WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:08.300 Vi skal nå se på noen anvendelser av integralet, og vi skal regne ut areal, lengde og volum 00:00:08.300 --> 00:00:14.900 av noen planlige og romlige figurer. Det er det ofte integralet kan brukes til. Da er det like mye 00:00:14.900 --> 00:00:22.500 tankegangen som beregningene som er viktige. Vi starter med et eksempel. vi har allerede tegnet 00:00:22.500 --> 00:00:37.800 en tegning her. Dette her er grafen til f(x)=4-x^2. Den går nedover her. Og så har vi grafen 00:00:37.800 --> 00:00:50.100 til funksjonen gitt ved g(x)=x^2. Den starter i origo og går oppover hit. Så er vi interessert 00:00:50.100 --> 00:00:58.500 i området som er avgrenset av de to funksjonsgrafene, y-aksen og linja x=2, NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:58.500 --> 00:01:11.700 og da ligger i tillegg i første kvadrant. Det er dette området her. Nå kan vi regne ut både arealet til 00:01:11.700 --> 00:01:19.300 dette området. Vi kan regne ut omkretsen. Vi kan også begynne å se på noen romlige legemer vi får 00:01:19.300 --> 00:01:26.900 når vi dreier dette området rundt y-aksen eller rundt x-aksen. Ved hjelp av integralet så kan vi da 00:01:26.900 --> 00:01:34.900 finne ut både volum, areal og lengder. Vi kan starte med areal. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:35.100 --> 00:01:43.400 Da ser vi at dette området vi er interessert i, det består jo på en måte av to områder. I dette 00:01:43.400 --> 00:01:52.300 punktet her så skjer dette noe. Fram til dette punktet, ligger funksjonsgrafen til f 00:01:52.300 --> 00:01:58.800 over funksjonsgrafen til g, mens fra dette punktet og ut til x=2 så ligger altså 00:01:58.800 --> 00:02:07.100 funksjonsgrafen til g over funksjonsgrafen til f. Vi vil vite hva dette punktet er. Da finner vi det 00:02:07.100 --> 00:02:18.100 ved å sette funksjonsuttrykkene lik hverandre. Det gir ligningen 2x^2=4. Siden x skal være positiv 00:02:18.100 --> 00:02:23.950 (vi er i første kvadrant), så får vi løsningen x=roten av 2. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:02:23.950 --> 00:02:33.900 Her har vi roten av 2. Når vi skal finne arealet nå, så skal vi prøve å finne et integral som 00:02:33.900 --> 00:02:41.700 gir oss den størrelsen. Vi ønsker å integrere langs x-aksen. Det betyr at vi deler opp x-aksen 00:02:41.700 --> 00:02:49.900 i veldig fine biter. Når vi skal ha arealet, så skal vi da se på sånne syltynne rektangler, og så 00:02:49.900 --> 00:02:56.100 legger vi sammen veldig, veldig mange av disse her, og får da en grense som er integralet og som gir 00:02:56.100 --> 00:02:59.400 oss arealet av dette krumme området. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:02:59.400 --> 00:03:08.700 Hvis vi da integrerer fra 0 til roten av 2 og vi tar integralet av f, så får vi jo hele området under 00:03:08.700 --> 00:03:14.600 funksjonsgrafen til f. Nå er vi ikke interessert i hele det området, for vi skal ikke ha med det som 00:03:14.600 --> 00:03:22.900 ligger under g. Det betyr at da kan vi trekke fra arealet vi får ved å integrere g fra 0 til roten av 2. 00:03:22.900 --> 00:03:26.600 Da får vi dette arealet. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:03:26.600 --> 00:03:39.149 Det betyr at integralet fra 0 til roten av 2 av f, som er 4-x^2 minus g NOTE Treffsikkerhet: 73% (MEDIUM) 00:03:39.149 --> 00:03:46.700 med hensyn på x, det vil gi oss arealet av det første skraverte området. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:03:46.700 --> 00:03:53.700 Så må vi plusse på arealet av det andre skraverte området, og da har f og g byttet plass. 00:03:53.700 --> 00:04:01.200 Da er det g som ligger øverst. Hvis vi integrerer g fra roten av 2 til 2, så får vi alle disse rektanglene 00:04:01.200 --> 00:04:09.000 som ligger under funksjonsgrafen til g. Det betyr at vi får med også denne biten her nede. Da må vi 00:04:09.000 --> 00:04:16.899 trekke fra den ved å integrere f fra roten av 2 til 2. Da får vi trukket fra alle disse uendelig 00:04:16.899 --> 00:04:24.300 tynne rektanglene som ligger under funksjonsgrafen til f. Da plusser vi sammen 00:04:24.300 --> 00:04:35.000 disse to arealene. Vi integrerer fra roten av 2 til 2, og da bytter vi roller. Så får vi x^2-(4-x^2). 00:04:35.000 --> 00:04:37.500 NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:04:39.100 --> 00:04:48.700 Hvis vi regner ut det, så finner vi altså arealet av dette skraverte området. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:04:48.700 --> 00:04:55.700 Analysens fundamentalteorem hjelper oss med det. Da handler det om å finne en antiderivert til 00:04:55.700 --> 00:05:06.200 disse uttrykkene og sette inn grensene. Da gjør vi det. Da skal vi integrere (4-2x^2), 00:05:06.200 --> 00:05:20.200 og så skal vi plusse på integralet fra roten av 2 til 2 av 2x^2-4. 00:05:20.200 --> 00:05:30.400 Dette her er da polynomuttrykk. Integrandene er polynomuttrykk og de er greie å integrere. 00:05:30.400 --> 00:05:44.200 Vi får 4x - (2/3x^3) og så skal vi sette inn 0 til roten av 2. Så får vi 2/3x^3 00:05:44.200 --> 00:05:48.950 minus integralet av konstant funksjonen 4. Det er 4x. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:05:48.950 --> 00:05:54.600 Da får vi roten av 2 til 2. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:05:55.300 --> 00:05:58.550 Så setter vi inn grensene. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:05:58.550 --> 00:06:09.100 Da får vi 4*roten av 2. Hvis vi setter inn roten av 2 her, får vi (roten av 2)^3 = 2*roten av 2. 00:06:09.100 --> 00:06:21.100 Vi får (4*roten av 2) / 3. Så setter vi inn 0, men det gir bare 0. Da får vi ikke 00:06:21.100 --> 00:06:29.600 noe mere bidrag derfra. Så går vi hit og da setter vi inn 2 først. Da får vi 2^3 = 8*2 = 16. 00:06:29.600 --> 00:06:35.450 Setter vi inn 2 her får vi -8. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:06:35.450 --> 00:06:46.400 Så setter vi inn roten av 2 her, og da får vi igjen (2*roten av 2)*2 med minus. Det blir 00:06:46.400 --> 00:06:48.350 - (4*roten av 2) / 3. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:06:48.350 --> 00:06:57.700 Vi får nå minus fordi vi setter inn den nederste grensen. Så får vi minus minus som blir pluss, 00:06:57.700 --> 00:07:04.250 4*roten av 2. Så må vi trekke sammen dette her. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:07:04.250 --> 00:07:13.000 Da kan vi trekke sammen konstantene som ikke har roten av 2 i seg. Da får vi 24/3 00:07:13.000 --> 00:07:19.500 og 16/3, det blir -8/3. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:07:19.500 --> 00:07:26.400 Så har vi 4*roten av 2 to ganger, det blir 8*roten av 2. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:26.400 --> 00:07:37.600 Her har vi -(8/3)*roten av 2. Da kan vi sette disse også på tredjedelene, så får vi (24*roten av 2 00:07:37.600 --> 00:07:53.800 - 8*roten av 2) / 3. Hvis vi samler alt dette nå, så får vi (16*roten av 2 - 8) / 3. 00:07:53.800 --> 00:08:01.600 Det er jo et veldig pent og eksakt svar. Hvis man ønsker en tilnærming, kan man skrive inn cirka 1,4 00:08:01.600 --> 00:08:09.500 for roten av 2 og regne ut nøyaktig hva dette blir. Da har vi funnet arealet av dette skraverte 00:08:09.500 --> 00:08:10.700 området. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:08:12.700 --> 00:08:19.700 Vi har nå regnet ut arealet av det skraverte området. Vi skal nå se litt på volumer som vi kan 00:08:19.700 --> 00:08:28.100 regne ut ved hjelp av integraler og dette området. Vi starter med å holde x-aksen fast, og så 00:08:28.100 --> 00:08:35.299 tenker vi oss at vi roterer dette området rundt x-aksen. Da får vi fram en romlig figur som vil ha 00:08:35.299 --> 00:08:42.100 et volum. Det volumet kan vi også regne ut ved hjelp av et integral. Da handler det litt om 00:08:42.100 --> 00:08:48.150 hvordan skal vi sette opp denne formelen for dette volumet vi får. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:08:48.150 --> 00:08:55.600 Da tenker vi følgende. Her har vi x-aksen og så har vi da en funksjonsgraf. Og så skal vi da 00:08:55.600 --> 00:09:02.400 rotere den rundt x-aksen. Da får vi fram NOTE Treffsikkerhet: 76% (HØY) 00:09:02.400 --> 00:09:05.600 et romlig legeme her. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:09:07.700 --> 00:09:14.600 Igjen så skal vi få fram et integral, og vi skal integrere med hensyn på x. Det betyr at vi 00:09:14.600 --> 00:09:24.100 skal dele opp x-aksen i bitte, bittesmå biter. Når vi regnet ut arealet, så fikk vi syltynne rektangler 00:09:24.100 --> 00:09:32.800 som vi skulle legge sammen. Nå vil vi få syltynne sylinderbiter som vi skal legge sammen. 00:09:32.800 --> 00:09:35.300 NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:09:36.400 --> 00:09:45.500 Da tenker vi oss at høyden i disse sylinderbitene som vi skal legge sammen, 00:09:45.500 --> 00:09:48.200 de blir sånne små dx-er. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:09:48.200 --> 00:09:58.500 Radiusen i denne sylinderen, den er jo nettopp gitt ved funksjonen vår. Radien vil variere 00:09:58.500 --> 00:10:11.100 med funksjonsverdiene. Da får vi volumet av en sånn liten bit er pi*r^2 og r er f(x). 00:10:11.100 --> 00:10:17.800 Og så da ganger den bitte, bittelille høyden. Det er altså når vi går mot grensen og summerer alle 00:10:17.800 --> 00:10:33.700 disse bittesmå, at vi får fram integraltegnet og dx-symbolet. 00:10:33.700 --> 00:10:45.400 Vi tar et omdreiningslegeme om x-aksen. Det har et volum som er gitt ved formelen ved at 00:10:45.400 --> 00:10:48.200 vi integrerer mellom to grenser. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:10:48.200 --> 00:10:57.700 For eksempel hvis vi er interessert i dette området fra a til b og dreier det rundt x-aksen, så får vi 00:10:57.700 --> 00:11:06.550 altså pi*f(x)^2 fordi det er er r^2, og så dx. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:11:06.550 --> 00:11:15.600 Da bruker vi den formelen på dette området her. Først går vi da fra 0 til roten av 2, 00:11:15.600 --> 00:11:24.200 for da har f og g to bestemte roller, f ligger over g. Hvis vi da tenker oss at 00:11:24.200 --> 00:11:33.500 vi får ut volumet når vi dreier f rundt x-aksen, så setter vi inn f i denne formelen. Men da får 00:11:33.500 --> 00:11:41.900 vi med det volumet som ligger under her, da følger det med. Vi må trekke fra det volumet vi får 00:11:41.900 --> 00:11:49.300 når vi dreier g rundt x-aksen. Volumet av den første biten NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:11:49.300 --> 00:12:03.200 blir i dette tilfellet-- da får vi fra 0 til roten av 2, pi*f og den var 4-x^2. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:12:05.800 --> 00:12:20.800 Det er da volumet vi får når vi dreier hele f, og så må vi trekke fra volumet vi får fra 0 til roten av 2, 00:12:20.800 --> 00:12:27.250 når vi da dreier g som het x^2 rundt x-aksen. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:12:27.250 --> 00:12:36.000 Da har vi kommet hit og fått det volumet. Så får vi resten av volumet ved å bytte om rollene 00:12:36.000 --> 00:12:43.000 til f og g. Da tar vi først volumet vi får når vi dreier g, og så må vi trekke fra det volumet som da vil ligge 00:12:43.000 --> 00:12:53.400 inni her og som er under f. Da blir det pluss, og så kommer integralet fra roten av 2 til 2. Da kommer g først. 00:12:53.400 --> 00:13:04.100 Så må vi trekke fra integralet når vi da roterer f. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:13:08.500 --> 00:13:18.400 Da har vi satt opp et stort uttrykk. Dette uttrykket gir altså volumet vi får når vi dreier 00:13:18.400 --> 00:13:24.300 hele dette området rundt x-aksen. Nå er det igjen bare å bruke analysens fundamentalteorem, 00:13:24.300 --> 00:13:33.100 finne antideriverte funksjoner til disse integrandene og sette inn grensene. Da gjør vi det. 00:13:33.100 --> 00:13:34.150 Vi må regne litt. NOTE Treffsikkerhet: 69% (MEDIUM) 00:13:34.150 --> 00:13:38.050 pi kan vi godt sette helt utenfor. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:13:38.050 --> 00:13:51.000 Så ganger vi ut. Da får vi 16-8x^2+x^4. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:13:51.200 --> 00:13:59.600 Dette er også et integral fra 0 til roten av 2, så vi kan godt trekke det sammen med disse integralene. 00:13:59.600 --> 00:14:08.400 Vi har satt pi utenfor, så nå får vi -x^4. Da faller disse to mot hverandre. 00:14:08.400 --> 00:14:10.100 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:14:10.300 --> 00:14:17.300 Det var integralet fra 0 til roten av 2. Så har vi to integraler fra roten av 2 til 2 00:14:17.300 --> 00:14:32.900 hvor vi kan slå sammen integrandene og sette pi utenfor. Da får vi x^4-16+8x^2 00:14:32.900 --> 00:14:45.500 (men minus, det blir pluss), og så får vi -x^4. Da faller disse to 00:14:45.500 --> 00:14:48.400 mot hverandre, så det blir litt mindre å regne ut. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:14:48.400 --> 00:15:03.400 Igjen setter vi pi helt utenfor og så finner vi en antiderivert. Da får vi 16x - (8/3x^3). 00:15:03.400 --> 00:15:07.050 Her skal vi sette inn grensene fra 0 til roten av 2. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:15:07.050 --> 00:15:24.300 Her får vi -16. Vi finner en antiderivert, da blir det -16x + (8/3x^3) fra roten av 2 til 2. 00:15:24.300 --> 00:15:25.300 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:15:25.300 --> 00:15:28.349 Og så skal vi sette inn grensene. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:15:28.349 --> 00:15:43.600 pi utenfor. Hvis vi setter inn roten av 2, så får vi 16*roten av 2. (roten av 2)^3 = 2*roten av 2 ganger 8/3, 00:15:43.600 --> 00:15:53.000 det blir (16*roten av 2) / 3. Setter vi inn 0 får vi 0, så det blir ikke noe bidrag. Så setter vi 00:15:53.000 --> 00:16:00.400 pi utenfor og fortsetter i parentesen. Setter inn 2, da får vi -32. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:16:00.400 --> 00:16:03.050 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:16:03.050 --> 00:16:07.500 + 2^3 = 8*8 = 64. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:16:08.300 --> 00:16:12.550 Så får vi minus det vi får når vi setter inn NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:16:12.550 --> 00:16:27.000 roten av 2. Da står det minus minus, så det blir + 16*roten av 2. -(roten av 2)^3 = 2*roten av 2, 00:16:27.000 --> 00:16:29.000 det blir -(16*roten av 2) / 3. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:16:29.400 --> 00:16:33.900 Da handler det bare om å trekke litt sammen. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:16:35.800 --> 00:16:54.300 Da får vi (16*roten av 2 + 16*roten av 2) = 32*roten av 2 00:16:54.300 --> 00:17:04.349 - ((32*roten av 2) / 3). Så har vi fortsatt -32. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:17:04.349 --> 00:17:19.599 Hvis vi gjør om det til tredjedeler, så får vi -96+64=-32, -32/3. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:17:19.599 --> 00:17:34.500 Hvis vi setter dette på tredjedeler nå, får vi 96*roten av 2 - 32, det er ((64*roten av 2) / 3) - 32/3. 00:17:34.500 --> 00:17:47.800 Da kan vi godt, helt til slutt, sette svaret oppi hjørnet her. Volumet vi får når vi dreier dette 00:17:47.800 --> 00:17:59.800 området rundt x-aksen, blir altså ((64*roten av 2 - 32) / 3) * pi. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:18:00.500 --> 00:18:05.800 Da har vi brukt integralet til å regne ut et volum. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:18:06.200 --> 00:18:14.200 Vi har nå regnet ut arealet av dette området, og vi har også sett på volumet vi får når vi dreier 00:18:14.200 --> 00:18:22.000 dette området rundt x-aksen. Vi kan også dreie området rundt y-aksen, og da får vi også frem et volum. 00:18:22.000 --> 00:18:28.100 Et annet type volum, men vi kan fortsatt finne et integral som gjør oss i stand til å regne ut 00:18:28.100 --> 00:18:35.200 hva det volumet faktisk blir. Så da tenker vi oss, hvis vi dreier denne rundt rundt y-aksen-- 00:18:35.200 --> 00:18:38.600 vi prøver å være symmetriske-- NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:18:38.900 --> 00:18:47.900 kan vi sånn ca. visualisere hvordan dette volumet blir seende ut. NOTE Treffsikkerhet: 72% (MEDIUM) 00:18:49.500 --> 00:18:55.100 Vi tar dette området og dreie rundt y-aksen. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:18:55.100 --> 00:19:02.600 Da får vi et volum. Spørsmålet er nå, hvilket integral er det vi skal få fram for å regne ut dette volumet? 00:19:02.600 --> 00:19:11.200 Da vil vi fortsatt integrere langs x-aksen. Vi holder fast ved det. Vi skal fortsatt 00:19:11.200 --> 00:19:19.100 dele opp x-aksen i uendelig bittesmå biter. Det vi får ut nå når vi dreier rundt y-aksen, 00:19:19.100 --> 00:19:26.200 får vi da bittesmå sånne sylinderskall som da blir liggende utenpå hverandre. Høyden vil igjen 00:19:26.200 --> 00:19:37.200 være gitt ved funksjonen. Vi tenker oss et sånt skall. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:19:38.000 --> 00:19:45.200 Mange sånne skal ligge utenpå hverandre. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:19:48.400 --> 00:19:59.200 Høyden i dette skallet-- her vil funksjonsgrafen variere, og så dreier vi den rundt y-aksen. 00:19:59.200 --> 00:20:08.100 Vi har en funksjon og dreier den rundt. Da ser vi at denne lille tykkelsen er en sånn dx. 00:20:08.100 --> 00:20:17.800 Så har vi fortsatt høyde f(x). Så er spørsmålet, hva er arealet av et sånt lite skall 00:20:17.800 --> 00:20:23.400 med en bitteliten tykkelse? Det vi gjør da, er at vi klipper av kanten her og bretter dette ut. 00:20:23.400 --> 00:20:35.200 Da ser vi mye lettere hvilken formel vi får ut. Nå tenker vi at vi bretter ut dette skallet. 00:20:35.200 --> 00:20:37.450 Da står vi her med omkretsen NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:20:37.450 --> 00:20:45.100 rundt dette skallet. Radien er jo gitt ved et x-koordinat. Så denne radien her, den kan vi 00:20:45.100 --> 00:20:54.050 tenke oss er 2pi*x. Høyden er funksjonsverdien, som vil variere. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:20:54.050 --> 00:21:00.700 Hvis vi tar dette området rundt y-aksen, så vil høyden på disse skallene 00:21:00.700 --> 00:21:09.100 variere med funksjonsverdien. Så var det denne lille tykkelsen, den tenker vi er dx. 00:21:09.100 --> 00:21:28.700 Vi får en formel. Vi skal summere alle disse små skallene, og får et omdreiningslegeme om y-aksen. 00:21:28.700 --> 00:21:40.600 Det har et volum. Da er det gitt ved integralet mellom to grenseverdier. Hvis vi vil gå herfra 00:21:40.600 --> 00:21:46.650 og ut hit, ta dette området og dreie rundt y-aksen. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:21:46.650 --> 00:22:00.000 Da får vi 2pi*x som er grunnlinjen i det skallet, ganger høyden, og så ganger tykkelsen. 00:22:00.000 --> 00:22:06.700 Det er tankegangen bak dette integralet. Matematisk så ligger det da en grenseprosess i å få ut 00:22:06.700 --> 00:22:17.400 integraltegnet og dx, differensialet til x. Dette er et integral med hensyn på dx. Da har vi formelen. 00:22:17.400 --> 00:22:26.000 Da kan vi bruke den til å regne ut dette volumet akkurat i det tilfellet hvor vi har 4-x^2 00:22:26.000 --> 00:22:26.949 og x^2-grafen. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:22:26.949 --> 00:22:39.600 Så da tar vi først området fram til roten av 2, og så dreier vi da f(x)-grafen om y. 00:22:39.600 --> 00:22:45.800 Da setter vi inn funksjonsuttrykket til f i formelen. Da får vi med denne biten som ligger 00:22:45.800 --> 00:22:54.900 under her også, og den skal vi ikke ha med. Da trekker vi fra den biten vi får ved å dreie funksjonsgrafen til g 00:22:54.900 --> 00:23:09.300 om y-aksen. Da får vi volum først fra 0 til roten av 2, av 2pi*x og så er det f, det var 4-x^2. 00:23:09.300 --> 00:23:11.200 NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:23:12.700 --> 00:23:29.400 Da har vi hele dette området rundt y-aksen og så trekker vi fra g. Da får vi minus fra 0 til roten av 2, 2pi*x*g, som var x^2. 00:23:29.400 --> 00:23:36.200 Da har vi fått volumet når vi dreier den skraverte biten rundt y-aksen. Så må vi legge til den. 00:23:36.200 --> 00:23:43.600 Da skifter jo f og g rolle. Da tar vi først det vi får når vi dreier funksjonsgrafen til g rundt y-aksen, 00:23:43.600 --> 00:23:50.400 og så trekker vi fra det volumet vi får når vi dreier denne biten, som er da funksjonsgrafen til f 00:23:50.400 --> 00:23:52.450 rundt y-aksen. NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:23:52.450 --> 00:24:07.000 Da får vi volumet fra roten av 2 til 2 av 2pi*x*x^2, for det er g. Så trekker vi fra volumet 00:24:07.000 --> 00:24:11.700 vi får når vi da setter inn f. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:24:15.300 --> 00:24:26.100 Dette uttrykket, fire integraler, det gir volumet når vi tar dette skraverte området rundt y-aksen. 00:24:26.100 --> 00:24:32.400 Igjen har vi satt opp et integral som gir volumet. Da må vi regne det ut ved å bruke 00:24:32.400 --> 00:24:39.400 analysens fundamentalteorem, finne en antiderivert til integrandene og sette inn grensene. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:24:39.400 --> 00:24:51.100 Da blir det litt regning. 2pi kan vi godt sette helt utenfor. Så får vi integralet 00:24:51.100 --> 00:25:01.000 fra 0 til roten av 2. Så får vi 4x-x^3. Dette er altså et integral fra 0 til roten av 2 00:25:01.000 --> 00:25:12.800 så vi setter det inn i samme integraltegn, 2pi på utsiden. Så får vi -x^3. Så får vi pluss et integral 00:25:12.800 --> 00:25:20.500 fra roten av 2 til 2. Så kan vi godt sette 2pi utenfor her også. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:25:20.500 --> 00:25:31.800 Da får vi x^3-4x+x^3 (minus minus er pluss). NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:25:35.300 --> 00:25:42.700 Da kan vi sette 2pi utenfor. Så skal vi prøve å gjøre flere operasjoner på en gang. 00:25:42.700 --> 00:25:52.350 Vi ser om vi får til det. Vi integrerer 4x, da får vi 2x^2. NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:25:52.350 --> 00:26:06.700 Så har vi -2x^3, da får vi (-1/2)*x^4 når vi integrerer -2x^3. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:26:06.700 --> 00:26:15.600 Så skal vi da sette inn grensene fra 0 til roten av 2. NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:26:16.700 --> 00:26:33.800 Der har vi 2x^3. Når vi integrerer det så får vi (1/2)*x^4 - 2x^2 fra roten av 2 til 2. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:26:33.800 --> 00:26:37.300 Og så skal vi sette inn grensene. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:26:38.000 --> 00:26:41.900 Da får vi 2pi utenfor. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:26:43.600 --> 00:26:54.500 Så får vi (roten av 2)^2= 2*2 = 4. Her får vi (roten av 2)^4. 00:26:54.500 --> 00:27:00.800 Det blir 4/2=2. som gir 4-2=2. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:27:02.000 --> 00:27:12.700 Setter vi inn 0 så får vi 0, så det gir ingen bidrag. Så setter vi inn 2 her, da får vi 2^4 00:27:12.700 --> 00:27:16.150 som er 16/2=8. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:27:16.150 --> 00:27:27.600 -4*2=-8. Det blir 8-8, det forsvinner. Så setter vi inn roten av 2. Da får vi 4/2= 2. 00:27:27.600 --> 00:27:43.100 2-4=-2. Det blir minus minus 2, så det blir +2. Dette blir 2pi*4=8pi. 00:27:43.100 --> 00:27:49.800 Det er et veldig pent svar. Vi er i ferd med å utforske dette skraverte området og se hvor 00:27:49.800 --> 00:27:55.700 mange integraler vi kan sette opp og hvor mye vi kan regne ut av dette her. Det er flere ting 00:27:55.700 --> 00:28:04.500 vi kan regne ut, for eksempel omkretsen av dette området. Da handler det først og fremst 00:28:04.500 --> 00:28:14.500 om å legge sammen fire bidrag her. De to ytterste er greie fordi de er rette, så denne lengden er 4. 00:28:14.500 --> 00:28:16.500 Denne lengden her borte er også 4. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:28:16.500 --> 00:28:24.900 Hva er lengden av denne kurven og den kurven der? De må vi også ha med. Hvis vi legger sammen den, 00:28:24.900 --> 00:28:28.750 den, den og den, så får vi omkretsen. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:28:28.750 --> 00:28:36.000 Da handler det om å finne den såkalte buelengden til en kurve som krummer på seg og som ikke er rett. 00:28:36.000 --> 00:28:45.600 Da tar vi og forstørrer det opp litt. Her har vi x-aksen. 00:28:45.600 --> 00:28:54.750 Så tenker vi oss to punkter. Vi kan kalle de xi-1 og xi. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:28:54.750 --> 00:29:05.600 Hva er avstanden fra xi til xi-1 langs denne kurven? Det vi gjør da, det er å tilnærme den 00:29:05.600 --> 00:29:13.100 med en rett linje. For rette linjer, det vet vi lengden til. Spesielt så kan vi finne lengden 00:29:13.100 --> 00:29:18.600 til denne rette linja hvis vi tegner en rettvinklet trekant og bruker Pytagoras. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:29:19.400 --> 00:29:30.300 Da får vi lengden på denne, xi - xi-1. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:29:30.300 --> 00:29:43.200 Så har vi denne kateten. Her oppe har vi funksjonsverdien i xi, og så trekker vi fra 00:29:43.200 --> 00:29:54.600 funksjonsverdien i xi-1, og så setter vi da dette inn i Pytagoras. Da får vi lengden 00:29:54.600 --> 00:30:07.600 til dette linjestykket, den kan vi kalle L. Lengden til L er gitt ved 00:30:07.600 --> 00:30:22.600 (xi - xi-1)^2 + (f(xi) - f(xi-1))^2, og så roten av dette. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:30:22.600 --> 00:30:31.350 Igjen skal vi dele opp. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:30:31.350 --> 00:30:40.300 Vi skal dele opp langs x-aksen. Vi skal derivere med hensyn på x, vi skal finne en buelengde. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:30:40.300 --> 00:30:48.000 Vi lager disse her intervallene bitte, bittesmå. Nå er dette intervallet forstørret opp, og da summerer vi 00:30:48.000 --> 00:30:57.400 mange sånne bittesmå, rette linjer. Hvert av disse rette linjestykkene 00:30:57.400 --> 00:31:06.050 vil ha denne lengden. Hvis vi deler på (xi - xi-1)^2 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:31:06.050 --> 00:31:16.600 her inne i rottegnet, får vi 1 her. Så får vi (f(xi) - f(xi-1))^2 / (xi - xi-1)^2. 00:31:16.600 --> 00:31:23.900 Når vi da tar denne grenseprosessen, så kjenner vi igjen det som står her 00:31:23.900 --> 00:31:32.800 som den deriverte i et punkt, f'(x). Så faktoriserer vi ut (xi - xi-1)^2 00:31:32.800 --> 00:31:38.700 utenfor rottegnet, og da får vi også en sånn bitteliten differanse i x-retningen på utsiden, 00:31:38.700 --> 00:31:50.800 som blir til en dx når vi går til en grense. Det vi står igjen med, er at buelengden til en funksjonsgraf mellom a og b, 00:31:50.800 --> 00:32:01.300 det er da gitt ved integralet fra a til b av roten av 1 (vi får det ved å dele på (xi - xi-1)^2 00:32:01.300 --> 00:32:06.450 inni rottegnet). Så kjenner vi igjen NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:32:06.450 --> 00:32:13.750 den deriverte i annen, og så får vi dx. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:32:13.750 --> 00:32:23.900 Dette er formelen for buelengden til funksjonsgrafen til f fra a til b. Da kan vi bruke det 00:32:23.900 --> 00:32:27.350 i dette tilfellet og finne omkretsen. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:32:27.350 --> 00:32:40.500 Da får vi omkretsen til dette området. Vi kan jo godt sette opp 2*4 med en gang, sånn at vi 00:32:40.500 --> 00:32:43.550 ikke glemmer de to rette strekene. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:32:43.550 --> 00:33:00.000 Så er det buelengden av denne grafen. Den blir da integralet fra 0 til 2 av 1 pluss den deriverte 00:33:00.000 --> 00:33:14.800 av denne grafen, som er 4-x^2, det blir -2x^2. Så plusser vi på buelengden til g 00:33:14.800 --> 00:33:31.800 fra 0 til 2. Da får vi 1 pluss den deriverte av g, som er x^2. Det blir 2x. Her har vi nå et uttrykk 00:33:31.800 --> 00:33:34.700 for omkretsen til dette området. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:33:34.700 --> 00:33:44.800 Hvis vi regner litt til, så ser vi at da får vi 8 pluss integralet fra 0 til 2 av 1+4x^2, 00:33:44.800 --> 00:34:01.800 roten av det. Pluss integralet fra 0 til 2 av 1+4x^2, roten av det også. For å finne omkretsen, 00:34:01.800 --> 00:34:12.100 så må vi løse dette integralet, som vi får to kopier av. Da skal vi gjøre det. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:34:12.400 --> 00:34:19.300 For å regne ut omkretsen til dette skraverte området, så ender vi opp med å skulle løse dette 00:34:19.300 --> 00:34:20.850 integralet. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:34:20.850 --> 00:34:29.300 Vi skal integrere roten av 1+4x^2. Hvilke funksjoner er det som er sånn, at når vi deriverer, 00:34:29.300 --> 00:34:32.500 så får vi altså roten av 1+4x^2? NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:34:32.500 --> 00:34:38.800 Denne type integraler finnes det formler for. Vi har tenkt å se litt på hvor disse formlene 00:34:38.800 --> 00:34:48.000 kommer fra, og faktisk regne ut hva svaret blir. Det er altså buelengden av en slik bue. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:34:48.000 --> 00:34:54.750 Det første vi ønsker, er å få vekk det 4-tallet. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:34:54.750 --> 00:35:08.600 En måte å gjøre det på, er da å skrive 1+4x^2 som 1+2x^2, og da substituere u=2x. 00:35:08.600 --> 00:35:22.149 Da gjør vi det. Vi setter u=2x inn i det integralet. Det betyr at du=2 dx. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:35:22.149 --> 00:35:33.200 Så kan vi godt skifte grense samtidig. Når x=0, så blir u=0. Når x=2, blir u=4. Det betyr at 00:35:33.200 --> 00:35:41.500 dette integralet i u, er da integralet fra 0 til 4. Så har vi 2, som da blir til 1/2. 00:35:41.500 --> 00:35:49.600 Roten av (1+u^2) du. NOTE Treffsikkerhet: 75% (MEDIUM) 00:35:49.600 --> 00:35:55.200 Vi skal nå integrere roten av (1+u^2). NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:35:55.200 --> 00:36:03.300 Da er det noen trigonometriske identiteter som kan være nyttig å bruke. Siden det står pluss her, 00:36:03.300 --> 00:36:12.100 så er det de hyperbolske funksjonene som gjør sin inntreden. Vi har at cosh^2 x 00:36:12.100 --> 00:36:19.100 - sinh^2 x = 1. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:36:19.100 --> 00:36:28.200 Da ser vi at hvis vi flytter over sinh^2 x hit, så får vi cosh^2 x = 1 + sinh^2 x. 00:36:28.200 --> 00:36:38.400 Hvis vi setter u=sinh^2 x, så får vi cosh^2 x under rottegnet 00:36:38.400 --> 00:36:45.700 og så blir vi kvitt rottegnet, for da får vi igjen cosh x. 00:36:45.700 --> 00:36:50.050 Vi kan godt sette u=sinh x. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:36:50.050 --> 00:37:07.200 Så venter vi litt med grensene. Det betyr at nå ser vi 00:37:07.200 --> 00:37:20.000 på det ubestemte integralet. Når vi da substituerer her, så får vi u=sinh x, 00:37:20.000 --> 00:37:24.100 og du=cosh x. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:37:25.400 --> 00:37:37.200 Roten av (1+u^2) blir til cosh x og du blir også til cosh dx. 00:37:37.200 --> 00:37:50.400 Nå har vi fått integralet cosh^2 x. For å løse dette integralet, 00:37:50.400 --> 00:37:53.700 så må vi da løse dette. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:37:54.100 --> 00:38:02.200 Det er litt tilsvarende regning som cosinus og sinus uten hyperbolicus. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:38:02.200 --> 00:38:15.000 Vi bruker delvis integrasjon og setter s=cosh x og t'=cosh x. 00:38:15.000 --> 00:38:27.100 Da blir s'=sinh x. og t=sinh x. De hyperbolske funksjonene endrer altså ikke forttegn 00:38:27.100 --> 00:38:32.000 når vi deriverer. Den deriverte av cosh x er sinh x, 00:38:32.000 --> 00:38:42.000 og den deriverte av sinh x er cosh x. Hvis vi setter inn det i formelen for delvis integrasjon, 00:38:42.000 --> 00:38:56.200 får vi cosh x*sinh x. Så får vi minus integralet av sinh^2 x. 00:38:56.200 --> 00:38:58.100 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:39:01.600 --> 00:39:09.700 Da er det altså dette lille trikset, at vi bruker identiteten igjen for å få inn cosh^2 x her, 00:39:09.700 --> 00:39:17.300 og så er det dette integralet vi vil regne ut. Da får vi sjansen til 00:39:17.300 --> 00:39:18.500 å gjøre det. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:39:19.800 --> 00:39:28.900 Det betyr at hvis vi tar enda en liten mellomregning her, så får vi cosh^2 x 00:39:28.900 --> 00:39:41.350 er lik cosh x*sinh x. sinh^2 x, det er cosh^2 x - 1. NOTE Treffsikkerhet: 79% (HØY) 00:39:41.350 --> 00:39:50.200 Her får vi integralet av cosh^2 x - 1. 00:39:50.200 --> 00:39:53.600 NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:39:54.800 --> 00:40:05.600 Da kan vi flytte over hit. Så får vi at 2*integralet av cosh^2 x = cosh x*sinh x 00:40:05.600 --> 00:40:15.900 pluss integralet av den konstante funksjonen 1, som er x. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:40:16.600 --> 00:40:21.550 Og da kan vi sette inn dette uttrykket NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:40:21.550 --> 00:40:22.899 NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:40:22.899 --> 00:40:27.150 i denne formelen, og regne videre. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:40:27.150 --> 00:40:37.700 Vi er i ferd med å regne ut dette integralet, og har substituert u=2x og fått et nytt integral u, 00:40:37.700 --> 00:40:44.600 og også skiftet grenser. Det er dette integralet vi nå ønsker å regne ut, for å finne buelengden 00:40:44.600 --> 00:40:48.200 på en av disse buene. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:40:48.200 --> 00:40:57.300 Ved å substituere u=sinh x, så får vi da foreløpig dette uttrykket. Nå har vi regnet ut 00:40:57.300 --> 00:41:04.100 ved delvis integrasjon, et uttrykk for integralet av cosh^2 x. Det får vi nå ut 00:41:04.100 --> 00:41:14.700 ved å dele på 2 på denne siden. Det gir at integralet av cosh^2 x = 1/2cosh x*sinh x 00:41:14.700 --> 00:41:26.899 + 1/2x + C, siden vi nå har det ubestemte integralet. NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:41:26.899 --> 00:41:31.300 Så nå kan vi sette inn i dette uttrykket her. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:41:31.300 --> 00:41:44.000 Først så skal vi regne oss tilbake til u. Det betyr at vi nå skal regne ut integralet 00:41:44.000 --> 00:41:59.550 fra 0 til 4 av 1/2, roten av (1+u^2) du. Da må vi sette inn her. NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:41:59.550 --> 00:42:06.800 u er sinh x, så denne er grei. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:42:06.800 --> 00:42:09.649 Hva er cosh x? NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:42:09.649 --> 00:42:18.700 Jo, da bruker vi denne formelen. Så får vi cosh^2 x, det er 1 + sinh^2 x (det er u), 00:42:18.700 --> 00:42:30.900 dette blir roten av (1+u^2). 00:42:30.900 --> 00:42:32.700 Vi skal straks skrive det inn her. NOTE Treffsikkerhet: 77% (HØY) 00:42:32.700 --> 00:42:36.700 Og så var spørsmålet, hva med x? NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:42:36.700 --> 00:42:45.200 u=sinh x, hva er da x uttrykt i u? NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:42:45.200 --> 00:42:56.000 Det er da vi har en formel som sier at arcsinh x = ln(x + roten av (1+x^2)). 00:42:56.000 --> 00:43:08.700 Nå skal vi skrive inn alt dette. Vi får 1/2, og så setter vi inn for dette uttrykket 00:43:08.700 --> 00:43:16.100 som vi regnet her nede. Da får vi 1/2 cosh x som er roten av (1+x^2), 00:43:16.100 --> 00:43:21.149 sinh x som er u, NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:43:21.149 --> 00:43:31.600 pluss 1/2 og så var det da x som altså er arcsinh x. 00:43:31.600 --> 00:43:46.100 Det er ln(x + roten av(1+x^2)). Så har vi grensene fra 0 til 4. NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:43:48.900 --> 00:43:52.500 Så da gjenstår det bare å sette inn grensene. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:43:52.500 --> 00:44:01.700 Da kan vi godt sette 1/4 på utsiden, hvis vi ganger ut 1/2 med 1/2. Når vi setter inn 4 her, 00:44:01.700 --> 00:44:14.800 så får vi 1+16, det blir roten av 17*4, det blir 4*roten av 17. Så setter vi inn 4 her, da får vi 00:44:14.800 --> 00:44:24.500 fortsatt roten av 17+4. Vi får ln(4 + roten av 17). NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:44:24.500 --> 00:44:34.400 Når vi setter inn 0, så får vi 0 fordi det står u her. Så får vi ln(0+1), som er 1, og ln 1=0. 00:44:34.400 --> 00:44:45.300 Vi får ikke noe bidrag når vi setter inn 0. Det betyr at buelengden 00:44:45.300 --> 00:44:55.800 til denne ene buen her er altså dette uttrykket, 1/4(4*roten av 17 + ln(4 + roten av 17)). 00:44:55.800 --> 00:45:06.800 Den totale omkretsen til dette uttrykket blir 2 ganger dette uttrykket her, pluss 8 som er bidragene 00:45:06.800 --> 00:45:21.200 fra disse to. Da kan vi prøve å skrive opp det helt til slutt. Omkretsen er 00:45:21.200 --> 00:45:25.100 8 + 2 ganger dette uttrykket, så det blir bare 1/2 utenfor her. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:45:25.100 --> 00:45:39.600 Vi får 1/2(4*roten av 17 + ln(4 + roten av 17)). Kanskje ikke så veldig pent tall, men dette her er veldig typisk svar 00:45:39.600 --> 00:45:43.800 når vi regner ut buelengder til en graf.