WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:06.600 I denne snutten skal vi se hvordan vi kan bruke den geometriske tolkningen av multiplikasjon 00:00:06.600 --> 00:00:18.100 til å finne n-te røtter av komplekse tall. Situasjonen er denne. Vi tenker oss at vi har gitt 00:00:18.100 --> 00:00:25.600 et komplekst tall z. Den vil jo da ha en lengde (en modulus) som vi kan kalle r, en vinkel (et argument) 00:00:25.600 --> 00:00:31.900 vi kan kalle theta. Så er vi interessert i å finne en n-te rot til z. Vi er interessert i å finne 00:00:31.900 --> 00:00:41.300 et tall w, slik at w^n=z. Vi kan jo se på dette geometrisk. Vi er på jakt etter et tall w 00:00:41.300 --> 00:00:50.800 som kanskje ligger her nede. Det må jo da også ha en lengde som vi kan kalle for ro 00:00:50.800 --> 00:00:59.400 og en vinkel som vi kan kalle for phi. Det betyr altså at w er det komplekse tallet. Hvis vi nå bruker 00:00:59.400 --> 00:00:59.800 eksponentialform, NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:59.800 --> 00:01:10.700 så er det ro*e^i*phi, mens z hadde en vinkel theta og en lengde r. 00:01:10.700 --> 00:01:20.600 Den har formen re^it. Vi ønsker altså at w^n skal være lik z. La oss regne 00:01:20.600 --> 00:01:30.900 litt på det. Hva blir w^n? Det er det samme som (ro*e^i*phi)^n. Bruker vi 00:01:30.900 --> 00:01:42.600 vanlige regneregler, så får vi ro^n * e^i*n*phi. Det håper vi da skal være lik z. 00:01:42.600 --> 00:01:47.800 Setter spørsmålstegn på det likhetstegnet, siden det ikke er noe vi har etablert men noe vi ønsker å oppnå. 00:01:47.800 --> 00:01:56.300 Det skal være lik z. z er r*e^it. Spørsmålet er, hvordan kan vi få til denne likheten? 00:01:56.300 --> 00:01:59.750 Den enkleste måten å få den til på, NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:01:59.750 --> 00:02:06.800 er å si at ro^n, som er lengden her, må være lik lengden her borte som er r. De to må være like. 00:02:06.800 --> 00:02:14.700 Så må det være likhet hvis vinklene er like. Hvis jeg kan få en n*phi til å være lik t, 00:02:14.700 --> 00:02:23.400 så burde disse tingene gå opp. Det jeg må prøve å få til her, er altså at ro^n=r. 00:02:23.400 --> 00:02:31.100 Det kan jeg få til ved å si at ro=r^1/n. Da får jeg 00:02:31.100 --> 00:02:38.900 til den ene saken. Det andre var at en n*phi skulle være lik theta. Det kan jeg jo få til 00:02:38.900 --> 00:02:43.900 ved å velge phi=t/n. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:02:43.900 --> 00:02:52.000 Der har vi funnet en n-te rot av z. Så var det ro som da skulle være r^1/n. 00:02:52.000 --> 00:03:00.700 Så var det e^i*phi. phi skulle være t/n. 00:03:00.700 --> 00:03:06.850 Der har jeg funnet en n-te rot av z. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:03:06.850 --> 00:03:12.800 Så kan man spørre seg selv om dette er den eneste n-te roten. Hvis vi prøver å regne ut kvadratrøtter, 00:03:12.800 --> 00:03:18.800 så ser vi fort at det må være minst to av dem. Har vi en kvadratrot, så vil minus den også være en kvadratrot 00:03:18.800 --> 00:03:25.000 til tallet. Hvis det finnes mer enn en kvadratrot, så finnes det kanskje mer enn n n-te røtter. 00:03:25.000 --> 00:03:31.700 Det gjør det. Det finnes faktisk nøyaktig n n-te røtter av et komplekst tall. 00:03:31.700 --> 00:03:39.300 Vi skal nå finne resten. Da starter jeg med å omdøpe w1 til w0, for den er utgangspunktet 00:03:39.300 --> 00:03:45.800 for de røttene vi skal finne. Dette er liksom den aller første og enkleste roten. Så den neste roten vi skal finne, 00:03:45.800 --> 00:03:54.900 det er den jeg vil kalle w1. Hvordan fremkommer den? Da må vi kanskje ta utgangspunkt 00:03:54.900 --> 00:04:02.500 i hvordan w0 fremkom. w0 fremkommer ved at jeg tar det komplekse tallet w, og så ganger jeg med det selv. 00:04:02.500 --> 00:04:07.649 Første gang kom jeg dit, andre gang kom jeg kanskje dit. Når jeg har gjort det n ganger, NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:04:07.649 --> 00:04:15.399 så faller w sammen med z. Så jeg starter her nede, legger sammen vinkler inntil jeg kommer opp dit. 00:04:15.399 --> 00:04:20.899 Det er andre måter å treffe z på ved å legge sammen vinklene flere ganger. Å for eksempel tenke seg 00:04:20.899 --> 00:04:27.500 at jeg starter her et sted, og så legger jeg sammen vinkelen med seg selv hele tiden, inntil jeg kommer 00:04:27.500 --> 00:04:33.400 helt rundt og til slutt treffer jeg z. Jeg treffer ikke z i første omløp. Når jeg går en gang 00:04:33.400 --> 00:04:41.000 helt rundt, og så treffer jeg z et stykke inn i andre omløp. Det er w1 som fremkom på den måten. 00:04:41.000 --> 00:04:49.400 Hva er da uttrykket for w1? Lengden må være akkurat den samme som før. Når jeg ganger tallet med seg selv 00:04:49.400 --> 00:04:56.300 n ganger, så skal jeg treffe r. Det betyr at lengden må være 1/n i utgangspunktet, men vinkelen blir 00:04:56.300 --> 00:05:03.900 litt annerledes. Istad sa jeg at n*phi skulle være lik theta. Men nå er det ikke theta jeg treffer. 00:05:03.900 --> 00:05:07.700 Jeg går en hel gang rundt, og så theta etterpå. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:05:07.700 --> 00:05:19.100 Vinkelen jeg treffer nå, den er theta+2pi. Istedenfor å ha t her, får jeg t+2pi her oppe. 00:05:19.100 --> 00:05:28.900 Så det jeg får, er e^i, og så får jeg (theta+2pi)/n. 00:05:28.900 --> 00:05:37.000 Det er w1. Samme ide som bak w0, det eneste er at vi har oppdaget at vi treffer nødvendigvis 00:05:37.000 --> 00:05:42.400 ikke z i første omløp, men når vi har gått en hel gang rundt og når vi kommer opp til z igjen. 00:05:42.400 --> 00:05:50.300 Det gir oss w1. La meg skrive den om littegranne, fordi det vil være nyttig senere. Jeg tar r^1/n, 00:05:50.300 --> 00:06:00.700 og så spalter jeg den i to. Først tar jeg e^i*t/n, og så må jeg gange med den andre biten, 00:06:00.700 --> 00:06:07.700 e^i*2pi/n. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:06:07.700 --> 00:06:13.700 Hvis vi bruker vanlige regneregler her så skal vi legge sammen eksponentene, da får vi det der borte. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:06:13.800 --> 00:06:20.300 Nå gjenkjenner vi første del her. Det er ikke noe annet enn det som står der oppe, w0. 00:06:20.300 --> 00:06:32.600 Dette her er w0*e^i*2pi/n. Dette forteller at vi kan komme fra w0 til w1 00:06:32.600 --> 00:06:38.500 ved å gange med denne faktoren, e^i*2pi/n. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:06:38.900 --> 00:06:49.400 Så kan vi gå videre og spørre om neste, w2. Hvordan treffer vi den? Da fortsetter vi bare på samme måte. 00:06:49.400 --> 00:07:00.100 Med w0 traff vi z i første omløp. Med w1 traff vi z i ande omløp. Nå starter vi kanskje med et tall w 00:07:00.100 --> 00:07:07.600 som ligger her nede, ganger det med seg selv. Passerer forbi z i andre omløp, og treffer først når vi har kommet 00:07:07.600 --> 00:07:17.900 et stykke inn i det tredje. Det betyr at istedenfor å treffe slik at n*phi=theta, slik vi gjorde første gang, 00:07:17.900 --> 00:07:24.700 eller n*phi=theta+2pi som vi gjorde andre gang. Når vi har gått to hele ganger rundt, 00:07:24.700 --> 00:07:35.200 det vil si at vi har 2phi=theta+4pi. Da får jeg r^1/n, og så får jeg e^i 00:07:35.200 --> 00:07:39.299 og så får jeg (t+4pi)/n. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:39.299 --> 00:07:47.400 Der har jeg w2. Nå kan jeg gjøre samme avspalting her som jeg gjorde i stad, for å få en litt 00:07:47.400 --> 00:07:54.200 nyttig form på dette her. Bare skaffe meg littegranne plass først. Jeg spalter av det jeg hadde istad, 00:07:54.200 --> 00:08:03.600 nemlig r^1/n * e^i, og så (t+2pi)/n. Da får jeg r^1/n, e^i, 00:08:03.600 --> 00:08:13.000 og så skulle jeg ha det jeg hadde istad. i+2pi/n. Jeg har tatt med to av disse fire pi-ene, så jeg må 00:08:13.000 --> 00:08:20.000 ta med de siste to her borte. e^i*2pi/n. Hvis jeg ganger sammen disse, 00:08:20.000 --> 00:08:30.300 skal jeg addere eksponentene og får det der borte. Da ser jeg at dette her, det var jo w1. Jeg får w1 00:08:30.300 --> 00:08:40.100 ganger den faktoren. w1*e^i*2pi/n. Akkurat som istad, da kom vi fra w0 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:08:40.100 --> 00:08:48.400 til w1 ved å gange med denne faktoren. Nå kommer jeg fra w1 til w2 ved å gange med akkurat den samme faktoren. 00:08:48.400 --> 00:08:53.600 Sånn fortsetter det nedover. For å finne stadig nye røtter, så kan jeg gange med denne faktoren flere og flere ganger. 00:08:53.600 --> 00:08:54.800 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:08:55.000 --> 00:09:00.700 Da skulle man kanskje tro at vi fikk uendelig mange røtter, men det viser seg at dette her stopper. 00:09:00.700 --> 00:09:08.800 Når det kommer til wn, får dere akkurat samme tall som w0. Da er det tilbake igjen til utgangspunktet. 00:09:08.800 --> 00:09:15.500 Dette her fortsetter bare å produsere nye røtter inntil vi kommer ned til den n-te av dem. Det er wn-1, 00:09:15.500 --> 00:09:23.100 siden vi begynte å telle på 0. Den siste roten her nede, den er da r^1/n, 00:09:23.100 --> 00:09:28.450 ganger e^i. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:09:28.450 --> 00:09:38.600 Ble stygt nederst her. Så må jeg ta t. Nå har jeg gått n-1 ganger rundt, så det er 00:09:38.600 --> 00:09:44.550 (n-1 * 2pi)/n. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:09:44.550 --> 00:09:53.000 Det er den siste roten. Prøve vi å regne ut wn etter det samme mønsteret, så er vi tilbake igjen til w0. 00:09:53.000 --> 00:10:02.100 Her har vi funnet alle røttene til det komplekse tallet z. Det er et mønster her. w0 er enkel å finne. 00:10:02.100 --> 00:10:09.500 Vi tar n-te roten til lengden (modulus), og vi tar n-te delen til vinkelen (argumentet), 00:10:09.500 --> 00:10:16.100 så er vi i gang. Hver gang vi skal ha en ny rot, kan vi se på det på to måter. Enten kan vi legge til vinkelen 00:10:16.100 --> 00:10:23.200 her oppe, en ny 2pi hver gang, eller så kan vi gange med denne faktoren for å få en ny rot. Det er slik 00:10:23.200 --> 00:10:28.000 dette systemet ser ut. Hvis vi prøver å se på det geometrisk, NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:10:28.000 --> 00:10:37.400 så er dette en slags kakeinndeling. Hvis vi har den første roten w0 her, og jeg tegner 00:10:37.400 --> 00:10:45.900 en sirkel om origo med dette som radius. Ble ikke så veldig bra men det får holde-- så vil alle de andre 00:10:45.900 --> 00:10:55.600 røttene ligge sånn at de deler inn denne sirkelen i n like store kakestykker. w1 kommer kanskje der. 00:10:55.600 --> 00:11:02.900 w2 kommer kanskje der, akkurat samme vinkelen hele veien rundt. Så fortsetter det, og så avslutter vi 00:11:02.900 --> 00:11:10.500 kanskje her nede med wn-1. Hele sirkelen blir delt opp i like store kakestykker. 00:11:10.500 --> 00:11:16.900 Hvis vi fortsetter et skritt til med samme mønsteret, vil vi komme fra wn-1 opp til w0, 00:11:16.900 --> 00:11:25.400 og da er vi tilbake til ugangspunktet. Slik ligger n-te røttene. De deler opp sirkelen i 00:11:25.400 --> 00:11:26.900 n like store kakestykker. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:11:27.000 --> 00:11:32.600 La oss se på et eksempel på hvordan vi regner ut n-te røtter, eller i dette tilfellet, tredjerøtter. 00:11:32.600 --> 00:11:46.300 Vi starter med dette komplekse tallet. -4*roten av 2 + 4*roten av 2*i. 00:11:46.300 --> 00:11:58.100 Vi ønsker da å finne tredjerøtter til dette. Da må vi bruke prosedyren fra istad. 00:11:58.100 --> 00:12:05.400 Den tok utgangspunkt i polarform, og her har vi z på vanlig a+ib-form, altså kartesisk form. 00:12:05.400 --> 00:12:12.400 Vi må først skrive om til trigonometrisk form eller eksponentialform. Da må jeg finne lengden 00:12:12.400 --> 00:12:19.000 og vinkelen til dette tallet. Det lønner seg nesten alltid å tegne det opp først så man vet cirka hvor 00:12:19.000 --> 00:12:26.000 det er hen. Dette tallet ligger tydeligvis i annen kvadrant, siden første komponenten er negativ 00:12:26.000 --> 00:12:27.900 og annen komponenten positiv. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:12:27.900 --> 00:12:36.500 Et sted uti her ligger dette tallet. Det vi da må finne først, det er lengden (modulus) og vinkelen (argumentet). 00:12:36.500 --> 00:12:47.700 Generelt er det slik at lengden, den er gitt ved Pytagoras. Den er a^2+b^2. 00:12:47.700 --> 00:13:02.200 I vårt tilfelle så blir det -(4*roten av 2)^2 + (4*roten av 2)^2. Legg merke til at i-en 00:13:02.200 --> 00:13:09.700 ikke skal inn her. Det er bare b-en, tallet foran i vi bruker når vi regner ut lengden. 00:13:09.700 --> 00:13:18.800 Den minusen blir borte når jeg kvadrerer. Så står jeg igjen med 4^2 som er 16, ganget med 2. 16*2=32. 00:13:18.800 --> 00:13:27.100 Her får jeg akkurat det samme. 4^2=16*2=32. Jeg får 32 00:13:27.100 --> 00:13:27.900 to ganger. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:13:27.900 --> 00:13:39.600 Det er jo 64. Roten av 64 er 8. r er 8. Der har jeg funnet lengden, 00:13:39.600 --> 00:13:44.050 modulus til z. Den lengden ut der er 8. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:13:44.050 --> 00:13:54.100 Så må jeg prøve å finne vinkelen theta. Det var jo flere måter å finne theta på. Den ene sa at 00:13:54.100 --> 00:14:02.000 cos t, den var a (første komponentene til tallet) delt på lengden r. Bruker jeg den, så ser vi at 00:14:02.000 --> 00:14:12.700 a i mitt tilfelle er -4*roten av 2 og r=8. Hvis jeg deler, forkorter med 4, 00:14:12.700 --> 00:14:23.700 får jeg -roten av 2/2. roten av 2/2, det er en av disse eksaktverdiene vi kjenner igjen. 00:14:23.700 --> 00:14:32.600 I første kvadrant er det pi/4 (45°) som har cosinus lik roten av 2/2. 00:14:32.600 --> 00:14:39.100 Siden vi nå er det i annen kvadrant, er det lett å se at vi må være på halveringslinjen som ligger 00:14:39.100 --> 00:14:44.650 i annen kvadrant her. Det vil si at theta må være lik 3pi/4, NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:14:44.650 --> 00:14:54.000 eller 135°. Der har vi altså funnet r og theta til z. 00:14:54.000 --> 00:15:02.300 Det betyr at vi kan skrive opp z på en ny måte. Den er generelt re^it. 00:15:02.300 --> 00:15:13.200 I vårt tilfelle var r=8, så jeg får 8e^i3pi/4. Der har jeg skrevet z 00:15:13.200 --> 00:15:21.600 på eksponentialform. Når jeg har den formen, så kan vi bruke det vi utledet istad 00:15:21.600 --> 00:15:28.100 til å finne røttene. Her er det tredjerøtter det er snakk om, så jeg kommer til å ha tre stykker 00:15:28.100 --> 00:15:31.350 w0, w1 og w2. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:15:31.350 --> 00:15:41.100 Den første er jo alltid lett å finne. Da skal jeg ta tredjeroten til r, og theta/3. 00:15:41.100 --> 00:15:52.300 Jeg får tredjeroten av 8. Så e^i(3pi/4)/3. 00:15:52.300 --> 00:15:59.100 Det er litt klønete skrevet, vi ser at vi kan forkorte de to 3-tallene 00:15:59.100 --> 00:16:06.100 mot hverandre. Det blir litt enklere i neste omgang. 8^1/3, tredjeroten til 8, er 2. 00:16:06.100 --> 00:16:14.200 Skriver litt høyere opp her. Så får jeg e opphøyd i-- så hadde jeg forkortet de to 3-tallene 00:16:14.200 --> 00:16:21.100 mot hverandre oppe i eksponenten. Jeg står igjen med e^i*pi/4. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:16:21.100 --> 00:16:30.800 Hvis jeg vil ha det tilbake igjen på at a+ib-form, må jeg jo skrive om dette her som 00:16:30.800 --> 00:16:39.500 et mer grunnleggende, komplekst tall. e^i*pi/4 er det samme som cosinus til vinkelen. 00:16:39.500 --> 00:16:45.400 cos pi/4 + i*sin pi/4. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:16:45.400 --> 00:16:55.600 pi/4, det er 45 grader. Der er både cosinus og sinus lik roten av 2/2. 00:16:55.600 --> 00:17:05.000 Den er roten av 2/2, og den er roten av 2/2. Når jeg ganger inn det 2-tallet, så forsvinner 2-tallene 00:17:05.000 --> 00:17:15.700 under brøkstreken. Jeg blir sittende igjen med roten av 2 + i*roten av 2. Der har jeg funnet 00:17:15.700 --> 00:17:23.200 den første tredjeroten til dette tallet vårt z. w0 er rett og slett gitt som roten av 2 + i*roten av 2. 00:17:23.200 --> 00:17:24.050 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:17:24.050 --> 00:17:34.000 Vi må komme oss videre og se på w1. Og da er det to måter å se på den på. Den ene er å følge 00:17:34.000 --> 00:17:40.600 den samme formelen. Jeg tar r*1/n, altså 1/3, og så tar jeg e^i-- 00:17:40.600 --> 00:17:53.000 men istedenfor å ta den opprinnelige vinkelen, altså 3pi/4, så legger jeg på 2pi før jeg deler på 3. 00:17:53.000 --> 00:18:04.400 Samme som istad. Deler på 3, men istedenfor å ta 3pi/4, skal det nå være 00:18:04.400 --> 00:18:08.150 et omløp videre i runden så jeg må legge på 2pi der nede. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:18:08.150 --> 00:18:20.000 Her er det to måter å gå videre på. Enten kan jeg forenkle det uttrykket, se hvilken vinkel 00:18:20.000 --> 00:18:27.500 jeg da får, og så putte inn cosinus og sinus til den vinkelen på samme måte. Hvis vi gjør det, 00:18:27.500 --> 00:18:32.100 ser vi at vi får en litt ekkel vinkel her som ikke er så lett å finne de eksakte verdiene til. 00:18:32.100 --> 00:18:39.700 Istedenfor å bruke den fremgangsmåten, skal jeg se på et annet triks som jeg indikerte istad, 00:18:39.700 --> 00:18:47.500 nemlig at hver rot fremkommer ved å gange den foregående med et fast tall. Gjør jeg det her, 00:18:47.500 --> 00:18:54.100 kan jeg ta den første biten opp dit. Det er akkurat det samme som jeg hadde for w0. Den første biten er w0. 00:18:54.100 --> 00:19:04.850 Så har jeg den siste biten. Den som kommer inn som en faktor e^i*2pi/3. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:19:04.850 --> 00:19:15.700 Den w0 kjenner jeg. Den står her oppe, mens den e^i*2pi/3, det er noe jeg kan regne ut. 00:19:15.700 --> 00:19:22.900 2pi/3, det er det samme som 120 grader, og der kjenner jeg de eksakte verdiene. Dette her er w0, 00:19:22.900 --> 00:19:33.900 den jeg regnet ut istad. roten av 2 + i*roten av 2, ganget med e^i*2pi/3. 00:19:33.900 --> 00:19:43.800 Ser om vi får plass til et lite kladdestykke her oppe med den. e^i*2pi/3, det er altså cosinus 2pi/3 00:19:43.800 --> 00:19:57.300 + i*sin 2pi/3. Hvor ligger vinkelen hen? pi/3 er 60 grader. 00:19:57.300 --> 00:20:04.500 2*60=120°. Den stikker ut her på den siden. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:20:04.500 --> 00:20:14.100 Da er det slik at første komponenten stikker et stykke nedover, den er negativ. 00:20:14.100 --> 00:20:20.900 Vi har samme cosinusverdi her som for 60 grader, så den cosinusverdien er 1/2, 00:20:20.900 --> 00:20:27.400 bortsett fra at den stikker nedover, så den blir negativ. Den blir -1/2. Så cosinus til 2pi/3=-1/2. 00:20:27.400 --> 00:20:34.200 sinusverdien som stikker oppover er den samme som for 60 grader, så den blir roten av 3/2. 00:20:34.200 --> 00:20:44.000 Denne mystiske faktoren, e^i*2pi/3, viser seg altså å være 00:20:44.000 --> 00:20:58.100 -1/2 + i*roten av 3/2. La oss putte inn den her. -1/2 + i*roten av 3/2. 00:20:58.100 --> 00:21:05.100 Så er det bare å gange ut uttrykkene her på vanlig måte. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:21:05.100 --> 00:21:14.400 Det er et helt elementært regnestykke, så det kan du gjøre selv. La oss isteden gå ned og se på 00:21:14.400 --> 00:21:20.900 den siste roten. Jeg kan sette inn i den generelle formelen, men jeg kan også bruke det samme trikset, 00:21:20.900 --> 00:21:27.300 nemlig at hver rot er den foregående ganget med denne faktoren her. Det er det mest effektive 00:21:27.300 --> 00:21:34.900 i dette tilfellet. Dette her er w1 ganget med denne faktoren 00:21:34.900 --> 00:21:45.600 som hele tiden dukker opp, e^i*2pi/3. Jeg vil ta w1 jeg har her bortenfra. 00:21:45.600 --> 00:21:51.000 Den har jeg regnet ut i linjen over. Bortsett fra at jeg ikke gadd å gjøre det, men dere gjorde det. 00:21:51.000 --> 00:21:58.900 Så skulle vi gange med denne faktoren, som også er kjent. Jeg ganger med -1/2 + i*roten av 3/2. 00:21:58.900 --> 00:22:05.100 Når jeg ganger sammen det jeg fikk her oppe NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:22:05.100 --> 00:22:13.200 med dette tallet, så har jeg funnet w2. Det viser i praksis hvordan man regner ut n-te røtter 00:22:13.200 --> 00:22:21.000 til komplekse tall. Hvis vi tar en rask gjennomgang, så det slik at som regel er dette tallet gitt 00:22:21.000 --> 00:22:29.200 på kartesisk form, a+ib-form. Da må vi først skrive det om på polarform eller eksponentialform. 00:22:29.200 --> 00:22:36.500 Vi må finne r og theta. r er roten av a^2+b^2. For theta må vi regne ut 00:22:36.500 --> 00:22:42.300 cosinus eller sinus og se hvilken kvadrant vi ligger i for å finne vinkelen. Når vi har funnet det 00:22:42.300 --> 00:22:48.800 er vi her nede og da er det bare kjøre maskineriet fra istad. Vi tar n-te roten av r og n-te delen av vinkelen t 00:22:48.800 --> 00:22:55.900 for å finne den første roten. Så kan vi fortsette ved å bruke formelen på de neste, eller vi kan 00:22:55.900 --> 00:23:01.600 bruke dette trikset med at vi alltid kommer fra en rot til den neste ved å gange med den ene faktoren. 00:23:01.600 --> 00:23:05.050 Hva som lønner seg her, om det lønner seg å gå direkte inn NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:23:05.050 --> 00:23:11.200 og se hva dette uttrykket er for noe, eller om det lønner seg å gange med faktoren, det avhenger av 00:23:11.200 --> 00:23:17.700 det tilfellet dere se på. For av og til er det enklest å gå inn her, bare regne sammen det uttrykket, 00:23:17.700 --> 00:23:24.200 regne ut cosinus og sinus, og få ut et pent uttrykk. Andre ganger er det enklest å regne ut 00:23:24.200 --> 00:23:30.000 hva denne multipliserende faktoren er, og så utføre multiplikasjonen. Det er aldri så lett å si på forhånd 00:23:30.000 --> 00:23:34.100 hva som lønner seg, så man må nesten se seg om fra tilfelle til tilfelle.