13:11.200 gange med det leddet der, nemlig bi. Så må jeg fortsette. 00:13:11.200 --> 00:13:20.200 Jeg får et 3-tall til. Nå skal jeg ta a^1, så må jeg ta bi^2. 00:13:20.200 --> 00:13:27.800 Til slutt får jeg det siste leddet her i tredje potens, nemlig (bi)^3. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:13:28.000 --> 00:13:37.000 Nå skal jeg bruke at i^2=-1. Det betyr at den i-en der som blir opphøyd i annen, den blir borte og 00:13:37.000 --> 00:13:43.100 blir erstattet med -1. Det leddet her kommer da ikke til å inneholde noen i, og det leddet her 00:13:43.100 --> 00:13:50.100 inneholder heller ingen i, mens de to siste leddene her kommer til å inneholde i-er. La meg samle 00:13:50.100 --> 00:13:57.500 de leddene som ikke inneholder i først. Da har jeg a^3 her bortenfra. Så var det leddet her. 00:13:57.500 --> 00:14:04.000 Når jeg opphøyer i annen, så blir den i^2=-1. Så jeg får en minus. Og så står jeg igjen 00:14:04.000 --> 00:14:15.800 med 3ab^2. Det er de to leddene som ikke inneholder noen i. De siste leddene her, 00:14:15.800 --> 00:14:22.000 de kommer til å inneholde en i. Jeg putter de inne i en parentes, og så ganger jeg med i etterpå. 00:14:22.000 --> 00:14:29.000 Dette leddet her er enkelt. Her står det 3a^2b, og den i-en jeg har satt NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:14:29.000 --> 00:14:39.000 utenfor parentes. Det blir bare 3a^2b. Det leddet her er litt verre. For i^3 her, den kan jeg 00:14:39.000 --> 00:14:46.400 ta i to skritt. Først kan jeg ta i^2, da får jeg -1. Jeg får minus foran, så står jeg igjen med 00:14:46.400 --> 00:14:55.500 b^3*i. Det jeg står igjen med her, det er -b^3, og så ganget med i-en på utsiden der. 00:14:55.500 --> 00:15:03.900 Da har jeg regnet ut dette uttrykket, og det jeg ønsket meg var jo at det jeg står igjen med her borte, 00:15:03.900 --> 00:15:13.200 skal være lik 11i + 2. Det betyr at jeg må greie å finne a og b, slik at det uttrykket der, som altså ikke 00:15:13.200 --> 00:15:20.400 har en i, det blir lik 2 som er det uttrykket uten i her borte. Så ønsker jeg at denne her som står 00:15:20.400 --> 00:15:25.900 foran i-en, den skal være lik 11, som sto foran i her borte. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:15:25.900 --> 00:15:31.700 Og da kan man gå løs på det likningssystemet på flere måter, men det er ikke så vanskelig å se 00:15:31.700 --> 00:15:42.700 ved inspeksjon at her får vi en løsning, nemlig hvis jeg setter a=2 og b=1, så stemmer dette. 00:15:42.700 --> 00:15:51.800 Hvorfor gjør det? La oss se hva som skjer her. Her får jeg a^3, altså 2^3 som er 8. 00:15:51.800 --> 00:16:00.700 Så får jeg 3*2*1 som er 6, så jeg får 8-6=2. Den første delen stemmer. Hva skjer her borte? 00:16:00.700 --> 00:16:10.600 a^2=2^2=4. b=1, så her står det 3*4*1=12. Så det leddet er 12. 00:16:10.600 --> 00:16:20.300 Her står det b^3, men b=1, så b^3=1. Det står 12-1=11. Så disse tingene stemmer, 00:16:20.300 --> 00:16:25.850 hvis jeg velger a=2 og b=1. Det betyr altså NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:16:25.850 --> 00:16:41.700 at uttrykket a=2 pluss det som er bi, altså 2+i. Dette må være en tredjerot av 11i + 2. Det betyr at 00:16:41.700 --> 00:16:52.700 dette uttrykket her, tredjeroten av 11i + 2, det kan jeg skrive som 2+i. Hvis jeg nå gjør akkurat samme type 00:16:52.700 --> 00:17:02.400 regnestykke for den tredjeroten der borte, så får jeg på helt samme måte at tredjeroten her, den er ikke 2+i, 00:17:02.400 --> 00:17:14.500 men den er -2+i. Så det jeg får når jeg trekker sammen her, er 2+i fra den første tredjeroten, 00:17:14.500 --> 00:17:23.400 og så en minus -2+i fra den andre roten. Jeg har en positiv i og en negativ i, så de faller mot hverandre. 00:17:23.400 --> 00:17:26.099 Så har jeg 2, og så jeg minus minus NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:17:26.099 --> 00:17:37.800 som er +2, som er 4. Så da stemmer den observasjonen her borte. Det disse italienske matematikerne 00:17:37.800 --> 00:17:44.600 på 1500-tallet oppdaget, var at dersom de tok dette absurde uttrykket som de fikk fra 00:17:44.600 --> 00:17:51.400 Cardanos formel, regnet på vanlig måte og bare antok at det fantes et tall, slik at i^2=-1, 00:17:51.400 --> 00:17:57.100 så kunne de forenkle det uttrykket og faktisk komme frem til riktig svar. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:17:57.600 --> 00:18:06.900 Man må gjøre en antagelse her, nemlig om at roten av -1 finnes, og at man kan regne med den 00:18:06.900 --> 00:18:13.100 på vanlig måte. Da kan man altså, fra dette absurde uttrykket, komme frem til et fornuftig svar. 00:18:13.100 --> 00:18:19.500 Så viste det seg, etterhvert som de så på flere og flere typer av tredjegradslikninger, at det finnes 00:18:19.500 --> 00:18:26.200 eksempler der du er nødt til å gå via slike regninger med negative kvadratrøtter for å komme fram 00:18:26.200 --> 00:18:32.600 til et fornuftig svar. Etterhvert som de regnet på enda mer kompliserte likninger og andre ting, 00:18:32.600 --> 00:18:39.100 så kom det flere og flere eksempler i dagen, der man lot som at negative tall av kvadratrøtter 00:18:39.100 --> 00:18:45.000 kunne regne seg fram til fornuftige svar. Så man regnet seg på en måte gjennom noe man ikke 00:18:45.000 --> 00:18:52.200 helt visste om eksisterte eller ikke frem til noe fornuftig, som var et svar på 00:18:52.200 --> 00:18:54.300 den oppgaven man startet på. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:18:54.900 --> 00:19:03.000 I ca 250 år regnet matematikere med kvadratrøtter av negative tall, uten egentlig å vite hva det var. 00:19:03.000 --> 00:19:09.900 De kalte dem for imaginære tall. Det var tall man kunne tenke seg til og regne med, men som man ikke helt visste 00:19:09.900 --> 00:19:15.000 om eksisterte eller ikke. Det var først helt på slutten av 1700-tallet at den norske matematikeren 00:19:15.000 --> 00:19:22.800 Caspar Wessel fant en måte å tenke på disse tallene på som gir geometrisk mening. Ideen hans er 00:19:22.800 --> 00:19:29.500 ganske enkel. Vi sa jo istad at dersom vi starter med tallinjen, så er det ikke plass til kvadratrøtter 00:19:29.500 --> 00:19:36.600 av negative tall her. For uansett om et tall er positivt eller negativt, så er kvadratet positivt. 00:19:36.600 --> 00:19:44.200 Men er det ikke plass til dem på tallinjen, så kan man jo utvide tallområdet til et tallplan isteden. 00:19:44.200 --> 00:19:50.600 Her tenker jeg meg at vi har den gamle tallinjen liggende inne som x-akse, og så har jeg satt på 00:19:50.600 --> 00:19:51.700 en akse til. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:19:51.700 --> 00:20:03.100 Et komplekst tall, det er nå rett og slett et uttrykk av typen z=a+ib, der i er en kvadratrot av -1. 00:20:03.100 --> 00:20:13.400 Caspar Wessel tenker seg da at dette er det samme som tallet, punktet eller vektoren med koordinater 00:20:13.400 --> 00:20:24.600 a langs x-aksen og b langs y-aksen. Så her, i punktet (a,b), der ligger det komplekse tallet 00:20:24.600 --> 00:20:34.800 a+ib. De tallene som ligger på x-aksen, for eksempel tallet 7, dette var den gamle tallaksen 00:20:34.800 --> 00:20:42.300 som lå der, den kan vi tenke på som et slikt komplekst tall, for det er rett og slett 7+0*i. 00:20:42.300 --> 00:20:51.300 Alle de reelle tallene her, ligger på x-aksen, men vi har utvidet til et tallplan. Det mystiske tallet i, 00:20:51.300 --> 00:20:52.050 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:20:52.050 --> 00:21:01.100 kvadratroten av -1, hvor ligger det hen? Jo, i er det samme som 0+1i, så det må ligge 00:21:01.100 --> 00:21:09.150 i punktet med koordinater (0,1) altså her oppe som en enhet på y-aksen. Så her ligger i. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:21:09.150 --> 00:21:16.700 På denne måten kunne Caspar Wessel forklare de komplekse tallene. Det var rett og slett punkter, 00:21:16.700 --> 00:21:24.700 eller vektorer om man vil, i planet. Han kunne også forklare regneoperasjonene på den måten. Hvis man 00:21:24.700 --> 00:21:37.200 for eksempel ønsker å legge sammen to komplekse tall. La oss si at vi har z her, det er a+ib, 00:21:37.200 --> 00:21:45.800 og et annet tall her oppe w=c+id. Da lønner det seg, i dette tilfellet, å tenke på tallene som vektorer 00:21:45.800 --> 00:21:54.000 ut fra origo. Når vi nå legger sammen tallene, så gjør vi akkurat det samme som vektoraddisjon. 00:21:54.000 --> 00:22:02.000 Jeg tar tallet w og flytter det bort, slik at det starter ved enden av z. Flytter w bort hit, 00:22:02.000 --> 00:22:10.000 da ender jeg opp der oppe. Den nye vektoren som går tvers over slik, det er z+w. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:22:10.000 --> 00:22:17.700 Addisjon av komplekse tall er bare addisjon av vektorer, når vi tenker på disse komplekse tallene 00:22:17.700 --> 00:22:23.500 som vektorer i planet. Det var ikke så veldig vanskelig å finne ut av. Det som var Caspar Wessels 00:22:23.500 --> 00:22:33.350 virkelige prestasjon, var å tolke multiplikasjon av komplekse tall geometrisk. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:22:33.350 --> 00:22:44.500 Det han gjorde, var igjen å tenke seg disse to komplekse tallene, z og w. Nå så han på lengden 00:22:44.500 --> 00:22:52.900 som disse tallene hadde, altså hvor lange vektorene er. Etterpå så han på vinklene som disse vektorene hadde 00:22:52.900 --> 00:23:00.800 med x-aksen. Hvis vi kaller den vinkelen for u og den vinkelen for v, så oppdaget man da at produktet av 00:23:00.800 --> 00:23:05.500 disse to komplekse tallene (det er selvfølgelig igjen et komplekst tall). NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:23:06.100 --> 00:23:18.300 Ligger der oppe, kanskje. Det er zw. Det har da en lengde som er lik produktet av 00:23:18.300 --> 00:23:25.600 lengden til z og lengden til w. Så lengden til z, den kaller vi gjerne tallverdien til z, og lengden til w 00:23:25.600 --> 00:23:32.700 har tallverdien til w. Den nye lengden til produktet er da produktet av de to lengdene til z og w. 00:23:32.700 --> 00:23:39.200 Det var jo ganske naturlig. Det som ikke er så naturlig innledningsvis, er hva han gjorde med vinklene. 00:23:39.200 --> 00:23:46.100 For han sa at dette produktet til produkttallet, det hadde en vinkel som ikke var produkt av de 00:23:46.100 --> 00:23:51.000 opprinnelige vinklene, men summen av dem. Slik at vinkelen som dette produkttallet har med x-aksen, 00:23:51.000 --> 00:24:00.400 det er summen u+v av de to opprinnelige vinklene. Dette skal vi se i neste snutt, har med trigonometriske 00:24:00.400 --> 00:24:07.050 funksjoner å gjøre og summeformelen for sinus og cosinus. Det var ikke så rart NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:24:07.050 --> 00:24:12.500 at Caspar Wessel fant ut det. Han var nemlig landmåler av yrke, og det er ingen som regner så mye med cosinus 00:24:12.500 --> 00:24:20.900 og sinus som landmålere. Men, med dette planet som Wessel fant opp, så hadde han funnet en tolkning av de komplekse tallene. 00:24:20.900 --> 00:24:28.600 De var ikke lenger mystiske, imaginære størrelser. De var rett og slett navn på punkter 00:24:28.600 --> 00:24:34.100 eller vektorer i planet. Man kunne da tolke de regnestykkene man gjorde, og visste at det ikke var noe 00:24:34.100 --> 00:24:41.100 skummelt med dette. I den neste snutten skal vi gå litt videre og se på de regnereglene som Caspar Wessel 00:24:41.100 --> 00:24:46.700 kom fram til, og hvordan med hjelp av dem kunne få større forståelse av hva komplekse tall er.