WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:05.700 I denne snutten skal vi se på algebraens fundamentalteorem, som forteller oss litt om sammenhengen 00:00:05.700 --> 00:00:15.200 mellom løsninger til ligninger, komplekse tall og en del andre ting. Utgangspunktet er enkle ligninger. 00:00:15.200 --> 00:00:23.200 Hvis vi starter med en førstegradsligning som ser slik ut, så har jo den bare en løsning. Jeg kan flytte 00:00:23.200 --> 00:00:31.000 b-en over på den andre siden og dele med a, og da ser jeg at x=-b/a er den eneste løsningen. 00:00:31.000 --> 00:00:42.500 Hvis vi går videre til annengradsligninger, ax^2+bx+c=0. Da har vi jo abc-formelen 00:00:42.500 --> 00:00:56.800 som sier at løsningene er gitt ved (-b +/- roten av (b^2-4ac)) / 2a. 00:00:56.800 --> 00:01:00.300 Her har vi flere muligheter, NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:01:00.300 --> 00:01:10.100 som avhenger av fortegnene inne i rottegnet her. Hvis det som står inne i rottegnet her er positivt, 00:01:10.100 --> 00:01:24.600 tar jeg kvadratroten av et positivt tall og får to positive svar. Her har vi to reelle røtter-- vi setter et navn 00:01:24.600 --> 00:01:34.100 på det som står inni her, kaller det for D-- hvis D>0. Hvis D=0, 00:01:34.100 --> 00:01:41.100 det som står inni roten er lik 0 så det står (b +/- 0) / 2a. 00:01:41.100 --> 00:01:46.450 Vi får bare en rot, nemlig -b/2a. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:01:46.450 --> 00:01:53.000 Istedenfor å si en rot, så sier vi ofte at det er sammenfallende røtter. De to røttene som er gitt med 00:01:53.000 --> 00:02:02.800 pluss og minus faller sammen i det tilfellet. Så det er en rot, eller sammenfallende, dersom D=0. 00:02:02.800 --> 00:02:13.000 Men hvis D<0, har vi noe negativt inni kvadratroten. Det var forbudt i skolematematikken, 00:02:13.000 --> 00:02:18.900 men vi har lært om komplekse tall. Det betyr rett og slett at her får jeg i ganger noe, 00:02:18.900 --> 00:02:25.900 så hele sammensetningen her blir komplekse tall. Det blir to, fordi jeg har pluss/minus. 00:02:25.900 --> 00:02:39.800 Da har jeg to komplekse røtter. For førstegradsligninger har vi en rot, for annengradsligninger 00:02:39.800 --> 00:02:46.750 har vi alltid to røtter hvis vi strekker vi det litt på to måter. For det første, NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:02:46.750 --> 00:02:58.100 tillater kompleks røtter, og regner en rot som to (fordi det er egentlig to røtter som faller sammen). 00:02:58.100 --> 00:03:03.100 Når matematikere på 1500-tallet begynte å løse tredje- og fjerdegradsligninger, så oppdaget de 00:03:03.100 --> 00:03:10.500 at tredjegradsligninger typisk hadde tre løsninger. Fjerdegradsligninger hadde fire løsninger, hvis man tillot seg 00:03:10.500 --> 00:03:18.700 dette litt utvidede løsningsbegrepet. På 1600-tallet begynte matematikere å spekulere på 00:03:18.700 --> 00:03:25.900 om det alltid var slik at en n-tegradsligning hadde n røtter dersom man tillot dem å være komplekse 00:03:25.900 --> 00:03:46.800 og dersom man tillot et eller annet med sammenfallende røtter. Hypotese: En n-ntegradsligning NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:03:46.800 --> 00:04:00.100 har alltid n røtter. Hva skal vi si for noe? Hvis vi tillater komplekse, og hvis vi regner samme rot 00:04:00.100 --> 00:04:07.100 som flere dersom den forekommer ved sammenfallende røtter-- vi sier, hvis vi teller riktig. 00:04:07.100 --> 00:04:17.300 Kanskje sette det i anførselstegn, det er ikke noe skikkelig matematisk utsagn. Dette er utgangspunktet 00:04:17.300 --> 00:04:23.000 for det som etter hvert har blitt kalt algebraens fundamentalteorem, og som gir et bevis 00:04:23.000 --> 00:04:31.400 for at dette er riktig, og også en riktig tolkning av hva denne setningen vil si. Men før vi går løs 00:04:31.400 --> 00:04:37.900 på den setningen, la oss prøve å gå motsatt vei. Så her starter vi med n-tegradsligning, og prøver 00:04:37.900 --> 00:04:44.800 å finne røttene. La oss starte med røttene, og se om vi kan finne en ligning. Det jeg tenker meg, er at 00:04:44.800 --> 00:04:46.799 jeg starter med n tall. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:04:46.799 --> 00:04:55.200 De kan være reelle eller komplekse. r1, r2 ut til rn. Så leter jeg etter en n-tegradsligning 00:04:55.200 --> 00:05:09.200 som har disse som løsninger. Så jeg søker en ligning med disse som røtter. 00:05:09.200 --> 00:05:24.400 Så det er på en måte motsatt problemstilling av den vanlige. Vanligvis har vi en ligning, 00:05:24.400 --> 00:05:32.000 leter etter røttene. Her starter vi med røttene, og ser etter ligningen. Dette her er veldig enkelt. 00:05:32.000 --> 00:05:40.000 Vi kan rett og slett sette sammen en ligning hvor jeg tar den ukjente -r1, ganger med den ukjente -r2 osv. 00:05:40.000 --> 00:05:46.200 Det er en viss sjanse for at vi får komplekse røtter, så la oss ta høyde for at alle ting kan være 00:05:46.200 --> 00:05:46.799 komplekse. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:05:46.799 --> 00:05:57.200 La meg kalle den ukjente for z. Jeg tar z-r1*z-r2*...*z-rn. 00:05:57.200 --> 00:06:06.900 Skal dette uttrykket være 0, så må z være lik ett av tallene r1, r2 osv. 00:06:06.900 --> 00:06:14.100 Skal et produkt være 0, så må minst en av faktorene være 0. Dette produktet er 0 00:06:14.100 --> 00:06:23.100 når z er lik henholdsvis r1, r2 osv og er ingen andre nullpunkter. Hvis jeg nå tar dette uttrykket og ganger ut, 00:06:23.100 --> 00:06:30.700 hva får jeg da? Jeg får opplagt et polynom og graden er n, fordi jeg har n faktorer. Den største faktoren 00:06:30.700 --> 00:06:46.400 får jeg ved å velge z fra hver av disse. Når jeg ganger ut, får jeg P(z) som er et n-te grads polynom. 00:06:46.400 --> 00:06:46.850 NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:06:46.850 --> 00:06:54.200 Det betyr at jeg har funnet en likning som har nøyaktig r1, r2,...,rn som løsninger, nemlig ligningen når jeg tar 00:06:54.200 --> 00:07:02.100 dette polynomet og setter det lik 0. Det er altså ikke noe problem å starte med n tall og produsere 00:07:02.100 --> 00:07:07.600 et n-te grads polynom eller en n-tegradslikning som har disse tallene som røtter. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:07:08.400 --> 00:07:16.400 Nå ser vi også hva det vil si at de hadde multiple røtter. Det betyr bare at jeg velger samme tall 00:07:16.400 --> 00:07:24.100 flere ganger. Kanskje r1 og r2 er like; da vil r1, r2 dukke opp som en slags dobbelrot 00:07:24.100 --> 00:07:31.300 i dette uttrykket. Vi ser også at vi kan ha komplekse røtter her. Vi kan ha r1 og r2 som komplekse ting. 00:07:31.300 --> 00:07:39.200 Så får vi et polynom ut med komplekse røtter. Det kan tenkes at selv om r1 og r2 er komplekse, 00:07:39.200 --> 00:07:42.050 så vil P(z) være et reelt polynom. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:42.050 --> 00:07:48.600 Nå har vi snudd problemstillingen på hodet. Det beviser ingenting, men det viser at det er en slags 00:07:48.600 --> 00:07:54.550 naturlig sammenheng mellom det å ha n røtter og det å være en n-tegradsligning. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:07:54.550 --> 00:08:14.500 La oss skrive det resultatet vi er på jakt etter. Det heter algebraens fundamentalteorem. 00:08:14.500 --> 00:08:20.400 Selv om matematikere allerede på 1600-tallet begynte å tippe at dette måtte være riktig, så ble det først 00:08:20.400 --> 00:08:26.700 bevist av Gauss helt på slutten av 1700-tallet. Det sier følgende; anta at vi har et polynom, 00:08:26.700 --> 00:08:37.100 at P(z) er et komplekst polynom. Det betyr at koeffisientene godt kan være komplekse tall. 00:08:37.100 --> 00:08:55.400 Vi må ha med graden, av n-te grad. Det betyr at NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:08:55.400 --> 00:09:03.500 P(z) er et uttrykk av denne typen her. Først et gitt tall an som kan være komplekst, 00:09:03.500 --> 00:09:13.000 ganger z^n+an-1*z^n-1 osv, med fallende potenser helt ned 00:09:13.000 --> 00:09:26.900 til a1z+a0. Det er utgangspunktet, at vi har et polynom av n-te grad. Da sier teoremet at det finnes 00:09:26.900 --> 00:09:46.000 komplekse tall (n stykker) r1, r2,...,rn, slik at dette polynomet kan skrives som et produkt. 00:09:46.000 --> 00:09:55.250 Først må jeg ha med den ledende koeffisienten her, a^n, men resten er et produkt av z-r1, NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:09:55.250 --> 00:10:04.700 ganger z-r2, og så hele veien ned til z-rn. 00:10:04.700 --> 00:10:15.800 Det er hele teoremet. Hva betyr det? Det betyr jo at den n-tegradsligningen 00:10:15.800 --> 00:10:26.300 vi får ved å sette P(z)=0 har røttene r1,r2,...,rn. Siden disse tallene 00:10:26.300 --> 00:10:32.200 kan være komplekse, så kan vi ikke garantere at det er reelle røtter. De kan godt være komplekse 00:10:32.200 --> 00:10:37.800 alle sammen eller bare noen av dem. Det kan også være sammenfallende røtter. Det kan godt tenkes at 00:10:37.800 --> 00:10:47.000 r1=r2, og at r6=r17 osv. Men vi kan hvertfall faktorisere på denne måten 00:10:47.000 --> 00:10:53.400 i n faktorer. Hvis en rot, for eksempel r1, skulle forekomme i tre forskjellige faktorer 00:10:53.400 --> 00:10:55.400 bortover her, så sier vi at NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:10:55.400 --> 00:11:02.200 den roten har multiplisitet 3. Det betyr at hvis vi teller røtter med multiplisitet, så sier dette resultatet 00:11:02.200 --> 00:11:11.100 at en n-tegradsligning alltid har n komplekse røtter. Det får et system i galskapen her. 00:11:11.100 --> 00:11:21.100 Graden til et polynom svarer alltid til antall røtter når vi teller med multiplisitet. Dette er et eksempel 00:11:21.100 --> 00:11:27.500 på hvordan komplekse tall skaper enhet i matematikken. Hvis vi bare regner med reelle tall, 00:11:27.500 --> 00:11:32.900 så er det mange forskjellige muligheter når det gjelder antall løsninger her. Med komplekse tall, 00:11:32.900 --> 00:11:39.700 får vi en enhetlig struktur. Det er dette som er styrken til de komplekse tallene, at de viser et mønster 00:11:39.700 --> 00:11:46.800 som ikke er så lett å få øye på når vi bare arbeider reelt. Nå har dette teoremet også en reell form, 00:11:46.800 --> 00:11:50.500 og det skal vi se på om et øyeblikk. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:11:50.500 --> 00:11:58.700 Algebraens fundamentalteorem handler om komplekse polynomer og komplekse løsninger. Ofte starter vi med 00:11:58.700 --> 00:12:04.900 reelle polynomer, og er bare interessert i reelle løsninger. Spørsmålet er, kan vi da få noe hjelp 00:12:04.900 --> 00:12:13.500 av dette teoremet? Teoremet sier altså at hvis jeg har et polynom av n-te grad, så kan jeg alltid 00:12:13.500 --> 00:12:28.300 spalte det som et produkt av komplekse førstegradsfaktorer. Som jeg sa, hvis dette polynomet 00:12:28.300 --> 00:12:35.200 er reelt, altså har reelle koeffisienter, så er vi gjerne interessert i å spalte det i reelle faktorer. Vi vet at 00:12:35.200 --> 00:12:43.700 vi ikke alltid kan spalte et reelt polynom i reelle førstegradsfaktorer, for selv annengradsligninger har av og til 00:12:43.700 --> 00:12:51.250 kun komplekse løsninger, og da kan vi bare spalte det i komplekse førstegradsfaktorer. Det viser seg at vi kan si en del. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:12:51.250 --> 00:12:58.900 Det viser seg at dersom et polynom er reelt, så vil de komplekse røttene opptrå i konjugerte par. 00:12:58.900 --> 00:13:07.300 Det vil si at hvis jeg har en løsning, en rot på formen a+ib, så vil det konjugerte tallet, 00:13:07.300 --> 00:13:17.400 som er a-ib, også være en løsning. Disse to røttene har samme multiplisitet. 00:13:17.400 --> 00:13:26.000 For hver faktor av typen z-r, vil jeg ha like mange faktorer av formen z-r konjugert. 00:13:26.000 --> 00:13:34.400 I dette uttrykket her bortover, hver gang jeg har et uttrykk av typen (z-(a+ib)), altså z-r, 00:13:34.400 --> 00:13:46.100 så vil jeg også ha en faktor av typen z-r konjugert, altså (z-(a-ib)). 00:13:46.100 --> 00:13:51.200 Nå viser det seg at dersom vi slår sammen, ganger sammen, alle slike par NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:13:51.200 --> 00:13:57.900 av konjugerte røtter, så får vi noe reelt ut. Det er lett å se, la oss ta det lille regnestykket. 00:13:57.900 --> 00:14:05.900 Hvis jeg omgrupperer her, kan jeg skrive denne her som ((z-a)-ib). Kan sette en parentes der, 00:14:05.900 --> 00:14:10.800 og så gruppere på denne måten. Det er akkurat det samme uttrykket, jeg har bare gruppert annerledes. 00:14:10.800 --> 00:14:16.600 Tilsvarende her borte, jeg kan skrive dette som (z-a) og gruppere det som et ledd for seg, 00:14:16.600 --> 00:14:25.200 og så har jeg minus minus som gir pluss, +ib. Hvis jeg nå ganger sammen dette her, så kan jeg bruke 00:14:25.200 --> 00:14:32.300 tredje kvadratsetning (konjugatsetningen). Jeg får det første leddet i annen, nemlig (z-a)^2, 00:14:32.300 --> 00:14:42.200 og så får jeg minus det andre leddet i annen. Det er -(ib)^2. Hvis jeg ganger ut dette, 00:14:42.200 --> 00:14:51.300 så bruker jeg andre kvadratsetning. z^2-2a+a^2. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:14:51.300 --> 00:14:58.300 Her får jeg i^2=-1 som dreper det minustegnet, og så blir jeg bare stående igjen 00:14:58.300 --> 00:15:06.500 med b^2. Nå ser vi at det som så ut som et komplekst uttrykk, nemlig produktet 00:15:06.500 --> 00:15:14.400 av disse to komplekse faktorene, faktisk blir reelt når vi ganger sammen. For a og b er reelle tall. 00:15:14.400 --> 00:15:20.100 Her er det ikke noe i, så dette er et reelt uttrykk. Det betyr at når vi starter med 00:15:20.100 --> 00:15:27.700 et reelt polynom-- fordi kompleks konjugerte røtter kommer i par, så kan vi alltid slå sammen 00:15:27.700 --> 00:15:39.400 to og to komplekse førstegradsfaktorer, til en reell annengradsfaktor. Når vi har et reelt polynom 00:15:39.400 --> 00:15:49.700 og vi tar utgangspunkt i algebraens fundamentalteorem som da faktoriserer på denne måten 00:15:49.700 --> 00:15:51.450 og slår sammen NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:15:51.450 --> 00:15:59.100 de faktorene som hører til konjugerte røtter, blir vi sittende igjen med følgende. Det kan jo tenkes 00:15:59.100 --> 00:16:04.200 at dette polynomet har noen røtter som er reelle i utgangspunktet. De gjør jeg ikke noe med. de skriver jeg 00:16:04.200 --> 00:16:13.200 bare opp først. La oss anta at de reelle røttene står først. Da får jeg z-r1 til kanskje z-rj. 00:16:13.200 --> 00:16:20.400 Da har jeg tatt med alle de reelle røttene. Alle de jeg ikke har tatt med nå, 00:16:20.400 --> 00:16:26.300 de er komplekse, de kommer i kompleks konjugerte par. Jeg kan slå dem sammen 00:16:26.300 --> 00:16:35.800 til reelle annengradsfaktorer på denne måten. Nå kommer en del reelle annengradsfaktorer. 00:16:35.800 --> 00:16:51.550 z^2+a1z+b1, z^2+a2z+b2 osv. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:16:51.550 --> 00:17:01.400 Det betyr at et reelt polynom alltid kan spaltes. Ikke nødvendigvis i reelle førstegradsfaktorer, 00:17:01.400 --> 00:17:14.000 men i en blanding av noen reelle førstegradsfaktorer og noen reelle annengradsfaktorer. Vi har en form for 00:17:14.000 --> 00:17:19.400 algebraens fundamentalteorem også dersom vi ønsker å holde oss blant reelle uttrykk. Det er ikke 00:17:19.400 --> 00:17:25.000 så enkelt som det komplekse tilfellet. Vi får ikke alt spaltet ned som et produkt av førstegradsuttrykk, 00:17:25.000 --> 00:17:31.200 men vi får det som en blanding av førstegradsuttrykk og annengradsuttrykk. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:17:31.200 --> 00:17:38.800 Det er litt mer uoversiktlig enn i det komplekse tilfellet. Den enkleste måten å bevise dette på, 00:17:38.800 --> 00:17:47.100 er å gå veien via det komplekse. Dette er et eksempel på at den komplekse tenkemåten hjelper. Det gir oss 00:17:47.100 --> 00:17:53.300 en ryddigere og mer oversiktlig struktur. Det gir oss et enklere bevis enn det å holde seg innenfor det reelle. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:17:53.300 --> 00:18:01.200 Dette resultatet her, en spalting av reelle polynomer i første- og annengradsfaktorer, er viktig i grunnleggende kalkulus 00:18:01.200 --> 00:18:09.300 eller analyse. Det er dette her som på en måte er grunnlaget for integrasjon 00:18:09.300 --> 00:18:10.500 med delbrøksoppspalting.