WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:06.800 I denne snutten skal vi se på begrepet kontinuitet. Da skal vi ta for oss denne såkalte 00:00:06.800 --> 00:00:15.500 epsilon-delta definisjonen av begrepet kontinuitet. Så hva betyr det at en funksjon er kontinuerlig 00:00:15.500 --> 00:00:16.799 i et punkt? NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:16.799 --> 00:00:27.000 Da ser vi først på en liten tegning. Vi kan godt bruke en lineær funksjon som et eksempel. Vi vet 00:00:27.000 --> 00:00:36.100 at lineære funksjoner, de er kontinuerlige på hele den reelle tallinjen. Så hva betyr det da, at denne 00:00:36.100 --> 00:00:47.099 funksjonen er kontinuerlig i et bestemt punkt? Kall det r. Da har vi funksjonsverdien f(r). NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:47.099 --> 00:00:54.100 Det at vi har kontinuitet her, det betyr jo for en ting at grafen henger sammen. Det betyr at 00:00:54.100 --> 00:01:02.700 funksjonsverdiene rundt f(r), de skal da nærme seg f(r). Det må vi da kunne få til 00:01:02.700 --> 00:01:12.700 ved å gå nærme nok i x-verdi rundt punktet r. Vi ønsker at funksjonsverdiene rundt f(r) 00:01:12.700 --> 00:01:19.400 skal komme så nære f(r) vi bare vil, og det skal vi da kunne få til bare vi går nærme nok 00:01:19.400 --> 00:01:22.800 rundt punktet r. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:01:22.800 --> 00:01:31.400 Da prøver vi nå å sette litt matematikk på det jeg nettopp prøvde å si med ord. Da får vi 00:01:31.400 --> 00:01:49.700 følgende definisjon. Vi sier at en funksjon er kontinuerlig i punktet r, som altså da er med 00:01:49.700 --> 00:01:57.500 i definisjonsmengden til f. Da merker vi oss at for å snakke om kontinuitet i et punkt, så må vi ha 00:01:57.500 --> 00:02:08.500 et punkt som er med i definisjonsmengden. Så da er altså f kontinuerlig i r hvis for hver epsilon>0 00:02:08.500 --> 00:02:14.800 (dette her er altså den greske bokstaven epsilon), NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:02:14.800 --> 00:02:31.200 så finnes det en delta>0 (den greske bokstaven delta), slik at når vi da tar en x med 00:02:31.200 --> 00:02:47.300 i definisjonsmengden til f, og da slik at x og r ligger i avstand mindre enn delta. Så er avstanden 00:02:47.300 --> 00:02:54.649 mellom f(x) og f(r) mindre enn epsilon. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:02:54.649 --> 00:03:04.300 Det jeg nå har skrevet med symboler, er akkurat det vi ønsket å få til. Nå ligger epsilon her, 00:03:04.300 --> 00:03:16.200 og delta har vi her. Så vi ønsker at for hver epsilon (dere skal kunne gi meg epsiloner), som da sier 00:03:16.200 --> 00:03:24.200 noe om hvilken avstand vi ønsker oss fra f(r) ut til funksjonsverdiene. Den ønsker vi faktisk å skulle 00:03:24.200 --> 00:03:30.400 bli så liten som mulig, for å få kontinuitet i punktet. Det skal jeg kunne få til (ved å gi dere deltaer), 00:03:30.400 --> 00:03:38.400 slik at vi da bare ved å gå nærme nok r, så får vi til det dere ønsker. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:03:38.800 --> 00:03:52.100 Så la oss se hvordan vi kan bruke denne definisjonen, for eksempel da på en lineær funksjon. 00:03:52.100 --> 00:04:10.200 La f(x) være lik en generell lineær funksjon. Så skal vi vise at den er kontinuerlig for alle r 00:04:10.200 --> 00:04:11.450 i de reelle tallene. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:04:11.450 --> 00:04:24.400 Hvorfor er det det? Hvis vi da har gitt en epsilon>0, så ønsket vi altså å få til dette. 00:04:24.400 --> 00:04:32.000 Hva må vi velge delta, når vi har gitt en epsilon, for å få til å oppfylle definisjonen av 00:04:32.000 --> 00:04:33.400 kontinuitet? NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:04:33.600 --> 00:04:37.850 Da må vi se på denne størrelsen. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:04:37.850 --> 00:04:46.300 Så da ser vi på f(x)-f(r), for det er den vi ønsker skal bli mindre enn denne gitte epsilonen. 00:04:46.300 --> 00:04:53.700 Så setter vi inn hvilken funksjon vi har med å gjøre i dette tilfellet, det er ax+b. 00:04:53.700 --> 00:05:04.700 Hvis vi setter inn r i funksjonen, får vi ar+b. Da kan vi løse ut. Så forsvinner b-en, 00:05:04.700 --> 00:05:14.900 skjæringspunktet med y-aksen. Da står vi igjen med ax-ar. Så kan vi bruke regneregler, 00:05:14.900 --> 00:05:25.300 algebra og faktorisere ut a, og regneregler for absoluttverditegn. Så får vi da absoluttverdien 00:05:25.300 --> 00:05:33.700 av stigningstallet til den lineære funksjonenen, ganger faktoren x-r. Denne faktoren har jeg 00:05:33.700 --> 00:05:38.150 kontroll på. Det er den som skal være mindre enn delta. Hvis dette NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:05:38.150 --> 00:05:47.700 uttrykket skal være mindre enn epsilon, så kan jeg da velge delta lik epsilon delt på absoluttverdien 00:05:47.700 --> 00:05:58.900 av stigningstallet. Da finnes det faktisk en delta, nemlig epsilon delt på absoluttverdien av stillingstallet, 00:05:58.900 --> 00:06:17.500 slik at når x-r er mindre enn denne deltaen, så er da f(x)-f(r), som er lik dette her, 00:06:17.500 --> 00:06:29.400 vil være mindre enn a*epsilon/a. Da har jeg satt inn delta for den faktoren der, 00:06:29.400 --> 00:06:38.200 som da er lik epsilon. Det var akkurat det vi ønsket å oppfylle. Hvis dere gir meg en epsilon, NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:06:38.200 --> 00:06:46.700 så gir jeg dere da tilbake epsilon delt på absoluttverdien av stigningstallet. Det vil gjøre at vi kan 00:06:46.700 --> 00:06:52.200 vise at lineære funksjoner er kontinuerlige i hele sitt definisjonsområde. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:06:53.600 --> 00:07:01.400 Epsilon-delta definisjonen av kontinuitet er nok litt uvant til å begynne med, men det bare å prøve 00:07:01.400 --> 00:07:08.200 å forstå hva som ligger i begrepene. Så kommer dette her mer og mer etter hvert, for det handler om at 00:07:08.200 --> 00:07:14.700 funksjonsverdiene skal nærme seg en spesiell funksjonsverdi, da i et punkt som vi studerer. 00:07:14.700 --> 00:07:28.000 Hvis f er kontinuerlig i et punkt r, og dette punktet er et indre punkt (det betyr at det ikke er et endepunkt). 00:07:28.000 --> 00:07:35.600 Hvis vi har et lukket intervall, så har vi jo to endepunkter, men alle punktene inni intervallet 00:07:35.600 --> 00:07:45.400 er indre punkter. Hvis vi har et slikt punkt og f er kontinuerlig her, så kan vi da skrive at grenseverdien av f(x) 00:07:45.400 --> 00:07:54.600 når x går mot r, den skal være lik funksjonsverdien i punktet r. Det er dette som ligger NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:07:54.600 --> 00:08:04.300 bak grenseverdibegrepet, at funksjonsverdiene skal kunne nærme seg så mye vi bare vil, ved å velge x og r 00:08:04.300 --> 00:08:06.500 nærme nok hverandre. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:08:06.500 --> 00:08:12.700 Så hvis man ser på snutten om grenseverdier, så skal vi regne ut en del grenseverdier 00:08:12.700 --> 00:08:17.200 ved også å bruke epsilon-delta definisjonen av grenseverdi. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:08:17.200 --> 00:08:28.100 La oss nå se på et lite eksempel. Vi holder oss til lineære funksjoner. Så la f(x) være 00:08:28.100 --> 00:08:35.500 funksjonen x+1 når x er forskjellig fra 0, og så lar vi den være 0 når x=0. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:08:35.600 --> 00:08:45.500 Da kan vi bruke denne måten å tenke på, ved hjelp av grenseverdier. Hvis vi ser på grenseverdien 00:08:45.500 --> 00:08:55.300 av f(x) når x går mot 0, så heter jo funksjonen x+1 om vi nærmer oss 0 nedenfra eller ovenfra. 00:08:55.300 --> 00:09:06.500 Denne grenseverdien vil være grenseverdien av uttrykket x+1, når x går mot 0. Når x nærmer seg 0, 00:09:06.500 --> 00:09:09.400 vil dette uttrykket da nærme seg 1. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:09:09.400 --> 00:09:23.900 Så ser vi på hva funksjonsverdien er i punktet 0. Det er punktet 0 vi er litt ekstra interessert i her. f(0) er definert 00:09:23.900 --> 00:09:32.600 til å være 0, som ikke er lik 1. Det betyr at vi ikke har likhet her, og dermed har vi ikke 00:09:32.600 --> 00:09:38.500 kontinuitet i punktet 0. Men i alle de andre punktene så har vi jo en lineær funksjon som vi har vist 00:09:38.500 --> 00:09:47.700 er kontinuerlig i alle punkter, bortsett fra i dette tilfellet 0. Vi har at f er altså 00:09:47.700 --> 00:09:57.800 ikke kontinuerlig for x=0, men i alle andre punkter. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:09:57.800 --> 00:10:04.300 Sånn kan vi trekke inn grenseverdibegrepet. Grenseverdibegrepet er også nært 00:10:04.300 --> 00:10:12.500 knyttet opp mot konvergens av følger. Det er også et nyttig begrep å bruke. Vi kan bruke følger 00:10:12.500 --> 00:10:19.700 i forbindelse med å sjekke om en funksjon er kontinuerlig eller ikke. Da har vi et resultat som sier 00:10:19.700 --> 00:10:29.600 at f er kontinuerlig i r. Nå kan r bare være et hvilket som helst punkt. Hvis r ikke er 00:10:29.600 --> 00:10:37.800 et indre punkt, så vil den tilsvarende skrivemåten gjelde, bare at vi må se på ensidige grenser. 00:10:37.800 --> 00:10:52.400 Nå har vi at f er kontinuerlig i et punkt r, hvis og bare hvis grenseverdien av f(xn), nå kommer 00:10:52.400 --> 00:10:58.350 da en følge inn som jeg skal si hva er for noe. Når f går mot uendelig, er lik f(r), NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:10:58.350 --> 00:11:22.900 for alle følger xn som da konvergerer mot r. Hvis en funksjon skal være kontinuerlig 00:11:22.900 --> 00:11:29.900 i et punkt r, det betyr at funksjonsverdiene til funksjonen skal nærme seg r. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:11:30.300 --> 00:11:37.900 Det kan vi sjekke ved å se på alle følger som konvergerer mot denne r-en. Da skal vi ha oppfylt 00:11:37.900 --> 00:11:45.400 at hvis vi setter følgene inn i funksjonsuttrykket og ser på denne grenseverdien, så skal de 00:11:45.400 --> 00:11:49.550 nærme seg f(r). Grenseverdien skal være lik f(r). NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:11:49.550 --> 00:12:04.400 I dette eksempelet her, har vi funksjonen som er 0 i punktet 0. 00:12:04.400 --> 00:12:15.900 Så er det den lineære funksjonen x+1 i alle andre punkter. Her er det et lite bruddpunkt. 00:12:15.900 --> 00:12:26.300 Hvis vi ser på følgen 1/n, den konvergerer mot 0. Så det er en følge som konvergerer 00:12:26.300 --> 00:12:28.850 mot dette punktet, hvor vi har diskontinuitet. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:12:28.850 --> 00:12:43.400 Hvis vi nå ser på f(1/n), så vil jo den da hete (1/n)+1 hvis vi setter inn 00:12:43.400 --> 00:12:49.400 i funksjonsuttrykket. Disse følgene vil jo da naturlig nok gå mot 1. Dette her er bare 00:12:49.400 --> 00:12:55.700 forskjellige måter å se på det samme type fenomenet på. Vi studerer denne funksjonen 00:12:55.700 --> 00:12:58.400 og ser også på denne følgen, 1/n. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:12:58.400 --> 00:13:08.900 Her har vi tallene 1, 1/2, 1/3 osv innover. 00:13:08.900 --> 00:13:19.700 Så ser vi på funksjonsverdiene i disse punktene. De vil jo da nærme seg 1. Men så vil følgen 00:13:19.700 --> 00:13:27.200 nærme seg 0. Da får vi denne mismatchen, som vi jo naturlig nok har når vi har en diskontinuerlig funksjon. 00:13:27.200 --> 00:13:33.700 Vi ser at det er grenseverdibegrepet som ligger i bunn. Konvergens av følger 00:13:33.700 --> 00:13:43.500 handler om at en følge skal nærme seg et punkt. Kontinuitet i et punkt handler om at funksjonen skal nærme seg et punkt. 00:13:43.500 --> 00:13:49.900 Bak disse begrepene så ligger dette ordet grenseverdi. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:13:49.900 --> 00:13:58.600 Ved hjelp av epsilon-delta definisjonen, så kan vi for eksempel vise at summen av to kontinuerlige 00:13:58.600 --> 00:14:06.700 funksjoner er kontinuerlig, og også differansen av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig. Produktet av dem 00:14:06.700 --> 00:14:15.100 er kontinuerlig, og kvotienten av dem er kontinuerlig-- alt ved hjelp av epsilon-delta definisjonen. 00:14:15.100 --> 00:14:23.600 Også såkalte komposisjoner, eller sammensatte funksjoner, er kontinuerlige 00:14:23.600 --> 00:14:32.000 hvis f og g er kontinuerlige. Hvis vi da i tillegg vet (og det kan vi også vise) at potensfunksjoner, logaritmefunksjoner, 00:14:32.000 --> 00:14:39.200 eksponentialfunksjoner, trigonometriske funksjoner. Alle disse som da kalles elementære, grunnleggende funksjoner, 00:14:39.200 --> 00:14:47.200 de er også kontinuerlige. Sammen med dette, så kan vi bruke og vise at veldig mange funksjoner 00:14:47.200 --> 00:14:49.900 er kontinuerlige. Det vil de ofte være. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:14:49.900 --> 00:15:01.300 For eksempel funksjonen x^2, det er en potensfunksjon. Hvis vi ganger den med en potensfunksjon 00:15:01.300 --> 00:15:08.700 og trekker fra en konstant funksjon, så får vi et produkt som er kontinuerlig. Hvis vi setter sammen rotfunksjonen 00:15:08.700 --> 00:15:14.800 som også vil være en kontinuerlig funksjon, så får vi at dette her er en kontinuerlig 00:15:14.800 --> 00:15:20.250 funksjon i hele sitt definisjonsområde. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:15:20.250 --> 00:15:25.250 Da er spørsmålet, hva er definisjonsområdet til denne funksjonen? NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:15:25.250 --> 00:15:36.200 Definisjonsområdet er da alle de x-ene som passer og som gir mening til dette uttrykket. 00:15:36.200 --> 00:15:45.450 Da vet vi at for reelle funksjoner, så må vi da ha at dette som står under rottegnet, må være positivt. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:15:45.450 --> 00:15:59.000 Det betyr at hvis vi tegner opp en tallinje, så vil x=0 oppfylle den ulikheten. 00:15:59.000 --> 00:16:09.200 Så har vi faktoren x^2-1. Når vi setter inn 0 her, får vi noe negativt. Så har vi 00:16:09.200 --> 00:16:17.300 noe positivt når vi setter inn x som er mindre enn -1 og større enn 1. Da får vi med oss 00:16:17.300 --> 00:16:21.750 dette området, og i tillegg får vi med oss 0. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:16:21.750 --> 00:16:31.500 Definisjonsområdet til denne funksjonen er intervallet fra minus uendelig til -1, og så har vi 00:16:31.500 --> 00:16:44.100 med dette spesielle punktet 0, og så har vi intervallet fra 1 til uendelig. For disse intervallene 00:16:44.100 --> 00:16:51.700 er det kanskje greit å se at vi har kontinuitet, men vi har faktisk kontinuitet i punktet 0 også. 00:16:51.700 --> 00:16:58.000 Ved å bruke disse resultatene, som vi kan vise ved hjelp av epsilon-delta definisjonen, så har vi 00:16:58.000 --> 00:17:05.099 at denne her i kontinuerlig i hele sitt definisjonsområde. 00:17:05.099 --> 00:17:20.700 Hvis vi tegner grafen, så er funksjonen 0 i punktet 0. Så er nullpunktene -1 og 1. Så går den oppover 00:17:20.700 --> 00:17:22.550 på denne måten på begge sider. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:17:22.550 --> 00:17:27.849 Dette er altså en kontinuerlig funksjon. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:17:27.849 --> 00:17:41.900 Veldig kort, hvorfor har vi kontinuitet i dette punktet? Det er et såkalt isolert punkt, og da må vi gå 00:17:41.900 --> 00:17:49.300 tilbake til epsilon-delta definisjonen. Den sier at for hver epsilon så skal det finnes en delta, 00:17:49.300 --> 00:17:57.300 sånn at når vi går nærme nok punktet i x-retningen, så kan vi få funksjonsverdiene 00:17:57.300 --> 00:18:06.100 til å ligge så nære funksjonsverdiene vi vil. Nå er det bare dette punktet i umiddelbar nærhet 00:18:06.100 --> 00:18:12.800 vi har med å gjøre. Da vil den betingelsen med epsilon og delta alltid være oppfylt for alle punkter, fordi det er 00:18:12.800 --> 00:18:19.400 bare det ene punktet vi trenger å sjekke. Dermed vil denne funksjonen være kontinuerlig 00:18:19.400 --> 00:18:27.400 i den definisjonen vi har satt opp med epsilon og delta. For hver epsilon så finnes det en delta, 00:18:27.400 --> 00:18:28.650 slik at når avstanden NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:18:28.650 --> 00:18:39.000 til x er mindre enn delta, så er avstanden i funksjonsverdiene til f(x) mindre enn epsilon.