WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:07.800 Vi skal nå se på det viktige begrepet grenseverdi, som ligger bak for eksempel kontinuitet 00:00:07.800 --> 00:00:15.100 av funksjoner og konvergens av følger. Der bruker vi grenseverdi. Vi skriver lim f(x) når x går mot r 00:00:15.100 --> 00:00:23.300 er lik f(r), hvis funksjonen er kontinuerlig i punktet r for eksempel. Hva betyr denne lim? 00:00:23.300 --> 00:00:30.600 Vi skal sette symboler på dette, hva vi mener med det matematisk. Utgangspunktet vårt er at vi da 00:00:30.600 --> 00:00:44.800 har en regel eller en funksjon som er definert i nærheten av et eller annet punkt a. Vi ønsker 00:00:44.800 --> 00:00:50.700 å sette ord på hva som skjer med f-en når vi nærmer oss a. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:50.700 --> 00:01:10.400 Da skriver vi opp definisjonen. Vi sier at f(x) nærmer seg en b som grenseverdi 00:01:10.400 --> 00:01:42.700 når x går mot a hvis da følgende holder: nemlig det at for hver epsilon 00:01:42.700 --> 00:01:51.100 så finnes det en delta>0, og begge disse størrelsene er bare tall, NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:01:51.100 --> 00:02:01.500 gjerne veldig små tall. For hvert tall epsilon, så finnes det et tall delta, slik at vi da har oppfylt 00:02:01.500 --> 00:02:08.949 at avstanden mellom f(x) og b er mindre enn epsilon, NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:02:08.949 --> 00:02:22.600 når x er slik at avstanden fra x til a er mindre enn delta. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:02:24.500 --> 00:02:32.250 Da sier vi altså at f(x) nærmer seg b som grenseverdi når x går mot a, NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:02:32.250 --> 00:02:43.700 hvis dette holder. Da vet vi at vi skriver lim f(x) når x går mot a, er lik b. Det betyr at 00:02:43.700 --> 00:02:52.000 vi kan gjøre avstanden mellom dette uttrykket og denne grenseverdien så liten vi bare vil, 00:02:52.000 --> 00:03:01.000 ved å velge avstanden mellom x og a liten nok. Epsilonene sier noe om denne avstanden. 00:03:01.000 --> 00:03:07.900 For hver epsilon dere gir meg, så skal jeg kunne finne delta som da gir avstanden mellom x og a. 00:03:07.900 --> 00:03:14.850 Bare den er liten nok, så får jeg oppfylt alle ønskene dere har for epsilon. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:03:14.850 --> 00:03:25.300 Vi skriver også noen ganger bare med piler, at f(x) går mot b, når x går mot a. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:03:25.900 --> 00:03:33.100 Tenk litt på denne definisjonen. Nå skal vi se på et par eksempler som skal hjelpe oss 00:03:33.100 --> 00:03:37.600 å komme litt inn i bruken av epsilon og delta. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:03:38.100 --> 00:03:45.000 Epsilon-delta definisjonen for grenseverdier kan kanskje være litt uvant og rar til å begynne med. 00:03:45.000 --> 00:03:51.000 Men vi skal nå se på et eksempel, hvor vi da gjør bruk av epsilon-delta og ser hvordan vi faktisk kan regne 00:03:51.000 --> 00:04:00.200 med disse symbolene. Vi vil nå se på grenseverdien av dette uttrykket, x^3+x-2 / x^2+3 00:04:00.200 --> 00:04:11.400 når x går mot 1. Hvis vi setter inn 1 for x, så får vi 1+1-2=0 i teller, 00:04:11.400 --> 00:04:20.200 og 1+3=4 i nevner. Det ser faktisk ut som om dette her kan stemme, at grenseverdien 00:04:20.200 --> 00:04:26.000 faktisk er 0. Nå skal vi da vise at det faktisk er riktig, ved å bruke epsilon-delta definisjonen. 00:04:26.000 --> 00:04:34.900 Det vi må gjøre da, er å vise at for hver epsilon>0, 00:04:34.900 --> 00:04:39.100 finnes det en delta>0, NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:04:39.100 --> 00:04:57.300 slik at avstanden mellom dette uttrykket og grenseverdien skal være mindre enn epsilon for alle x, 00:04:57.300 --> 00:05:17.700 slik at avstanden mellom x og 1 er mindre enn delta. Det betyr at vi har altså gitt epsiloner, 00:05:17.700 --> 00:05:21.800 og så skal vi finne delta sånn at alt dette passer sammen. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:05:21.800 --> 00:05:27.500 Da starter vi med dette uttrykket her, for det er dette uttrykket vi ønsker å gjøre så lite som mulig. 00:05:27.500 --> 00:05:36.800 Det heter nå x^3+x-2 / x^2+3. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:05:36.800 --> 00:05:43.600 Da har vi en kvotient. Når en kvotient skal være så liten som mulig, så ønsker vi at telleren 00:05:43.600 --> 00:05:51.000 skal være så liten som mulig, og at nevneren da er så stor som mulig. Vi må gjøre noe i forhold 00:05:51.000 --> 00:05:57.700 til dette uttrykket. Da kan det være fint om vi kunne delt opp i faktorer, hvis det er mulig. Da kan vi 00:05:57.700 --> 00:06:05.900 se på nevneren først, x^2+3. Det polynomet har komplekse røtter, og det betyr at dette her 00:06:05.900 --> 00:06:08.800 er ferdig faktorisert over de reelle tallene. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:06:08.800 --> 00:06:13.250 Så hva med x^3+x-2? NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:06:13.250 --> 00:06:21.700 Nå husker vi kanskje tilbake da vi satte inn 1, så fikk vi faktisk 0 i teller. Grenseverdien blir også 0. 00:06:21.700 --> 00:06:32.600 Dette polynomet er delelig med x-1. Vi polynomdividerer. 00:06:32.600 --> 00:06:46.500 Deler det på x-1. Da får vi x^2 først, og så ganger vi tilbake. Når vi trekker 00:06:46.500 --> 00:06:55.500 polynomene fra hverandre, står vi igjen med x^2+x-2. Deler vi x^2 på x får vi x. 00:06:55.500 --> 00:07:05.700 Ganger vi x med x-1 får vi x^2-x. Så står vi igjen med 2x-2. Da går det opp 00:07:05.700 --> 00:07:11.300 to ganger. Når vi ganger tilbake, så får vi rest 0. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:07:12.300 --> 00:07:20.900 Da har vi faktorisert ut faktoren x-1, og så står vi igjen med et andregradsuttrykk. Da kan vi 00:07:20.900 --> 00:07:27.300 kort sjekke om dette også kan faktoriseres videre. Hvis vi bruker abc-formelen, 00:07:27.300 --> 00:07:37.400 får vi dette. Da ser vi at diskriminanten, 00:07:37.400 --> 00:07:44.000 det tallet som står under rottegnet er negativt. Dette er ferdig faktorisert over 00:07:44.000 --> 00:07:54.000 de reelle tallene, for de har nå komplekse røtter. Da kan vi skrive opp faktorene og bruke 00:07:54.000 --> 00:08:03.900 regneregler for absoluttverdi. Da får vi at dette uttrykket nå er (x-1)-faktoren, ganger x^2+x+2 00:08:03.900 --> 00:08:10.600 delt på x^2+3. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:08:10.800 --> 00:08:16.450 Da må vi ta for oss hver av disse faktorene. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:08:16.450 --> 00:08:25.800 Så er spørsmålet, hva må denne deltaen være? Delta skal jo være den faktoren som x-1 er mindre enn, NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:08:25.800 --> 00:08:30.600 for at hele dette uttrykket skal bli mindre enn epsilon. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:08:30.600 --> 00:08:38.400 Det betyr at nå kan vi velge denne mindre enn delta som vi kan finne etter hvert. Spørsmålet er, 00:08:38.400 --> 00:08:42.049 hva kan vi gjøre med disse faktorene? NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:08:42.049 --> 00:08:51.100 Nå er vi interessert i x-verdier veldig nære 1. Det er der vi befinner oss. Det kan være 00:08:51.100 --> 00:08:58.700 greit å minne seg selv på det ved å ha en liten tallinje. I nærheten av her er vi interessert i å se 00:08:58.700 --> 00:09:05.849 hva som skjer. Det er når x går mot 1 at vi skal kunne vise at dette uttrykket går mot 0. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:09:05.849 --> 00:09:15.600 Så da er det vanlig å bare begrense seg til et intervall rundt dette punktet vi er interessert i. 00:09:15.600 --> 00:09:24.700 I dette tilfellet så kan vi for eksempel velge delta mindre enn 1, 00:09:24.700 --> 00:09:32.700 x-1 er mindre enn 1. Det betyr at vi glemmer alt som ligger utenfor 0 og 2, og så ser vi kun på hva 00:09:32.700 --> 00:09:45.000 som skjer innenfor her. x ligger mellom 0 og 2. Da har vi kommet oss så langt inn. 00:09:45.000 --> 00:09:53.000 Så handler det om å se, hva kan vi si om disse uttrykkene når vi befinner oss på x-verdier som ligger 00:09:53.000 --> 00:09:54.900 mellom 0 og 2? NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:09:55.600 --> 00:10:03.100 Vi skal jobbe litt videre med dette uttrykket som vi skal kunne gjøre mindre enn enhver epsilon. 00:10:03.100 --> 00:10:10.800 Da har vi begrenset oss til å se på x-verdier som ligger mellom 0 og 2. Hvis vi ser på 00:10:10.800 --> 00:10:17.200 nevneren først, så ser vi at dette x^2+3 alltid er et positivt uttrykk, og nevneren ønsker 00:10:17.200 --> 00:10:23.800 vi å gjøre så stor som mulig. x^2+3 på dette intervallet vil alltid være større enn 3. 00:10:23.800 --> 00:10:36.600 Hvis x>0, så vil dette være større enn 3. x^2+3 er alltid større enn 3 når x ligger 00:10:36.600 --> 00:10:39.300 på dette intervallet 0 til 2. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:10:39.300 --> 00:10:45.350 Så var det da andre uttrykket som står i telleren og som vi ønsker å gjøre så lite som mulig. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:10:45.350 --> 00:10:56.200 x^2+x+2. Hvis vi deriverer dette uttrykket, får vi 2x+1. Det sier oss at dette uttrykket 00:10:56.200 --> 00:11:08.100 vokser på intervallet 0 til 2, så det vil oppnå sin største verdi når x=2. Dette vil være mindre enn 00:11:08.100 --> 00:11:17.300 2*2 = 4+2+2 = 8. Det uttrykket vil alltid være mindre enn 8 når vi er på intervallet fra 0 til 2. 00:11:17.300 --> 00:11:18.200 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:11:18.200 --> 00:11:27.100 Da kan vi sette inn. Nå skal vi finne deltaen, det er denne verdien som x-1 må være mindre enn. 00:11:27.100 --> 00:11:34.000 Her har vi noe som alltid er mindre enn 8, og dette er større enn 3. 00:11:34.000 --> 00:11:38.900 For at alt dette nå til sammen skal være mindre enn epsilon, NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:11:38.900 --> 00:11:48.400 hva må dette være mindre enn? Da ser vi nå at siden vi har en faktor 3 og en faktor 8, 00:11:48.400 --> 00:11:56.200 hvis vi ganger opp med 3 og deler på 8, så ser vi at hvis vi velger delta lik 3*epsilon/8, 00:11:56.200 --> 00:11:59.950 så vil dette passe veldig fint inn. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:11:59.950 --> 00:12:07.500 I tillegg så må vi huske at vi valgte at delta er mindre enn 1 for å få oppfylt disse betingelsene. 00:12:07.500 --> 00:12:19.700 For hver epsilon>0, så finnes det en delta-- og nå må vi skrive opp 00:12:19.700 --> 00:12:32.000 hva delta er. Da får vi at delta må være den minste verdien av 1 og 3*epsilon/8. 00:12:32.000 --> 00:12:38.700 Dette er bare for å forsikre oss om, som sagt, at vi er innenfor dette intervallet 0 til 2, at delta er mindre enn 1. 00:12:38.700 --> 00:12:39.550 NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:12:39.550 --> 00:12:54.550 Slik at vi nå får x^3+x-2 / x^+3 - 0. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:12:54.550 --> 00:13:14.200 Vi kan sette opp det vi har regnet ut. Dette skal være delta, så hvis vi setter inn 3*epsilon/8. 00:13:14.200 --> 00:13:27.500 Dette er mindre enn 8, og nevneren er større enn 3. Det betyr at 00:13:27.500 --> 00:13:35.400 1/x^2+3 er mindre enn 1/3, 3-tallet kommer ned. Hvis vi da forkorter, får vi epsilon. 00:13:35.400 --> 00:13:42.050 Derfor velger vi delta lik 3*epsilon/8. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:13:42.050 --> 00:13:56.600 Dette gjelder for alle x slik at avstanden mellom x og 1 er mindre enn denne delta. 00:13:56.600 --> 00:14:04.000 Det er nettopp det vi har brukt når vi satte inn denne i regningen. Da har vi vist ved å bruke 00:14:04.000 --> 00:14:09.700 epsilon-delta definisjonen, at denne grenseverdien er faktisk 0. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:14:10.400 --> 00:14:17.800 Vi er i ferd med å bli bedre kjent med epsilon og delta. Nå skal vi se på nok et eksempel. 00:14:17.800 --> 00:14:26.300 Vi er interessert i grenseverdien av uttrykket 1/x når x nærmer seg a, hvor a er positiv. 00:14:26.300 --> 00:14:33.500 Hvis vi setter inn a for x, så får vi 1/a. Dette her er en veldig god kandidat for grenseverdien. 00:14:33.500 --> 00:14:39.600 Nå skal vi sjekke at dette faktisk er grenseverdien for dette uttrykket når x går mot a ved hjelp 00:14:39.600 --> 00:14:41.850 av epsilon-delta definisjonen. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:14:41.850 --> 00:14:55.100 Så la x være positiv. Det vi ønsker oss ifølge definisjonen, er at avstanden mellom uttrykket 00:14:55.100 --> 00:15:07.700 1/x og grenseverdien skal være mindre enn epsilon når avstanden mellom x og a ligger mellom 0 00:15:07.700 --> 00:15:09.900 og delta. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:15:10.200 --> 00:15:18.300 Det betyr at vi ønsker at dette uttrykket skal være så lite som mulig. For hver epsilon så finnes det 00:15:18.300 --> 00:15:26.000 en delta, slik at dette er oppfylt når dette er oppfylt. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:15:26.000 --> 00:15:37.800 Da må vi se på dette uttrykket, vi regner litt på det. Da setter vi på felles brøkstrek. 00:15:37.800 --> 00:15:50.800 Får a-x / ax. Da kan vi sette telleren i en egen absoluttverdi, og avstanden mellom a og x 00:15:50.800 --> 00:15:57.500 er det samme som avstanden mellom x og a, så det kan vi bytte rekkefølge på. Så kan vi ta vekk 00:15:57.500 --> 00:16:03.400 absoluttverditegnet i nevneren, fordi både a og x er valgt til å være positive størrelser. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:16:03.700 --> 00:16:13.500 Dette uttrykket skal vi nå gjøre mindre enn enhver epsilon når x-a er mindre enn delta. 00:16:13.500 --> 00:16:21.400 Det betyr at denne faktoren kan vi få kontroll på. Men faktor 1/ax, den må vi si noe mer om. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:16:21.400 --> 00:16:31.900 Hvor stor kan den være når x nærmer seg a? Vi er altså interessert i å se hva som skjer 00:16:31.900 --> 00:16:42.000 i nærheten av a, og da tar vi litt kontroll. Så sier vi at her ønsker vi å være. Vi ønsker bare å se 00:16:42.000 --> 00:16:52.100 på x-verdier som ligger ganske nære a. La delta for eksempel være mindre enn 1/2a. 00:16:52.100 --> 00:16:59.700 Det betyr altså at avstanden mellom x og a skal være mindre enn 1/2a. Hvis vi plusser på 1/2a 00:16:59.700 --> 00:17:07.800 på denne siden, så havner vi på 3/2a. Trekker vi fra 1/2a så havner vi på 1/2a. 00:17:07.800 --> 00:17:17.300 Det betyr at x ligger mellom 3/2a og 1/2a. NOTE Treffsikkerhet: 73% (MEDIUM) 00:17:18.500 --> 00:17:25.849 Hva skjer da med uttrykket 1/ax når vi har oppfylt dette? NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:17:25.849 --> 00:17:34.700 Hvis vi ganger med a, som er et positivt tall, så beholder vi ulikhetene. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:17:36.500 --> 00:17:46.900 Så tar vi 1 delt på dette her. Da må vi ta 1 delt på på begge sider og så må vi snu ulikhetene. 00:17:46.900 --> 00:18:00.600 Vi får at størrelsen 1/ax > 1 / (3/2a^2). Da får vi 2/3a^2. 00:18:00.600 --> 00:18:12.700 Så er den mindre enn 1 / (1/2a^2), som blir 2/a^2. Når delta er mindre enn 1/2a, 00:18:12.700 --> 00:18:23.700 så har vi oppfylt disse ulikhetene. Det betyr spesielt at 1/ax er mindre enn 2/a^2, 00:18:23.700 --> 00:18:26.350 det er det vi er interessert i å finne. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:18:26.350 --> 00:18:35.800 Denne størrelsen her kan vi gjøre mindre enn 2/a^2. Vi ønsker jo at dette her 00:18:35.800 --> 00:18:41.199 skal være mindre enn epsilon. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:18:41.199 --> 00:18:56.900 Hvis vi setter inn delta for x-a, så får vi delta og så får vi mindre enn 2/a^2. 00:18:56.900 --> 00:19:07.200 Dette skal være lik epsilon. Nå forsvant ulikheten. Vi vet at x-a 00:19:07.200 --> 00:19:15.700 skal være mindre enn delta, og så vet vi at 1/ax er mindre enn 2/a^2 når delta er mindre enn 1/2a. 00:19:15.700 --> 00:19:25.700 Dette skal være lik epsilon. Da kan vi finne hva delta skal være. Da ganger vi opp med a^2, 00:19:25.700 --> 00:19:30.200 og så deler vi på 2. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:19:30.200 --> 00:19:37.699 Det betyr at så lenge delta er mindre enn 1/2a, så får vi oppfylt dette. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:19:37.699 --> 00:19:45.800 Da får vi inn den faktoren her, og så kan vi velge oss delta lik epsilon*a^2 / 2. 00:19:45.800 --> 00:19:56.000 Det betyr at vi bare må forsikre oss at begge disse er oppfylt, så da lar vi delta 00:19:56.000 --> 00:20:11.100 være den minste verdien av 1/2a og epsilon*a^2 / 2. Denne deltaen vil parere enhver epsilon som kommer. 00:20:11.100 --> 00:20:19.300 For hver epsilon, så kan vi sette inn epsilon her og velge oss en a og regne ut disse to tallene. 00:20:19.300 --> 00:20:28.100 Så lar vi delta være den minste av disse to. Den deltaen vil oppfylle dette her for hver epsilon. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:20:28.100 --> 00:20:36.700 Dermed har vi vist at grenseverdien av 1/x når x går mot a, er lik 1/a ved hjelp av 00:20:36.700 --> 00:20:38.800 epsilon og delta.