WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:08.300 I denne snutten skal vi snakke litt om konvergens av følger. En følge er en oppramsing av 00:00:08.300 --> 00:00:16.100 uendelig mange reelle tall. Vi har ofte et uttrykk for det n-te leddet i følgen, som for eksempel 00:00:16.100 --> 00:00:25.900 hvis det n-te leddet heter an, så kan jo det være n/n+1. Så kan vi godt la følgen 00:00:25.900 --> 00:00:34.000 starte med 1, at n=1. Noen ganger starter vi på 0, og andre ganger 00:00:34.000 --> 00:00:41.200 starter vi på et annet tall, men veldig ofte så er a1 det første leddet. I dette tilfellet, hvis vi da setter 00:00:41.200 --> 00:00:51.200 inn 1 for n, så får vi 1/2. Det andre leddet, da skal vi sette inn 2 for 1, så får vi 2/3. 00:00:51.200 --> 00:00:59.500 I det tredje leddet så får vi 3/4 osv. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:59.500 --> 00:01:07.000 Da får vi en uendelig oppramsing av tall som da følger mønsteret gitt ved denne generelle formelen. 00:01:07.000 --> 00:01:13.200 Et stykke uti her så finner vi for eksempel 00:01:13.200 --> 00:01:25.600 a1000, som er 1000/1001 og så videre. Da ser vi jo at dette her ser ut til å nærme seg 00:01:25.600 --> 00:01:33.500 tallet 1. 1000/1001 er jo allerede ganske nær 1. Går vi enda lenger ned, 00:01:33.500 --> 00:01:41.300 så kommer vi enda nærmere 1. Vi kommer jo aldri fram til nøyaktig 1, men vi kan komme så nære 1 00:01:41.300 --> 00:01:48.600 vi bare vil. En annen måte å visualisere dette på, er jo at vi kan gå inn på tallinjen. Vi har tallet 1, 00:01:48.600 --> 00:01:59.650 og så starter vi på 1/2, og så går vi ned til 2/3, og så går vi til 3/4 osv. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:01:59.650 --> 00:02:09.100 Etter hvert så begynner vi å komme nærmere og nærmere 1 med dette uttrykket. Hva betyr det da, 00:02:09.100 --> 00:02:17.800 at vi kan komme så nære 1 vi bare vil ved å gå langt nok ut i følgen? Dette, som jeg nettopp har sagt, 00:02:17.800 --> 00:02:24.400 at vi faktisk kan komme så nære 1 vi bare vil ved å gå langt nok ut i følgen, det kan vi 00:02:24.400 --> 00:02:30.600 skrive opp litt mer matematisk, sånn at vi får litt bedre tak på begrepet som vi kaller konvergens. 00:02:30.600 --> 00:02:46.300 Vi har en definisjon som sier at følgen {an} konvergerer mot et tall a, 00:02:46.300 --> 00:02:59.800 hvis for hver epsilon større enn 0 NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:02:59.800 --> 00:03:09.500 (det handler om avstanden til dette punktet a, i dette tilfellet 1), så finnes det da et naturlig tall, 00:03:09.500 --> 00:03:25.400 slik at avstanden mellom det n-te leddet og denne a-en er mindre enn denne epsilonen for n 00:03:25.400 --> 00:03:35.000 større enn eller lik N. Altså bare vi går langt nok ut i følgen ut til en N fra det leddet av, så vil vi 00:03:35.000 --> 00:03:42.350 ha oppfylt at avstanden mellom an og a er mindre enn ethvert tall som dukker opp. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:03:42.350 --> 00:03:49.700 Epsilon er typisk veldig lite, fordi vi ønsker nettopp at denne følgen skal nærme seg et tall. 00:03:49.700 --> 00:03:50.400 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:03:50.400 --> 00:03:58.700 Bare vi går langt nok ut i følgen, kan vi komme så nære a vi bare vil. Så la oss bruke denne definisjonen 00:03:58.700 --> 00:04:10.400 på følgen n/n+1. Da har vi en mistanke om at følgen n/n+1 00:04:10.400 --> 00:04:22.350 konvergerer mot tallet 1. Da kan vi bruke denne definisjonen til å vise at dette faktisk stemmer. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:04:22.350 --> 00:04:32.600 Da betyr det at vi har jo gitt en epsilon nå. For hver epsilon, så skal det finnes en N. 00:04:32.600 --> 00:04:40.600 Vår oppgave er å finne N. Disse epsilonene, de kommer, og så skal vi da finne en N som kan 00:04:40.600 --> 00:04:53.500 parere denne epsilonen. Gitt epsilon, da ønsker vi å si noe om denne avstanden. an-1, fordi a er jo 1 00:04:53.500 --> 00:04:55.500 i dette tilfellet. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:04:55.500 --> 00:05:03.900 Hva er denne avstanden? Den må vi først regne på, fordi det er den vi skal gjøre så liten vi bare vil. 00:05:03.900 --> 00:05:14.400 Det er dette uttrykket her. Hvis vi setter på fellesnevner nå, så får vi n-n-1, så dette blir 00:05:14.400 --> 00:05:24.200 -1/n+1. Da kan vi fjerne absoluttverditegnet, fordi n-ene er alltid positive. 00:05:24.200 --> 00:05:27.300 Dette uttrykket er alltid positivt. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:05:27.300 --> 00:05:38.100 Det betyr at vi nå skal kunne gjøre dette uttrykket mindre enn alle mulige epsiloner. Så hva må da 00:05:38.100 --> 00:05:49.200 n være? Da prøver vi å løse ut for n, så da får vi 1 mindre enn n*epsilon + epsilon. Det betyr at vi løser ut for 00:05:49.200 --> 00:05:55.200 n nå, så flytter vi epsilon over. Da får vi 1-epsilon, og så kan vi dele på epsilon. Da står det at n 00:05:55.200 --> 00:06:03.900 er større enn dette uttrykket. n blir større enn 1-epsilon/epsilon. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:06:03.900 --> 00:06:12.200 Da er spørsmålet; for hver epsilon som kommer, klarer vi nå å finne en n som er større enn 00:06:12.200 --> 00:06:19.500 1-epsilon/epsilon? Det vil vi faktisk få til, for dette her er jo et reelt tall, 00:06:19.500 --> 00:06:27.700 og Arkimedes' prinsipp sier at vi alltid kan finne et naturlig tall som er større enn et gitt reelt tall. 00:06:27.700 --> 00:06:32.500 Dette kan vi faktisk få til. Da kan vi se på noen eksempler, for disse epsilonene skal jo nå 00:06:32.500 --> 00:06:38.850 komme inn fra sidelinjen. For eksempel? 1/2 ja! NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:06:38.850 --> 00:06:48.300 Hva hvis epsilon er lik 1/2? Det betyr altså at vi ønsker at leddene i følgen skal ligge i avstand 00:06:48.300 --> 00:06:55.600 mindre enn 1/2 fra tallet 1. Hvor langt uti følgen må vi gå for å få til dette? NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:06:55.600 --> 00:07:02.000 Hvis vi setter inn her, så får vi 1-epsilon og epsilon er 1/2, delt på 1/2. 00:07:02.000 --> 00:07:12.650 Da får vi ulikheten at n>1, det betyr at N=2. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:07:12.650 --> 00:07:21.500 Hvis vi starter på det andre leddet i denne følgen, altså 2/3, er vi sikre på at alle leddene 00:07:21.500 --> 00:07:28.549 leddene derfra og utover ligger i avstand mindre enn 1/2 fra tallet 1. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:07:28.549 --> 00:07:35.400 Vi kan kanskje prøve å få noen epsiloner som er litt mindre enn 1/2. Vi skal jo kunne parere 00:07:35.400 --> 00:07:48.800 alle epsiloner. For eksempel 1/1000, da begynner vi å komme ganske nærme 1. Nå skal vi 00:07:48.800 --> 00:07:57.700 ligge i avstand 1/1000 fra tallet 1. Hvor langt ut i følgen må vi gå for å få til det? 00:07:57.700 --> 00:08:00.100 Klarer vi å få det til? NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:08:00.100 --> 00:08:17.200 Hvis vi setter inn 1/1000 her, så får vi 1-1/1000. Det er da 999/1000, og så skal vi 00:08:17.200 --> 00:08:32.000 dele på 1/1000. Da ser vi at vi får 999. Hvis vi nå velger N=1000. Hvis vi starter på 00:08:32.000 --> 00:08:42.500 det tusende leddet, altså ledd 1000/1001, så vil det leddet ligge i avstand mindre enn 1/1000 fra 1, 00:08:42.500 --> 00:08:50.700 og alle leddene videre vil ligge innenfor denne avstanden. Det betyr da at 00:08:50.700 --> 00:08:57.400 denne følgen konvergerer mot 1. Vi klarer å parere alle epsilonene som kommer. Vi kan få 00:08:57.400 --> 00:09:01.000 leddene i følgen til å ligge så nære 1 vi bare vil, NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:09:01.000 --> 00:09:09.200 bare vi går langt nok ut i følgen. Det er nøyaktig det vi mener med konvergens i matematikken. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:09:09.200 --> 00:09:17.400 Vi skal snakke litt mer om konvergens av følger. Vi har skrevet opp definisjonen. 00:09:17.400 --> 00:09:28.300 En tallfølge {an} konvergerer mot a hvis for hver epsilon så finnes det et naturlig tall, slik at avstanden 00:09:28.300 --> 00:09:37.300 fra det n-te leddet til a er mindre enn epsilon, for alle n større enn eller lik N. Bare vi går 00:09:37.300 --> 00:09:44.800 langt nok ut i følgen, ut til N, så vil leddene derfra og utover ligge i avstand 00:09:44.800 --> 00:09:56.000 mindre enn epsilon fra a. Så her har vi a. Dette uttrykket her, absoluttverdien av an-a mindre enn epsilon, 00:09:56.000 --> 00:10:07.800 betyr at vi ser på intervallet fra a-epsilon til a+epsilon. Innenfor her skal da 00:10:07.800 --> 00:10:09.650 alle disse an-ene NOTE Treffsikkerhet: 73% (MEDIUM) 00:10:09.650 --> 00:10:14.400 befinne seg for n større enn lik N. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:10:14.400 --> 00:10:23.600 Nå kan vi spørre oss selv om, hvis vi har en følge som konvergerer mot a; kunne det tenkes at den 00:10:23.600 --> 00:10:26.450 også konvergerte mot et annet tall? NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:10:26.450 --> 00:10:34.700 Da kaller vi gjerne a en grenseverdi. Når en følge konvergerer mot a, skriver vi gjerne 00:10:34.700 --> 00:10:49.400 at lim an, når n går mot uendelig, er lik a. Kunne det nå tenkes at denne grenseverdien 00:10:49.400 --> 00:10:53.250 av uttrykket an kan være noe annet enn a? NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:10:53.250 --> 00:11:15.700 Vi skal nå vise at det kan vi ikke ha. En følge har høyst en grenseverdi. Det har jeg lyst til å vise. 00:11:15.700 --> 00:11:16.900 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:11:17.300 --> 00:11:24.950 Da antar vi at følgen har to grenseverdier, og så ser vi hva som skjer. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:11:24.950 --> 00:11:44.700 Nå antar vi at lim an, når n går mot uendelig, er lik a, og at vi også har en annen grenseverdi, a', 00:11:44.700 --> 00:11:55.000 der altså a og a' er forskjellig. Nå antar vi at vi har to forskjellige grenseverdier for følgen an. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:11:56.300 --> 00:12:04.500 Da må vi skrive opp hva dette betyr. Det at grenseverdien for an, når n går mot uendelig, er lik a, 00:12:04.500 --> 00:12:15.200 det betyr jo at det finnes en N, slik at avstanden fra an til a er mindre enn enhver epsilon for 00:12:15.200 --> 00:12:25.600 n større enn eller lik N. Det at lim an = a', det betyr at det finnes en N', slik at avstanden fra 00:12:25.600 --> 00:12:36.800 an til a' er mindre enn epsilon, bare vi går ut til N' i følgen. Da kan vi skrive at 00:12:36.800 --> 00:12:50.800 det finnes en N, slik at avstanden mellom an og a er mindre enn epsilon, for n større enn eller lik N. 00:12:50.800 --> 00:12:56.750 Så finnes det en N', NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:12:56.750 --> 00:13:07.800 slik at avstanden fra an til a' er mindre enn epsilon, for n større enn eller lik N'. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:13:09.600 --> 00:13:19.100 Nå har vi antatt noe som vi ønsker å vise ikke er riktig, så vi vil nå tvinge fram en motsigelse. 00:13:19.100 --> 00:13:26.100 Det vi gjør nå, er at vi går så langt uti følgen at begge disse betingelsene er oppfylt. Så vi lar nå 00:13:26.100 --> 00:13:42.000 n være større enn eller lik maksimum av disse to N-ene. Det betyr at begge disse er oppfylt. Da har vi 00:13:42.000 --> 00:13:46.550 gått langt nok ut i følgen for å få til det. NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:13:46.550 --> 00:13:53.800 Så ser vi på avstanden mellom disse to grenseverdiene, a og a'. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:13:56.100 --> 00:14:06.500 Vi vil gjerne bruke disse betingelsene som jeg har funnet for å komme videre i beviset. Da putter vi inn 00:14:06.500 --> 00:14:10.800 an ved å plusse på og trekke fra an. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:14:14.300 --> 00:14:26.700 Så kommer trekantulikheten inn. Dette er nå mindre enn eller lik a-an pluss avstanden mellom an og a'. 00:14:26.700 --> 00:14:34.900 Vi kan godt bytte om rekkefølgen på de to. Dette er fortsatt avstanden mellom a' og an. 00:14:34.900 --> 00:14:36.500 NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:14:37.100 --> 00:14:44.300 Siden vi har gått så langt uti følgen at begge disse er oppfylt, så vil dette her være mindre enn epsilon 00:14:44.300 --> 00:14:54.650 for a, og også epsilon for a'. Det betyr altså to epsilon. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:14:54.650 --> 00:15:03.000 Det betyr at avstanden mellom a og a', som vi har antatt er to forskjellige tall, skal kunne gjøres 00:15:03.000 --> 00:15:05.550 mindre enn to epsilon. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:15:05.550 --> 00:15:09.750 Men nå skal dette gjelde for alle epsiloner. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:15:09.750 --> 00:15:18.800 Velg nå epsilon lik a-a'/2. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:15:18.800 --> 00:15:22.100 Så setter vi det inn her. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:15:22.600 --> 00:15:36.500 Det gir at a-a', avstanden mellom disse to tallene, er da ekte mindre enn 2*epsilon. 00:15:36.500 --> 00:15:45.100 Nå er epsilon dette tallet her. Det betyr at vi får avstanden mellom a og a' her også. 00:15:45.100 --> 00:15:52.000 Men dette er altså en ekte ulikhet, og det gir ikke mening. Et tall kan ikke være ekte mindre enn seg selv. 00:15:52.000 --> 00:16:02.000 Da har vi en motsigelse. Det betyr at dette som vi antok, nemlig at a er forskjellig fra a', 00:16:02.000 --> 00:16:11.300 det stemmer ikke. Vi må ha at a=a', og en følge har derfor høyst en grenseverdi. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:16:13.100 --> 00:16:21.200 Vi har en del resultater som vi kan bruke når vi skal finne ut om en følge konvergerer, og også da 00:16:21.200 --> 00:16:29.200 hva den eventuelt konvergerer mot. For eksempel, så vet vi at enhver monoton, begrenset følge 00:16:29.200 --> 00:16:54.200 er konvergent. Det er et viktig resultat. Enhver monoton, begrenset følge er konvergent. Monoton er 00:16:54.200 --> 00:17:02.500 en samlebetegnelse på det å vokse og avta. Hvis vi har en følge der leddene vokser eller avtar, 00:17:02.500 --> 00:17:10.900 fra et visst n av og samtidig at leddene i følgen er begrenset, så vil vi ha 00:17:10.900 --> 00:17:14.050 en konvergent følge. Da vil denne følgen nærme seg NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:17:14.050 --> 00:17:23.200 en grenseverdi. Så begrenset og monoton, det at den enten avtar eller vokser. Nå skal vi se 00:17:23.200 --> 00:17:36.700 et eksempel på hvordan vi kan bruke dette resultatet. Vi starter med et positivt, reelt tall. 00:17:36.700 --> 00:17:45.700 Så lager vi oss nå en følge, hvor det første leddet også kan være et hvilket som helst positivt, reelt tall. 00:17:45.700 --> 00:17:58.700 Så regner vi ut det n+1-leddet, ved å ta gjennomsnittet av det foregående leddet og b delt på 00:17:58.700 --> 00:18:08.750 det foregående leddet. Da har vi definert oss en følge. Vi bestemmer oss for et tall b, og et tall s1. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:18:08.750 --> 00:18:17.800 Hvis vi setter det inn her, så finner vi da s2. Så kan vi sette inn s2, og regne ut s3 osv. 00:18:17.800 --> 00:18:22.900 Da får vi oss en uendelig følge av tall. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:18:22.900 --> 00:18:31.500 Hvordan oppfører denne følgen seg? Konvergerer den, og hva konvergerer den mot? NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:18:31.800 --> 00:18:38.300 Da har vi lyst til å prøve å bruke dette resultatet, og se om kanskje denne følgen er både 00:18:38.300 --> 00:18:46.800 monoton og begrenset. Vi starter med monoton, og da ser vi på forskjellen mellom to etterfølgende ledd 00:18:46.800 --> 00:18:59.900 i følgen, og ser hva som skjer med dem. Hva er differanser av to etterfølgende ledd her? Vi har sn, 00:18:59.900 --> 00:19:16.700 og sn+1 er altså 1/2sn-b/2sn. Dette er da 1/2sn-b/2sn. 00:19:16.700 --> 00:19:25.400 Så setter vi på felles brøkstrek, og får vi (sn^2-b)/2sn. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:19:26.200 --> 00:19:32.700 Nå vil vi gjerne kunne si noe mer om dette uttrykket, vi vil gjerne si om dette er positivt eller negativt. 00:19:32.700 --> 00:19:37.900 Da kan vi si noe om denne følgen vokser eller avtar. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:19:37.900 --> 00:19:49.800 For å gjøre det, så ser vi litt nærmere på uttrykket for leddene i følgen. Hvis vi regner litt 00:19:49.800 --> 00:20:03.900 på dette uttrykket, så får vi nå at sn+1=sn/2+b/2sn. Så rydder vi litt. Vi ganger opp 00:20:03.900 --> 00:20:16.300 med fellesnevner, så får vi 2sn+1*sn=sn^2+b. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:20:16.500 --> 00:20:30.800 Snur vi rundt på dette, så får vi en andregradslikning som sier at sn oppfyller ligningen. 00:20:30.800 --> 00:20:42.200 sn er et reelt tall. Det regnes ut fra denne følgen, så det betyr at 00:20:42.200 --> 00:20:49.000 når vi løser denne andregradslikningen, så vet vi at vi kommer til å få noe positivt under rottegnet 00:20:49.000 --> 00:21:00.300 i abc-formelen. Uttrykket b^2-4ac fra abc-formelen, det blir noe positivt. Det uttrykket blir 00:21:00.300 --> 00:21:17.150 4sn+1^2 (b^2), minus 4ac, som er da 4b. Dette blir altså noe positivt, siden sn er et reelt tall. NOTE Treffsikkerhet: 72% (MEDIUM) 00:21:17.150 --> 00:21:23.700 Vi vet at vi får reelle løsninger av andregradslikningen. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:21:23.700 --> 00:21:36.700 Men det betyr jo nå at sn+1^2-b er større enn eller lik 0, for n større enn eller lik 1. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:21:37.200 --> 00:21:44.100 Da kan vi faktisk si noe om dette uttrykket her nede, og vi kan også si noe om forskjellen 00:21:44.100 --> 00:21:58.900 mellom to etterfølgende ledd i følgen. Dette betyr faktisk at sn-sn+1 er større enn eller lik 0, for n 00:21:58.900 --> 00:22:08.500 større enn eller lik 2. Dette gjelder for n større enn eller lik 1, og her har vi sn, så da får vi 2. Dette gjelder for sn 00:22:08.500 --> 00:22:28.100 større enn eller lik 2. Det betyr at {sn} er avtagende for n større enn eller lik 2. Fordi sn er da 00:22:28.100 --> 00:22:33.850 større enn sn+1 for alle n større enn eller lik 2. Denne differansen er positiv. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:22:33.850 --> 00:22:39.500 Det betyr at følgen er avtagende, den er altså monoton. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:22:39.500 --> 00:22:49.300 Den er også begrenset. For en ting, så er jo alle leddene større enn 0. Vi starter med noe som er 00:22:49.300 --> 00:22:54.449 større enn 0, og vi tar gjennomsnittet av positive tall så vi holder oss på den positive siden. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:22:54.449 --> 00:23:04.600 Dette her er en avtagende følge, så denne blir aldri større enn den største verdien av s1 og s2. 00:23:04.600 --> 00:23:22.700 Så vi har en monoton, begrenset følge, så den er konvergent. {sn} er konvergent, og dermed gir 00:23:22.700 --> 00:23:30.750 det mening å skrive at lim sn, når n går mot uendelig, er lik et tall s. NOTE Treffsikkerhet: 55% (MEDIUM) 00:23:30.750 --> 00:23:34.950 Denne følger nærmer seg et eller annet tall. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:23:34.950 --> 00:23:42.500 Nå kan vi finne dette tallet, fordi vi har et uttrykk for sn+1. Hvis vi bruker dette uttrykket 00:23:42.500 --> 00:23:50.700 og regneregler for grenseverdier, så kan vi finne et uttrykk for s og løse ut for hva s er. 00:23:50.700 --> 00:23:56.200 Hvis vi tar grenseverdien på begge sider nå, får vi grenseverdien av sn+1, det er s. 00:23:56.200 --> 00:24:06.800 Setter vi inn grenseverdiene her, så får vi s begge steder hvor det står sn. 00:24:06.800 --> 00:24:14.200 s vil oppfylle ligningen s=1/2(s+b/s). NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:24:14.500 --> 00:24:29.300 Og da kan vi regne ut at s=1/2s+b/2s, så vi får en 1/2s=b/2s. 00:24:29.300 --> 00:24:32.250 Så s^2=b. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:24:32.250 --> 00:24:42.300 Dermed er s lik pluss/minus roten av b. Men vi ble enige om at alle leddene i denne følgen er positive, 00:24:42.300 --> 00:24:46.900 så s er roten av b. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:24:46.900 --> 00:24:57.200 Det betyr at vi nå har en følge som kan hjelpe oss å regne ut roten av et tall. 00:24:57.200 --> 00:25:02.800 Denne metoden for å regne ut roten til et tall, den er veldig gammel. Den var kjent for babylonerne 00:25:02.800 --> 00:25:05.050 for over 3500 år siden. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:25:05.050 --> 00:25:09.250 Man kan altså starte med et eller annet tall, NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:25:09.250 --> 00:25:17.200 og så tar man gjennomsnittet av dette tallet med det tallet man ønsker å finne roten av, delt på sn. 00:25:17.200 --> 00:25:25.500 Så fortsetter man å regne til man da finner roten av b, med så stor nøyaktighet som man faktisk ønsker. 00:25:25.500 --> 00:25:42.550 Fordi vi ser nå at roten av b vil ligge mellom sn. Det har vi vist her, at sn er større enn eller lik NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:25:42.550 --> 00:25:52.300 roten av b. 00:25:52.300 --> 00:25:59.300 Siden vi tar gjennomsnittet hele tiden, så vil denne grenseverdien også være større enn b/sn. 00:25:59.300 --> 00:26:09.699 Fordi vi regner ut leddene som gjennomsnittet av sn og b/sn. Så for eksempel hvis b=2, NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:26:09.699 --> 00:26:23.700 så kan vi for eksempel velge å starte leddene i følgen med tallet 1. Hvis vi da regner ut s2 00:26:23.700 --> 00:26:33.000 fra følgen, så får vi 1/2*1+2=3. Det er 3/2. NOTE Treffsikkerhet: 31% (LAV) 00:26:34.800 --> 00:26:37.400 NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:26:37.400 --> 00:26:48.700 s3 vil da være gjennomsnittet av 3/2 og 2/(3/2), det blir 1/2(3/2+4/3). 00:26:48.700 --> 00:26:52.400 NOTE Treffsikkerhet: 72% (MEDIUM) 00:26:52.500 --> 00:27:09.400 Hvis vi regner ut dette, så blir det 9+8/6=17/12. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:27:09.400 --> 00:27:22.100 Det betyr at for eksempel bare da ved å regne sn1, sn2 og sn3 i denne følgen, så får vi at roten av 2 00:27:22.100 --> 00:27:41.200 vil ligge mellom s3, som er 17/12, og 2/s3 som er 24/17. Hvis vi regner ut sånn cirka med desimaler, 00:27:41.200 --> 00:27:54.600 så er 17/12 cirka 1,417 og 24/17 er 1,412, så da har vi allerede presset roten av 2 imellom 1,412 00:27:54.600 --> 00:28:03.000 og 1,417. Så kan vi regne ut flere ledd i denne følgen hvis vi ønsker, for å få roten av 2 med enda 00:28:03.000 --> 00:28:10.300 flere desimalers nøyaktighet. Alt dette kan vi få ut ved å se litt på resultater NOTE Treffsikkerhet: 73% (MEDIUM) 00:28:10.300 --> 00:28:13.100 for konvergente følger.