WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:05.800 I denne snutten skal vi snakke litt om regning med komplekse tall. Hvordan vi legger dem sammen, 00:00:05.800 --> 00:00:14.900 ganger dem sammen og hvordan det reflekteres i den geometriske representasjonen. Så et komplekst tall 00:00:14.900 --> 00:00:25.300 er et tall på denne formen her, z=a+ib. i er en kvadratrot av -1, altså i^2=-1. 00:00:25.300 --> 00:00:33.400 Geometrisk tenker vi på et komplekst tall som et punkt eller en vektor 00:00:33.400 --> 00:00:47.200 i planet. Så jeg har z=a+ib her ute, der a er projeksjonen langs x-aksen og b er projeksjonen 00:00:47.200 --> 00:00:54.100 langs y-aksen. Det vi nå skal begynne med, er å rett og slett se hvordan vi regner med disse tallene. 00:00:54.100 --> 00:00:59.450 For å regne, så trenger jeg mer enn et tall. Jeg putter inn et komplekst tall til, NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:59.450 --> 00:01:07.200 c+id. Det å legge sammen to sånne komplekse tall, det er ikke noe vanskelighet i det hele tatt. 00:01:07.200 --> 00:01:18.800 Jeg har altså (a+ib) + (c+id). Jeg samler bare sammen det vi kaller realdelene, de to delene uten i, for seg. 00:01:18.800 --> 00:01:30.000 Og imaginærdelene, de to med i, for seg. Da får jeg a+c, og så samler jeg i-delene. 00:01:30.000 --> 00:01:40.100 Da får jeg i ganget med b herfra og d derfra. Det blir i(b+d). Dette er et nytt, 00:01:40.100 --> 00:01:47.000 reelt tall. Det er på den formen her oppe. Et reelt tall pluss i ganger et annet reelt tall. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:01:47.000 --> 00:01:53.300 Det å trekke fra to komplekse tall går akkurat på samme måten. Istedenfor pluss her, så får vi en minus. 00:01:53.300 --> 00:01:58.550 Så får vi minus der og en minus der. Det er rett fram etter nesen. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:01:58.550 --> 00:02:06.700 Det å gange to komplekse tall er litt verre, men det er bare å bruke denne relasjonen i^2=-1, 00:02:06.700 --> 00:02:15.400 i tillegg til vanlige regneregler. Hvis jeg starter med a+ib og skal gange det med c+id, 00:02:15.400 --> 00:02:23.300 så bare ganger jeg sammen ting på vanlig måte. Jeg tar første ledd her og ganger med hvert av leddene 00:02:23.300 --> 00:02:32.500 her borte. Da får jeg først ac. Så får jeg a*id. Hvis jeg setter i-en først, så får jeg da iad. 00:02:32.500 --> 00:02:43.400 Da har jeg brukt opp a-en, jeg må bruke ib-en. Jeg får først ibc. Så til slutt ib*id, 00:02:43.400 --> 00:02:52.400 da har jeg i to ganger. Jeg får i^2. Også har jeg b-en ganget med d, så jeg får dette. 00:02:52.400 --> 00:02:53.100 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:02:53.100 --> 00:03:00.100 Så husker jeg på at i^2=-1. Det betyr at det leddet der er egentlig -bd. 00:03:00.100 --> 00:03:09.000 Da kan vi samle leddene. Vi tar først realdelen, 00:03:09.000 --> 00:03:17.100 leddene som ikke inneholder i. Da har jeg ac der og -bd der nede. Jeg får (ad-bc). 00:03:17.100 --> 00:03:26.600 Og så er det imaginærdelen, de to leddene som inneholder i. Jeg har i-en først 00:03:26.600 --> 00:03:36.800 og det som er den egentlige imaginærdelen, (ab+bc). På den måten har jeg fått skrevet 00:03:36.800 --> 00:03:44.800 produktet av disse to komplekse tallene z og w som et nytt komplekst tall. Et reelt tall, pluss i ganger et annet 00:03:44.800 --> 00:03:45.450 reelt tall. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:03:45.450 --> 00:03:52.900 Multiplikasjon av komplekse tall er akkurat som vanlig regning, bare vi husker på at hver gang vi 00:03:52.900 --> 00:04:01.000 får i^2, så kan vi sette det lik -1. Den regneoperasjonen som er mest krevende og krever et lite triks, 00:04:01.000 --> 00:04:11.000 det er divisjon. Hvis jeg nå skal dele z på w, hva må jeg da gjøre? Jeg har 00:04:11.000 --> 00:04:20.800 i utgangspunktet a+ib / c+id. Det store problemet her er i-en jeg nå har fått i nevneren. 00:04:20.800 --> 00:04:24.250 Den må jeg bli kvitt, den der nede. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:04:24.250 --> 00:04:31.800 Da er det et triks som går ut på å gange med den konjugerte av nevneren oppe og nede. Det vil si at 00:04:31.800 --> 00:04:38.700 jeg konjugerer med det tallet jeg får når jeg bytter ut fortegnet foran i-leddet med motsatt. Jeg skal da gange med 00:04:38.700 --> 00:04:51.000 c-id oppe og nede. Jeg forandrer ikke brøken. Jeg ganger med c-id her oppe, 00:04:51.000 --> 00:04:59.200 og c-id her nede. La oss se hva som skjer under brøkstreken først, for det er her 00:04:59.200 --> 00:05:07.600 poenget kommer fram. Hvis vi bruker tredje kvadratsetning (konjugatsetningen) på dette uttrykket her, 00:05:07.600 --> 00:05:15.000 får jeg det første leddet i annen, altså c^2. Så får jeg minus det andre leddet i annen, 00:05:15.000 --> 00:05:24.250 det andre leddet er id. Når det opphøyes i annen, får jeg først i^2 og d^2. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:05:24.250 --> 00:05:32.400 Men i^2=-1, så under her står det egentlig c^2+d^2, som er et reelt tall. Vi går videre 00:05:32.400 --> 00:05:37.100 med det etterpå. La oss først se hva som skjer over brøkstreken. Her må jeg gange på vanlig måte. 00:05:37.100 --> 00:05:52.000 Først ac. Så a*(-id)=-iad. Så må jeg gange ib*c=ibc. 00:05:52.000 --> 00:06:04.500 Til slutt ib*(-id)=-i^2bd. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:06:04.800 --> 00:06:13.700 Så kan jeg forenkle dette her litt. Det jeg hadde under brøkstreken, det var jo c^2. Så er i^2=-1, 00:06:13.700 --> 00:06:24.400 så jeg får c^2+d^2. Hva får jeg oppå brøkstreken? Hvis jeg tar de leddene uten i først, 00:06:24.400 --> 00:06:38.200 så har jeg ac her. Her borte er i^2=-1, så her står det +bd. De leddene 00:06:38.200 --> 00:06:50.100 som inneholder i-- la meg ta det positive leddet først, det er ibc. Og så minus iab, i er på utsiden. 00:06:50.100 --> 00:06:52.299 Så det blir -ad. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:06:52.299 --> 00:06:59.600 Nå er jeg fremme, for jeg har skrevet dette som et nytt, komplekst tall. For det jeg kan gjøre er 00:06:59.600 --> 00:07:06.500 å splitte opp i to biter her. Jeg kan ta den delen av brøken for seg, da har jeg et reelt tall. Så kan jeg 00:07:06.500 --> 00:07:15.000 ta denne delen av brøken for seg, og da får jeg i ganger et reelt tall. Hvis jeg splitter opp 00:07:15.000 --> 00:07:23.500 brøken i to deler, den delt på nevneren pluss i ganger den delt på nevneren, er et komplekst tall. Et reelt tall først 00:07:23.500 --> 00:07:30.600 og så i ganget med et annet reelt tall. Det er den formen vi ønsker å ha. Så ved hjelp av dette trikset, 00:07:30.600 --> 00:07:36.600 å gange med den konjugerte av nevneren oppe og nede, så greier vi å gjøre om den litt mystiske brøken 00:07:36.600 --> 00:07:43.300 av to komplekse tall, til et uttrykk som vi kjenner igjen som et tredje komplekst tall. Det trikset er nyttig, 00:07:43.300 --> 00:07:47.900 fordi det er ikke sånn man finner på selv i en håndvending. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:07:48.500 --> 00:07:56.000 Det jeg har gjort hittil er bare å regne med disse komplekse tallene som algebraiske uttrykk. Vi har ikke 00:07:56.000 --> 00:08:04.300 knyttet dem til denne geometriske representasjonen vi har her oppe. Det neste vi skal gjøre, er å se hvordan 00:08:04.300 --> 00:08:10.900 disse algebraiske operasjonene kan uttrykkes ved hjelp av disse geometriske størrelsene. Det er først 00:08:10.900 --> 00:08:15.950 når vi har denne sammenhengen, at vi virkelig forstår hva regning med komplekse tall er. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:08:15.950 --> 00:08:23.700 La oss nå se hvordan vi kan tolke algebraiske operasjoner med komplekse tall geometrisk. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:08:23.700 --> 00:08:40.700 Hvis jeg nå har to komplekse tall, det ene er z=a+ib og det andre er w=c+id. 00:08:40.700 --> 00:08:48.600 Vi tenker på disse som vektorer som starter i origo. Addisjon er rett og slett det samme som vektoraddisjon. 00:08:48.600 --> 00:08:56.300 Det jeg gjør, er at jeg tar denne pilen w, og flytter den bort dit z ender, og så tegner jeg den opp 00:08:56.300 --> 00:09:05.500 på nytt der. Da får jeg en vektor som ser sånn ut. Summen av z og w er 00:09:05.500 --> 00:09:14.200 rett og slett denne nye vektoren som kommer ut der. Det er z+w. Addisjon av komplekse tall geometrisk, 00:09:14.200 --> 00:09:19.900 er rett og slett det samme som addisjon av vektorer. Det er helt tilsvarende med subtraksjon. 00:09:19.900 --> 00:09:24.500 Subtraksjon av komplekse tall, er subtraksjon av de tilhørende vektorene. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:09:24.500 --> 00:09:32.700 Dette er veldig enkelt, og ikke noe nytt i det hele tatt. Det som er mer mystisk, det er multiplikasjon 00:09:32.700 --> 00:09:43.000 av komplekse tall. Hvis jeg igjen har to komplekse tall, la oss si jeg har z her og w her. 00:09:43.000 --> 00:09:51.800 Jeg skal multiplisere disse. For å forstå den geometriske tolkningen, er det ikke 00:09:51.800 --> 00:09:58.900 så veldig mye vits i å se på a, b, c og d, men det lønner seg å se på to andre størrelser, 00:09:58.900 --> 00:10:08.800 nemlig vinklene som disse vektorene danner med x-aksen, og lengden på dem. Så hvis jeg sier at vinkelen 00:10:08.800 --> 00:10:21.200 som z har her nede heter u, og den vinkelen som w har med x-aksen heter v, så vil sett zw være 00:10:21.200 --> 00:10:24.200 en vektor som kommer ut her. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:10:24.200 --> 00:10:35.200 Her har jeg zw. Vinkelen som denne vektoren danner med x-aksen, er summen av de 00:10:35.200 --> 00:10:43.300 to opprinnelige. Vinkelen som kommer ut her er u+v. Da gjenstår det å bestemme hvor lang lengden 00:10:43.300 --> 00:10:53.700 til zw er, denne lengden her. Den er da produktet av lengdene av z og w. 00:10:53.700 --> 00:11:01.900 Nå skriver vi ofte lengder med tallverditegn foran. Det er lengden til z ganger lengden til w. 00:11:01.900 --> 00:11:08.300 Det er den geometriske tolkningen av multiplikasjon. Skal du multiplisere to komplekse tall, så får du 00:11:08.300 --> 00:11:13.800 et nytt tall, der lengden er produktet av de to opprinnelige lengdene, men der vinkelen med x-aksen 00:11:13.800 --> 00:11:21.800 ikke er produktet, men summen av de to opprinnelige vinklene. Dette er litt mystisk. Det tok mange hundre år 00:11:21.800 --> 00:11:24.600 før man fant ut at det var slik disse tingene NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:11:24.600 --> 00:11:31.000 egentlig hang sammen. Det det henger på, er egentlig noen formler som du kjenner fra videregående skole. 00:11:31.000 --> 00:11:39.300 Det som ligger bak denne sammenhengen her, det er disse to formlene for cosinus og sinus til en sum, 00:11:39.300 --> 00:11:57.200 nemlig at sinus til u+v, det er sin u*cos v + cos u*sin v. Den tilsvarende formelen 00:11:57.200 --> 00:12:14.000 for cosinus, nemlig at cosinus til u+v er cos u*cos v - sin u*sin v. 00:12:14.000 --> 00:12:21.100 Det vi nå skal se, er hvordan disse to formlene for cosinus og sinus knytter sammen de to måtene 00:12:21.100 --> 00:12:24.150 å tenke multiplikasjon av komplekse tall på: NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:12:24.150 --> 00:12:31.600 da vi bare ganget sammen a+ib og c+id istad og brukte i^2=-1, 00:12:31.600 --> 00:12:37.800 og denne geometriske formen her borte, hvor vi multipliserer lengder og adderer vinkler. Vi trenger litt mer plass, 00:12:37.800 --> 00:12:41.150 så vi kommer tilbake igjen med selve regnestykket. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:12:41.150 --> 00:12:47.100 For å forstå sammenhengen mellom den algebraiske formen for kompleks multiplikasjon og den geometriske, 00:12:47.100 --> 00:12:53.900 må vi se litt på hvordan vi kan oversette de vanlige koordinatene a og b til en vinkel 00:12:53.900 --> 00:13:02.000 som beskriver hvordan vektorer forholder seg til x-aksen og lengden på denne vektoren. Vi starter med 00:13:02.000 --> 00:13:13.400 en liten tegning. Her har jeg det komplekse tallet mitt, z=a+ib. Så bringer jeg inn lengden til denne vektoren, 00:13:13.400 --> 00:13:21.700 den kalles ofte for r. Så legger jeg en vinkel her, som ofte betegnes med den greske bokstaven theta. 00:13:21.700 --> 00:13:29.600 Så ønsker vi å se på sammenhengen mellom disse størrelsene. Det er ikke så veldig vanskelig. 00:13:29.600 --> 00:13:38.100 Hvis vi bruker litt trigonometri her, så ser vi at denne siden her nede, den må være r*cos theta. 00:13:38.100 --> 00:13:41.750 Men den er også lik a, så a = r*cos theta. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:13:41.750 --> 00:13:52.700 Denne siden her er er r*sin theta ved hjelp av geometri, men den er også b. Vi får b=r*sin theta. 00:13:52.700 --> 00:13:59.400 Dette forteller oss hvordan vi kan regne ut a og b dersom vi kjenner r og theta. 00:13:59.400 --> 00:14:07.700 a er rett og slett r*cos theta og b er r*sin theta. Så er spørsmålet hvordan vi kan gå den andre veien. 00:14:07.700 --> 00:14:15.200 Hvis det er a og b vi kjenner, hvordan kan vi da finne r og theta? r er ganske enkel, fordi den inngår 00:14:15.200 --> 00:14:23.800 som hypotenus i en rettvinklet trekant, der a er her nede og b er kateter. Ved Pytagoras, 00:14:23.800 --> 00:14:31.050 er r = kvadratroten av a^2+b^2. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:14:31.050 --> 00:14:39.300 Kjenner vi a og b, kan vi regne ut r på denne måten. Theta er litt verre, men vi kan bruke 00:14:39.300 --> 00:14:51.200 trigonometri på den. Vi ser for eksempel at cosinus til theta, det er det stykket der som er a 00:14:51.200 --> 00:15:04.300 delt på hypotenusen som er r, så den er a/r. sinus til theta er denne kateten, som er b/r. 00:15:04.300 --> 00:15:13.900 Kjenner vi a og b kan vi først regne ut r, og så kan vi regne ut 00:15:13.900 --> 00:15:19.300 cos theta og sin theta på denne måten. Fra disse to uttrykkene kan vi da finne ut hva theta er. 00:15:19.300 --> 00:15:27.700 I de aller fleste tilfeller behøver vi bare en av dem, cos eller sin. Hvis vi kombinerer det med hvilken 00:15:27.700 --> 00:15:31.700 kvadrant tallet ligger i, så kan vi rekonstruere vinkelen. Som regel NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:15:31.700 --> 00:15:39.600 er det nok å regne ut bare cos eller sin for å finne den. Dette er altså sammenhengen. Hvis vi ser på 00:15:39.600 --> 00:15:49.100 det komplekse tallet selv, så er det i utgangspunktet a+ib, men a er r*cos theta. 00:15:49.100 --> 00:15:55.400 Hvis jeg setter det inn det her borte så får jeg r*cos theta. Så er det i, så er b-en r*sin theta. 00:15:55.400 --> 00:16:03.600 Så jeg får dette uttrykket. Dette kaller vi å skrive det komplekse tallet på trigonometrisk form. 00:16:03.600 --> 00:16:10.800 Vi uttrykker det ved hjelp av r og theta istedenfor ved hjelp av a og b. Det er dette vi skal bruke 00:16:10.800 --> 00:16:19.650 til å vise den geometriske formen for kompleks multiplikasjon. La oss se hvordan vi gjør det. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:16:19.650 --> 00:16:27.700 Jeg skal multiplisere sammen to komplekse tall, z og w. Jeg velger å skrive dem 00:16:27.700 --> 00:16:37.800 på trigonometrisk form, som her borte. Nå har jeg to tall. Så la oss si at z har en r som heter r1 00:16:37.800 --> 00:16:45.100 og en theta som heter t1, mens w har en r som heter r2 og en theta som heter t2. 00:16:45.100 --> 00:16:53.800 Da får jeg z på den formen der borte, bortsett fra at r heter r1 og theta heter t1. 00:16:53.800 --> 00:17:06.099 Den blir seende sånn ut. w har akkurat samme uttrykk, bortsett fra at r nå heter r2. Det blir 00:17:06.099 --> 00:17:14.000 r2*cos t2 + i*r2*sin t2. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:17:14.000 --> 00:17:21.599 Her har vi skrevet opp dette produktet. Ikke på vanlig form med a+ib og c+id, men ved hjelp av 00:17:21.599 --> 00:17:28.300 disse størrelsene r og theta for hvert av de to tallene. Nå kan vi gange sammen på vanlig måte. Jeg tar 00:17:28.300 --> 00:17:34.200 første leddet her r1*cos theta og ganger med hvert av leddene her borte. Jeg skal være litt forsiktig 00:17:34.200 --> 00:17:45.200 så jeg får god plass her. Da får jeg r1*r2, og så får jeg cos t1*cos t2. 00:17:45.200 --> 00:17:54.000 Parantesen trenger jeg ikke, ta bort den. Så skal jeg ta dette leddet og gange med 00:17:54.000 --> 00:17:59.700 det der borte. Da har jeg en i herfra, så dette blir en del av imaginærdelen. Så har jeg r1*r2. 00:17:59.700 --> 00:18:14.500 Så har jeg cos t1*sin t2. Da har jeg brukt opp NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:18:14.500 --> 00:18:20.500 det første leddet her. Nå må jeg gå på det andre leddet her, i*r1*sin t1, og gange det 00:18:20.500 --> 00:18:29.000 med hvert av disse leddene her borte. Da får jeg +i, så får jeg r1r2, så får jeg 00:18:29.000 --> 00:18:39.800 sin t1*cos t2. Da har jeg ganget sammen den og den. Så gjenstår 00:18:39.800 --> 00:18:46.700 det siste leddet, nemlig den ganger den der borte. Hva får jeg da? Jeg får i*i, det er jo bare -c. 00:18:46.700 --> 00:18:54.400 Den kan jeg skrive som et minustegn her nede. Så får jeg r1r2. 00:18:54.400 --> 00:18:58.600 Så får jeg sin t1*sin t2. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:19:02.300 --> 00:19:12.400 Der har vi fått hele uttrykket vårt. Legger merke til at det er to ledd i realdelen som ikke 00:19:12.400 --> 00:19:20.400 innholder i, det er det leddet her og det der nede. Så har jeg to ledd som inneholder i, det er 00:19:20.400 --> 00:19:27.800 dette leddet og det leddet der. Vi fortsetter på vanlig måte, samler leddene uten i for seg, 00:19:27.800 --> 00:19:34.200 og leddene med i for seg. Hvis jeg starter forfra her, så skal jeg kombinere det leddet med det der nede. 00:19:34.200 --> 00:19:41.500 Her har jeg en felles faktor, r1r2. Jeg kan sette den utenfor en parentes. Det jeg sitter igjen med inni her, 00:19:41.500 --> 00:19:51.700 er da cos t1*cos t2 fra dette leddet. Så har jeg -sin t1*sin t2 00:19:51.700 --> 00:19:55.300 fra det andre leddet. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:19:57.800 --> 00:20:10.600 Så det er de to leddene uten i. Så har jeg de to leddene med i. 00:20:10.600 --> 00:20:19.300 Her har jeg i og r1r2 som felles faktorer. Så jeg har i, og så har jeg r1r2. Så får jeg ta med 00:20:19.300 --> 00:20:31.100 de trigonometriske funksjonene her. Her har jeg cos t1*sin t2. Det andre leddet, 00:20:31.100 --> 00:20:41.300 det står der. Der har jeg altså pluss foran. Så har jeg sin t1*cos t2. 00:20:41.300 --> 00:20:47.300 Og så slutt på parentesen. Så dette er imaginærleddet. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:20:47.300 --> 00:20:55.700 Hvis vi husker litt fra de foregående tavlene, så burde vi dra kjennskap på den der. Det gjør man 00:20:55.700 --> 00:21:01.600 egentlig allerede fra videregående skole. For dette er høyresiden i formelen for cosinus til en sum. 00:21:01.600 --> 00:21:09.200 Dere tenker på cos t1+cos t2 og tenker på hva den er lik, så er det nøyaktig det uttrykket som står her. 00:21:09.200 --> 00:21:18.750 Her står det r1r2 * cos t1+t2. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:21:18.750 --> 00:21:27.500 Tiilsvarende her borte, her står det i og så står det r1r2. Hva er dette uttrykket vi har her? 00:21:27.500 --> 00:21:33.600 Vi bør kjenne det igjen, kanskje lettest hvis vi tar det leddet først. sin t1*sin t2 00:21:33.600 --> 00:21:41.200 + cos t1*sin t2. Det er formelen for sinus til en sum 00:21:41.200 --> 00:21:53.700 av to vinkler, så dette er sin t1+t2. zw, dette svære uttrykket, det samler seg 00:21:53.700 --> 00:22:01.700 til det som står her nede. Hva er dette her? Hvis vi sammenligner med uttrykket her oppe, ser vi at 00:22:01.700 --> 00:22:13.700 dette er den trigonometriske formen til et komplekst tall, der r=r1r2 00:22:13.700 --> 00:22:19.150 og der vinkelen er t1+t2. Jeg har den nye r-en her. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:22:19.150 --> 00:22:27.500 Hvis jeg kaller den for r og den for t, så står det r*cos t her. Så står det i, 00:22:27.500 --> 00:22:33.800 og så står det r på nytt, og så står det sin til denne thetaen, som er summen av t1+t2 her borte. 00:22:33.800 --> 00:22:39.900 Akkurat samme uttrykk som her borte. Det betyr at dette her er den trigonometriske formen til 00:22:39.900 --> 00:22:50.400 et komplekst tall, der lengden (modulus) er r1r2, og der vinkelen (argumentet) er t1+t2. 00:22:50.400 --> 00:22:57.400 Det viser det jeg påsto istad, nemlig at når jeg multipliserer to komplekse tall, så vil produktet 00:22:57.400 --> 00:23:03.600 ha en lengde som er produktet av de to opprinnelige lengdene, nemlig r1r2, og en vinkel med x-aksen, 00:23:03.600 --> 00:23:10.500 et argument theta som er summen av de to opprinnelige argumentene, t1+t2. 00:23:10.500 --> 00:23:18.500 Dette regnestykket viser det jeg skisserte istad, nemlig at når jeg multipliserer sammen 00:23:18.500 --> 00:23:19.250 to komplekse tall, NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:23:19.250 --> 00:23:27.200 så multipliserer jeg lengdene, men vinklene legges sammen, slik at produktet kommer ut her med en vinkel 00:23:27.200 --> 00:23:33.600 som er summen av de to opprinnelige. Lengden er lengden av de opprinnelige. Det er nøyaktig 00:23:33.600 --> 00:23:35.350 hva dette regnestykket sier. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:23:35.350 --> 00:23:42.100 Vi har nå sett hvordan multiplikasjon av komplekse tall kan tolkes geometrisk. Til slutt skal vi se litt 00:23:42.100 --> 00:23:50.200 på hva dette har å si for utregningen av potenser. Det jeg starter med, er et komplekst tall z. 00:23:50.200 --> 00:23:57.400 Jeg ser på det på trigonometrisk form, så jeg har en lengde r og en vinkel t. 00:23:57.400 --> 00:24:08.300 z kan da skrives som r*cos t + i*r*sin t. 00:24:08.300 --> 00:24:19.800 Så ønsker jeg å regne ut potenser av det tallet, altså z^2, z^3 osv. Siden det å multiplisere to komplekse tall 00:24:19.800 --> 00:24:26.700 betyr at man skal gange sammen lengdene og legge sammen vinklene, så vil z^2 være et tall 00:24:26.700 --> 00:24:35.900 som kommer ut her et sted med en vinkel som er 2t. t+t, siden vi ganger z NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:24:35.900 --> 00:24:45.500 med seg selv, og som har en lengde r. Der oppe et sted ligger z^2. Hvis jeg nå ganger 00:24:45.500 --> 00:24:51.900 z med selv enda en gang, så må jeg legge til en t til, så jeg kommer kanskje ut et sted her. 00:24:51.900 --> 00:24:57.700 Har en lengde r3, skal gange den opprinnelige lengden med seg selv tre ganger. Så skal jeg 00:24:57.700 --> 00:25:04.500 legge sammen den opprinnelige vinkelen med seg selv tre ganger, så jeg får en vinkel her som er 3t. 00:25:04.500 --> 00:25:11.100 Slik kan vi fortsette. Neste gang får jeg r^4 her, så r^5, r^6 osv. Til slutt har vi gått helt rundt 00:25:11.100 --> 00:25:15.200 og dukker opp i første kvadrant igjen, men det er ikke noe galt i det. Det er bare slik denne multiplikasjonen fungerer. 00:25:15.200 --> 00:25:17.200 NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:25:17.700 --> 00:25:26.100 Så dette er altså hvordan man regner ut potenser av komplekse tall. Jeg har lyst til å gjøre dette på 00:25:26.100 --> 00:25:31.700 en måte som gjør tingene enklere å skrive. Hvis vi se på dette uttrykket for z, så kan jeg trekke 00:25:31.700 --> 00:25:39.600 r utenfor som en felles faktor, og da sitter jeg igjen med cos t + isin t. Denne parentesen 00:25:39.600 --> 00:25:45.100 dukker opp så mange ganger, at det er lurt å ha et kortere uttrykk for den, så man skriver gjerne denne her 00:25:45.100 --> 00:25:54.350 som e^it, slik at hele uttrykket blir da re^it. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:25:54.350 --> 00:26:00.800 Dette kan se litt merkelig ut. Man kan tenke på dette bare som en notasjon, men det viser seg 00:26:00.800 --> 00:26:07.600 faktisk at dette er den eneste fornuftige måten å definere e opphøyd i et imaginært tall på. 00:26:07.600 --> 00:26:14.200 Det er mange måter å forklare det på. Jeg skal nøye meg med en, nemlig å se hva som skjer dersom jeg prøver 00:26:14.200 --> 00:26:22.300 å multiplisere sammen to komplekse tall, som er på en slik eksponensiell form. Da har jeg et tall med lengde r1, 00:26:22.300 --> 00:26:29.500 så den blir r1e^it1. Det er det første tallet. 00:26:29.500 --> 00:26:37.900 Det andre tallet er z2, som er r2e^it2. Når jeg ganger sammen disse to tallene, 00:26:37.900 --> 00:26:45.000 hva skulle jeg da få? Hvis vi bruker den geometriske tolkningen av multiplikasjon, 00:26:45.000 --> 00:26:51.800 så skal jeg da gange sammen lengdene. Jeg skal gange sammen r1 og r2. Det nye tallet 00:26:51.800 --> 00:26:54.750 får en lengde som er r1r2, NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:26:54.750 --> 00:27:03.100 tilsvarer r her oppe. Hva skal gjøre med vinklene? Jeg skal legge dem sammen, slik at det nye tallet 00:27:03.100 --> 00:27:09.700 (produktet) for da en vinkel som er t1+t2-- hvis vi følger den skrivemåten her oppe, skal det skrives 00:27:09.700 --> 00:27:17.800 om e^it1+t2. Det er det vi får bare ved å bruke den geometriske tolkningen 00:27:17.800 --> 00:27:26.200 og denne skrivemåten her oppe. Vi kan jo prøve å gange ut z1 og z2 på vanlig vis, altså at jeg tar 00:27:26.200 --> 00:27:36.500 disse to uttrykkene og prøver å gange sammen. r1e^it1 * r2e^it2. 00:27:36.500 --> 00:27:45.300 Så bruker vi vanlige regneregler. Da har vi r1 her og skulle være r2 der borte, så da får vi r1r2. 00:27:45.300 --> 00:27:52.500 Så er det disse to eksponentialuttrykkene, r1e^it1 * r2e^it2. Etter vanlige regneregler 00:27:52.500 --> 00:27:54.800 for eksponentialfunksjoner, er det NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:27:54.800 --> 00:28:03.600 e opphøyd i summen av disse to eksponentene, altså e^it1+t2. Hvis vi setter i utenfor en parentes, 00:28:03.600 --> 00:28:13.000 så blir det e^i(t1+t2). Det er akkurat det samme svaret som vi fikk istad. 00:28:13.000 --> 00:28:19.900 Det betyr at denne geometriske tolkningen av kompleks multiplikasjon, dette at vi ganger sammen lengdene 00:28:19.900 --> 00:28:28.900 men adderer vinklene, den gjenspeiles i regnereglene for eksponentialer, nemlig at når jeg ganger sammen 00:28:28.900 --> 00:28:37.800 to eksponentialer, så adderer jeg eksponentene. Det er hvorfor dette er den riktig definisjonen av 00:28:37.800 --> 00:28:44.300 en kompleks eksponentialfunksjon, og hvorfor dette er en hensiktsmessig måte å skrive ting på. Rett og slett 00:28:44.300 --> 00:28:49.800 for da kan vi bruke regnereglene for eksponentialfunksjonene, de regnereglene vi kjenner fra før av, 00:28:49.800 --> 00:28:53.050 når vi skal regne ut produktet av to komplekse tall. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:28:53.050 --> 00:29:01.900 La oss se til slutt hva dette har å gjøre for potenser. Hvis jeg nå har z=re^it, 00:29:01.900 --> 00:29:11.300 og prøver å opphøye den i n, hva skulle det være for noe? Det er (re^it)^n. 00:29:11.300 --> 00:29:22.600 Hvis vi bruker vanlige regneregler for potenser, så er det r^n*(e^it)^n. 00:29:22.600 --> 00:29:29.800 Bruker nå vanlige regneregler. Dette er en eksponent opphøyd i en ny en, da kan jeg 00:29:29.800 --> 00:29:37.800 gange sammen eksponentene. Da får jeg r^n*e^i og så produktet av de to, it her og n der, 00:29:37.800 --> 00:29:46.000 så det blir int. Der står potensen til dette komplekset tallet. 00:29:46.000 --> 00:29:51.800 Når jeg skriver et komplekst tall på denne eksponentialformen på denne måten og jeg vil regne ut 00:29:51.800 --> 00:29:53.600 n-te potensen, så tar jeg NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:29:53.600 --> 00:30:01.900 lengden r^n, og så tar e^int. Akkurat som vi ville forvente 00:30:01.900 --> 00:30:05.200 om vi bare hadde brukt regnereglene for eksponentialfunksjoner. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:30:05.200 --> 00:30:14.100 Denne skrivemåten gir oss en kompakt måte til å regne ut både produkter og potenser på. 00:30:14.100 --> 00:30:19.300 I den neste snutten, som handler om hvordan vi finner n-te røttene til komplekse tall, skal vi 00:30:19.300 --> 00:30:21.300 bruke dette på en effektiv måte.